Дондик Е.М. Системный анализ информационно-управляющих систем: Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
3.2. Операции с нечеткими множествами
Над нечёткими множествами могут совершаться определённые
операции. Рассмотрим некоторые свойства нечётких множеств
1. Эквивалентность. Нечёткое множество является эквивалентным,
когда для любых элементов этих множеств имеет место соотношение:
А
(x) =
B
(x), (3.3)
то есть функции принадлежности равны для любого элемента.
2. Включение. Нечёткое множество А содержится в нечётком
множестве В тогда, когда для всех элементов базового множества Х имеет
место соотношение:
А
(x)
B
(x). (3.4)
Например, если Х – все русские писатели, В – множество писателей,
А – множество прогрессивных писателей.
3. Алгебраическая сумма. Эта операция с нечёткими множествами
обозначается А
В. Для неё функция принадлежности:
А
В
=
А
(х) +
В
(х) -
А
(х)
В
(х) (3.5)
и эквивалентна вероятности суммы двух совместных событий.
Например: Х = {a,b,c,d,e} – базовое множество, при этом:
А = 0,1/a + 0,2/b + 0,5/c + 0,6/d + 1/e ,
B = 0,5/b + 0,6/c + 0,3/d .
В этом случае алгебраическая сумма
А
В = 0,1/a + 0,6/b + 0,8/c + 0,72/d + 1/e.
4. Дополнение. Если А – размытое множество, тогда функция
принадлежности множества
:
(x) = 1 -
А
(х). (3.6)
Применительно к рассмотренному примеру:
А = 0,9/a + 0,8/b + 0,5/c + 0,4/d .
5. Объединение. Если А и В – нечёткие множества, то при операции
объединения A
B функции принадлежности:
А
В
(х) =
max (
А
(х)
В
(х)) =
А
(х)
В
(х), (3.7)
где - поиск максимума из двух.
Например, из предшествующего примера:
А
В = 0,1/a + 0,5/b + 0,6/c + 0,6/d + 1/e.
6. Пересечение. Если А и В – нечёткие множества, то функция
принадлежности их пересечения А
В минимальна:
А
В
(х) =
min [
А
(х)
В
(х)] =
А
(х)
В
(х), (3.8)
где – минимум из двух.
Например:
А
В = 0,2/b + 0,5/c + 0,3/d .
21
7. Произведение. Если А и В – нечёткие множества, то функция
принадлежности их произведения А В имеет вид:
А В
(х) =
А
(х)
В
(х). (3.9)
Например:
А В = 0,1/b + 0,3/c + 0,18/d .
8. Возведение в степень. Если А – нечёткое множество и возводится в
положительную степень > 0, A
, то это приводит к растяжению нечёткого
множества, если это дробная степень A
1/2
,то концентрация, обозначаемая
как A
= con(A).
Например, можно увидеть на рисунке:
1)
А
(х)
раст
con
х
2) Х = {1,2,3, … ,10};
“Число примерно 5”: A = 0,8/3 + 1/5 +0,6/6;
“Число примерно 4”: B = 0,3/3 + 1/ 4 + 0,5/6
A = 1/1 +1/2 + 0,2/3 + 1/ 4 + 0,4/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10
AB = 0,8/3 + 1/ 4 + 1/5 + 0,6/6
AB = 0,3/3 + 0,5/6
AB = 0,56/3 +0,3/6
9. Комбинация нечётких множеств. Если А
1
,А
2
, … , А
n
– являются
нечёткими подмножествами универсального множества Х, а
1,
2, … ,
n
-
являются неотрицательными весовыми коэффициентами, для которых
выполняется условие:
n
i 1
i
= 1, то выпуклая комбинация нечёткого
множества образует нечёткое множество А с функцией принадлежности:
A
(X) =
1/
1
+
2/
2
+ … +
n/
n
. (3.10)
10. Декартово произведение. Если А
1
,А
2
, … , А
n
– нечёткие
подмножества универсальных множеств Х
1
,Х
2
, … ,Х
n
, тогда декартовым
произведением размытых множеств называется нечёткое множество А
1
х А
2
х … х А
n
заданное на декартовом произведении базовых множеств Х
1
х Х
2
х
… х Х
n
и имеют функцию принадлежности:
A
=
1
(x
1
)
2
(x
2
) …
n
(x
n
). (3.11)
Например: Х
1
= Х
2
= {3,5,7}
А
1
= 0,5/3 + 1/5 + 0,7/7;
А
2
= 1/3 + 0,6/5,
тогда:
А = А
1
х А
2
= 0,5/(3,3) + 1/(5,3) + 0,7/(7,3) + 0,5/(3,5) + 0,6/(5,5) + 0,6/(7,5)
22
3.3. Нечёткие отношения
На основе декартова произведения в рассмотрение вводится понятие
нечёткого отношения. n-арное нечёткое отношение R в Х
1
´
Х
2
´
…
´
Х
n
является нечётким подмножеством. Особую роль при построении
математической модели нечётких систем играют нечёткие бинарные
отношения.
