Дубровский В.Г. Теоретические основы технологии полупроводниковых наноструктур
Подождите немного. Документ загружается.
ρ
*
(t) рассчитывается по формуле (1.47), где t
*
- момент достижения максимума
пересыщения, определяемый численно. Поверхностная плотность островков N
и
α
мы варьировали скорость осаждения V от 3.5x10
-3
С/се
s
(t), в
соответствии с (2.22), получается интегрированием I(t) по времени. Степень заполнения
поверхности островками без учета их слияния g(t)=
θ
eq
G(t), а функция G(t) определяется по
формуле (2.3). Истинная степень заполнения с учетом слияния островков Z(t)
рассчитывается по формуле Колмогорова (1.55). Наконец, периметр границы слоя P(t)
определяется по формуле (1.57).
Примеры численных расчетов кинетики формирования монослоя приведены на
Рис.32 и 33. Для параметров системы использованы модельные значения T
c
=2200 K,
E
D
=0.8 эВ, E
A
=2.1 эВ,
ν
D
=3x10
9
сек
-1
,
ν
A
=10
12
сек
-1
,
√σ
=l
D
=0.4 нм, a=15=const (что
соответствует межфазовой энергии
ε
=5.7x10
-6
эрг/см и поверхностной энергии
γ≈
396
эрг/см
2
) при постоянной температуре поверхности T=580
0
C. При этих значениях, как и
ранее, получим
θ
eq
=6x10
-3
,
τ
D
=3x10
-3
сек,
τ
A
=2.6 сек и параметр
α
=4.8x10
3
=const. При
фиксированных параметрах a
М к до 0.1 МС/сек. Максимальное значение V=0.1 МС/сек соответствует условиям
молекулярно-пучковой эпитаксии и режиму полной конденсации пленки, рассмотренному
в пп.II.2-II.5. При минимальном значении скорости осаждения материала V=3.5x10
-3
МС/сек получим
Φ
max
=0.51, тогда
056.0
)1ln(
exp4
max
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+Φ
a
и, в соответствии с
условием (2.63), осуществляется режим неполной конденсации, рассмотренный в п.II.6.
Эти два предельных режима формирования монослоя и представлены на рисунках.
На Рис.32 а) приведены зависимости структурных характеристик ансамбля
двумерных островков от времени на стадии зарождения в режиме полной конденсации
(V=0.1 МС/сек). Численные расчеты достаточно хорошо соответствуют
аналитической
теории, изложенной в пп. II.2-II.5. Расчеты для максимального пересыщ
3
≅
−
α
ения адатомов
дают ζ
*
≈
Φ
*
=1.95, для плотности островков по окончании стадии нуклеации N=4.26x10
9
129
см
-2
, =3.38x10
11
см
-2
сек
-1
. Зарождение
островков времени вб а
пересыщения t
*
=0.17 сек и практически завершается при t=0.22 сек. еации
симметрична относительно точки максимума пересыщения.
островков по размерам, изображенная на Рис.32 б), примерн и
максимально представительного размера
ρ
*
(t). Этот размер с й
точностью равен среднему размеру островков, который полу
полученной функцией распределения. На Рис. 32 в) привед
заполнения поверхности растущим слоем и периметра границы слоя на единицу площади
время формирования монослоя
=10 сек Периметр границы слоя
имеет максимум в момент времени t≈5 сек, соответствующий моме ов
друг с другом. Максимальное значение периметра границы слоя
поверхности Р
max
=2.7x10
9
см
-1
.
На Рис. 33 приведены аналогичные характеристики процес ования
монослоя в режиме неполной конденсации (V=3.5x1
-3
МС/сек). В соответствии с
резу
есть максимальное пересыщение
адатомов ю газообр о
из Рис. 33 а), характерная продолжительность стадии зарождения
равна 80 сек, что много больше, чем время достижения максим
сек). Как скорость нуклеации, так и функция распределения по раз на
Рис. 33 б), асимметричны относительно
точки максимума
представительного размера, соответственно. Рис. 33 в) показывает я
коалесценции островков составляет 1400 сек, а время формирования монослоя – около
2200 сек, что много больше, чем время осаждения монослоя 1/V= 286 сек.
для максимальной скорости нуклеации I(ζ
*
)
происходит в очень узком интервале лизи точки максимум
Скорость нукл
Функция распределения
о симметрична вблиз
высокой относительно
чается при усреднении с
ены зависимости степени
поверхности в режиме полной конденсации. Видно, что
практически совпадает с временем его
осаждения 1/V .
