Елисеев В.В. Механика деформируемого твердого тела

Подождите немного. Документ загружается.

4.12 Моментная среда Коссера

Этот вопрос несправедливо не считается классическим — пока. С большой

для своего времени полнотой он был изложен в книге братьев Косс ера в

1909 г. Они рассматривали среду, частицами которой являются элементар-

ные твёрдые тела. Движение линейной модели определяется двумя векто-

рами: перемещения u(r, t) и поворота θ(r, t). Соответственно, силовыми

факторами служат силы и моменты: f и m — на единицу объёма и p и

◦

— на единицу площади внешней поверхности.

Уравнения выводятся из принципа виртуальной работы в следующей

очевидной формулировке

(f ·δu + m ·δθ − δΠ) dV +



p ·δu + m

◦

·δθ



dO = 0. (4.12.1)

Потенциальная энергия не меняется при «жёстких» смещениях: δΠ = 0

при

δu = const +δθ × r, δθ = const ⇒ δγ = 0, δκ = 0,

γ ≡ ∇u + E × θ, κ ≡ ∇θ. (4.12.2)

Нетрудно догадаться, что γ и κ — это тензоры деформации (несиммет-

ричные). Отбрасывая δΠ в (4.12.1), получаем задачу с ограничениями (4.12.2),

решаемую с множителями Лагранжа:



f ·δu + m ·δθ − τ ··δγ

− µ··δκ



dV +



p ·δu + m

◦

·δθ



dO = 0. (4.12.3)

Используя тождества

τ ··γ

= ∇·



τ ·u



− ∇·τ

·u − τ

·θ,

µ··κ

= ∇·



µ ·θ



− ∇·µ·θ (4.12.4)

и теорему о дивергенции, получим уравнения и естественные граничные

условия

∇·τ + f = 0, ∇·µ + τ

+ m = 0, n ·τ = p, n ·µ = m

◦

. (4.12.5)

101

Классическая линейная упругость

Множители Лагранжа оказались напряжениями — силовыми и моментны-

ми.

Далее легко показать, что подчёркнутое в (4.12.3) выражение равно

(−δΠ). Следовательно, соотношения упругости таковы

τ = ∂Π



∂γ, µ = ∂Π



∂κ. (4.12.6)

Осталось задать энергию как квадратичную форму своих аргументов.

Но в общем случае анизотропии она содержит чудовищное число кон-

стант — 171. Можно упростить картину, выделяя симметричные и анти-

симметричные части:

γ = ε −

× E



ε = γ

= ∇u



, κ = κ

−

× E,

δΠ = τ

··δε +

·δγ

+ µ

··δκ

·δκ

⇒

⇒ τ

∂Π

∂ε

, τ

= 2

∂Π

∂γ

, µ

∂Π

∂κ

, µ

= 2

∂Π

∂κ

. (4.12.7)

Для изотропного материала используется выражение с шестью константа-

ми

2Π = a

+ a

··κ

+ a

+ b

ε··ε + b

(4.12.8)



κ ≡ tr κ, ε ≡ tr ε



Далее важно отметить, что константы имеют разную размерность. На-

пример, a



≡ h

— некая длина в квадрате. Малая величина h является,

по-видимому, характерным размером частиц среды. . . Присутствие малого

параметра в уравнениях среды Коссера «включает» процесс асимптотиче-

ского анализа, на первом шаге которого остаётся обычная безмоментная

среда. Это упрощённая картина, надо добавить возникновение погранич-

ных слоев и процедуру сращивания.

Распространена моментная «модель со стеснённым вращением», в ко-

торой принимается внутренняя связь

= 0 ⇔ θ =

∇ × u. (4.12.9)

В этом случае соотношение упругости для τ

не может быть написано.

Исключая θ, придём к уравнению в перемещениях более высокого поряд-

ка, чем в безмоментной модели (с малым параметром при старших произ-

водных).

Изложенное важно для понимания механики деформируемого тела;

практическое значение теории Коссера не столь велико.

102

4.12 Моментная среда Коссера

Библиография

Будучи важной частью теоретической физики, классическая теория упруго-

сти представлена в многотомном курсе Л. Д. Ландау и Е. М. Лившица [49].

Значительное место занимает теория упругости в книге Ю. Н. Работнова

[81].

Фундаментальный курс А. И. Лурье [54] всегда был примером для авто-

ра [32]. Мировую известность имеют книги С. П. Тимошенко [97],

Н. И. Мусхелишвили [66], В. В. Новожилова [70]. Математическая сторона

предмета выделяется в книгах [78, 89].

Дислокационные решения и собственные напряжения рассматриваются

в монографиях [27, 93]. Механика упругих композитов представлена в [42,

114].

О вариационных принципах можно прочесть у К. Васидзу [14], а также

в книгах [54, 81, 5, 32].

Плоская задача занимает значительную часть монографии Н. Ф. Моро-

зова [64] и уже отмеченных курсов [54, 66].

Контактным задачам посвящены книги [18, 3], но эта область представ-

лена и в [54, 81].

Температурные деформации и напряжения рассматриваются у Б. Боли

и Дж. Уэйнера [11], В. Новацкого [69], Э. Мелана и Г. Паркуса [60].

О моментной теории упругости можно получить представление по кни-

гам [69, 64, 32].

103

Глава 5

Тонкие тела

5.1 Особенности механики тонких тел

Стержни, пластины и оболочки распространены и в природе, и в человече-

ской практике. Представляется ошибочным считать их обычными трёхмер-

ными телами. Малость относительной толщины качественно меняет зада-

чу. Происходит асимптотическо е расщепление задачи на «вдоль» и «попе-

рек». Возможность упрощения задачи для тонких тел была ясна классикам,

а сегодня используется в курсах сопротивления материалов.

Рис. 15

Особенности тонких тел можно рассмот-

реть на примере статического изгиба балки при

плоском напряжённом состоянии. В декартовой

плоскости xy балка является прямоугольником

0 6 x 6 l, |y| 6 h/2, h  l. Действуют «объ-

ёмные» силы f , а граница свободна и не нагру-

жена (рис. 15). В задаче изгиба чётны по y u

и f

, а прочие перемещения, напряжения и

нагрузки нечётны. Вводятся погонная нагрузка,

перерезывающая сила и изгибающий момент как интегралы по толщине

q =

dy, Q =

dy, M = −

y dy. (5.1.1)

Из условий равновесия любой части балки между сечениями x = const

следует ((. . .)

= d/ dx)

+ q = 0, M

+ Q = −m ≡

y dy. (5.1.2)

Далее возможны различные (но не равноценные) подходы.

104

5.1 Особенности механики тонких тел

Метод гипотез наиболее распространён — и уязвим. Принимаются

«кинематические» гипотезы о распределении перемещений по толщине и

«статические» гипотезы о порядках напряжений:

≈ v(x), u

≈ −v

y, |σ

|  |τ

|  |σ

|. (5.1.3)

Затем используются некоторые (!) из уравнений теории упругости:

= ∂

≈ −v

y, ε

(σ

− νσ

) ≈

⇒

⇒ σ

≈ −Ev

y, M ≈ av

, a ≡

, Q ≈ M

≈ −av

000

. (5.1.4)

Пришли к уравнению Бернулли — Эйлера, но строгость вывода оставляет

желать лучшего.

Первое явное противоречие — сдвиговая деформация равна нулю, а с

ней и перерезывающая сила:

2ε

= ∂

+ ∂

= 0 ⇒ τ

= 0 ⇒ Q = 0 (?),

но тогда равновесие с нагрузкой q невозможно. Второе противоречие —

между кинематическими и статическими гипотезами:

= ∂

= 0 =

(σ

− νσ

) ⇒ σ

= νσ

(?).

Для оправдания таких изъянов появилась специальная философия.

«Должны быть обеспечены соотношения лишь между основными (т. е.

большими) величинами». «Теория балки — приближённая и невязки в урав-

нениях нормальны».

Но всё не так. Дальше мы увидим, что механику тонких тел можно

строить как точную науку с безупречной логикой.

Вариационный метод основан на вариационной постановке «трёхмер-

ной» задачи с аппроксимацией решения по толщине. Подход логически

строен, допускает разнообразные обобощения и уточнения. Единственный

недостаток — мы навязываем структуру решения по толщине, а не иссле-

дуем её.

Для плоской балки имеем двумерную вариационную постановку:

δЭ =

−

(τ ··δε − f ·δu) dy = 0,

τ = 2µ



ε +

1 − ν

εE



. (5.1.5)

105

Тонкие тела

Задаём аппроксимацию

= −θ(x)y, u

= v(x). (5.1.6)

с независимыми прогибом и поворотом, что соответствует балке Тимошен-

ко. Из (5.1.5) получим одномерную вариационную постановку

(Mδθ

+ Qδ(v

− θ) − qδv − mδθ) dx = 0,

M ≡ aθ

, a ≡

12(1 − ν

)

, Q ≡ b(v

− θ), b ≡ µh. (5.1.7)

Отсюда следуют уравнения и естественные граничные условия

+ q = 0, M

+ Q + m = 0;

x = 0, l : Q = 0, M = 0. (5.1.8)

Аналогичная процедура для балки Бернулли — Эйлера такова:

= −v

y, u

= v(x),

(Mδv

− qδv − mδv

) dx = 0, M ≡ av

− q + m

) δv dx = 0,

x = 0, l : M = 0, M

+ m = 0. (5.1.9)

Обратим внимание на «исчезновение» перерезывающей силы Q и сокра-

щение числа уравнений. Заметим также, что изгибная жёсткость a отлича-

ется от таковой в (5.1.4).

Задавая более сложные аппроксимации перемещений, можно строить

и более сложные модели. Например, учесть поперечную деформацию от

эффекта Пуассона:

= −νε

⇒ u

= v(x) + νθ

(x)y

/2. (5.1.10)

Аппроксимируя перемещения, можно получить значительную погреш-

ность в напряжениях. Поэтому представляет интерес вариационная поста-

106

5.1 Особенности механики тонких тел

новка Рейсснера с независимыми u и τ :

δR(u, τ ) = 0,

R =

h/2

−h/2



τ ·· 5u

− Π

(τ ) − f ·u



dy,



− 2νσ

+ σ



2µ

. (5.1.11)

Простейший вариант для балки Тимошенко таков

= −

12M(x)

y, τ

Q(x)

, σ

= 0,

= −θ(x)y, u

= v(x);

R =



Mθ

+ Q(v

− θ) −

−

− qv − mθ



(a = Eh

/12, b = µh);

δR = 0 ⇒ θ

, v

− θ =

, Q

+ q = 0, M

+ Q + m = 0;

x = 0, l : Q = 0, M = 0. (5.1.12)

Однако истинные уравнения тонких тел выводятся иначе.

Прямой подход использовал Эйлер, рассматривая стержни как дефор-

мируемые материальные линии (до появления теории упругости!). Главное

при этом — определить вид частиц тела: это просто точки, или же это эле-

ментарные твёрдые тела, или это более сложные объекты с внутренними

степенями свободы. Возможности прямого подхода невелики, поскольку

мы не пытаемся проникнуть в структуру частиц. Но для тонких тел этот

подход очень эффективен.

Балка — это линия Косс ера. Степень свободы вращения вводится из-

за важности изгибающего момента. Очевидна следующая формулировка

принципа виртуальной работы

(qδv + mδθ − δΠ) dx + (Qδv + Mδθ)



= 0. (

5.1.13)

Но здесь возможны варианты. Можно рассматривать любой отрезок (x

) или же сразу всю балку — тогда нагрузки на концах Q

, −Q

, M

107

Тонкие тела

−M

заданы. Можно о работе внутренних сил (−δΠ) предположить равен-

ство нулю на перемещениях твёрдого тела (δv = const +xδθ, δθ = const)

и ввести множители Лагранжа для снятия ограничений (δθ

= 0, δv

−

δθ = 0). Другой вариант — сразу объявить Π = Π(θ

, v

− θ) — функция

двух деформаций (изгибной и сдвиговой). Во вс ех случаях из (5.1.13) сле-

дует система уравнений и граничных условий балки Тимошенко. Модель

Бернулли — Эйлера — это вариант «со стеснённым вращением» (v

= θ).

Прямой подход прост, логически стро ен и почти не вызывает сомне-

ний. Однако вопрос о степенях свободы частиц остаётся открытым. И за

рамками подхода остаётся определение жесткостей (коэффициентов Π как

квадратичной формы).

Асимптотическое расщепление. Только этот подход действительно

соответствует специфике тонких тел. Идея была изложена в п. 1.6. Начать

следует с системы уравнений с малым параметром λ → 0. Источником λ

является геометрия:

r(x, y) = λ

−1

xi + yj ⇒ ∇ = λi∂

+ j∂

. (5.1.14)

Уравнения теории упругости существуют в трёх формах: полной систе-

мы (a), в перемещениях (b) и в напряжениях (c). Простота варианта (b) —

кажущаяся, для асимптотического анализа лучше подходит (c):

∇·τ + f = 0, ∆σ + (1 + ν)∇·f = 0. (5.1.15)

В компонентах с учётом (5.1.14) имеем

λ∂

+ ∂

τ + f

= 0, λ∂

τ + ∂

+ f

= 0,



∂

+ ∂



(σ

+ σ

) + (1 + ν)(λ∂

+ ∂

) = 0. (5.1.16)

Решение ищем в виде

τ = λ

(τ

(0)

+ λτ

(1)

+ . . .). (5.1.17)

Варианты m = 0 и m = −1 не проходят, остановимся на m = −2. На

первом шаге имеем

∂

(0)

= ∂

(0)

= ∂



(0)

+ σ

(0)



= 0 ⇒

⇒ τ

(0)

= σ

(0)

= 0, σ

(0)

= b

(x)y. (5.1.18)

Учтены граничные условия τ = σ

= 0 при y = ±h/2, а также характер

чётности величин. Функция b

пока произвольна.

