Дубровский В.Г. Теоретические основы технологии полупроводниковых наноструктур
Подождите немного. Документ загружается.
положение минимума зависит от ряда технологических параметров (обычно, заполнение
составляет 0.4-0.6). Таким образом, приведенные зависимости шероховатости
поверхности от времени могут быть, по крайней мере, качественно поставлены в
соответствие динамическим зависимостя дифракции быстрых электронов н отражение,
преобразованным в прямое пространство.
м а
2.0
01234
1.5
1.0
3
0.5
0.0
2
1
Surface roughness R(x)
Relative time x
Рис.30. Зависимость шероховатости от времени ра ого в единицах безразмерного x, вы женн
времени роста монослоя, в случае полислойного роста (кривая 1), чисто послойного роста
(кривая 2) и в промежуточном режиме (кривая 3).
II.6. Режим неполной конденсации тонких пленок
Рассмотренный ыше режим полной конденсации характеризуется большими
значениями п
в
ересыщения газообразной фазы
Φ
max
. Максимум пересыщения адатомов на
поверхности ζ
*
≈Φ
*
устанавливается за счет нуклеации островков, при этом ζ
*
<<
Φ
max
.
Практически весь материал, осаждаемый на поверхность, остается в составе растущей
119
пленки. Очевидно, что при
величины порядка единицы
уменьшении пересыщения газообразной фазы
Φ
max
до
доля десорбирующихся атомов. Это происходит,
авнение для пересыщения адатомов
возрастает
например, при сильном понижении скорости осаждения материала или при повышении
температуры поверхности. Величина максимального пересыщения ζ
*
становиться
сравнимой с
Φ
max
. Поясним это на основе уравнения материального баланса (2.3).
Продифференцировав (2.3) по времени и перейдя к безразмерному времени
τ≡
t/
τ
A
,
получим эквивалентное интегро-дифференциальное ур
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∫∫
′
ττ
τ
τ
0
max
d
d
(2.59)
Здесь функция
Ψ
(ζ) есть безразмерная скорость нуклеации (1.37)
′′′′′
Ψ
′
+−Φ=
τζττζτατζ
ζ
3
)())((41)( dd
⎥
⎦
⎢
⎣
+
−++=Ψ
)1ln(
exp)1(ln)1(
2
)(
2/1
ζ
ζζ
π
ζ
(2.60)
⎤
⎡
1
a
Параметр
α
в (2.60) определен согласно
Q
D
A
eq
)1(
max
3/1
+Φ=≡
τ
1
τ
θ
α
(2.61)
При
Φ
>>1
α
>>Q, а при
Φ
~1
α
порядка Q. Из (2.59) следует, что в точке максимума
пересыщения адатомов имеет место асимптотическое соотношение
max max
⎥
⎦
⎢
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
+
−+Φ
)1l (
exp41~
3
*max
ζ
αζ
(2.62)
⎤
⎣
⎡
⎞
⎛
n
*
a
где мы заменили значение интеграла в (2.59) в точке максимума пересыщения его
асимптотической оценкой. В режиме полной конденсации второй член в квадратных
и Q
3
exp[-a/ln(
согласно (2.18). При этом всегда ζ
*
<<
Φ
max
. Если, однако, имеет место сильное
скобках (2.62) заведомо много больше 1, поскольку
α
>>Q ζ
*
+1)]~1
неравенство
120
1
)1ln(
exp4
3
⎢
Φ
−
α
(2.63)
то даже при пересыщении, близком к
Φ
max
<<
⎥
⎦
⎤
⎣
⎡
+
a
ом, условием осуществления режима
конденсации является условие (2.63) [25]. Оно выполняется при невысоких
газообразной фазы, а также при больших значениях межфазовой энергии,
нено образование двумерных зародышей.
й пересыщения адатомов на поверхности
устанавливается за счет адсорбции-десорбции. Затем пересыщение
в состав пленки, а
рактически переходит в задачу о конденсации с мгновенным созданием
йствительно, если известно, что пересыщение адатомов за время
значение
max
к этому моменту практически равно нулю. Задача аналитического описания
упрощается. Перейдем к его
подробному изложению [25, 209].
max
, второй член в квадратных скобках (2.62) много
меньше единицы и ζ
*
близко к
Φ
max
. Таким образ
неполной
пересыщениях
когда затруд
В режиме неполно конденсации максимум
балансов процессов
медленно спадает в
результате зарождения и роста островков. Лишь незначительная часть
атомов, пришедших на поверхность из газообразной фазы, попадает
большая их часть десорбируется. При этом задача о конденсации в динамических
условиях п
пересыщения [53]. Де
порядка
τ
А
выходит на
Φ
, а нуклеация есть более медленный процесс, то мы
не имеем никаких проблем с определением максимума пересыщения, так как ζ(t=0)
≈Φ
max
.
