Фарзане Н.Г., Илясов Л.В. Технологические измерения и приборы

Подождите немного. Документ загружается.

Число значащих цифр в числовом значении результата измерения при

использовании приведенных правил позволяет ориентировочно судить о

точности измерения.

§ 3.3. Обнаружение и исключение систематических погрешностей

В гл. 1 было указано, что погрешность измерения содержит систе-

матическую и случайную составляющие. Причем систематическая погрешность

вызывает смещение результата измерений и является наиболее опасной, так как

во многих случаях о ее существовании даже не подозревают. Систематические

погрешности измерений на технологических процессах являются причиной

неправильного управления объектами, неправильного учета и брака продукции.

Обнаружение систематических погрешностей измерений является одной

из самых сложных задач метрологии. В том или ином виде ее приходится

решать при подготовке и проведении технологических измерений.

Близость к нулю систематической погрешности определяется как

правильность измерений. Исключение систематической погрешности из

результатов измерений рассматривается как исправление этих результатов.

Поэтому результаты наблюдений или измерений, содержащие неисключенную

систематическую погрешность, называют неисправленными, а результаты, в

которых систематическая погрешность исключена,— исправленными.

Общепринятыми методами обнаружения и исключения систематической

погрешности являются следующие: устранение источников погрешности до

начала измерений, использование дополнительных измерений, внесение

поправок в результаты измерений, оценка границ систематических

погрешностей в случае невозможности их исключения, использование

специальных методов измерения.

Последние из перечисленных методов определяют одно из

перспективных направлений измерительной техники (см. § 3.8).

Устранение источников систематических погрешностей до начала

измерений является одним из наиболее радикальных путей, там как позволяет

полностью или частично освободиться от нёобходимости применения других

из названных выше способов, а также ускорить процесс измерения.

Под устранением источника погрешностей принимают удаление

источников теплоты, вибрации, электромагнитных полей и других от средств

измерений или защиту последних от указанных источников, если по условиям

применения средств измерений они не могут быть удалены от источников

погрешности.

Надежным средством обнаружения систематических погрешностей

является использование дополнительных измерений, а именно: измерения,

основанного на ином методе или принципе; измерения, выполняемого с

помощью второго средства измерения, аналогичного

основному или иного по принципу действия; измерения, выполненного с

помощью более точного средства измерений.

Исключение систематической погрешности из результата измерений

осуществляется путем применения поправок или поправочных множителей.

В первом, наиболее распространенном случае осуществляется

алгебраическое сложение результата измерения и поправки. Под поправкой при

этом понимают систематическую погрешность, взятую с обратным знаком.

Во втором случае результат измерения умножают на поправочный

множитель, который может быть больше или меньше единицы. Поправочный

множитель обычно применяется тогда, когда систематическая погрешность

является мультипликативной.

В обоих случаях высокая точность результата достигается при условиях,

что поправка мала по сравнению с измеренным значением или поправочный

множитель близок к единице. Само значение поправок и поправочных

множителей находят указанными выше путями, а также путем поверки средств

измерений. Поправки для учета влияния тех или иных влияющих величин, при

известных функциях влияния, определяют на основе вспомогательных измере-

ний этих величин.

В некоторых случаях исключить систематическую погрешность из

результата измерения оказывается нецелесообразным из-за технической

сложности. В этих случаях по известному значению систематической

погрешности средства измерений оценивается погрешность выполненного

измерения. Оценка границ систематической погрешности осуществляется

обычно и при внесении поправок.

Систематическая погрешность, остающаяся после введения поправок,

включает в себя ряд элементарных составляющих, называемых

неисключенными остатками систематической погрешности. Они связаны в

основном с погрешностью определения поправок и погрешностью, зависящей

от точности измерения влияющих величин, входящих в функцию влияния.

Для определения границ неисключенной систематической погрешности

результата измерения часто предполагается, что неисключенные остатки

систематической погрешности являются случайными величинами,

распределенными по равномерному закону (см. рис. 1.9, а). На этом основании

границу θ неисключенной систематической погрешности определяют по

формуле

∑

θθ

(3.2)

где θ

— граница k-й неисключенной систематической погрешности; r —

коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью, равный

1,1 при доверительной вероятности 0,95; l — общее число неисключенных

остатков систематических погрешностей.