нту слияния островк
на единицу площади
са формир
0
льтатами п. II.6, в этом случае ζ
max
≈
Φ
max
=0.554, то
на поверхности в точности равно пересыщени азной среды. Как видн
островков примерно
ума пересыщения (~2.6
мерам, изображенная
пересыщения и наиболее
, что характерное врем
130
0.0 0.1 0.2 0.3 0
-0.4
0.0
0.4
0.8
.4
Time t, sec
Рис. 32 а). Расчетные
зависимости от времени
приведенных
скорости нуклеации I/I(ζ
*
)
(пунктирная линия) и
плотности островков N
s
/N
(точечная линия) в режиме
полной конденсации.
пересыщения адатомов
ζ/ζ
*
(сплошная линия),
0 1020304050607080
0
1x10
8
2x10
8
3x10
8
4x10
8
5x10
8
6x10
8
f(ρ,t)
распределения островков
по размерам в режиме
полной конденсации при
t=0.4 сек.
Size ρ
Рис 32 б). Функция
0 2 4 6 8 10121416
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
2
1
Time t, sec
Рис. 32 в). Расчетные
а
границы слоя P/P
max
(кривая 1) и степени
заполнения поверхности Z
(кривая 2) в режиме
полной конденсации.
зависимости от времени
приведенного периметр
131
0 50 100 150 200 250
-0.5
300
0.0
0.5
T
о на Рис. 32 а), в
1.0
Рис. 33 а). То же, чт
ime t, sec
режиме неполной конденсации.
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
0.2
0.8
0.0
0.4
0.6
1.0
1.2
f(
островков по размерам в режиме
ρ,t)
Size ρ
Рис 33 б). Функция распределения
неполной конденсации при t=200 сек.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
0.0
0.2
0.6
0.8
1.0
0.4
2
Time t, sec
1
Рис. 33 в). То же, что на Рис. 32 в), в
режиме неполной конденсации.
*
е полной конденсации. При этом
характерный размер островков на стадии независимого роста составляет десятки микрон,
Поверхностная плотность островков по окончании стадии нуклеации достигает значения
N=5.5x10
3
см
-2
, а максимальная скорость нуклеации I(ζ )= 203 см
-2
сек
-1
, то есть обе эти
величины на несколько порядков меньше, чем в режим
132
то есть намного больше, чем в режиме полной конденсации. Максимальный
слоя на единицу площади поверхности P
max
= 3.1x10
6
см
-1
.
II.8. Численные расчеты кинетики трехмерного роста пленки
периметр
о т д
1 1 1 1 1
о ветствующие им параметры для верхних
слоев
и
*
ости осаждения материала V по формуле (2.4) находим максимальные
н константы
* 1 *
расчета интегральных
шероховатость поверхности,
модели необходимо знать значение девяти параметров:
Для проведения численных расчетов кинетики формирования трехмерной пленки
[39,211] воспользуемся двухуровневой моделью гетероэпитаксиального роста в системах
без рассогласования решеток [36] и результатами, изложенными в п.I.9. Если
характеристики пленки во всех слоях, начиная со второго, не отличаются друг от друга, то
для расчета кинетики латерального
р с а слоев нам пона обятся следующие параметры:
Λ
1
, E
A
,
ν
A
, E
D
,
ν
D
,
ε
для первого слоя и со т
Λ
*
, E
A
*
,
ν
A
*
, E
D
*
,
ν
D
*
,
ε
*
. По формулам, приведенным в предыдущем параграфе, при
заданной температуре поверхности T рассчитываются равновесные заполненности
адатомами поверхности подложки и верхних слоев
θ
eq
1
и
θ
eq
*
, характерные времена жизни
адатома на поверхности подложк и в верхних слоях
τ
A
1
и
τ
A
, характерные времена роста
островков на поверхности и в верхних слоях
τ
D
1
и
τ
D
*
. Затем по формуле (2.61) определяем
значение кинетических параметров
α
и
α
на поверхности подложки и в верхних слоях.
При заданной скор
1 *
пересыщения газообразной фазы над поверхностью подложки
Φ
max
1
и над плоской
поверхностью пленки
Φ
max
*
. Э ергетические на поверхности подложки a
1
и на
поверхности пленки a
вычисляются по формуле (1.26) с межфазовыми энергиями
ε
и
ε
соответственно.
