Елизаров А.М. Математические методы в библиотечной работе

Подождите немного. Документ загружается.

— значения случайной величины η распределены

по нормальному закону с постоянной дисперсией;.

— условное математическое ожидание Е(η|ξ = х)

в формуле (1) представимо в виде φ (x) = β

+ β

x, где

, β

- параметры функции регрессии.

Раздел регрессионного анализа, изучающий те виды

зависимостей Φ (X), которые линейны по оцениваемым

параметрам, называется линейным регрессионным

анализом. Отметим, что в общем случае эти зависи-

мости могут быть нелинейны по переменной х. На-

пример, зависимости φ

(х) = β

+ β

х+ β

/x, φ

(x) =

+ β

х + β

линейны относительно параметров β

, β

, хотя нелинейны относительно переменной x. Вид

зависимости φ(х) выбирают исходя из визуальной оценки

характера расположения точек в корреляционной

таблице, из опыта предыдущих исследований,

соображений профессионального характера, основан-

ных на знании физической сущности процесса.

Если рассматривается „нормальная регрессия", то

в этом случае оценки коэффициентов регрессии — не-

смещенные с минимальной дисперсией и нормальным

законом распределения. Отсюда следует, что при

"нормальной регрессии" имеется возможность оценить

значимость оценок коэффициентов регрессии, а также

построить доверительный интервал для коэффициента

регрессии и условного математического ожидания

E (η|ξ = x) = φ(x).

Рассмотрим простейший случай регрессионного

анализа — модель вида (1), когда зависимость φ(x)

линейна и по оцениваемым параметрам, и по перемен-

ной х, т.е. φ(x) = β

+ β

x. Обозначим через b

и b

оценки параметров β

и β

. Подставив в формулу (1)

вместо параметров их оценки, получим уравнение

регрессии у (x

) = b

+ b

, коэффициенты которого

будем находить из условия минимума суммы квадра-

тов отклонений измеренных значений у

от вычисленных

по уравнению регрессии у(х

Используя математическое условие минимума функ-

ции Q, получаем систему так называемых „нормаль-

ных уравнений" вида

151

(2)

Оценки, полученные по способу наименьших квадра-

тов, обладают минимальной дисперсией в классе

линейных оценок. Решая систему (2) относительно

, b

, находим оценки параметров β

и β

в виде

Если п велико, то для упрощения расчетов наблю-

даемые данные принято группировать. Формулы для

нахождения коэффициентов регрессии по сгруппиро-

ванным данным те же, что и для расчета по несгруп-

пированным данным, но суммы

заменяются на

соответствующих значений переменных.

Рассмотрим случай нелинейной регрессии, напри-

мер, модель φ (х) = β

+ Β

/X. ЛИНИЯ регрессии, соот-

ветствующая такой модели, изо-

бражена на рис. 59. Зависимость

случайных величин ξ и η нелинейна,

графическим изображением линии

регрессии является часть

гиперболы. Оценкой для φ (x) в дан-

ном случае является уравнение

регрессии у

= b

+ b

1х

, где b

, b

, как

и выше — оценки коэффициентов

регрессии β

и β

. Принцип

нахождения этих коэффициентов

152

, где n

, n

— частоты

Рис. 59

тот, же—метод наименьших квадратов, т. е. нужно

подобрать b

и b

так, чтобы принимала минимальное

значение сумма Q = (y

— b

)

. Система нор-

мальных уравнений для определения b

и b

в этом

случае припишет вид

4*. Ранговая корреляция. Приведенная выше фор-

мула подсчета коэффициента корреляции Пирсона

особенно удобна при исследовании количественных

признаков. В случае, когда генеральная совокупность

характеризуется качественными признаками и варианты

отыскиваются в процессе шкалирования, эта характе-

ристика становится менее надежной, т. к. добавляются

ошибки и погрешности процесса шкалирования. Для

порядковых шкал существуют более удобные коэф-

фициенты, так называемые коэффициенты ранговой

корреляции.

Остановимся подробнее на процессе упорядочения

выборки. Когда генеральная совокупность обладает

количественным признаком, это сделать несложно:

полученные варианты х

, х

, ... , х

являются числами,

которые нетрудно расставить в порядке возрастания

или убывания. Так мы поступали при составлении

вариационных рядов. Если же объекты генеральной

совокупности выделены качественными признаками,

то их упорядочение возможно лишь тогда, когда

имеется эмпирическое отношение порядка. Лишь

в этом случае эмпирическую модель (т. е. генераль-

ную совокупность с отношением порядка) можно

превратить в порядковую шкалу.