Все рассмотренные общие способы обнаружения и устранения

систематических погрешностей в той или иной степени находят применение

при проведении технологических измерений.

При получении измерительной информации о технологических

параметрах с помощью систем автоматического контроля, как правило, заранее

предусматриваются и осуществляются мероприятия по устранению источников

систематических погрешностей или защите от них средств измерений. Если

имеются сомнения в показаниях каких-либо средств измерений, то применяют

дополнительные измерения, осуществляемые с использованием иных методов,

принципов и средств измерений, чем основные, а также с целью контроля

выполняются параллельные измерения с помощью более точных средств

измерений.

Введение поправок, оценка границ неисключенной систематической

погрешности и специальные высокоточные методы измерений применяются

при контроле средствами технологических измерений качества, расхода и

количества сырья, промежуточных и конечных продуктов, а также при

создании математических моделей химико-технологических процессов.

§ 3.4. Оценивание результата и погрешности прямых измерений с

многократными наблюдениями

Рассмотренные в § 1.4 характеристики случайной величины справедливы

только при бесконечно большом числе наблюдений, т. е. они в сущности

являются теоретическими. На практике число наблюдений, выполняемых при

проведении измерительных экспериментов, ограничено и редко превосходит

20—30. Поэтому для обработки результатов измерительных экспериментов

используют математическую статистику. В общем случае для выявления

закономерностей, отражающих поведение случайной величины при

ограниченном числе наблюдений, в математической статистике также решается

задача определения закона распределения. Однако выявляемые при этом

закономерности содержат элемент случайности. Статистический материал

может только с большим или меньшим правдоподобием подтверждать или не

подтверждать справедливость того или иного предположения (задача проверки

правдоподобия гипотез). Чаще при обработке результатов наблюдений при из-

мерении физических величин не возникает вопрос об определении закона

распределения. Обычно это бывает связано с малым числом наблюдений

(например, при 3—5 наблюдениях) или априорным утверждением о том, что

закон распределения случайной величины является нормальным. Последнее

утверждение, как показывает практика обработки результатов измерительных

экспериментов, оказывается в подавляющем большинстве случаев оправдан-

ным. В этих случаях решается более узкая задача, состоящая в определении

указанных числовых параметров М[Х] и σ. Поскольку на основе ограниченного

статистического материала можно найти

только приближенные значения М[Х] и σ, их называют оценками параметров

функции распределения случайной величины, а так как они выражаются одним

числом, их называют также точечными оценками. Оценкой математического

ожидания служит среднее арифметическое:

[ ]

∑

=≈

XXM

(3.3)

Для оценки среднеквадратического а отклонения используется формула

)

(

−

=≈

∑

(3.4)

Оценку S приписывают каждому из п результатов наблюдений и

называют погрешностью единичного измерения, стандартным отклонением

или стандартом.

Таким образом, приведенные оценки являются случайными величинами.

Если провести повторное измерение и по результатам его наблюдений

вычислить

и S, то их значения будут отличаться от прежних. Повторяя

измерения и вычисляя по результатам их наблюдений

и S или обрабатывая

совместно наблюдения, полученные в предыдущих и последующих опытах,

можно получить ряд значений

и S, которые также подчиняются

нормальному закону распределения. Для оценки рассеяния этих распределений

используют понятие среднеквадратического отклонения среднего арифме-

тического, которое используют в качестве оценки среднеквадратического

отклонения результата измерения и определяют по формуле

)1(

)

(

)

(

−

=≈

∑

(3.5)

Из формулы видно, что оценка среднего квадратического отклонения

результата измерения в n раз меньше оценки среднеквадратического

отклонения 5 результатов отдельных наблюдений.

Приведенные точечные оценки S, S(

) и рассмотренные понятия

доверительного интервала и доверительной вероятности используются для

определения интервальной оценки погрешности результата измерения. Причем

для определения доверительного интервала при принятом или заданном

значении доверительной вероятности Р

вместо нормального распределения,

которое описывает поведение случайных величин при бесконечно большом

числе наблюдений, используют распределение Стьюдента, или t-

pacnpeдeление (предложено английским статистиком Госсетом, публико-

вавшимся под псевдонимом «студент»), которое обеспечивает возможность

определения доверительных интервалов при ограниченном числе измерений.