В терминах безразмерного времени
τ
=t/
τ
A
*
для
характеристик трехмерной пленки (средняя высота,
вероятности нахождения точки поверхности пленки на данной высоте) в двухуровневой
133
2
*
2
1
*
*
*
1
1
1
*
*
3
*
*
1
1
3
1
1
1*1
11
⎟
⎞
⎜
⎛
⎟
⎞
⎜
⎝
⎛
VV
eq
A
eq
A
D
A
eq
D
A
eq
AAeqeq
εε
θ
τ
θ
τ
τ
τ
θ
τ
τ
θ
(2.82)
*1
max
max
*
4;4;1;1
;;;/;;
⎟
⎠
⎜
⎝
=
⎟
⎠
⎜
=−=Φ−=Φ
===
Tk
a
Tk
a
BB
σσ
ααττδθθ
времени t=
ττ
A
. Для расчета более детальных
(скорость нуклеации, поверхностная плотность
1 и число
формирования
послойного роста Франка – ван дер Мерве не представляет затруднений, поскольку все
слои растут только после полного заполнения предыдущего слоя и необходимо лишь
повторять процедуру расчета кинетики формирования монослоя, изложенную в
предыдущем параграфе. Для первого
слоя пленки нужно брать характеристики с индексом
подложки, а для всех слоев – ха
, когда новые слои начинают расти сразу же на
щих слоев, алгоритм расчета следующий.
Пересыщение адатомов на свободной поверхности определяется
решения да
(2.59)
Далее производиться переход к размерному
размерных характеристик растущих слоев
островков, средний размер островков, функция распределения по размерам, периметр
границы слоя) нужно знать еще времена
τ
A
1
,
τ
A
*
,
τ
D
1
и
τ
D
*
по отдельности. Очевидно, в
случае автоэпитаксиального роста
θ
eq
1
=
θ
eq
*
,
τ
A
1
=
τ
A
*
,
τ
D
1
=
τ
D
*
, a
1
=a
*
,
δ
=
параметров модели сокращается до четырех.
Расчет кинетики трехмерной пленки по механизму чисто
«1», относящиеся к поверхности верхних рактеристики с
индексом «*».
При полислойном росте пленки
сформированных участках предыду
части из численного
уравнений ви
⎥
⎦
⎤⎡
′′
⎢
⎣
′′′
Ψ+−Φ=
∫∫
′
xx
l
l
l
x
d
3
)(
ζ
ζ
x
llll
xdxdxx
dx
0
max
))((41)(
ζαζ
(2.83)
⎥
⎦
⎢
⎣
+
−++=Ψ
)1ln(
exp)1(ln)1(
2
ζ
ζζ
π
(2.84)
⎤⎡
a
1
)(
2/1
ζ
l
l
134
Здесь и далее индекс l принимает два значения l=1,* в зависимости от того,
ассматривается ли первый приповерхностный слой пленки (l=1) или ее верхние слои
(l=*). Приведенное число частиц в островках G
р
1)()]([)(
max
∫
xxxdxG
lll
(2.85)
τ
, о зм в
11 eq
Для всех слоев, начиная со второго, полагаем в (2.85)-(2.87) l=*, x=
τ
и получаем
зависимости характеристик верхних слоев от
τ
. Функция Y
*
=Y
2
=Y
3
=…, описывающая
кинетику верхних слоев на полностью заполненном предыдущем слое, получается из
G (
τ
) по формуле
*
∫
′′
−
′
=
τττττ
)()()( ZFdZ
1≥l
где
l
(x) определяется по численному решению
для пересыщения ζ
l
(x) из уравнения типа (2.3)
0
−−
′
−Φ
′
=
x
l
ζζ
Для первого слоя, полагая в (2.83)-(2.85) l=1, получаем зависимости ζ
1
(x) и G
1
(x). Полагая
затем x=
δ
получим зависимости характеристик первого слоя т безра ерного ремени
τ
и находим степень заполнения поверхности первым слоем пленки по формуле
)](exp[1)(
1
δτθτ
GZ −−=
(2.86)
*
)](exp[1)(
**
τθτ
GY
eq
−−=
(2.87)
Далее учтем, что интегральное соотношение (1.63) для двухуровневой модели в терминах
безразмерного времени
τ
упрощается:
+
τ
0
*1
ll
, (2.88)
τ
τ
τ
F )(
*
=
. Средняя высота и шероховатость поверхности пленки
d
dY )(
*
рассчитываются по формулам (1.62) с вероятностями
)()()(
1
τ
τ
τ
+
−
=
lll
ZZp
, l=0,1,2,3…,
причем Z
0
≡
1, а функция Z
1
(
τ
) определяется формулой (2.86).