Нечётким бинарным отношением R называется нечёткое
подмножество множества Х ´ Х, характеризуемое функцией
принадлежности:
R
(x
i
, x
j
) =
R
i j
для всех < x
i
, x
j
> Х ´ Х и принимающее
значение от 0 до 1. Для решения практических задач нечёткие бинарные
отношения удобно задавать в виде матрицы.
Допустим, элементы множества Х представлены в виде
последовательности:
Х = {х
1
, х
2
, х
3
, х
4
} .Тогда матрицу нечёткого бинарного отношения:
R = 0,1/(x
1
x
2
) + 0,1/(x
1
x
2
) + 0,5/(x
2
x
3
) + 0,2/(x
3
x
2
) + 0,7/(x
4
x
1
)
можно представить в виде матрицы:
х
1
х
2
х
3
х
4
0,1 0,1 0 0 x
1
R = 0 0 0,5 0 x
2
0 0,2 0 0 x
3
0,7 0 0 0 x
4
Пересечением нечётких бинарных отношений R и Q называется
нечёткое бинарное отношение R
Q, определяемое функцией
принадлежности:
R
Q
= (x
i
x
j
) =
R
(x
i
x
j
)
Q
(x
i
x
j
), (3.12)
где – минимальное отношение.
Пример:
1 0,3 0 0 0,5 0
Если [R] = 0,7 1 0 ; [Q] = 0 0,6 0,9 ,
0,2 0 0,4 0,1 0,5 0
то матрица пересечений будет иметь вид:
0 0,3 0
[R
Q] = 0 0,6 0 .
0,1 0 0
Объединением нечётких отношений R и Q называется отношение R
Q, характеризуемое функцией принадлежности:
R
Q
= (x
i
x
j
) =
R
(x
i
x
j
)
Q
(x
i
x
j
) . (3.13)
Для предыдущего примера R
Q имеет вид:
1 0,5 0
[R
Q] = 0,7 1 0,9 .
0,2 0,5 0,4
23
Дополнением нечёткого отношения R называется отношение
R
с
функцией принадлежности типа:
R
(x
i
x
j
) = 1 -
R
(x
i
x
j
). (3.14)
Для отношения R из ранее рассмотренного примера имеем:
0 0,7 1
[
R
] = 0,3 0 1 .
0,8 1 0,6
Обратным отношением к отношению R называется R
–1
с функцией
принадлежности:
R
–1
(x
i
x
j
) =
R
(x
j
x
i
), (3.15)
т.е. матрица R
–1
является трансендентом по отношению к матрице R.
Для примера:
1 0,7 0,2
[R
–1
] = 0,3 1 0 .
0 0 0,4
Для практического применения аппарата теории нечётких множеств
важным является принцип обобщения (рассмотрения). С его помощью
можно понятие функции переносить на размытое множество.