Границы доверительного интервала при этом определяются по формуле

)

(XtS

=ψ

(3.6)

где t — коэффициент распределения Стьюдента, зависящий от зада-

ваемой доверительной вероятности Р

и числа наблюдений п. Коэффициент t

определяют по таблице (приложение 2) или рассчитывают по формуле,

описывающей указанное распределение:

[ ]

)!2/(

!2/)1(

),(

−













+⋅

⋅

(3.7)

где φ(t, k) — плотность распределения

Стьюдента; k — величина, называемая степенью

свободы и равная п—1.

Коэффициент t определяется дробью (X-

M[X])/S(X), которая называется дробью

Стьюдента. При

∞

→

(практически при n

≥

20)

распределение Стьюдента приближается к

нормальному.

Как отмечалось в § 1.4, случайные

погрешности, не связанные с действиями операто-

ра, проводящего измерение подразделяют на

ожидаемые и грубые. Если в процессе измерений

оператор обнаруживает, что результат одного или

нескольких наблюдений резко отличается от

остальных и определяет причину этого, то он

должен отбросить этот результат (или результаты)

и провести дополнительные наблюдения. Когда

осуществляется обработка уже имеющегося мате-

риала и нет возможности учесть все условия, при

которых выполнялся измерительный эксперимент,

обнаружение

грубых погрешностей осуществляется методами проверки статистических

гипотез. Основная концепция этих методов состоит в том, что проверяется

гипотеза, утверждающая, что результат i-го наблюдения X

не содержит грубой

погрешности, т. е. является одним из значений случайной величины X с

законом распределения Р(Х) (обычно нормальным), оценки параметров

которого

и S предварительно определены.

Для обнаружения в соответствии с этими методами грубых погрешностей

используется ряд критериев (критерий Зσ, Шовине, Романовского, Гребса) [9,

10].

Последовательность обработки экспериментальных данных для наиболее

простого и типичного случая приведена на рис. 3.1. В данном случае

предполагается, что наблюдения, получаемые при измерении, являются

равнорассеянными (равноточными), т. е. представляют собой независимые,

одинаково распределенные величины (такие результаты наблюдений

получаются при выполнении измерений одним оператором с помощью одних и

тех же средств измерений) ; результаты наблюдений являются исправленными,

т. е. из них исключены систематические погрешности; неисключенные си-

стематические погрешности настолько малы, что ими можно пренебречь; из

результатов наблюдений исключены промахи и грубые погрешности; число

наблюдений не превосходит 15 (в этом случае признается и не проверяется их

принадлежность нормальному распределению).

На рис. 3.1 в п. 8 вместо доверительных границ случайной погрешности

записана суммарная погрешность измерения Δ [см. (1.8)], так как в

рассматриваемом случае систематическая погрешность θ исключена, а

неисключенная систематическая погрешность, описываемая выражением (3.2),

мала. Если исключенной систематической погрешностью нельзя пренебречь, то

общую погрешность измерения вычисляют по формуле [28]

⋅=∆ Sχ

(3.8)

где χ —коэффициент, зависящий от случайной и неисключенной

систематической погрешности; S

— оценка суммарного

среднеквадратического отклонения результата измерения. Значения S

и χ

вычисляют по формулам:

∑

XSS

)

(

(3.9)

∑

)

(

(3.10)

§ 3.5. Оценивание результата и погрешности косвенных измерений с

многократными наблюдениями

Искомое значение физической величины У и оценка погрешности при

косвенных измерениях (см. § 1.2) определяются на основании результатов

измерений т аргументов Х

, Х

,…, X

, ..., Х

, связанных с искомой величиной

уравнением

Y=f (Х

, Х

,…, X

, ..., Х

) (3.11)

Вид функции f должен быть известен из теоретических предпосылок или

установлен экспериментально с погрешностью, которой можно пренебречь.

Результаты измерений аргументов и оценки их погрешностей, как правило,

получают путем проведения прямых измерений.

По виду функциональной зависимости (3.11) принято различать

косвенные измерения с линейной и нелинейной зависимостями между

измеряемой величиной и измеряемыми аргументами (или линейные и

нелинейные косвенные измерения).

Обработка экспериментальных данных косвенных измерений базируется

на использовании положений теории вероятностей и математической

статистики [9, 10] о характеристиках функций случайных величин. В

соответствии с этими положениями оценкой истинного значения физической

величины У, определяемой как функция случайных величин (аргументов),

может служить ее значение F, полученное после выполнения вычислительных

операций со средними арифметическими значениями

mj21

..., ,X

,,Х

… аргументов в соответствии с этой функцией, т. е.