На Рис. 34-36 представлен пример численного расчета процесса формирования
трехмерной пленки по механизму полислойного роста для следующих модельных
135
параметров: T
c
1
=T
c
*
=2200 К (
θ
eq
1
=
θ
eq
*
= 6x10
-3
), E
A
1
= E
A
*
=2.1 эВ,
1
=
ν
A
*
=10
12
сек
-1
,
ν
D
1
=
ν
D
*
=3x10
9
сек
-1
,
σ
1/2
=0.4 нм, E
D
*
=0.8 эВ, E
D
1
=1 эВ,
ε
*
=5.7x10
-6
эрг/см,
ε
1
=1.5x10
-5
эрг/см,
при Т=580
0
С и V=0.1 МС/сек. Характеристики верхних слоев те же,
после заполнения первого слоя все последующие слои растут в лной
конденсации. В первом слое затруднено как образование зародышей, т ая
диффузия адатомов, так как межфазовая энергия границы островка
барьер диффузии адатомов выше, чем
в верхних слоях. Поэтому в первом слое при
заданных параметрах осуществляется промежуточный режим роста. Значение
энергетической константы a
1
в первом слое равно 104, а рактерное время роста
стровков
τ
1
=4.7x10
-3
сек. Для нуклеации островков в первом слое требуется примерно 12
слоя равно 32 сек, то есть
На Рис. 34 риведены
зависимости средней высоты пленки H и шероховатости ее поверности
Видно, что пленка начинает расти с задержкой 32 сек, требующихся дл ания
первого слоя. Вначале на зависимости H(t) наблюдается провал, а при б нах
зависимость H(t) выходит на линейную. Шероховатость поверхности R
,
вначале быстро увеличивается, а при больших временах выходит на зависимость t
1/2
.
Параметр планарности поверхности q(t)=R
H
2
/H, представленный на Рис. 35, на начальном
этапе роста тонкой пленки возрастает до значения 1.48, а при больших временах
к единице. Это означает, что в верхних слоях пленки наблюдается
пуассоновское распределение по высоте, характерное для режима полной конденсации
слоев. На Рис. 36 даны расчетные кривые для распределения точек поверхности пленки по
слоям l
p
l
(t). Для каждого слоя вероятность p
l
(t) имеет максимум при определенном
значении времени, которое соответствует максимальной площади его поверхности,
контактирующей с газообразной средой.
ν
A
что и в. II.2, поэтому
режиме по
ак и поверхностн
и активационный
ха
о
сек с момента начала осаждения. Время формирования первого
в три раза больше, чем время осаждения слоя 1/V=10 сек. п
R
H
от времени.
я формиров
ольших време
H
(t), напротив
стремиться
136
0 50 100 150 200 250 300
0
5
10
15
20
25
30
2
1
Time t, sec
Рис.34. Зависимости
средней высоты
(кривая 1)
шероховатости
поверхности
(кривая 2) от
Mean height and surface roughness, ML
и
пленки
времени.
1.5
0 50 100 150 200 250 300
1.0
1.1
1.3
1.4
1.2
q(t)
Рис.35. Зависимость
тра
планарности
поверхности q(t) от
параме
Time t, sec
времени.
137
0 50 100 150 200 250 300
0.05
0.10
0.00
0.25
0.15
0.20
p
l
Time t, sec
(t)
Рис.36. Зависимости от времени вероятностей нахождения поверхности пленки на высоте
l монослоев для первых 10 слоев пленки.
ЛЕКЦИЯ № 8. Дополнительные замечания о росте тонких пленок
II.9. Формирование островков в режимах с остановкой роста
До настоящего момента мы всегда рассматривали случай осаждения материала на
поверхность с постоянным потоком вещества на поверхность J=const. Рассмотрим теперь
режим с остановкой роста в некоторый момент времени t
0
, то есть J(t)=J=const при t<t
0
и
J(t)=0 при t>t
0
[212]. В целях некоторого упрощения рассуждений, не влияющего на суть
дела, будем считать, что пересыщение газообразной фазы очень велико (
Φ
max
>>1), а
остановка роста происходит в момент времени t
0
, при котором идеальное пересыщение
, что мы риваем интервалы
меньшие
τ
, по существу, пренебрегая десорбцией материала с поверхности. Тогда
уравнение материального баланса (2.3) с учетом (2.4) примет вид, характерный для
систем, в которых отсутствует десорбция, а есть только поступление материала на
поверхность из газообразной фазы в промежуток времени от 0 до t
0
:
Φ
(t
0
) много меньше
Φ
max
. Это означает рассмат времени, много
A
138