Емельянов В.Ю. Методы моделирования стохастических систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

рода необходимо, помимо основной, ввести противоречащую ей альтерна-

тивную (конкурирующую) параметрическую гипотезу G, например: >

<

или 

. Тогда вероятность ошибки второго рода определяется

следующим образом: P(W

G). Здесь, в отличие от (3.31), закон

распределения W определяется при условии выполнения гипотезы G. Веро-

ятность недопущения ошибки второго рода 1-называется мощностью

статистического критерия.

В общем случае выбирать статистический критерий для конкретной за-

дачи и строить запретную область следует таким образом, чтобы обеспечить

максимум вероятности  Однако на практике в большинстве случаев здесь

применяют готовые рецепты. Тогда заданное значение  или используется

для определения необходимого объема выборки.

Пример: проверка гипотезы о значении математического ожидания

случайной величины с нормальным законом распределения и известной

дисперсией.

Основная гипотеза H: m

=.

Конкурирующая гипотеза G: m

.

Статистический критерий:

 









, (3.32)

где n - объем выборки; 

- известное среднеквадратическое отклонение; m

- оценка математического ожидания, определяемая на основе (3.2). Закон

распределения W нормальный, причем 

=1, а

 







. При

выполнении гипотезы H получим m

=0 (стандартизованный нормальный

закон).

Допустимая область для критерия W строится в виде интервала

], причем при заданном уровне значимости условие (3.31) примет

вид:

P(W<w

H)+P(W>w

H)=.

Для однозначного определения границ интервала принимается допо л-

нительное условие: P(W<w

H)=P(W>w

H)=0,5. Тогда с учетом

=0 допустимая область будет иметь вид [-w

0,5

]. Значение w

0,5

может быть найдено по таблицам нормального закона распределения*. Те-

перь по имеющейся выборке находят оценку математического ожидания и

-------------------

Рекомендуется самостоятельно рассмотреть числовые примеры, выбрав зна-

чения =1-P

в соответствии с табл. 7, и сравнить получаемые значения w

0,5

и 

определяют по (3.32) расчетное значение статистического критерия w

. Ос-

новная гипотеза принимается при выполнении условия







5,0

и откло-

няется в противном случае.

Рекомендации по определению необходимого объема выборки при за-

данной вероятности ошибок второго рода приводятся, например, в [12]. Там

же содержится большой набор статистических критериев для проверки дру-

гих вариантов параметрических гипотез.

Задача проверки однородности случайных выборок возникает, когда в

распоряжении исследователя имеются результаты двух или более самостоя-

тельных статистических экспериментов и желательна их совместная обработ-

ка. В таком случае необходима проверка гипотезы о принадлежности имею-

щихся выборок к одной и той же генеральной совокупности. Для пр оверки

таких гипотез применяются критерии однородности Смирнова-Колмогорова,

Вилкоксона и др.

Критерий однородности Смирнова-Колмогорова по своей форме ана-

логичен критерию согласия Колмогорова. При проверке гипотезы об одно-

родности двух случайных выборок x

,…,x

и y

,…,y

в качестве меры

расхождения рассматривается величина

   

xFxF

mynx





,,,

max

, где

и F

- статистические функции распределения, определенные соответ-

ственно по первой и второй выборкам. Далее используется закон распреде-

ления Колмогорова (табл. 10) для случайной величины





3.8. Пример статистической имитационной модели системы со случайными

параметрами

Рассмотрим модель процесса самонаведения в вертикальной плоскости

летательного аппарата (ЛА) с радиолокационным координатором на неко-

торый объект (цель), в условиях однократного воздействия помехи типа лож-

ной цели. Целью моделирования является оценка точности системы.

Движение ЛА (в наиболее упрощенном виде) описывается линеаризо-

ванной системой дифференциальных уравнений [14]:













NMLL

рпрп

рп





 v

ла

yц





xц

. (3.33)

В уравнениях (3.33) использованы следующие обозначения переменных

состояния модели (рис. 34, 35):  - угол наклона траектории ЛА;  - угол

тангажа ЛА; 

- скорость

изменения угла тангажа ЛА;



- угол отклонения рулей

высоты ЛА; y

ла

- высота ЛА;

- высота цели; D - горизон-

тальная проекция дальности

"ЛА - цель".

Постоянные коэффици-

енты и параметры модели:

K,L,M,N - аэродинамиче-

ские коэффициенты; T

рп

постоянная времени и коэф-

фициент передачи рулевого

привода; v - скорость ЛА;

цx

цy

- горизонтальная и

вертикальная проекции скорости цели.

