Дондик Е.М. Системный анализ информационно-управляющих систем: Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

«проклятьем размерности», т.е. лавинообразного возрастания сложности при

попытках более детально описать систему. Вторая трудность связана с

учетом неопределенностей, присущих анализируемой проблеме, т.к.

слабоструктурированная проблема характеризуется большим числом

неопределенностей.

Применение системного анализа к решению слабоструктурированных

проблем привело к разработке математических методов, позволяющих

учитывать различные неопределенности. Этим занимается теория нечетких

множеств.

1.4. Определение конечных целей в системном анализе

Центральным этапом методологии системного анализа является

определение целей. На первых фазах уяснения задачи необходимо иметь

представление о целях, которые предполагается достичь в результате

разработки АСУ или АСНИ. Поэтому на этапе уяснения задачи вместе с

анализом информации о системе уточняется цель проектирования: что

можно улучшить, до какой степени, каких результатов достичь. Т.к. для

содержательного определения цели необходимо построить параметрическую

модель системы, то для формализации процесса проектирования необходимо

уяснить отношения, связывающие параметры системы с целью. Цели обычно

формулируются не в терминах состояний системы, а в своих целевых

понятиях в виде целевых параметров V. Целевые параметры образуют

вектор цели: V={V

,…,V

}. Каждый целевой параметр V

является

функцией связи с состоянием системы C:

)(CV





. Установление этих

отношений позволяет уточнить какие параметры связаны с данной целью,

т.е. какие средства могут быть использованы для ее достижения. Т.к. в

разрабатываемой системе все ее свойства и характеристики проектируются с

учетом достижения цели, то важно определить способ задания целей. Можно

выделить 3 способа задания цели.

1. Цель может быть задана посредством перечня внешних требований D

которым должен удовлетворять предполагаемый результат.

2. Цель может задаваться путем определения перечня свойств М

характеристик D

, которыми должен обладать предполагаемый

результат. Свойства отличаются от требований тем, что свойства

относятся непосредственно к самому результату, а требования

выступают как внешние условия, которым должны удовлетворять

свойства.

3. Цель может быть задана в виде четко сформулированной по содержанию

и по форме представления результата R, который должен быть достигнут.

Таким образом, способы задания целей можно представить в виде

цепочки: TP CP P (ТР – требования к результату, СР – свойства

результата, Р – результат).

После того как цель сформулирована, появляется возможность выбора

связанных с ней критериев. В анализе под критерием понимается правило,

по которому проводится отбор тех или иных средств достижения цели. В

том случае, когда между целью и средствами ее достижения имеется

четкая однозначная связь, критерий может быть задан в виде аналитического

выражения. Например: целевые функции исследования операций, когда

критерий эффективности позволяет определить управляющие воздействия,

обеспечивающие заданную цель управления. Поэтому в таких случаях, т.е. в

исследовании операций понятия цели и критерия не различаются.

В сложных системах, когда цели имеют качественный характер и нет

аналитического выражения, необходимо отличать цели от критериев,

характеризующих средства их достижения.

Т.к. глобальную цель обычно не удается связать со средствами ее

достижения, то осуществляется разбиение (декомпозиция) генеральной

цели на более мелкие локальные цели, позволяющие выявить средства их

достижения. Поэтому центральным методом системного анализа является

метод поэтапного расчленения генеральной цели на составные элементы,

названный методом построения дерева целей.

Дерево теории графов – это связный граф, не имеющий циклов, и оно

является математической (иконографической) моделью любой системы

S = { A, Rq }, зависящей от А – множества вершин дерева и Rq – ветвей

дерева (дуги графа), соответствующих заданному отношению древесного

порядка. Отношение строгого порядка на множестве А называется

отношением древесного порядка Rq , если для любых а

, а

 A будут

выполнятся следующие условия:

1. Из того, что аi < аj и аi < аk, следует, что аj  аk сравнимы.

2. На множестве А существует наибольший элемент а

, такой, для

которого выполняется соотношение а

> аj для всех аj  А.

Множество А с заданным древесным порядком, т.е. пара <A , Rq> ,

называется деревом, а а

– корнем дерева. Из этих условий следует, что в

каждую вершину дерева, кроме а

, входит единственная стрелка, из каждой

вершины выходит несколько стрелок.

а0

а11 а12 а13

а111 а112 а113 а121 а122 а131 а132

а 1121 а1122 а 1123 а1311 а 1312

Вершины, над которыми вершина аi непосредственно доминирует,

называются её окрестностью. Окрестность корня образует первый ярус

(уровень) вершин дерева. Окрестности всех вершин дерева первого уровня

образуют 2-й уровень и т. д. Дерево является удобным средством для

представления существующих в системе иерархий.

Корень дерева отождествляется со всей системой, а уровни дерева – с

подсистемой и элементами. Аналогично строится и дерево целей, где

корень дерева соответствует генеральной цели, а остальные вершины

относятся к моделям. Разбиение генеральной цели на подцели продолжается

до тех пор, пока не появляется возможность связать цели нижних уровней

дерева со средствами, обеспечивающими выполнение этой цели.

Следовательно, главная задача построения дерева целей – это установление

набора средств, обеспечивающих решение поставленной генеральной цели,

и выявление связи между этими целями (средствами). При реализации

метода построения дерева целей можно выделить два этапа.

1. Построение первоначального варианта дерева целей. При этом он

разделяется на подэтапы, предусматривает выбор:

а) принципа построения дерева цели;

б) принципа детализации элементов на каждом уровне;

в) глубины детализации;

г) взаимосвязей между элементами.

2. Определение коэффициентов относительной важности дерева, его

отдельных элементов и формирование окончательного варианта дерева.

Здесь выделяют следующие этапы:

а) выбор критериев оценки цели;

в) ранжирование критериев, расчёта коэффициентов относительной

важности дерева целей и уточнение дерева на основе результатов анализа.

При выполнении первого этапа выделяют 2 подхода к построению цели.

1. Если задана цель системы, а подсистемы не определены, то процесс

построения дерева цели сводится к детализации цели и

осуществляется сверху вниз:

Vi …………Vk

2. Если определены цели отдельных подсистем Vi , то но основании их

упорядочивания и учета связей может быть определена цель всей системы

V , то есть построение дерева снизу вверх:

Vi …………Vk

При использовании подхода сверху вниз трудно гарантировать

полноту получаемой структуры целей, то есть можно пропустить некоторые

цели Vi , важные для достижения генеральной цели. Применение подхода

снизу вверх повышает полноту структуры, но приводит к необходимости

разрабатывать специальные приемы для сокращения вариантов перебора. На

практике используются оба подхода.

Можно выделить два принципа, положенные в основу вида дерева

цели. При построении дерева цели, обычно проверяется выполнение

определенных условий, к которым относятся:

1) соподчиненность, то есть цели нижнего уровня должны быть

подчинены целям более высокого уровня и представлять

составляющие и элементы;

2) сопоставимость, то есть на каждом уровне системы должны

располагаться цели, сопоставимые по масштабу и значимости;

3) полнота, то есть система целей должна включать всю совокупность

целей, вытекающих из генеральной цели высшего уровня;

4) взаимосвязанность, то есть в системе целей не могут

присутствовать изолированные цели, не связанные с другими;

5) реальность, то есть цели должны быть достижимы, с точки зрения

реальных возможностей и ресурсов.

1.5. Оценка целей в системном анализе

Чтобы перейти от целей к мероприятиям по их достижению,

необходимо детально уяснить характер взаимосвязей между целями. Можно

выделить три вида взаимозависимостей между целями одного уровня:

1) взаимодополнение целей, если цель V

достигается только в том

случае, если достигается цель V

, и наоборот;

2) безразличие целей, если цель V

достигается независимо от

достижения цели V

;

3) конкурентность цели, когда ограниченное количество ресурсов

может быть направлено на достижение либо цели V

, либо цели V

Взаимозависимость цели одного уровня учитывается с помощью

коэффициента взаимной полезности (КВП). Эти коэффициенты

определяются на основе экспертных оценок.

В таблице приведён пример приведения коэффициентов взаимной

полезности.

В таблице на пересечении V

строки и столбца V

проставляется

значение коэффициента, показывающего влияние элемента столбца на

элемент строки. Так, значение коэффициента КВП = 1.0 означает, что

реализация элемента столбца автоматически обуславливает реализацию

элемента строки. В таблице видно, что цель V

не влияет на реализацию цели

Vn ( 0 ), а реализация цели Vn не влияет на реализацию цели V1 ( 0 ). Чтобы

выявить характер взаимосвязей между целями различных уровней и

…

V1 … Vk …Vn

1.0 … 0.3 … 0

0.7 … 1.0 … 0.9

0.4 … 0 … 1.0

определить влияние каждой из них на достижение генеральной цели, в

рассмотрение вводят коэффициенты относительной важности цели W.

Для расчета коэффициента относительной важности используются две

группы критериев:

1) критерий оценки элементов данного уровня дерева цели, с точки

зрения их вклада в достижение цели более высокого уровня и

насколько данная подцель важна для цели;

2) критерий оценки цели с позиции возможности их организации.