Допустим:
f – отображение X на Y, т.е. y = f(x), где x и y – производные элементы из
X и Y;
А – нечёткое подмножество х, заданное в виде:
А =
1
/х
1
+
2
/х
2
+ … +
n
/х
n
(3.16)
или в общем виде:
А =
X
А
(х)/х . (3.17)
В соответствии с принципом обобщения интеграла образ А после
действия функции f задаётся:
f(А) =
1
/f(х
1
) +
2
/f(х
2
) + … +
n
/f(х
n
) (3.18)
или в непрерывном случае:
f(А) =
X
А
(х)/f(х) , (3.19)
где f(x) – точка множества Y;
А
(х) задаёт степень принадлежности f(х) нечёткому подмножеству f(А)
множества Y, поэтому образ множества А при отображении f можно
получить зная образы элементов х
1
, х
2
, … ,х
n
при отображении.
В случае, когда имеется функция n-переменных, т.е.:
f = X
1
´ X
2
´ X
3
´…´ X
n
Y,
и нечёткое множество А, X
1
´ X
2
´ X
3
´…´ X
n
определяется функцией
принадлежности
А
(х
1
, х
2
, … ,х
n
), где х
i
Х
i
. Принцип обобщения можно
представить в следующем виде:
f(А) = f [
´´
1
A
(х
1
… x
n
) / (х
1
… x
n
)] =
A
(х
1
… x
n
) / f(x
1 …
х
n
). (3.20)
24
Если известно не само множество А, а только проекции А
1
,А
2
, ... , А
n
на
Х
1
,Х
2
, … ,Х
n
, то функция принадлежности:
A
(х
1
… x
n
) = (
A1
/(х
1
)
A2
/(х
2
) …
An
/(х
n
)). (3.21)
Из полученных соотношений следует, что принцип обобщения даёт
возможность осуществить отображение нечётких множеств из одного
пространства в другое.
Например: Х
1
= Х
2
= {1,2,3,…,10}. На базовых множествах заданы нечёткие
множества:
А
1
~ 2 = 0,6/1 + 1/ 2 + 0,8/3;
А
2
~ 6 = 0,8/5 + 1/6 + 0,7/7.
Функциональная зависимость задана:
f(X
1
, X
2
) = X
1
X
2
– арифметическое произведение базовых множеств.
Требуется найти функцию f(A
1
, A
2
) нечётких множеств:
f(A
1
,A
2
) = 2*6 = (0,6/1 + 1/ 2 + 0,8/3)*(0,8/5 + 1/6 + 0,7/7) =
= 0,6/5 + 0,8/10 + 0,8/15 + 0,6/6 + 1/12 + 0,8/8 + 0,6/7 + 0,7/21 = 12.
3.4. Нечёткая переменная
Более сложным понятием в теории принятия решений является
переменная, включающая в себя нечёткие множества.
Задаётся нечёткая переменная тремя параметрами: [X, U, R(x)], где
Х – название переменной; U – базовое множество; R(x) – нечёткие множества
подмножества, представляющие собой нечёткое ограничение и обусловленны
названием переменной.
Например, скорость самолёта представляется в виде следующего
графика:
U – базовое множество от 0 до ;
R(x) задаёт ограничение на интервале непрерывного базового множества.
1
СУ 0,8
ТУ 0,3
ПО-2 0,1
U, км / ч
0 200 900 2000
Каждому нечёткому названию присваивается число из Х = U : R(x) –
уравнение назначения на нечёткую переменную. Ту степень, с которой
удовлетворяется это равенство, называют совместимостью U с R(x).
Фактически она определяется функцией принадлежности
R(x)
(U).
Пример:
R(x)
(200) = 0,1.
Главная проблема – получить
R(x)
, так как она является субъективной
величиной, обычно определяемой методом экспертных оценок.
25
4. Анализ информационно-управляющих систем
4.1. Общие методические указания
Итак, вы приступаете к освоению практических задач формулировки
и системного анализа информационно-управляющих систем.
Перед вами ставится главная цель - научиться принимать наилучшие
(оптимальные) решения в сложных ситуациях со многими
противоречивыми требованиями и при существующих ограничениях.