Сигнал управления ЛА формируется в виде =

ст

+

сн

, где 

ст

i



- сигнал стабилизации; i

- коэффициенты передачи автопилота; 

сн

(

) - сигнал самонаведения по методу погони; k

сн

- коэффициент са-

монаведения; 

- измеренный координатором угол наклона линии визиро-

вания цели.

Будем учитывать только детерминированные ошибки измерения, обу-

словленные наличием ложной цели.

При отсутствии ложной цели угол наклона линии визирования цели из-

меряется точно:

лац

цк





При наличии ложной цели, если в пределах диаграммы направленности

антенны координатора находятся обе цели (рис. 35,а), координатор на основе

суммарного сигнала измеряет угловое положение некоторого эффективного

центра отражения (ЭЦО):

лаэцо

эцок





 

лцц

лццлцэцо

yyyy





, y

лц

=const,

где s

и s

лц

- интенсивности радиолокационного сигнала соответственно

истинной и ложной целей.

После выхода за пределы диаграммы направленности одной из целей

(разрешения целей) координатор измеряет соответственно угловое положе-

ние истинной цели (рис. 35,б) 

=

или ложной цели (рис. 35,в):

лалц

лцк





Для построения модели процесса наведения с учетом действия рас-

сматриваемой помехи дополним уравнения (3.33) моделью смены дискрет-

ных состояний системы управления, выделив их по признаку различия сигна-

ла управления .

Множество состояний будет иметь вид X=(x

где x

- наведение на истинную цель: 

сн

=-k

сн

(

);

- наведение на ЭЦО: 

сн

=-k

сн

(

эцо

);

- наведение на ложную цель: 

сн

=-k

сн

(

лц

);

- отсутствие сигнала самонаведения (координатор работает в режиме

поиска цели): 

сн

=0.

Логика смены состояний описывается графом на рис. 36,а и для случая

однократного появления ложной цели иллюстрируется схемой на рис. 36,б.

На рис. 36,б отмечены моменты времени: t

- начала моделируемого

процесса наведения, t

- появления ложной цели, t

- разрешения целей, t

селекции ложной цели и переключения координатора в режим поиска цели,

- повторного захвата на сопровождение истинной цели, T - окончания про-

цесса наведения.

Таким образом, на интервале времени [t

;T] могут иметь место сле-

дующие последовательности состояний, или фаз движения системы:

: x

;

121

xxx 

;

321

xxx 

;

4321

xxxx 

;

14321

xxxxx 

Переход из x

в x

возможен только в момент времени t

и происходит с

вероятностью p

. Момент t

и соответствующий ему переход определяются

изменением текущих координат моделируемых объектов. Интервалы време-

ни 



t

-t

и 



t

-t

- непрерывные случайные величины, распределен-

ные по экспоненциальному закону.

Таким образом, построенная модель реализует схему ДРС (подразд. 2.2).

Отметим также, что система (3.33) после подстановки в правую часть четвер-

того уравнения выражений для  оказывается нестационарной.

Точность системы характеризуется величиной конечной ошибки :

=(T)=y

(T)-y

ла

(T), (3.34)

где T определяется из условия D(T)=0.

Все параметры модели, включая начальные условия, можно разбить на

четыре группы:

1. Детерминированные (фиксированные) параметры, характеризующие

элементы системы управления ЛА: K, L, M, N, T

рп

, k

рп

, v, i

, i

, k

сн

, s

, .

2. Связанный параметр, определяемый в процессе моделирования:





t

-t

3. Случайные параметры, характеристики распределения которых о п-

ределяются предшествующими процессами в системе: t

, начальные условия



, 

, 

, 

в0

, y

ла0

, D

, для уравнений (3.33), интервалы 



и 



. В эту

группу включим также дискретный параметр  с двумя возможными значе-

ниями (0 при отсутствии перехода в x

в момент t

и 1 при наличии такого

перехода).

4. Неопределенные параметры, характеризующие исследуемые условия

применения системы: y

ц0

, v

цx

, v

цy

, y

лц

, s

лц

, t

Таким образом, модель является стохастической, и для показателя каче-

ства (3.34) могут быть определены только средние характеристики.

Ограничимся оценкой математического ожидания конечной ошибки

системы.

В условиях случайности и неопределенности ряда параметров в общем

случае могут быть получены условные оценки m



, соответствующие кон-

кретным значениям неопределенных параметров и конкретным законам

распределения случайных параметров модели. Рассматриваемая модель

нестационарной ДРС допускает только имитационное моделирование.

Пусть для моделируемой ситуации заданы:

- фиксированные значения y

ц0

, v

цx

, v

цy

, y

лц

, s

лц

, t

;

- законы распределения случайных параметров, которые считаются ста-

тистически независимыми:

 



















max00min00

max00min0

min0max0

DDDD

DDD

илипри

при

 



















;00

при

приe

 















;00

при

приe

P(=1)=p

, P(=0)=1-p

;

- для остальных случайных параметров фиксированные значения.

