Дубровский В.Г. Теоретические основы технологии полупроводниковых наноструктур
Подождите немного. Документ загружается.
тогда для степени заполнения поверхности
Кроме того, предполагаем, что скорость
Z(t) справедлива формула Колмогорова (1.55).
роста двумерных определяется
анизм их роста не изменяется при увеличении размера. Тогда в
обмена адатомами при любой степени заполнения поверхности
островков
уравнением (1.44) и мех
отсутствие межслойного
справедливо
στ
)()(
0
tZtn
t
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
(2.1)
В правой части этого уравнения стои
)](1)[()](1[ tZtnJtZtd
A
+−=
⎟
⎜
−
′
−
′
∫
т число частиц, пришедших на поверхность к
десорбции, J=V/
σ
есть плотность потока
адатомов на свободной части
ользуя формулу Колмогорова (1.55), получаем
моменту времени t за счет процессов адсорбции-
атомов на поверхность, n(t) – поверхностная концентрация
поверхности. Первое слагаемое в левой части есть число адатомов на единице площади
поверхности, второе – число атомов на единице площади поверхности, находящихся в
сформированных участках монослоя. Считается, что при t=0 n=Z=0, то есть на
поверхности подложки нет ни
адатомов, ни островков. Дифференцируя (2.1) и учитывая
естественное условие
σ
n(t)<<1, а также исп
dt
dg
dt
dntn
J
A
στ
1)(
+=−
(2.2)
где фу заполнение поверхности без учета слияния В
интегральной форме уравнение материального баланса (2.2) имеет
уравнение
адатомов ζ уравнение материального баланса можно записать в виде (1.50)
нкция g(t) есть островков (1.53).
вид, аналогичный
(1.48). Таким образом, в случае твердофазной коалесценции при любой степени
заполнения поверхности уравнение материального баланса имеет тот же вид, что и на
начальной стадии роста, когда заполнение близко к нулю. Именно такое
используется при исследовании начальной стадии конденсации тонких пленок,
осаждаемых на поверхность из газообразной фазы [2,18,23,50]. В терминах пересыщения
99
)()(1)]([ tGtttd +=−
′
−Φ
′
∫
ζζ
в
1
0
max
t
A
τ
(2.3)
Как и ранее, еличина
11
max
−=−≡Φ
eqeq
n
θ
(2.4)
сть м торое установилось бы на поверхности в отсутствие
AA
VJ
ττ
е аксимальное пересыщение, ко
зародышеобразования. Оно определяется пересыщением газообразной фазы над
поверхностью твердого тела. Функция
2
0
)(1)(
)(
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′′
∫∫
′
t
t
D
t
eqeqeq
t
n
tg
n
tn
τ
ζ
θ
(2.5)
равна числу атомов в двумерной конденсированной фазе n
)(
)(
′′′′
===
ISL
tdtItd
tG
eq
eq
ISL
(t), выраженному в единицах
равновесной концентрации адатомов n
. Она же равна степени заполнения без учета
коалесценции g(t), поделенной на
θ
. Наконец, скорость нуклеации в (2.5) зависит от
времени через пересыщение адатомов: I(t)=I[ζ(t)], а зависимость I от пересыщения
определяется формулой Зельдовича (1.37)
⎥
⎦
⎢
⎣
+
−++=
)1ln(
exp)1(ln)1()(
2/1
ζ
ζζ
στπ
ζ
I
(2.6)
Здесь
⎤⎡
1
a
D
eq
D
Deq
D
D
ln
θ
σ
τ
~=
есть характерное время роста островков и
tt
2
2
4
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
≡
Tk
a
B
σ
-
⎞⎛
ε
энерге
ростовых температурах параметр a обычно имеет значения 10 и более единиц.
,E
a уравнение (2.3) с учетом (2.5), (2.6) есть нелинейное интегральное уравнение для
Главе
о
тический параметр, связанный с межфазовой энергией границы раздела газ-
кристалл на единицу длины
ε
. Напомним, что для большинства материалов при типичных
Очевидно, что при заданных условиях роста (T и V) и величинах n
eq
, E
A D
,
τ
A
, t
D
и
пересыщения. Решив это уравнение и определив ζ, по изложенной в I схеме мы
сможем пределить и все остальные характеристики растущего монослоя. К ним
100
относятся скорость нуклеации, поверхностная плотность островков, функция
распределения островков по размерам на стадии их независимого роста, степень
заполнения поверхности и периметр границ двумерного кристалла на стадии
полнению этой программы.
Зарождение островков
стадии зарождения островков мы будем
[60]. Этот метод основан на чрезвычайно
ате процессов адсорбции-десорбции.
ся в дальнейшем обозначать все величины в точке
« Само ма ересы ение
пересыщением, при котором начинается зарождение островков.
ния, которое было бы на поверхности в отсутствие зарождения островков. Для
коалесценции и т.д. Приступим к вы
II.2.
Для аналитического исследования
использовать асимптотический метод
Куни
резкой зависимости скорости нуклеации от пересыщения (формула (2.6) с большим
параметром a) и позволяет получить аналитическое решение задачи о фазовом переходе
первого рода в динамических условиях. В рассматриваемом случае динамические условия
означают, что пересыщение адатомов зависит от времени не только в результате их
поглощения растущими
островками, но и в результ
Следовательно, фазовый переход происходит в материально открытой системе. При этом
пересыщение как функция времени представляет собой функцию с одним максимумом, в
котором приход атомов из газообразной фазы уравновешивается их потреблением
растущими островками. Условим
максимума пересыщения индексом
∗». ксимальное п щ иногда
называют критическим
Важнейшую роль в дальнейшем играет понятие идеального пересыщения
Φ
(t) -
пересыще
него из (2.3) при G(t)=0 имеем
()
1exp11)(
max
−
⎥
⎦⎣
⎠
⎝
A
⎤
⎢
⎡
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎛
−−+Φ=Φ
t
t
τ
(2.7)
возрастает от значения –1 при t=0 до
Φ
с константой
времени
τ
A
. Эта формула вполне аналогична выражению (1.19). Выражение (2.6) для
то есть идеальное пересыщение
max
101
скорости зародышеобразования при больших значениях энергетической константы a
имеет чрезвычайно резкий максимум в точке максимума пересыщения. Поэтому функцию
I(ζ) вблизи максимума можно представить в виде
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−Φ
Φ
Γ
−Φ=
∗
∗
∗
ζζ
exp)()( II
(2.8)
Здесь
1)(
*
*
2
*
>>Φ
+Φ
Φ
=
+Φ+Φ
Φ
=Γ
c
i
a
(2.
1)1(ln1
***
9)
классической
ную зависимость скорости нуклеации от пересыщения
остальные функции вблизи t
*
можно заменить их линейными
)( ttt
есть большой параметр теории, по порядку величины равный критическому размеру
теории нуклеации при ζ=
Φ
*
. В (2.8) мы предполагаем, что в точке
максимума пересыщения ζ
*
≈Φ
*
, это предположение в дальнейшем нужно оправдать.
Подчеркнем, что на данном этапе время t
*
достижения максимума пересыщения и все
характеристики в этот момент времени неизвестны.