Y=f (

mj21

..., ,X

,,Х

…

) (3.12)

При этом среднеквадратическое отклонение результата косвенного

(линейного или нелинейного) измерения S(

) в случае, когда величины —

аргументы некоррелированы, т. е. не связаны между собой (наиболее важный

для практики случай), определяют по формуле

∑













∂

)

()

( (3.13)

где S(

) — оценка среднеквадратического отклонения результата измерения j-

го аргумента, определяемого путем обработки результатов прямого измерения

его в последовательности, изложенной в § 3.4; )

()/(

XSXf ∂∂ —частные

погрешности косвенного измерения.

Частные производные

Xf ∂∂ / =E

принято называть коэффициентами

влияния, а формулу (3.13)—формулой вероятностного, или статистического,

суммирования.

Относительную оценку среднеквадратического отклонения результата

косвенного измерения на основании (3.12) и (3.13) определяют по формуле

∑













∂

)

(

)

(

)

(δ (3.14)

Так как

f ∂

∂

ln1

(3.15)

то (3.14) можно представить в виде

∑













∂

)

(

)

(

)

(δ

(3.16)

В выражениях (3.13) — (3.16) значения частных производных

∂

- вычисляют по значениям аргументов Х

, Х

, ..., Х

соответственно

равным

m21

,,Х

… , т. е. по оценкам прямых измерений. Таким образом, эти

величины определяют приближенно. В некоторых частных, но важных для

практики случаях коэффициенты влияния могут быть определены точно.

Рассмотрим эти случаи.

1. Функция Y=f(Х

, Х

, ..., Х

) является линейной, т. е.

∑

XaY

(3.17)

где а

— постоянные коэффициенты. Коэффициенты влияния

E =

∂

(3.18)

т. е. для абсолютных погрешностей коэффициенты влияния в данном случае

равны коэффициентам перед переменными в линейной функции E

= а

. С

учетом (3.18) выражение (3.13) преобразуем к виду:

∑

XSEYS

)

()

(

(3.19)

2. Функция У= f(Х

, Х

, ..., Х

) — логарифмируема, т. е.

∏

=…

j 1

XX,,X,X

m211

(3.20)

В этом случае удобно использовать относительные погрешности. Из

(3.15) получим

∂













∂













∂

∑∏

== 11

lnXln

(3.21)

Для частной относительной погрешности [см. выражение (3.16)] получим

)

()

(

jjj

XbXS

δ==

∂

(3.22)

где

jjj

XXSX

()

( =δ

— оценка относительного среднеквадратического

отклонения результата измерения аргумента X

Как видно из (3.22), коэффициенты влияния для относительных

погрешностей оказываются в данном случае равными показателям степени

соответствующих аргументов W

. Поэтому (3.16) можно представить в виде

∑

)

(

)

(

)

( δγ

(3.23)

Если функция f(X

, X

, ..., Х

) сложная, то для определения оценки

среднеквадратического отклонения результата косвенного измерения в ней

выделяют отдельные зависимости — фрагменты, которые принимают за новые

переменные

, Z

, ..., Z

, и для них вычисляют оценки среднеквадратических отклонений

результатов измерений. Это позволяет свести названную функцию

относительно новых переменных к рассмотренным линейной или

логарифмируемой функции и определить оценки среднеквадратического

результата косвенного измерения (см. приложение 4).

Для определения интервальной оценки погрешности результата

косвенного измерения, когда результаты наблюдений, полученные в процессе

прямых измерений величин — аргументов, имеют нормальный закон

распределения, используют распределение Стьюдента.

Доверительную границу случайной погрешности результата косвенного

измерения вычисляют по формуле

)

(YtS

=ψ

(3.24)

В выражении (3.24) коэффициент Стьюдента t определяется по таблице

(см. приложение 2) для принятого или заданного значения доверительной

вероятности и известного эффективного числа степеней свободы K

эф

, которое

определяется по формуле

























∂

























∂

−

























∂

∑

∑∑

эф

)

(

)

(2)

(

(3.25)

где п

— число наблюдений, выполненное при измерении j-го аргумента.