Под t=0 теперь понимается момент достижения максимума пересыщения, а число атомов
в островках
процесса формирования монослоя при этом сильно
Продифференцировав уравнение (2.59) по
τ
, получим
∫
′
Ψ
′
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
Φ
−
τ
τζτ
ζ
ζτ
ζ
ζ
0
2
2
33
max
1
dd
d
d
d
неполной конденсации малы
исчезающе больших временах, поскольк
1/2
=
ττα
ζ
3
22
)(4
1
d
d
(2.64)
Последние два слагаемых в левой части (2.64) в режиме
вблизи
τ
=0. Они малы и при у ζ(
τ
)
→
const/
τ
, а
121
следовательно
0~~
32
→
⎥
⎦
⎢
⎣
τ
τζτζ
dd
, тогда как первое слагаемое в левой части
уравнения (2.35) и его правая
11
2/3
2
2
⎤
⎡
−
ζζ
dd
2
часть при больших
τ
стремятся к константе. Введем новую
неизвестную функцию U(
τ
) согласно определению
1
max
−=
ζ
U
(2.65)
Очевидно,
2
Φ
2
0)0( ===
τ
U
0=
τ
τ
d
dU
;
τ
ζ
ζ
τ
d
d
d
dU
3
2
2Φ
(2.66)
max
−=
резкой зависимостью скорости нуклеации от
представить в виде
Пользуясь, как и ранее, чрезвычайно
пересыщения, функцию
Ψ
в (2.60) можно
[]
)(exp)()]([
1max
τ
τ
ζ
UΓ−ΦΨ=Ψ
(2.67)
Параметр
)(
)1(
max
max
+Φ
c
i
(2.68)
по порядку величины равен половине критического размера классической теории
нуклеации. Он является
2
max
1
Φ=Γ
большим параметром теории. Подстановка (2.67) в (2.64) с учетом
Φ
(2.66) дает
[]
∫
′
Γ−
′
ΦΨ=
ττα
τ
max
3
)(exp)(8 Ud
d
;
0)0(
τ
0
dU
=
=
τ
U
(2.69)
Дифференцируя (2.69) по
τ
и вводя новую переменную y
≡
t/
∆
t, где
[]
2/1
3
)(4 ΦΨΦΓ
=∆
α
maxmax1
τ
A
t
получим дифференциальное уравнение для функции V
≡Γ
1
U
(2.70)
[]
)(exp2
2
yV
dy
Vd
−=
;
2
0)0( ==
dy
dV
V
(2.71)
=oy
122
Это уравнение имеет точное решение V(y)=2ln(coshy). В результате для U(
τ
) имеем
⎟
⎜
=U coshln)(
τ
(2.72)
ния адатомов в режиме неполной конденсации
(2.72) с учетом определения для функции U (2.65):
[]
⎠
⎞
⎝
⎛
∆Γ t
t2
1
Зависимость от времени пересыще
определяется из решения
2/1
max
)/cosh(ln)/2(1
)(
tt
t
∆Γ+
Φ
=
ζ
(2.73)
см
его по порядку величины из (2.70), (2.60), с учетом (2.63) получим
1
Из этого выражения ясно, что параметр
∆
t имеет ысл продолжительности стадии
нуклеации. Оценивая
A
(2.74)
конденсации зарождение островков – существенно
процесс
м частности
A
a
t
ττα
>>
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+Φ
∆
−
)1ln(2
exp~
max
2/3
Это означает, что в режиме неполной
более медленный , чем установление максимального пересыщения за счет баланса
процессов адсорбции-десорбции, что и предполагалось ранее.
На основе (2.74) легко определить и другие характеристики формирования
онослоя. В , для скорости нуклеации в режиме неполной конденсации из (2.72),
(2.67) имеем результат
()
)/cosh
(
)(
2
tt
I
∆
Φ
(2.75)
Интегрирование (2.75) по времени дает зависимость от времени поверхностной плотности
островков N
)
max
tI =
s
на стадии нуклеации
⎟
⎜
∆Φ= tItN
s
tanh)()(
⎠
⎝
∆t
max
(2.76)
Такие зависимости от времени скорости нуклеации и поверхностной плотности островков
экспериментально наблюдаются при малых потоках осаждаемого материала [210].
Выражения (2.73), (2.75), (2.76) показывают, что скорость нуклеации спадает от своего
⎞
⎛
t
123
максимального значения при t=0 до нуля на временах порядка
∆
t, а плотность островков
по окончании стадии нуклеации выходит на постоянное значение N=I(
Φ
max
)
∆
t. Поскольку
меняется относительно мало.