Для этого от вас требуются:
- внимательность;
- самостоятельность (не стоит узнавать, что делает сосед по столу, и
копировать его);
- творчество (сочиняя обстановку и условия операции, не скупитесь
на фантазию).
Прежде чем приступить к выполнению первого задания, вы должны
мысленно выбрать себе роль руководителя любого ранга (мастера,
начальника цеха, директора, научного руководителя, организующего
сложный научный эксперимент, военного командира и т.д.), принимающего
решение по управлению любой системой, в которой циркулируют потоки
управляющей информации. Выбирая объект исследования и разрабатывая
управляющую информацию, необходимо иметь в виду, что при этом должна
быть заложена возможность различной организации процесса управления,
разных вариантов решения. От организации операции управления зависит
достигаемый ею эффект, поскольку целью обычно выбирается
максимизация конечного результата или минимизация связанных с ним
расходов. При этом в условиях управления (как и всегда в реальной
жизни) существуют ограничения, мешающие прямому достижению
максимальной эффективности, без каких-нибудь уступок.
Не упускайте из виду, что цель управления, ограничения на
операцию и оптимальное решение должны будут в итоге выполнения
упражнений выражены в математической формулировке. Это в
дальнейшем, а сейчас…
4.2. Системный подход к объектам управления
ЗАДАНИЕ 1. ВЫБЕРИТЕ И ОПИШИТЕ ОБЪЕКТ СИСТЕМНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
ИЗ ЗНАКОМОЙ ВАМ ОБЛАСТИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
Объектом теории исследования являются большие человеко-
машинные (организационно-управленческие) системы. К ним относятся
предприятия, объединения, учреждения материально-технического
снабжения и торговли, научно-исследовательские институты и высшие
учебные заведения, министерства, ведомства, системы распределения
материальных, финансовых и трудовых ресурсов, текущего и
перспективного планирования и т.д. Объектом исследования могут быть
также сложные технические информационные системы, системы
управления технологическими процессами или боевыми операциями,
26
системы организации обмена информацией, сложные разветвленные сети
связи или энергоснабжения и др. Характерной особенностью таких систем
является то, что они наряду с вещественными, денежными, энергетическими
и информационными ресурсами в качестве составных элементов включают
в себя коллективы людей, взаимодействующих между собой и с
вещественной, а также энергетической и информационной частью. Общей
чертой для них является управляемость, т.е. способность изменять свое
состояние, движение или развитие во времени в зависимости от
принимаемых управляющих решений.
Содержанием процесса исследования служат диагностический анализ
структуры системы и принципов ее функционирования, разложение системы
на элементарные подсистемы и процессы с целью синтеза оптимальной
структуры и выбора наиболее эффективных вариантов протекания
последних и управления ими.
Включение в вещественные системы людей, необходимость учета их
интересов и взаимодействия как с вещественной частью системы, так и с
коллективами людей других систем, составляющих окружающую среду, -
отличительная черта теории системного анализа от других прикладных
направлений, например теории оптимального управления.
Процесс принятия решений - одна из форм научного познания
действующего способа производства с целью наиболее полного удов-
летворения потребностей членов общества. Он должен быть организован
планомерно, систематично и экономно. Важно не просто методологически
обосновать какую-либо совокупность мероприятий по достижению цели, но
и осуществлять ее возможно эффективнее.
Таким образом, процесс принятия решения - одна из форм научного
подхода к достижению оптимальных целей в человеко-машинных системах.
Он ориентирован на решение новых задач, посредством которых должна
совершенствоваться действующая система. Исследователи обязаны, исходя
из обстоятельного знания практики, выявить новые проблемы,
закономерности объективных явлений, находить наиболее эффективные
пути их практической реализации.
Успех и эффективность системного анализа обеспечиваются лишь в
том случае, если осознана структура исследования, если она реализуется
практически, постоянно улучшается в методологическом и методическом
отношениях.
ЗАДАНИЕ 2. СОСТАВЬТЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ПЛАН СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
ВЫБРАННОГО ОБЪЕКТА ИССЛЕДОВАНИЯ. ЗАПИШИТЕ ЕГО В
ТЕРМИНАХ, ПРИМЕНИМЫХ К ВАШЕМУ ОБЪЕКТУ.
Научной основой обоснования и принятия решений является
системный подход.
Системный подход предполагает учет всех факторов, влияющих на
решение задачи, взаимодействие системы с окружающей средой. Он поз-
воляет понять функционирование системы не столько из анализа структуры
частей и связей между ними, сколько из проникновения в их структуру,
опираясь на понимание функционирования системы как целого.
27
Системный подход есть конкретно-практическая реализация метода
познания в исследовании проблем. Он содержит главные принципы и
способы подхода: взаимосвязь и развитие, необходимость и случайность,
возможность и действительность, качественные различия части и целого,
связанность и автономность и т.д.
Системный подход представляет собой совокупность методологи-
ческих принципов и теоретических положений, позволяющих рассматривать
каждый элемент системы в его связи и взаимодействии с другими. Его
сущность состоит в определенной направленности и последовательности
анализа систем, предполагающих сосредоточение внимания прежде всего на
их структуре, модели, компактном составе, характере внутренних и внешних
связей, особенностях, пространственно-временной организации
компонентного состава и связей, их устойчивости и чувствительности.
Важны последовательность изучения характера функционирования
системы (отдельных подсистем) с целью синтеза глобального оптимума,
рассмотрение ее во всех стадиях жизненного цикла. Учет последних дает
возможность с достаточной полнотой выяснить ее взаимодействие с другими
системами и окружающей средой.
Рассматривая методологию проведения системного анализа, можно
выделить следующие этапы:
- уяснение задачи;
- определение конечных целей;
- разработка альтернатив, т.е. вариантов и средств достижения
поставленных целей;
- выявление потребных ресурсов и ограничений в них;
- анализ взаимовлияния целей, альтернатив и ресурсов;
- принятие решения;
- реализация решения.
Системный подход дает возможность глубже рассмотреть процессы,
связанные с оптимальным функционированием объектов и систем управления.
ЗАДАНИЕ 3. СОСТАВЬТЕ ПЛАН ВАШИХ ДЕЙСТВИЙ ПО ОПЕРАЦИОННОМУ
ИССЛЕДОВАНИЮ ОБЪЕКТА.
Применительно к исследованию системный подход позволяет
определять наиболее целесообразную последовательность действий,
направленных на достижение целей. При этом можно выделить следующие
основные этапы принятия решений.
1.Постановка проблемы:
- выявление проблемы;
- формирование цели и критериев;
- анализ проблемы, ее качественная формулировка;
- построение математической модели.
2.Поиск оптимальных решений:
- решение математических моделей по различным критериям;
- синтез оптимального решения;
- исследование решения на чувствительность к изменению
коэффициентов модели.
28
3.Принятие и реализация решения:
- принятие решения;
- реализация принятого решения;
- оценка наилучшего результата;
- корректировка модели.
В изучаемых методических указаниях рассмотрены вопросы, относя-
щиеся, в основном, к 1-му этапу принятия решений, именно к анализу и
постановке проблемы. Вопросы поиска и принятия оптимальных решений
изучаются в лекционном курсе и в процессе лабораторных занятий.
4.3. Постановка проблемы исследования операции
4.3.1. Выявление проблемы
ЗАДАНИЕ 4. ОПРЕДЕЛИТЕ И СФОРМУЛИРУЙТЕ ПРОБЛЕМНУЮ СИТУАЦИЮ,
ВОЗНИКАЮЩУЮ В ПРОЦЕССЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОБЪЕКТА
ИЛИ УПРАВЛЕНИЯ ИМ.
Под проблемой понимается несоответствие между желаемым и дей-
ствительным. Так как в ходе производственной деятельности человек, с
одной стороны, удовлетворяет свои потребности, с другой - создает
одновременно новые, то стремление их удовлетворить порождает цели.
Между стремлением к достижению поставленной цели и возможностью ее
осуществления могут возникать противоречия. Осознанную человеком си-
туацию существования противоречия между поставленной целью и воз-
можностью ее осуществления можно назвать проблемной ситуацией.
Системный анализ - это научный инструмент изучения явления, анализа и
решения проблем в сложных технических и человеко-машинных
информационных системах.
Очевидно, системный анализ должен начинаться с осознания
проблемной ситуации. Она возникает при активном и сознательном
столкновении человека с окружающей средой. Осознание несоответствия
между
желаемым и действительным позволяет выявить проблему. Однако ее
можно понять и дать формализованное описание только посредством
анализа и синтеза данных, относящихся к проблеме. Уже на стадии
выявления проблемы исследователь руководствуется некоторыми целевыми
установками. Но лишь после того как сформулирована и продетализирована
проблема, можно уточнить цели, дать формализованное выражение
критериев оптимальности как средства ее достижения.
4.3.2. Формулирование цели и критериев оптимальности
ЗАДАНИЕ 5. ОПРЕДЕЛИТЕ И СФОРМУЛИРУЙТЕ КАК МОЖНО ПОЛНЕЕ ЦЕЛЬ
ОПЕРАЦИИ.
Выбор цели и формирование системы критериев, позволяющих соиз-
мерить затраты с полученными результатами, составляют основу следую-
щего этапа. Постановка проблемы включает в себя выделение контуров
исследуемой системы. Цель может быть сформулирована только с позиций
29
надсистемы. Она определяется в первую очередь потребностями, являю-
щимися выражением несоответствия (неравновесия) между желаемым и
действительным. Уже на самых первых фазах уяснения задачи необходимо
иметь представление о тех целях, которые предполагается достичь.
Очевидно, что на этой стадии цели носят еще аморфный, качественный
характер. Поскольку в разрабатываемой системе все ее основные свойства и
характеристики рассматриваются с учетом достижения поставленных целей
(желаемых результатов), то важным шагом при определении целей является
выбор способа их задания.
Можно отметить основные способы задания целей:
- посредством перечня внешних требований, которым должен удов-
летворять предполагаемый результат;
- путем определенного перечня свойств и характеристик, которым
должен обладать предполагаемый результат. Свойства отличаются от тре-
бований тем, что свойства относятся непосредственно к самому результату, а
требования выступают как внешние условия, которым должны
удовлетворять свойства;
- в виде четко сформулированного по содержанию и по форме пред-
ставлений результата, который должен быть достигнут.
Данные способы задания цели от общих требований до конкретного
результата обусловлены имеющейся у проектировщика информацией.
На начальных стадиях проектирования можно сформулировать, как
правило, лишь общие требования к желаемому результату. По мере по-
лучения информации о структуре и параметрах системы на основе
требований можно определить свойства и характеристики системы. При
дальнейшем уточнении информации и декомпозиции генеральной цели на
более мелкие части можно представить желаемый результат в виде
конкретных количественных соотношений.
Таким образом, способы задания целей можно представить в виде
цепочки: требования к результату - свойства результата - результат.
Так как любая организационная система предназначена для наиболее
полного удовлетворения каких-либо потребностей, то целью должен быть
уровень качества обслуживания потребителей. Например, выявление
потребностей логически входит в организацию торговли, материально-
технического снабжения и др. Кроме главной цели у них есть ряд
внутренних целей. К ним относятся прибыль, издержки функционирования и
т.д. Если наряду с потребностями в материальных, финансовых и трудовых
ресурсах (потребности первого вида) рассматривать потребности в "услугах"
по удовлетворению потребностей первого вида (потребности второго вида),
то можно сказать, что целью системы материально-технического снабжения
служит установление динамического равновесия в системе хозяйственной
деятельности. Измерителем степени этого удовлетворения могут быть
прибыль или приведенные совокупные затраты, связанные с
функционированием системы. Причем в совокупные затраты включаются:
капитальные вложения по развитию системы, текущие эксплуатационные
30