108

5.1 Особенности механики тонких тел

Второй шаг:

+ ∂

(1)

= ∂

(1)

= ∂



(1)

+ σ

(1)



= 0 ⇒

⇒ σ

(1)

= 0, τ

(1)



− y



, σ

(1)

= b

(x)y. (5.1.19)

Цель последующих шагов — найти главный член асимптотики, т. е.

функцию b

. Не представит интереса b

как малая поправка к b

. На тре-

тьем шаге имеем, в частности, условие разрешимости

h/2

−h/2



∂

(1)

+ f



dy = −σ

(2)



h/2

−h/2

= 0 ⇒

+ q = 0. (5.1.20)

Это итог анализа напряжений. Граничные условия b

(0) = b

(l) = 0. Далее

находим перемещения из соотношений закона Гука

λ∂

(σ

− νσ

), ∂

(σ

− νσ

λ∂

+ ∂

τ. (5.1.21)

Степенное разложение u типа (5.1.17) пройдёт при m = −4. Для главных

членов будет

∂

(0)

= ∂

(0)

= 0 ⇒ u

(0)

= v(x), u

(0)

= 0. (5.1.22)

— чётные по y, u

— нечётные). Следующий шаг:

∂

(0)

= 0, ∂

(1)

= 0, ∂

(0)

+ ∂

(1)

= 0 ⇒

⇒ u

(1)

= v

(x), u

(1)

= −v

y. (5.1.23)

На последнем, третьем шаге потребуется лишь равенство

∂

(1)

(0)

⇒ −v

, (5.1.24)

что в сочетании с (5.1.20) даёт уравнение Бернулли — Эйлера для прогиба v.

Асимптотический анализ подтвердил все положения теории балки, но

мы пис али лишь точные равенства и ничего не отбрасывали. Понятно, чем

труден анализ в перемещениях — пришлось бы делать пять (!) шагов.

Сложность асимптотики повышает роль прямого подхода — он пред-

сказывает результаты. К тому же, он «легко справляется» с большими де-

формациями.

109

Тонкие тела

5.2 Нелинейная теория стержней

Стержень считается линией Коссера, каждая частица — элементарное твёр-

дое тело с лагранжевой (материальной) координатой s. Обычно в качестве

s берут дуговую координату в начальном со стоянии. Движение опреде-

ляется радиус-вектором r(s, t) и тензором поворота P (s, t); в начальном

состоянии r(s, 0) = r

(s), P (s, 0) = E. На единицу «длины» s действу-

ют силовая q и моментная m нагрузки. Внутренние сила Q и момент M

задают воздействие в точке s «справа налево»; по закону действия и про-

тиводействия при смене направления отсчёта s векторы Q и M меняют

знак.

Для отрезка стержня уравнение виртуальной работы таково

(q ·δr + m ·δθ − δΠ) ds + (Q ·δr + M ·δθ)



= 0. (5.2.1)

Нагрузки содержат инерционные добавки — о них в главе 6. Вид плотно-

сти энергии Π будет определён из (5.2.1). Преобразуя двойную подстановку

в интеграл и учитывая произвольность s

1,2

, получим локальное вариаци-

онное уравнение

(q + Q

)·δr + (m + M

)·δθ + Q ·δr

+ M ·δθ

= δΠ. (5.2.2)

На «жёстких» смещениях δr = const +δθ × r, δθ = const должно быть

δΠ = 0, что ведёт к уравнениям баланса сил и моментов

+ q = 0, M

+ r

× Q + m = 0. (5.2.3)

Второе уравнение нелинейно, поскольку r

— в деформированном состоя-

нии. В (5.2.2) останется

δΠ = M ·δθ

+ Q ·(δr

− δθ

× r

). (5.2.4)

Векторы деформации и формулы Клебша. Деформация стержня опре-

деляется векторами κ и Γ:

= κ × P ⇔ κ = −



·P



; Γ = r

− P ·r

. (5.2.5)

При отсутствии деформации

P (s) = const ⇒ κ = 0; r(s) − r(s

) = P ·(r

(s) − r

)) ⇒ Γ = 0.

110