Пусть выборка имеет вид x

, x

, ... , x

, а после

упорядочения превращается в ранжированный ряд

(1)

, ... , x

(i)

, x

(k)

. Индекс i означает номер места

варианта в ранжированном ряду и называется рангом

данного варианта. Наименьший вариант (относительно

заданного отношения порядка) получает ранг r = 1,

наибольший — r = k. Совокупность всех рангов выборки

153

, ..., r

) называют ранговым вектором, который

также представляет собой случайную величину, зна-

чениями которой являются k! перестановок чисел l,

2, ..., k.

Ранжируя выборку, мы вместо исходной выборки

, х

, ..., х

получаем два объекта; ранжированный ряд

(1)

, ..., x

(k)

и вектор рангов (r

, ..., r

), состоящих с

исходной выборкой в однозначном соответствии.

Ясно, что по паре объектов х

(1)

,... , х

(k)

и (r

, ..., r

)

можно восстановить выборку x

, ..., x

. Это значит,

что ранжированный ряд и ранговый вектор содержат

ту же информацию, что и исходная выборка.

Можно показать (мы не будем этого делать), что

между значениями x

(i)

и рангами r

имеется стати-

стическая связь, которая при увеличении объема вы-

борки становится функциональной. Это дает возмож-

ность, упорядочив выборки, оценивать степень кор-

реляции между случайными величинами, используя

лишь ранговые векторы. Укажем эту процедуру.

Пусть заданы две случайные величины ξ и Η, рас-

пределенные некоторым образом. Осуществим выборку

значений ξ и η: x

,..., x

; у

, ..., y

, и ранжируем

сначала {х

}, а затем {у

}. Получим два ранговых

вектора r = (r

, ..., r

) и s = (s

, ..., s

), соответствую-

щих исходным выборкам. Эти случайные величины

представляют набор перестановок чисел 1, ..., k. Вы-

числим статистический коэффициент корреляции Пир-

сона для случайных величин r и s:

Так как

то этот коэффициент можно записать в виде

154

Этот коэффициент называют коэффициентом ранго-

вой корреляции Спирмена в честь психолога Спир-

мена, который ввел его для определения связи между

признаками, не носящими количественный характер.

Если упорядочения по этим признакам статистически

связаны, коэффициент ρ

*>0 в том случае, когда

меньшая выраженность одного признака соответствует

меньшему проявлению другого. В противном случае

*< 0. Например, если изучается читаемость опреде-

ленных видов литературы в зависимости от образо-

вания читателей, можно составить два списка, в кото-

рых фамилии пойдут в порядке убывания „серьезности"

читаемой литературы. Возьмем за основу нумерацию

первого списка. Номера второго списка окажутся

при этом рангами, которые читатели получают при

упорядочении по второму признаку. Если между при-

знаками никакой зависимости нет, то не будет и связи

между номерами в обоих списках — вторая нумерация

может быть произвольной.

Имеется еще один подход к определению степени

корреляции между двумя ранговыми векторами, осно-

ванный на нахождении величины „беспорядка". Пусть

значения рангов r располагаются в натуральном по-

рядке 1, 2, ... k, а соответствующие ранги s, образую-

щие перестановку этих чисел, равны s

, ..., s

. В каче-

стве меры беспорядка рангового вектора выберем

число перестановок, которое необходимо осущеетвить,

чтобы расставить числа s

, ..., s

по порядку. Напри-

мер, в ранговом векторе (3, 1, 4, 2) нужно проделать

три перестановки: 3—1, 4—2, 3—2. Число таких пере-

становок l может меняться от 0 до k(k —1)/2. Тогда

коэффициентом ранговой корреляции Кендалла явля-

ется мера беспорядка τ* = 4l/[k(k — 1)]— 1, которая

лежит в пределах от —1 до +1. Для определения

числа l можно поступить так: записать выборочные

значения первой компоненты (1, s

), (2, s

),..., (k, s

)

и подсчитать для каждого i количество l

величин s,

стоящих справа от s

и больших s

. Тогда l = l

+ ... +

155

или, компактнее, как

§ 15. Элементы теории массового обслуживания

1. Предмет изучения теории. Во всех областях

человеческой деятельности мы сталкиваемся с про-

цессами, имеющими характер массового обслуживания.

Наиболее простым и наглядным примером является

бытовое обслуживание во всех его видах. Во всех

случаях значение имеет степень удовлетворения по-

требности в обслуживании, или качество обслужива-

ния. Но не менее важными являются вопросы органи-

зации обслуживания. Например, нас вряд ли удовле-

творит разговор по телефону при самой лучшей слы-

шимости, если телефонная станция соединит нас

с нужным абонентом только через месяц после подачи

заказа. Так возникает необходимость изучения орга-

низационной стороны процесса обслуживания. Она

может характеризоваться самыми различными показа-

телями: временем ожидания начала обслуживания,

длиной очереди, возможностью получения отказа

(ведь не всегда наша заявка может быть удовлетво-

рена; например, нужной нам книги нет в фондах

библиотеки или она уже выдана).

Все эти факторы зависят от самых различных

условий, учесть которые не всегда представляется

возможным. Так, например, длина очереди для полу-

чения книг на абонементе зависит от опыта библио-

текаря, содержания тех операций, которые он должен

выполнять, числа выдаваемых каждому читателю книг

и т. д. Число этих факторов в тех или иных обстоя-

тельствах может быть весьма значительным, причем

не все они равнозначны. Основными факторами в опи-

санном выше примере являются число читателей,

пришедших за книгами, скорость работы библиоте-

каря и, наконец, организация работы абонемента (число

библиотекарей, отделов абонемента и т. д.).

Предположим, что на нас возложена задача улуч-

шить качество обслуживания читателей на абонементе.

Число пришедших читателей от нас не зависит, по-

этому повлиять на этот фактор мы не можем. Скорость

работы библиотекаря зависит от его натренирован-

ности и может быть увеличена только до определен-

ного предела, не превосходящего психофизиологиче-

ских возможностей человека. Поэтому остается только

один путь — изменить организацию обслуживания. Как

156

это сделать? Можно сделать так, чтобы каждый биб-

лиотекарь выдавал книги только одной категории

читателей (например, студентам, научным сотрудникам

и т. д.) или же все библиотекари выдавали любую

литературу любым читателям. В последнем случае,

по крайней мере, будет гарантия, что любой читатель,

не будет простаивать в очереди больше других. Такие

изменения в работе абонемента организовать довольно

легко. Но какое влияние они окажут на качество

обслуживания? В нашем примере можно просто взять

и попробовать, а затем оценить полученные резуль-

таты и на этом основании выбрать лучшую органи-

зацию. Но не всегда метод „проб" может быть исполь-

зован: иногда такая „проба" может быть сопряжена

с огромными материальными затратами или с опас-

ностью для здоровья людей. Но нельзя ли научиться,

анализировать результаты некоторых экспериментов,

не производя их? Оказывается, можно. Эту возмож-

ность в значительной степени обеспечивает теория

массового обслуживания. На первичное развитие этой

теории особое влияние оказали работы датского уче-

ного А. К. Эрланга (1878—1929)—многолетнего сотруд-

ника Копенгагенской телефонной компании. Основные

исследования в этой области относятся к 1908—1922 гг.

С того времени интерес к проблемам, выдвинутым

Эрлангом, необычно возрос, т. к. они возникают в са-

мых разнообразных исследованиях.

2. Основные понятия. В процессах обслуживания

часто возникают ситуации, когда имеется необходи-

мость в обслуживании большого числа однородных,

требований. Под термином ,,требование" понимается

запрос (заявка) на удовлетворение потребности, а под,

обслуживанием—удовлетворение потребности. Ясно,

что удовлетворение потребности может происходить

как в интересах тсго, кто подал заявку, так и в инте-

ресах того, кто удовлетворяет потребность. Такси

подход обогащает понятие требования и позволяет

расширить область применения теории. Нужно заме-

тить, что термин „требование" иногда отождествляется с

его материальным носителем, т. е. обозначает и

заявку, и лицо (предмет), нуждающееся в обслужива-

нии. Средства, осуществляющие обслуживание, назовем

обслуживающими устройствами, аппаратами или

каналами обслуживания. На практике, как правило,

157

приходится иметь дело не с одним каналом, а с груп-

ной, состоящей из конечного их числа. Совокупность

однородных обслуживающих каналов называется си-

стемой массового обслуживания. Примерами таких

систем являются телефонные станции, мастерские и,

конечно же, библиотеки. Так, библиотеку можно

рассматривать как обслуживающую систему, состоя-

щую из конечного числа однородных обслуживающих

„аппаратов"— библиотекарей. Естественно, что каж-

дому из них присущи свои индивидуальные качества,

но любой способен выполнять операции, которые от

него требуются. Поэтому условие однородности не

предусматривает, что все обслуживающие устройства

обладают одинаковыми характеристиками. Здесь суще-

ственную роль играет то, что каждый из них спосо-

бен удовлетворить поступившее требование.

Что же является общим во всех процессах, связанных

с обслуживанием? Во-первых, имеется группа

обслуживающих единиц (аппаратов, устройств), кото-

рые могут быть объединены в обслуживающую систему.

Во-вторых, любой такой процесс протекает по одному

и тому же принципу: требования поступают в обслу-

живающую систему, обрабатываются обслуживающи-

ми каналами и покидают ее. И, наконец, общей целью

изучения всех процессов массового обслуживания

является задача обеспечения успешной работы си-

стемы. Естественно, это понятие в каждом конкретном

случае будет иметь свой смысл, однако можно зара-

нее утверждать, что для обеспечения успешной работы

недостаточно использовать только одни качественные

методы. Больше того, решение задачи наилучшей

организации функционирования обслуживающей си-

стемы одними качественными методами вообще невоз-

можно и неизбежно требует привлечения количествен-

ных методов. При этом могут быть использованы

такие характеристики, как стоимость обслуживания,

длина очереди, время ожидания начала обслуживания.

Теперь мы можем сформулировать, что же изучает

теория массового обслуживания. Предметом ее явля-

ется количественная сторона процессов, связанных

с массовым обслуживанием. Целью теории является раз-

работка математических методов для отыскания основ-

ных характеристик процессов массового обслуживания,

для оценки качества функционирования системы.

158

Рис. 60

Итак, необходимо выявить типичные задачи, абстра-

гироваться от конкретного процесса обслуживания

и разработать общие методы решения. Для этого

должна быть рассмотрена некоторая абстрактная си-

стема обслуживания, отвлеченный поток требований,

поступающий в эту систему, и обслуживание этих

требований, не связанное ни с какими конкретными

его формами. Все задачи массового обслуживания.

имеют вполне определенную структуру, схематически

изображенную на рис. 60. Последовательность событий

назовем потоком. Поток требований, нуждающихся

в обслуживании и поступающих в систему, называется

входящим, а покидающих систему — выходящим. При

этом требования могут покидать систему, будучи

необслуженными.

3. Система массового обслуживания. На практике

могут встречаться самые разнообразные виды органи-

зации обслуживающих систем, наиболее типичными

из которых являются следующие:

— все обслуживающие каналы системы равно-

правны;

— каналы обслуживания неравноправны.

В первом случае вновь поступившее требование по-

падает в один из свободных аппаратов, причем предпоч-

тение при этом не отдается ни одному из них. Такая ор-

ганизация системы называется неупорядоченной (при-

мером служит обслуживание на абонементе, когда чита-

тель подходит к любому из свободных библиотекарей).

Во втором случае аппараты, как правило, пронумеро-

ваны и новое требование обслуживается только первым

аппаратом, если он свободен, или вторым, если первый

занят, и т. д. Таким образом, требование обслу-

159

живается свободным аппаратом с наименьшим номером.

А. Я. Хинчин назвал такие системы упорядоченными.

Системы массового обслуживания классифициру-

ются по ряду признаков. Например, по числу каналов

они делятся на одноканальные и многоканальные.

По принципу обслуживания заявок—на системы мас-

сового обслуживания с „отказами" и с „ожиданием".

Функционирование системы характеризуется не

только ее организацией, но и качеством работы каж-

дого обслуживающего аппарата. Работа каждого

устройства характеризуется временем обслуживания

одного требования.

Выходящий поток описывается различно, в зави-

симости от организации взаимодействия входящего

потока с системой. Если, например, заявка, найдя

все аппараты занятыми, становится в очередь и ждет,

пока какой-нибудь один освободится, то выходящий

поток будет состоять только из обслуженных заявок.

Если же заявка покидает систему, все аппараты кото-

рой в данный момент заняты, то выходящий поток

будет содержать и необслуженные требования. Эти

Два случая не исчерпывают всех возможностей. Воз-

можны ситуации, когда требование может находиться

в системе не больше определенного времени, после

чего покидает систему, независимо от того, начато

обслуживание или нет.

Системы массового обслуживания могут разли-

чаться в зависимости от порядка принятия требований

на обслуживание в том случае, когда образуется оче-

редь. При этом возможны случаи:

— требования обслуживаются в порядке очереди,

освободившийся канал принимает на обслуживание

требование, постудившее ранее других;

— освободившийся канал принимает на обслужи-

вание требование, которое в кратчайшее время должно

покинуть систему;

— требования поступают на обслуживание в слу-

чайном порядке в соответствии с заданными вероят-

ностями.

Всякая задача массового обслуживания считается

решенной, если удается найти количественные харак-

теристики функционирования системы и выразить их

через величины, характеризующие входящий поток

и саму систему. Следующая задача — найти такие

наборы указанных параметров, при которых система

160