Финаев В.И. Аналитические и имитационные модели

Подождите немного. Документ загружается.

141

В подпрограмме

GENX, исходя из значений

вероятностей

…

, генерируется входной параметр

х. Алгоритм подпрограммы GENX приведен на рис. 6.3.

Начало

I=0, B=0

I=I+1,

B=B+W[I]

Конец

≤

СЕN(P)

Рис. 6.3

Алгоритм подпрограммы GENX подобен алгоритму

подпрограммы

GENZ0. Также в блоке 1 вырабатывается

датчиком случайных чисел число

Р. В блоках 2 – 4 число Р

сравнивается со значениями:

, w

и т.д. При

первом выполнении условия

Р<w

…

считается, что

на вход ВА поступает параметр

. Выходным параметром

подпрограммы

GENX является параметр I - индекс х

Подпрограмму

STATX можно реализовать в виде

счетчика

KX[I], в котором подсчитываются частоты

появления входного параметра

, а также заполнением

массива

WX[T], который затем будет выведен на экран

дисплея и на печать. Алгоритм подпрограммы

STATX

приведен на рис. 6.4.

142

Начало

WX[T]=I

Конец

KX[I]=KX[I]+1

Рис. 6.4

В подпрограмме OPRZ, входными параметрами которой

является индекс

J предшествующего состояния и индекс I

входного параметра, определяется состояние в текущем

такте

T согласно заданным вероятностям функции

переходов

||Р{z

(t)=z(t)/z

t-1

}||. Алгоритм подпрограммы

OPRZ приведен на рис. 6.5. Работает алгоритм

подпрограммы

OPRZ следующим образом. В блоке 1

вырабатывается датчиком случайных чисел число

Р,

равновероятно распределенное на отрезке

[0,1].

В блоках 2 – 4 число

Р сравнивается со значениями:

P(z

(t-1),х

(t)), P(z

(t-1),х

(t))+P(z

(t-1),х

(t)),

P(z

(t-1),х

(t))+P(z

(t-1),х

(t))+P(z

(t-1),х

(t)) и т.д.

При первом выполнении условия

Р<P(z

(t-

1),х

(t))+P(z

(t-1),х

(t))+…+P(z

(t-1),х

(t)), считается,

что ВА перешел в состояние

. Таким образом, выходным

параметром подпрограммы

OPRZ является параметр K –

индекс состояния

. В подпрограмме STATZ в счетчиках

KZ[K] подсчитываются частоты нахождения ВА в

состояниях

, а также заполнением массива WZ[T], в

котором фиксируется последовательность появления

состояний ВА.

143

Начало

K=0, C=0

K=K+1,

C=C+P[I,K]

Конец

≤

СЕN(P)

Рис. 6.5

Состояние массива WZ[T] затем будет выведено на

экран дисплея и на печать. Алгоритм подпрограммы

STATZ полностью идентичен алгоритму подпрограммы

STATX (см. рис. 6.4).

Подпрограмма

OPRY предназначена для определения

выходного параметра. Входными параметрами для этой

подпрограммы являются:

- индекс

J предшествующего состояния (состояния в

такте (

T-1);

- индекс

I входного параметра в текущем такте T;

- индекс

K состояния ВА в такте T.

Схема алгоритма подпрограммы

OPRY зависит от

задания функции переходов. Если функция переходов

задана в виде матрицы

||Р(y

t-1

,х

)||, то схема алгоритма

подпрограммы

OPRY будет иметь вид, показанный на

рис. 6.6.

144

Начало

L=0, D=0

L=L+1,

D=D+P[J,I,K]

Конец

P≤D

СЕN(P)

Рис. 6.6

Отличительная особенность работы алгоритма

подпрограммы

OPRY состоит в том, что происходит в

блоках 2 – 4 сравнение случайного числа

Р со значениями:

P(y

(t-1),х

(t)z

(t)),

P(y

(t-1),х

(t)z

(t))+P(y

(t-1),х

(t)z

(t)),

P(y

(t-1),х

(t)z

(t))+P(y

(t-1),х

(t)z

(t))+

+P(y

(t-1),х

(t)z

(t)) и т.д.

При первом выполнении условия

Р<P(y

(t-1),х

(t)z

(t))+P(y

(t),х

(t)z

(t))+…+

+P(y

(t-1),х

(t)z

(t))

считается, что ВА имеет на выходе выходной параметр

Таким образом, выходным параметром подпрограммы

OPRY является параметр L – индекс выходного параметра

ВА.

Если функция выходов ВА задана в виде матрицы

||Р(y

t-1

)||, то в блоке 3 подпрограммы OPRY переменная

145

D определяется как D=D+P[J,I]. В блоках 2 – 4 происходит

сравнение случайного числа

Р со значениями:

P(y

(t-1),х

(t)), P(y

(t-1),х

(t))+P(y

(t-1),х

(t)),

P(y

(t-1),х

(t))+P(y

(t-1),х

(t))+P(y

(t-1),х

(t))) и т.д.

При первом выполнении условия

Р<P(y

(t-1),х

(t))+P(y

(t-1),х

(t))+…+P(y

(t-1),х

(t)),

считается, что на выходе ВА выходной параметр

Выходным параметром подпрограммы

OPRY является L.

Если функция выходов ВА задана в виде матрицы

||Р(y

/,х

)||, то в блоке 3 подпрограммы OPRY переменная

D определяется как D=D+P[I,K]. В блоках 2 – 4 происходит

сравнение случайного числа

Р со значениями:

P(y

/х

(t),z

(t)), P(y

//х

(t),z

(t))+P(y

//х

(t),z

(t)),

P(y

//х

(t),z

(t))+P(y

//х

(t),z

(t))+P(y

//х

(t),z

(t)) и т.д.

При выполнении условия

Р<P(y

//х

(t),z

(t))+P(y

//х

(t),z

(t))+…+P(y

//х

(t),z

(t))

считается, что на выходе ВА выходной параметр

Алгоритм подпрограммы

STAT приведен на рис. 6.7.

J=K

WY[T]=L

Начало

Конец

KY[I]=KY[I]+1

Рис. 6.7

В подпрограмме STATY в счетчиках KY[L]

подсчитываются частоты появления на выходе ВА

параметра

, В массиве WY[T] фиксируется

146

последовательность выходных параметров

. Состояние

массива

WY[T] затем будет выведен на экран дисплея и на

печать. В блоке 3 определяется индекс состояния

(t+1)=z

(t), (J=K), т.к. состояние ВА z

(t) в текущем такте

T будет рассматриваться как предшествующее состояние

для последующего такта

T+1.

147

7. МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО

ОБСЛУЖИВАНИЯ

7.1. Общие сведения

Моделирование объекта с применением

математического языка систем массового обслуживания

(СМО) предусматривает в процессе формализации

выделение понятий: заявка (требование), поток заявок,

прибор обслуживания, очередь на обслуживание,

дисциплины выбора на обслуживание, закон

обслуживания, поток обслуженных заявок, поток

потерянных заявок.

Известна классификация, которая произведена, исходя

из характеристик СМО. СМО классифицируют следующим

образом [15 - 20]. По

потокам заявок СМО делятся на СМО

с однородным потоком и приоритетные СМО. По

дисциплинам обслуживания СМО делятся на СМО с

дисциплиной FIFO (первый пришел - первый

обслуживается), СМО с дисциплиной LIFO (последний

пришел - первый обслуживается), СМО со случайным

выбором на обслуживание.

Исходя из того, каким временем на ожидание

располагает заявка, СМО делятся на СМО

с отказами, если

эта величина времени ожидания равна нулю, смешанные

СМО, если время ожидания является конечной величиной

(СМО с ограниченной очередью), СМО с ожиданием, если

время ожидания является бесконечной величиной (с

бесконечной очередью).

По количеству и структурному расположению приборов

обслуживания СМО делятся на одноканальные (рис. 7.1,а),

n-канальные, если имеются n параллельно расположенных

148

приборов (рис. 7.1,б),

m-фазные СМО, если имеются

последовательно расположенные

m приборов (рис. 7.1,в),

СМО смешанной структуры (рис. 7.1,г).

Выходной

поток

Входной

поток

Прибор

обслуживания 1

Прибор

обслуживания

Прибор

обслуживания 2

Прибор

обслуживания n

Прибор 1

Прибор 2 Прибор m

….

Прибор

Рис. 7.1

149

Классификация может быть осуществлена, исходя из

математических законов, описывающих математические

модели потока входных заявок и времени обслуживания.

Моделирование систем с применением схем СМО

предусматривает определение выходных параметров и

параметров состояния, которые могут быть представлены

как показатели эффективности СМО.

Моделью, описывающей функционирование системы,

может служить описание времени задержки в системе. В

виде моделей могут быть применены коэффициент

использования СМО, вероятность того, что поступившая в

СМО заявка застанет ее свободной от обслуживания,

описание периода занятости системы, вероятность отказа

на обслуживание, среднее число заявок в очереди,

описание выходных потоков заявок, интегральные

характеристики функционирования СМО.

Почему аппарат теории массового обслуживания

широко применим при моделировании систем

самого

различного назначения?

Если это системы, связанные с обслуживанием

клиентов, например в прачечной, химчистке, кассе и

прочее, то здесь очевидно применение аппарата.

Моделями СМО адекватно моделируются процессы

погрузки транспорта, стрельба по целям, передача

информации по каналам связи, потоки транспортных

средств, перевозка грузов, обработка деталей на станке и

многие другие процессы

функционирования разных

систем.

Изготовление какого-либо изделия, состоящего из

большого числа деталей, можно представить в виде модели

СМО сложной структуры. Действительно, изготовление

детали требует выполнение определенного множества

последовательных операций на разных станках и,

возможно, на разных производственных участках,

150

например отливка, штамповка, а затем токарные операции.

Все эти операции, выполняемые на разных станках

разными рабочими, в результате позволяют представить

структуру сложной СМО. Однако здесь при моделировании

появляются математические сложности.

Математическую модель СМО в виде системы

уравнений Эрланга [15 -

7], как наиболее простую

аналитическую модель, можно получить при

пуассоновском

потоке заявок и экспоненциальном

распределении времени обслуживания. Удобство

пользования данной моделью ограничивается требованием

стационарности процессов и отсутствием необходимости

оценки изменения вероятностных характеристик во

времени.

Если же перед исследователем ставится более сложная

задача оценки таких критериев, как функции

распределения вероятностей времени задержки, периода

занятости, числа заявок в очереди.

Наиболее широко применяется

описание

математических моделей в виде характеристических

функций, в частности, в виде преобразований Лапласа-

Стильтьеса [18].

Модель времени задержки представима в виде интегро-

дифференциального уравнения Линди-Такача-

Севастьянова [18], причем в данной модели предполагается

произвольный вид распределения времени обслуживания.

Однако при всей универсальности аппарата

характеристических функций для применения его при

описании моделей СМО, у

него имеется один

существенный недостаток, заключающийся в том, что

получить реальные распределения действительного

параметра времени далеко не всегда возможно. Это связано

с тем, что не всегда существуют обратные преобразования

Лапласа. При моделировании приоритетных СМО