Процедура статистического имитационного моделирования и оценки



для заданной ситуации будет выглядеть следующим образом.

Должны быть получены n реализаций процесса наведения, начиная с t

путем численного интегрирования на ЦВМ модели (3.33) с учетом смены

дискретных состояний системы (серия опытов объемом n).

Перед каждым i-м опытом с помощью стандартного генератора слу-

чайных чисел , распределенных по равномерному закону в интервале [0;1],

"разыгрываются" значения случайных параметров модели:

)

0min

+(D

0max

- D

0min

)

4i-3

   

1ln









 

1ln





















,124

124

при

и рассчитывается значение

 

xц





100

Укрупненная блок-схема получения i-й реализации процесса наведения

представлена на рис. 37. В процессе моделирования определяется (t

)

, как

момент, когда в первый раз окажется выполнено одно из условий: 

> или



> (рис. 35,б,в), - и определяется дальнейшее развитие процесса: переход

xx 

при 

> или переход

xx 

при 

>. После определения (t

)

раcсчитываются (t

)

=(t

)

+(

)

и (t

)

=(t

)

+(

)

. В качестве результата i-

го опыта регистрируется 

= y

) - y

ла

)

101

Оценка математического ожидания конечной ошибки системы опреде-

ляется как











Необходимое количество опытов n определяется с учетом требуемой

точности результата по (3.19) или на основе соответствующего итерационно-

го алгоритма.

Отметим в заключение две особенности реализации такой модели мето-

дом статистического моделирования:

- необходимое количество опытов (имитируемых реализаций процесса

наведения) не зависит от количества учитываемых случайных параметров

модели;

- если требуется оценить показатель качества системы для различных си-

туаций, отличающихся исходными данными (разные фиксированные значе-

ния параметров или законы распределения), рассмотренная процедура в

полном объеме, включая серию опытов, должна быть повторена для каждого

варианта исходных данных.

3.9. Моделирование случайных векторов

Принятое в рассмотренном выше примере допущение о статистической

независимости случайных параметров модели позволило обеспечить исполь-

зование для каждого из них самостоятельного генератора случайных чисел. В

общем случае приходится иметь дело с совокупностью статистически зави-

симых случайных параметров. Тогда возникает задача моделирования систе-

мы случайных величин, или случайного вектора.

Случайным вектором (системой случайных величин, многомерной

случайной величиной) называется упорядоченный набор случайных величин

X=(X

,…,X

). Составляющие случайного вектора (случайные координа-

ты) X

,…,X

являются одномерными случайными величинами.

Рассмотрим основные характеристики случайных векторов [20], исполь-

зуемые при моделировании. Ограничимся случаем, когда координаты явля-

ются непрерывными случайными величинами.

Функция распределения вероятностей случайного вектора X представ-

ляет собой n-мерную функцию совместного распределения его координат:

,…x

)=P(X

,…,X

). (3.35)

Аналогичный смысл имеет плотность распределения:

102

 

xxx

xxxF

xxxf







...

,...,,

. (3.36)

Для некоторой подсистемы m<n координат вектора X

,…,X

по

(3.35), (3.36) могут быть определены маргинальные ФРВ и ПРВ, например:

   

 ,...,,,,

212112

xxFxxF

;

 

 

















nnx

dxdxxxxf

xxF

xxf 

321

2112

,...,,

. (3.37)

При m=1 получим безусловные ФРВ и ПРВ случайной координаты.

Кроме того, рассматриваются условные ПРВ одной или нескольких слу-

чайных координат, связанные с (3.36), (3.37) следующим образом:

 

xxf

xxxf

,...,

,...,,

,...,

2...2



, (3.38)

 

nmnm

nmm

xxf

xxxf

xxxxf

,...,

,...,,

,...,,...,

1...1







. (3.39)

Особое практическое значение имеют вектор математических ожиданий

координат случайного вектора

xxxx

mmmm ,...,,



, где

 

 











nnxix

dxdxdxxxxfxm



2121

,...,,

, i=1,2,...n, (3.40)

и матрица корреляционных моментов связи, называемая чаще просто мат-

рицей моментов:

nnnn

ijx











22221

11211

. (3.41)

Диагональные элементы матрицы (3.41) представляют собой дисперсии

случайных координат:

 

 

 

 











nnxxixixii

dxdxdxxxxfmxmXMD

iii



2121

,...,,

i=1,2,...,n.

Остальные элементы - корреляционные моменты связи случайных коорди-

нат, или ковариации: