Елисеев В.В. Механика деформируемого твердого тела

Подождите немного. Документ загружается.

4.2 Общие теоремы статики

Для доказательства достаточно положить p = n·τ и использовать теорему

о дивергенции с законом баланса сил.

При отсутствии нагрузки

Π dV = 0 ⇒ Π = 0 ⇒ ε = 0 ⇒ τ = 0, u = u

+ ω

× r.

(4.2.2)

Здесь мы опираемся на положительность Π.

Единственность решения легко доказывается от противного. Допу-

стив наличие двух решений u

1,2

, получим для разностей u

= u

− u

= ε

−ε

, . . . однородную постановку — с нулевыми нагрузками. Из (4.2.2)

следует ε

= 0, τ

= 0. При закреплённой границе будет u

= 0.

Эта, доказанная Кирхгофом, теорема не распространяется на случай

неодносвязного тела — в котором существуют трубчатые полости, замкну-

тые или выходящие на поверхность. В таком теле возможно напряжён-

ное состояние без внешних силовых воздействий, если «создана дислока-

ция» — об этом ниже.

В нелинейной статике единственность теряется: прямой стержень при

большой сжимающей продольной силе может иметь несколько равновес-

ных форм.

Теорема взаимности работ. Работа сил первого состояния на переме-

щениях второго A

равна A

≡

·u

dV +

·u

dO = A

. (4.2.3)

Преобразуя поверхностный интеграл, слева получим

··ε

dV . Это рав-

но правой части благодаря закону Гука.

Теорема взаимности очень эффективна, причём не только в статике — в

динамике объёмная сила f −ρ

Принцип виртуальной работы. Уже отмечалось, что это едва ли не

самая общая форма постановки задачи статики:

(f ·δu − δΠ) dV +

p · δu dO = 0. (4.2.4)

Действительно,

δΠ =

∂Π

∂ε

··δε = τ

··δε = ∇·



τ ·δu



− ∇·τ ·δu; (4.2.5)

Классическая линейная упругость

после применения теоремы о дивергенции получим уравнение сил в объё-

ме и естественное граничное условие p = n ·τ .

4.3 Уравнения в перемещениях

Из полной системы (4.1.1) следует

∇·



C··∇u



+ f = ρ

u (4.3.1)

(симметрирование ∇u излишне из-за тройной симметрии C

ijkl

= C

jikl

ijlk

= C

klij

Для однородного тела из изотропного материала в статике

(λ + µ) ∇∇·u + µ∆u + f = 0 ⇒

1 − 2ν

∇θ + ∆u +

f = 0. (4.3.2)

Рассмотрим последнее уравнение. Частное решение неоднородного урав-

нения легко находится при потенциальных нагрузках:

f = −∇W, u = ∇Φ, ∆Φ =

1 − 2ν

2µ (1 − ν)

W. (4.3.3)

Общее решение однородного уравнения Папкович и Нейбер нашли в сле-

дующем виде

u = 4 (1 − ν) B − ∇(r ·B + B

) , ∆B = 0, ∆B

= 0. (4.3.4)

В компонентах здесь четыре гармонических функции, обычно добавляют

какие-либо соотношения между ними.

Поясним вывод (4.3.4). Сначала полагаем

u = B + ∇χ ⇒ θ = ∇·B + ∆ χ, ∇[∇·B + 2 (1 − ν) ∆χ] = 0.

Затем смотрим

χ = Cr · B,

∆χ = C (∆r ·B + 2e

·∂

B + r ·∆B) = 2C∇·B, C = −1



4(1 − ν),

и далее приходим к (4.3.4).

В качестве примера рассмотрим решения со сферической симметрией

B = r, B

= 0 ⇒ u = r;

B = 0, B

⇒ u =

r. (4.3.5)

4.4 Определение перемещений по деформациям. Уравнения совместности

Преимущество (4.3.4) — в хорошей изученности уравнения Лапласа, в до-

ступности большого набора гармонических функций.

Однако изощрённые аналитические методы решения уравнений в пере-

мещениях теряют актуальность, уступая численным процедурам. Для диф-

ференциального вариационного принципа (4.2.4) уравнениями Эйлера явля-

ются (4.3.2). Огромную популярность приобрел метод Ритца с финитными

координатными функциями в форме МКЭ — метода конечных элементов.

4.4 Определение перемещений по

деформациям. Уравнения совместности

Для вектора малого поворота имеем

ω =

∇ × u, ∇ω

= ∇ × ε, ω = ω

∇ × ε · dr. (4.4.1)

Интеграл не должен зависеть от пути, поэтому

inc ε ≡ ∇ ×



∇ × ε



= 0 — (4.4.2)

это очень важное уравнение совместности деформаций. Оно является не-

обходимым следствием определения ε чере з u:

∇ × ε =

∇ × (∇u)

= ∇ω

⇒ (4.4.2).

Зная ε и ω, можно найти перемещения:

du = ε · dr + ω × dr,

ω × d (r − r

) = ω × (r − r

)



−

( dω × (r − r

)) = ω

× (r

− r

) +

(r − r

) ×



∇ × ε



· dr,

= u

+ ω

× (r

− r

) +



ε + (r − r

) ×



∇ × ε



· dr — (4.4.3)

формулы Чезаро.

Классическая линейная упругость

Интеграл в (4.4.3) не должен зависеть от пути между точками 0 и 1.

Применив теорему Стокса (в равенстве

= 0), придём после некоторых

преобразований опять к (4.4.2).

Записав (4.4.2) в компонентах, обнаружим симметрию «тензора несов-

местности» inc ε. С помощью равенства (1.1.5) гл. 1 можно преобразовать

(4.4.2) к виду

∆ε + ∇∇θ = 2



∇∇·ε



. (4.4.4)

Немного странно, что шесть уравнений для шести деформаций не опре-

деляют их и являются чисто геометрическим законом. Распространено по-

яснение: в начальном состоянии тело состоит из малых кубиков, деформи-

рующихся в ко соугольные параллелепипеды; чтобы не было пустот, дефор-

мации кубиков должны быть согласованы. Но математические выкладки,

производимые со смыслом, более убедительны.

Установив необходимость уравнений совместно сти, рассмотрим вопрос

о достаточности. Оказывается, они обеспечивают однозначность переме-

щений (и поворотов) в односвязном теле. От сутствие сквозных или за-

мкнутых трубчатых полостей позволяет на замкнутый контур натянуть по-

верхность без выхода из тела, применить теорему Стокса и убедиться в

однозначности.

Иная ситуация в неодносвязном теле. Могут быть не равны нулю инте-

гралы вокруг трубчатой полости

∇ × ε · dr = a,



ε + r ×



∇ × ε



· dr = b. (4.4.5)

Тогда из (4.4.1) и (4.4.3) следует

dω = a,

du = b + a × r — (4.4.6)

формулы Вейнгартена. Решения с отличными от нуля a и b называют-

ся дислокационными. В них теряется однозначность перемещений и пово-

ротов (аналогия с ветвлением функций комплексного переменного). Для

практического создания дислокации можно сделать разрез, сдвинуть его

берега в соответствии с (4.4.6) и затем восстановить сплошность. Получим

напряжённое состояние без внешних силовых воздействий, причём место

разреза обнаружить невозможно. Таковы монтажные напряжения, возни-

кающие в конструкции при сборке из частей.

4.5 Сосредоточенная сила в неограниченной среде

Уравнения совместности можно переписать в напряжениях, если выра-

зить деформации по закону Гука (4.1.3). В (4.4.4) имеем

∇·ε = −

2µ



f +

1 + ν

∇σ



, ∇∇θ =

1 − 2ν

2µ(1 + ν)

∇∇σ,

∆τ −

1 + ν

∆σE +

1 − 2ν

1 + ν

∇∇σ = −2∇f

−

2ν

1 + ν

∇∇σ ⇒

⇒ ∆σ = −

1 + ν

1 − ν

∇·f,

∆τ +

1 + ν

∇∇σ + 2∇f

1 − ν

∇·fE = 0. (4.4.7)

Это — уравнения Бельтрами — Мичелла.

В компонентах для шести напряжений имеем девять (с балансом сил)

уравнений. Но система не переопределена. В некотором смысле баланс сил

следует из (4.4.7); применив операцию (∇·), получим

∆



∇·τ + f



= 0. (4.4.8)

Если уравнение баланса выполнено на границе, то оно будет выполнено и

в объёме (единственность решения задачи Дирихле).

Уравнения в напряжениях при внешней сложности часто позволяют

быстрее найти решение, чем уравнения в перемещениях.

4.5 Сосредоточенная сила в неограниченной

среде

В точке r = 0 приложена сила F . При r → 0 напряжения должны иметь

особенность O



−2



, что следует из условия равновесия

n ·τ dO + F = 0 (4.5.1)

сферы радиусом r с нормалью n = r/r. По закону Гука такого же порядка

будут и деформации, а тогда перемещения u = O



−1



Найденное Кельвиным и Сомильяной решение имеет вид

u(r) = K(r) ·F , K =

16πµ(1 − ν)r



(3 − 4ν) E +



. (4.5.2)

Классическая линейная упругость

Для вывода этой формулы используем решение Папковича — Нейбера:

B =

F , B

= 0 ⇒ u =



(3 − 4ν)F +

rr ·F



∇u =



E r ·F + F r − (3 − 4ν) rF −

rrr ·F



τ =

2µA



(1 − 2ν)



E r ·F − rF − F r



−

rrr ·F



. (4.5.3)

Осталось определить константу A из условия (4.5.1). При интегрировании

выносится множитель r

−3

= const и применяется теорема о дивергенции.

Зная тензор K(r), можно строить решение для любой нагрузки

u(r) =

K (r − r

)·f(r

) dV

. (4.5.4)

Рассмотрим систему сосредоточенных сил F

в точках r

→ 0. Имеем

u(r) =

K (r − r

)·F

= K(r)·





−





··∇K(r) + . . . (4.5.5)

Каждое следующее слагаемое убывает быстрее предыдущих. Первое сла-

гаемое определяется главным вектором

. Второе — «нагрузочным

тензором»

; симметричная часть

не менее важна, чем

связанная с главным моментом антисимметричная. Поэтому несправедли-

во распространённое утверждение, что «вдали от места нагрузки важны

лишь главные вектор и момент». Принцип Сен-Венана в такой формули-

ровке справедлив для стержней.

Вне области нагрузки (4.5.4) удовлетворяет однородным уравнениям в

перемещениях. Рассматривая различные локальные нагрузки, можно полу-

чать решения большой общности — на этом основаны методы потенциала

в теории упругости.

4.6 Вариационные принципы

Наиболее важным является принцип минимума потенциальной энергии

системы: функционал

Э(u) =







− f ·u



dV −

p · u dO



= u



(4.6.1)

4.6 Вариационные принципы

принимает наименьшее значение на истинных перемещениях. Уравнени-

ями Эйлера оказываются (4.3.1), естественными граничными условиями —

n ·τ



= p. Вариационное уравнение δ Э = 0 выражает принцип вирту-

альной работы (4.2.4). Вид второй вариации

Э =

δτ ··δε dV = 2



δε



dV > 0 (4.6.2)

означает минимум.

Принцип можно обосновать и без варьирования:

Э(u

) − Э(u) =

(Π

− Π − f ·(u

− u)) dV −

n ·τ ·(u

− u) dO =



− τ



··



− ε



dV > 0. (4.6.3)

Преобразуя поверхностный интеграл, учли равенства n ·τ



= p,

− u)|

= 0.

Отметим, что по теореме Клапейрона (4.2.1)

min

= −





dV. (

4.6.4)

В принципе минимума дополнительной работы рассматривается функ-

ционал над напряжениями









dV −

n ·τ ·u



∇·τ = −f , n·τ



= p



, (4.6.5)

где Π



τ ··ε − Π



— дополнительная энергия



∂Π



∂τ = ε



и подчёрк-

нуты ограничения на τ . На истинных напряжениях функционал минима-

лен, уравнениями Эйлера служат уравнения совместности в напряжениях.

Без варьирования имеем

− A =



− Π



dV −

n ·



− τ



·u dO =



− τ



··



− ε



dV > 0 (4.6.6)

Классическая линейная упругость



∇·



− τ



= 0



Но представляет интерес и процедура с варьированием. Характер огра-

ничений в объёме позволяет вве сти векторное поле множителей Лагранжа

λ(r):

∂Π

∂τ

··δτ + ∇·δτ ·λ

dV −

n ·δτ ·u

dO =

∂Π

∂τ

− ∇λ

··δτ +

n ·δτ ·(λ − u

) dO. (4.6.7)

Приравняв нулю, получим



= u

∂Π

∂τ

= ∇λ

⇒ inc

∂Π

∂τ

= 0. (4.6.8)

Множители Лагранжа оказались перемещениями.

Функционал принципа Рейсснера имеет вид



u, τ





τ ··∇u

− Π





− f ·u



dV −

−

n ·τ ·(u − u

) dO −

p · u dO. (4.6.9)

Перемещения и напряжения свободны и независимы в объёме и на поверх-

ности. Вариация такова

δR =

∇u

−

∂Π

∂τ

··δτ −



∇·τ + f



·δu

dV −

−

n ·δτ

·(u − u

) dO +



n ·τ − p



·δu dO. (4.6.10)

Вариационное уравнение δR = 0 эквивалентно системе уравнений и гра-

ничных условий.

Однако, функционал R не имеет экстремума — перед нами принцип

стационарности. Использование принципа для построения приближённых

4.6 Вариационные принципы

решений т ребует осторожности — можно получить большую погрешность

при достаточно представительной, казалось бы, аппроксимации.

Смешанным принципом стационарности является и следующий с функ-

ционалом Васидзу:

δW = 0, W



u, ε, τ





τ ··



∇u

− ε



+ Π





− f ·u



dV −

−

n ·τ ·(u − u

) dO −

p · u dO. (4.6.11)

Уравнениями Эйлера оказываются (4.1.1).

Между принципами нет тождества, они оказываются полезными с раз-

ных сторон. Иллюстрацией этому может служить вопрос об эффективных

модулях в механике композитов. Рассматриваются две замечательные за-

дачи для представительного объёма с равнове сием без объёмных сил; в

первой u|

= ε

·r, во второй n ·τ



= n ·τ

, где ε

и τ

— заданные

постоянные тензоры. В однородном материале в обоих случаях имели бы

однородные поля ε и τ . Можно доказать, что

1 : ε

= hεi ≡

ε dV, 2 : τ

= hτ i. (4.6.12)

Эффективные модули находятся из равенства энергий:

1 : hτ i··ε

≡ ε

··

∗

··ε

= hτ ··εi,

2 : τ

··hεi = τ

··

∗

··τ

= hτ ··εi (4.6.13)

(в законе Гука ε =

∗

··τ ).

Используя в задаче 1 функционал Э(u) с аппроксимацией u

= ε

·r,

получим

··

∗

··ε

6 ε

··h

Ci··ε

⇒

∗

6 h

Ci. (4.6.14)

Принцип же с A





в задаче 2 при аппроксимации τ

= τ

даёт

··

∗

··τ

6 τ

··h

Si··τ

⇒

∗

6 h

Si. (4.6.15)

Оценка податливости

S сверху означает оценку жёсткости снизу — имеем

двустороннюю оценку

∗

(вилка Хилла).

Классическая линейная упругость

4.7 Антиплоская де формация

Это самый простой из разделов теории упругости с нетривиальными эф-

фектами. В декартовых осях x

, x

(α = 1, 2) антиплоская деформация

означает следующее

u = u(x

) k ⇒ ε = ∇u k

⇒ T = 2τ k

, τ = µ∇u. (4.7.1)

Вектор перемещения параллелен оси x

(с ортом k), а его единственная

компонента u зависит лишь от поперечных координат x

. Тензоры дефор-

маций ε и напряжений T имеют лишь по две компоненты и связаны под-

чёркнутым равенством.

Векторы объёмных и поверхностных сил имеют по одной компоненте,

а силовые соотношения таковы

∇·τ + f = 0, n ·τ = p. (4.7.2)

Рассмотрим равновесие при f = 0. Однородное уравнение ( 4.7.2) позво-

ляет ввести функцию напряжений:

τ = µ∇ϕ × k (µ = const) . (4.7.3)

Из (4.7.1) и (4.7.3) следует, что u и ϕ — сопряжённые гармонические функ-

ции, связанные условиями Коши — Римана (1.4.5 гл. 1), а их комплексная

комбинация регулярна:

∇u = ∇ϕ × k, u + iϕ = g(z) , z = x

+ ix

. (4.7.4)

Перемещения и напряжения определяются функцией g:

u = Re g, τ

− iτ

= µ g

(z) . (4.7.5)

Любая регулярная g(z) является решением некоторой антиплоской за-

дачи. Рассмотрим функцию

g(z) =

−iτ

− l

; (4.7.6)

она имеет две точки ветвления z = ±l и регулярна в плоскости с прямым

разрезом между этими точками (рис. 7).