Γ
1
>>1, пересыщение адатомов на стадии нуклеации
Значение N определяется из (1.37), (2.70):
2/1
max1
max
)(
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ΦΓ
ΦΨ
=
α
eq
nN
Используя формулу (1.26) для энергетического параметра a
(2.77)
, ю
зависимость плотности островков от температуры поверхности
пересыщения
Φ
max
из (2.77) получим главну
T и максимального
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+Φ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−∝
)1ln(
1
2exp
max
2
Tk
N
B
ε
σ
аким образом, плотность островков при данной скорости осаждения материала
величивается с увеличением температуры. При данной температуре поверхности
пленок от
конденсации, в котором плотность островков
увеличением скорости
осаждения (см. формулу (2.29)).
от
(2.78)
Т
у
плотность островков возрастает с увеличением скорости осаждения V (напомним, что
Φ
max
+1
∝
V), причем это возрастание экспоненциальное. Выражение (2.78) имеет
термодинамическую природу, поскольку активационный барьер нуклеации определяется
интенсивностью термодинамических флуктуаций в докритической области размеров.
Результат (2.78) качественно отличает режим неполной конденсации тонких
рассмотренного выше режима полной
уменьшается при увеличении температуры и лишь степенным образом возрастает с
Типичные зависимости скорости нуклеации и поверхностной плотности островков
времени в режиме неполной конденсации представлены на Рис.31. Сравнив его с
Рис.27, видим второе существенное отличие: в режиме полной конденсации скорость
зарождения примерно симметрична вблизи точки максимума пересыщения, а в режиме
124
неполной конденсации – существенно ассимметрична. Это связано с тем, что процесс
установления максимума пересыщения в режиме полной конденсации – медленный
0 20406080
0.0
1.0
1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
N
s
(t)/N
I(t)/I(
Φ
max
)
Time t
rate and island density
Рис.31. Зависимости
приведенных скорости
нуклеации (пунктир) и
поверхностной плотности
островков (сплошная линия)
от времени в режиме
неполно конденсации
(продолжительность стадии
нуклеации
∆
t=26 сек.)
Nucleation
й
процесс по сравнению с процессом нуклеации, а в режиме неполной конденсации –
наоборот, быстрый. Поскольку
∆
t>>
τ
A
, в первом приближении можно вообще считать,
что пересыщение мгновенно возрастает от нуля до
Φ
max
, а затем уже медленно спадает в
и этом имеет вид
процессе зарождения островков с постоянной времени
∆
t. Функция распределения
островков по размерам в режиме неполной конденсации пр
[]
⎪
⎪
⎨
⎧
<
−
=
)(,
))((cosh
),(
⎩
>
)(,0
*
*
2
t
t
tc
cN
tf
ρρ
ρρ
ρρ
ρ
из условия нормировки cN=I(
Φ
max
)
τ
D
/
Φ
max
и равна
нашей модельной системы (
τ
D
=3x10
-3
сек,
τ
A
=2.6
режиме полной конденсации. Это означает, что разброс по размерам островков в режиме
(2.79)
*
Константа c, как и ранее, определяется
τ
D
/
Φ
max
∆
t. Например, для параметров
сек) при
∆
t=10
τ
A
=26 сек и
Φ
max
=1, получим c=1.2x10
-4
, что на три порядка меньше, чем в
125
неполной конденсации возрастает на порядки величины. Размер
ρ
*
(t), определяющий
передний фронт спектра островков по размерам, есть максимальный размер островков,
зародившихся при ζ=
Φ
max
. В отличие от режима полной конденсации, который
характеризуется примерно гауссовым распределением по размерам, в режиме неполной
конденсации распределение по размерам имеет очень крутой передний фронт и медленно
убывающий «хвост» при
ρ
<
ρ
*
(t). Такой вид распределения типичен для конденсации в
условиях мгновенного создания пересыщения [2,53,211]. На основании проведенного
рассмотрения можно заключить, что зафиксировав, например, температуру поверхности,
возрастание скорости осаждения материала приведет к изменению вида функции
распределения островков по размерам от весьма широкого ассимметричного
распределения с очень круты передним фронтом и медленно сп дающ м «хвостом» в
области меньших размеров к узкому и симметр
м а и
ичному распределению по размерам. Тот
е эффект при фиксированной скорости осаждения может быть достигнут при понижении
в режиме полной
конден
ж
температуры поверхности. Таким образом, зарождение островков
сации всегда ведет к более однородному по размерам ансамблю островков, чем в
режиме неполной конденсации. Данное заключение будет проиллюстрировано
численными расчетами в следующем параграфе.