Учтя главную экспоненциаль
вблизи его максимума,
аппроксимациями. Так, разлагая (2.7) в ряд и ограничиваясь линейным членом по t-t
∗
, для
идеального пересыщения имеем
*
)(
*
−
+Φ=Φ
α
(2.10)
где
A
τ
α
*max
Φ−Φ
≡
. Для размера островков
ρ
(t
′
,t) из (1.56) в линейном приближении
получим
)()(),(
*
ttttdtt
t
′
−
Φ
=
′′′′
=
′
∫
1
D
t
D
′
ζρ
(2.11)
ττ
Уравнение материального баланса (2.3) вблизи t=t
*
принимает вид
)()()(
**
tttGt −−=−Φ
α
ζ
(2.12)
102
Теперь подставим (2.12) в (2.8) и используем получившееся выражение для скорости
уклеации и формулу (2.11) в (2.5). В результате получим следующн ее интегральное
уравнение для G(t)
∫
−
∞−
⎥
⎤
⎢
′
⎟⎜
)(
*
tG
(2.13)
т ь б
⎦⎣
Φ∆
⎠⎝
*
Deq
tn
τ
где мы устремили нижний предел ин егрирования к -∞, пол зуясь ыстрым убыванием
подинтегральной функции вдали от точки ее максимума. В (2.13) введено обозначение
⎡
Γ
−
′
′
−−
′
⎟
⎞
⎜
⎛
ΦΦ
=
*
exp)(
)(
)(
2
2
**
tt
t
ttttd
I
tG
α
Γ
Φ
*
Уравнение (2.13) решается итерациями, которые поочередно мажорируют решение
сверху и снизу, быстро приближаясь к нему [60]. Численное исследование (2.13)
показывает, что для практических расчетов вполне достаточно точности уже первой
=∆
t
(2.14)
G(t)=0 в интеграле правой части (17). Это итерации, соответствующей подстановке
решение имеет весьма простой вид
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−Φ
=
tt
tG
**
exp)(
При нахождении нормировочной константы
∆Γ t
(2.15)
в (2.15) мы учли, что в точке максимума
пересыщения
A
τ
tG
)(
)(
*max
*
Φ
−Φ
=
′
. Сравнивая это с результатом дифференцирования
(2.13) при t=t
∗
, получим
Γ
*
2
*
n
τ
∆
t и
τ
D
, из
уравнение
Φ
=Φ
∆
Φ
*
3
2
)(
)(2
I
t
D
eq
(2.16)
Воспользовавшись выражением (1.37) для I(
Φ
*
), с учетом определений для
(2.16) путем несложных преобразований можно получить следующее трансцендентное
для максимального пересыщения:
103
1exp
*max
=
⎟
⎜
DD
π
числен
*
методо
и г о
D eq
)1ln(
)(
1
)1(ln)1(
)/(
*
5
3
3
max
*
2/93
*
2
*
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+Φ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+Φ
Φ−Φ
+Φ+ΦΦ
a
Vtla
eq
θ
σ
(2.17)
Это уравнение позволяет но определить
Φ
при известных физических параметрах
автоэпитаксиальной системы и заданных условиях роста.
При выращивании пленок м молекулярно-пучковой эпитаксии [30] обычно
выполняется сильное неравенство
Φ
max
>>1 и условие
Φ
∗
~1. Это означает, что
осуществляется так называемый режим полной конденсации [25,204], при котором
подавляющая доля атомов, прибывших на поверхность з азообразн й фазы,
встраивается в состав растущей пленки и лишь малая доля частиц десорбируется обратно
в газообразную фазу. При этом с учетом a>>1 сомножителями, сильно отличающимися
по порядку величины от 1, в уравнении (2.17) являются
члены (Vt )
3
/
θ
5
(малая величина)
и экспонента от активационного барьера нуклеации (большая величина). Сомножитель
3
max
*max
2/93
2
1
)1(ln)1(
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
+Φ
+Φ+ΦΦ
D
с логарифмической точностью может быть положен
единицей. Тогда уравнение (2.17) сводиться к 3ln(
θ
5/3
/Vt )=a/ln(
Φ
+1), причем в обеих
***
2
)/(
⎞
⎛
Φ−Φ
la
σπ
eq D *
частях этого равенства стоят величины, много большие единицы. Отсюда следует
приближенное решение (2.17) вида
1
ln3
exp −
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
Q
(2.18)
различные варианты записи Q)
*
⎞
⎛
=Φ
a
Здесь Q – кинетический контрольный параметр, содержащий управляющие параметры
ростового процесса T и V и активационный барьер диффузии адатомов (приводятся
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎛
−Λ−
===
+Φ
=
E
V
Q
DD
eq
D
eq
D
A
eq
)3/5(
exp
)1(
1
3/1
max
υ
θ
τ
θ
τ
τ
θ
(2.19)
Как уже указывалось (см. (1.41)), условием применимости классической теории
нуклеации является достаточно большая величина активационного барьера зарождения.
⎠
⎝
TkVVt
BD
3/53/2
104
Поэтому областью применимости
3lnQ>>1. Оценим величину Q для следу
излагаемой теории является сильное неравенство
ющих условий роста при молекулярно-пучковой
9
т
яются: очень низкие температуры поверхности
(подав
. С другой стороны, при очень высоких температурах возрастает
и режим полной конденсации переходит в режим неполной
т происходит именно при таких значениях
теории оправдано. Так, чрезмерное повышение
ее понижение – к уменьшению диффузии и, как следствие, увеличению шероховатости и
низкому качеству поверхности.
Определив максимальное пересыщение
Φ
*
по формуле (2.18) (или из решения
выражения для всех остальных характеристик процесса зарождения островков. Выразим
их через известные параметры
Φ
*
,
Γ
=
Γ
(
Φ
*
) и Q. Подстановка (2.15) в (2.12) и (2.8) для
эпитаксии и параметров материала, примерно соответствующих GaAs [205,206]: T
=
580
0
C, V=0.1 МС/сек, T
c
=2200 K, E
D
=0.8 эВ,
ν
D
=3x10 сек
-1
,
√σ
=l
D
. При данных значениях
параметров
θ
eq
=6x10
-3
, t
D
=1.8x10
-5
сек,
τ
D
=3x10
-3
сек, Q=110 и 3lnQ=14.1.Следовательно,
условие применимости теории выполнено с большим запасом. Очевидно, параметр Q
уменьшается обратно пропорционально V при увеличении скорости осаждения и
экспоненциально убывает при уменьшении температуры T. Поэ ому наиболее
существенными ограничениями теории явл
ляется диффузия) и очень быстрое осаждение (нарушается иерархия временных
масштабов
конденсации)
влияние десорбции
конденсации, рассматриваемый в п.2.6. Вместе с тем отметим, что в подавляющем
большинстве случаев эпитаксиальный рос
параметров, когда применение излагаемой
температуры поверхности
приводит к нежелательной десорбции материала, а чрезмерное
точного трансцендентного уравнения (2.17)), нетрудно найти простые аналитические
пересыщения адатомов и скорости зарождения дает соответственно
⎥
⎢
⎟
⎞
⎜
∆
−
Γ
+Φ=
t
tt
t
tt
t
***
*
exp(
ζ
(2.20)
⎦
⎤
⎣
⎡
⎠⎝
⎛
−
∆
−Φ
)
105
⎥⎢
⎟⎜
−Φ= ItI
*
*
expexp)()(
(2.21)
*
=
Φ
*
(1-1/
Γ
), что и оправдывает сделанное вначале предположение
справедливо только до
⏐
t-t
*
⏐
~
∆
t, а (2.21) – при всех t, поскольку
точки
полуш
з е о
s
(2.22)
в
⎦
⎤
⎣
⎡
⎠
⎞
⎝
⎛
∆
−
∆
−
t
tt
t
tt
*
Из (2.20) следует, что ζ
ζ
*
≈Φ
*
. Выражение (2.20)
вне области зарождения I(t) быстро стремиться к нулю. Из (2.21) видно, что вблизи
максимума пересыщения скорость нуклеации имеет приблизительно гауссовский вид с
ириной
√
2/
∆
t. Очевидно, параметр
∆
t имеет смысл продолжительности стадии
нуклеации. При t=t
*
I(t
*
)=I(
Φ
*
)/e, то есть небольшое отличие ζ
*
от
Φ
*
приводит к
уменьшению скорости нуклеации в e раз.
Поверхностная плотность островков N
s
получается интегрированием скорости
арожд ния п времени:
∫
′′
=
t
tItdtN
0
)()(
Результат интегрирования (2.21) имеет ид
⎥
⎢
⎟
⎜
⎟
⎜
s
(2.23)
и с
⎦
⎤
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎠
⎞
⎝
⎛
∆
−
−−=
t
tt
NtN
*
expexp1)(
По окончании стадии нуклеац и плотно ть островков очень быстро выходит на
постоянное значение N=I(
Φ
*
)
∆
t, для которого из выражений (2.14), (2.16) следует
2
3
*
3/2
2
2
)1(
Q
eq
Φ
−Γ
θ
ε
nN
eq
=
(2.24)
Здесь введено обозначение
A
J
n
τ
ε
*
max
*
1
1
=
+Φ
+Φ
≡
По физическому смыслу параметр
ε
есть отношение максимальной концентрации
адатомов n
(2.25)
ию J
τ
A
, которое установилось бы на поверхности в отсутствие
зарождения. В режиме полной конденсации, соответствующем случаю молекулярно-
*
к ее значен
106
пучковой
характерной
имеем
эпитаксии,
ε
- величина, заведомо много меньшая единицы. Для
продолжительности стадии нуклеации с учетом сделанных обозначений из (2.14)
Γ+Φ
Φ
−
A
=∆
t
τ
ε
ε
11
*
*
(2.26)
, время достижения максимума пересыщения находится из уравнения (2.7):
)]1ln([
Наконец
*
ε
τ
−−
A
(2.27)
Полученные выражения решают задачу аналитического описания
при островковом росте двумерной пленки. Для модельной системы
параметрами T
= 580
0
C, V=0.1 ML/s, T
c
=2200 K, E
D
=0.8 эВ, E
A
=2.1 эВ,
ν
D
=3x10
9
12
сек
-1
, a=15,
√σ
=l
D
=0.4 нм характеристики процесса зарождения островков
сек,
Φ
=42,
Φ
=1.9,
ε
=0.065 (режим полной конденсации), i (
=t
стадии
зарождения с
сек
-1
,
ν
A
=10 таковы:
τ
A
=2.6
max * c *
)=14
(соответствующий
Γ ∆
много меньше 3lnQ=14.1. П ближенного выражения для
пересыщения (2.18) вполне оправдано. Зарождение островков происходит
в очень
*
осаждения материала, которое требуется для достижения максимума пересыщения
называется временем задержки нуклеации. После
плотность
N≈5x10
9
см
-2
. В режиме полной конденсации t
*
~
ετ
A
, поэтому
*
Неравенство (2.28) показывает, что продолжительность стадии зарождения много меньше
времени задержки нуклеации t
*
. Типичные зависимости от времени скорости зарождения
и поверхностной плотности островков, определяемые выражениями (2.21) и (2.23),
изображены на Рис.27.
Φ
критический размер r
c
~1 нм), =9.2, t=0.011 сек, t
*
=0.17 сек. При этом
отброшенный при приближенном решении уравнения (2.17) член = 1.7, т.е. действительно
оэтому использование при
максимального
узком интервале времени 2
∆
t~0.02 сек спустя время t ~0.2 сек после начала
адатомов. Это время в дальнейшем
прекращения зарождения островков достигает своего максимального значения
1/1~/ <<Γ∆ tt
(2.28)
107
02468101214
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
N
s
(t)/N
I(t)/I(t
*
)
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2
0.0
t/
∆
t
Рис.27. Зависимости приведенных скорости зарождения двумерных островков
*
их поверхностной плотности N
s
/N (пунктирная линия) от
t/
∆
t при t
*
/
∆
t=9. Такой вид кривых характерен для режима полной
I/I(
ζ
) (сплошная линия) и
безразмерного времени
конденсации тонких пленок.
Из формул (2.24), (2.19) и аррениусовских температурных зависимостей n
eq
и t
D
при
Φ
*
~1 следует главная зависимость поверхностной плотности островков от скорости
осаждения и температуры имеет вид
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
∝
Tk
VN
B
D
exp
2
⎞
⎛
+Λ
E
23
(2.29)
Таким образом, плотность островков увеличивается с увеличением скорости осаждения и
с понижением температуры поверхности. Зависимость N от V в рассматриваемом случае
квадратична, а температурная зависимость N имеет вид арениусовской экспоненты, в
чисто кинетическую природу, поскольку плотность островков зависит от кинетических
параметров V и E
D
и практически не зависит от энергетического параметра a.
показатель которой входит чисто кинетический параметр E
D
. Зависимость (2.29) имеет
108