Поскольку формула (2.73) приближенно справедлива при всех t, максимальный
размер островков получается прямым ее интегрированием
[]
2/1
1
/
0
*
)cosh(ln)/2(1
1
ξ
τ
Γ+
∆Φ
∫
max
)(
ξρ
=
∆
dt
а у
о
tt
D
t
(2.80)
Степень з полнения поверхности островками без чета их слияния в режиме неполной
конденсации пределяется выражением
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Φ
−−= )()1()(
*
max
ttVtg
des
ρ
τ
γ
(2.81)
D
126
где γ
des
– десорбционный член, определенный в (2.45). При больших t (t/
Γ
1
∆
t>>1) (2.81)
переходит в линейную асимптотику g(t)=V(1-γ
des
)t=x, то есть в формулу, полученную
ранее для режима полной конденсации. Однако сейчас это простое соотношение заведомо
несправедливо при всех временах и нет никакой гарантии, что оно вообще установиться
до начала процесса коалесценции островков. Характерное время формирования монослоя,
опреде
ю к а
структурных характеристик растущего монослоя на различных стадиях роста от
параметров материала и условий роста. Однако для промежуточного режима конденсации
тонких пленок простые аналитические решения построить уже не удается и необходимо
проводить численные расчеты. Здесь необходимо отметить, что изложенная теория
формирования монослоя в равной степени применима и для случая гетероэпитаксии в
системах с малым рассогласованием решеток, когда рост пленки происходит по
двумерному механизму. В случае гетероэпитаксии
при исследовании процессов
формирования трехмерной пленки необходимо лишь учесть различия в параметрах
барьеры
когда
ленное из решения уравнения g(t
ML
)=1, будет заведомо много меньше времени
осаждения монослоя 1/V. Поэтому и скорость вертикального роста пленки будет много
меньше скорости осаждения. В связи с этим, режим неполной конденсации никогда не
использу т в ачестве технологического режим эпитаксиального роста тонких пленок.
Обычно он осуществляется при адсорбции на поверхности твердого тела в случае
невысоких пересыщениях
газообразной среды [1] или при формировании
субмонослойных островковых структур [2].
II.7. Численные расчеты кинетики формирования монослоя
Аналитические решения, полученные выше для двух предельных случаев полной и
неполной конденсации, полезны тем, что позволяют в явном виде проследить зависимость
(межфазовая энергия, активационные диффузии и десорбции и т.д.) нескольких
первых слоев вблизи поверхности подложки и верхних слоев, влияние подожки
127
с п
е
1
и критическую температуру T
c
), активационный барьер
е
я
Таким образом, при известных условиях роста мы
определили три безразмерных уп входящих в уравнение
ζ(
ττ
A
).
то д возможность е м
* * * D
тановиться несущественным. Трехмерный рост ленки будет рассмотрен в следующем
параграфе. В соответствии с результатами, изложенными в п. I.9, для описания
трехмерного роста необходимо знать кинетику формирования двумерных слоев друг на
друге. Поэтому сейчас перейдем к изложению схемы расчетов для монослоя либо на
поверхности подложки, либо на полностью заполненном предыдущем сло пленки
[21 ].
Для выбранной системы материалов необходимо задать следующие параметры:
теплоту фазового перехода Λ (ил
десорбции E
A
, предэкспоненциальный фактор
ν
A
, активационный барьер диффузии
адатома E
D
, предэкспоненциальный фактор
ν
D
, площадь адсорбционной ячейки
поверхности
σ
и межфазовую энергию на диницу длины границы двумерного островка
ε
.
Затем задаются условия осаждения: температура поверхности T и скорость осаждения
материала V. При известных физических параметрах системы и условиях осаждения,
рассчитываются равновесна заполненность поверхности адатомами
θ
eq
, время жизни
адатома на поверхности
τ
A
, характерное время роста островков
τ
D
(соответствующие
формулы приведены в начале п. II.1). Энергетический параметр a находится по формуле
(1.26). По формулам (2.4) и (2.61) рассчитываются пересыщение газообразной фазы
Φ
max
и
кинетический параметр
α
, соответственно.
(2.59) для пересыщения адатомов с функцией
Ψ
(ζ) вида (2.60). Решая его численно с
начальным условием ζ(0)=-1, определяем пересыщение как функцию времени: ζ(t)=
характеристиках системы и
равляющих параметра
Φ
max
α
и a,
Э ает численно рассчитать вс характеристики растущего онослоя.
Скорость нуклеации I(t) находится по формуле (1.37). При ζ<0, естественно, полагаем I
≡
0.
Функция распределения двумерных островков по размерам в момент времени t, в
соответствии с (1.46) определяется по зависимостям I(t) и ζ(t) с заменой аргумента t на
ρ
(t)-
ρ
: f(
ρ
,t)=I[
ρ
(t)-
ρ
]/ζ[
ρ
(t)-
ρ
]
τ
. Максимально представительный размер островков
128