Число и конкретное содержание критериев в каждом частном

случае зависит от специфики проблемы.

Если цель рассматривается с точки зрения удовлетворения

–критерия, причём известны оценки весов критериев U



, сделанные

отдельными экспертами (их число

Gq ,1

), то расчет коэффициентов

относительной важности протекает в следующей последовательности.

1. Определяются суммарные коэффициенты относительной важности

i–элемента рассматриваемого уровня дерева цели по всем критериям с

учётом весов критериев (их вкладов) по следующей формуле:











ijq

qijq

kUk

, (1.5)

где K

ijq

– суммарный коэффициент относительной важности i–элемента для

достижения цели j–элемента, назначенного q–экспертом;



ijq

– значение коэффициента относительной важности i–элемента

рассматриваемого дерева цели для достижения j–элемента вышележащего

уровня дерева цели по –критерию значения, назначенного q–экспертом.

2. Рассматривается коэффициент относительной важности W

для

достижения цели всех элементов следующего более высокого уровня дерева

цели, который детализирует i–элемент с учетом их коэффициентов

относительной важности для q–эксперта:





jijqiq

WkW

, (1.6)

где n – количество целей, лежащих выше заданного уровня, W

–

окончательное значение коэффициентов относительной важности j–цели

вышележащего уровня. На самом высшем уровне W

= 1.

3. Определение коэффициентов относительной важности цели

рассматриваемого уровня с учётом их взаимной полезности W

= W

* K

ВП

, (1.7)

где K

BП

находится из матрицы коэффициентов взаимной полезности,

составленной q–м экспертом, причем K

BП

определяется, как сумма

коэффициентов, расположенных в i–м столбце. Например, для таблицы

BП

= 1 + …+ 0,7 + …+ 0,4.

4. Производится нормировка

по формуле:





ВН

; (1.8)

5. Рассчитывается окончательное среднее значение коэффициентов

относительной важности с учётом компетентности отдельных экспериментов:









ВН

, (1.9)

где h

– вес q–эксперта.

На следующем, нижнем, уровне процедура повторяется. Степень

важности каждой цели для выполнения генеральной цели определяется

получением коэффициента относительной важности, являющегося

необходимой информацией для лиц, планирующих достижение

поставленных целей, т.к. позволяет при ограниченности ресурсов отбирать

цели, требующие достижения в первую очередь.

2. Отношения в системном анализе

2.1. Отношения и их свойства

Важную роль в построении моделей играют отношения. Отношения

бывают одноместные (унарные), двухместные (бинарные), трехместные

(тернарные), n-арные. Наиболее распространены бинарные отношения.

Счетное множество M определено в евклидовом пространстве

Бинарным отношением R на множестве М называется подмножество

декартова произведения множества M на самого себя:

MMR ´

Следовательно, бинарное отношение R представляет собой множество

упорядоченных пар <x , y> некоторых элементов множества M. Если

Mx 

My 

и данная упорядоченная пара находится в бинарных отношениях R,

то это записывается в виде xRy.

Примерами отношений могут быть x = y – отношение равенства,

x > y – отношение порядка со смыслом x больше y ( x “старше” y).

Частным случаем отношений является функция. Если задано отношение

F на множестве М так, что для каждого

Mx 

существует ровно один элемент

My 

, для которого справедливо отношение

xFy

. Такое отношение

называется функцией

)(xFy 

. Бинарное отношение может быть задано в

виде матриц, графиков или сечений окружностей единичного радиуса.

При матричном задании бинарного отношения R берут двухвходовую

матрицу и каждой строке или столбцу взаимно-однозначно сопоставляется

элемент множества M. При этом каждое пересечение <x , y> взаимно-

однозначно соответствует элементу множества

MM ´

. Если элементы

находятся в отношении M, то на пересечении строки и столбца ставится

1. Например, множество M содержит 5 элементов

54321

,,,, xxxxx

. Тогда

декартово произведение

MM ´

можно представить в виде квадратной

матрицы

55´

. Допустим отношение R имеет вид:

},,,,,,,,,,,,,,,,,,,{

25155434531342324121

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxR 

Если первым элементом упорядоченных пар

xx ,

поставить в

соответствие строки матрицы, а вторым – столбцы, то матричное

представление отношения R будет иметь вид матрицы B:

54321

xxxxx

Матрица B, задающая бинарное дерево,

называ-

ется матрицей смежности.

Другой способ матричного задания отношения R

заключается в построении такой матрицы

}{

aA 

, в

которой каждому столбцу взаимно-однозначно

соответствует элемент множества M, а каждой

строке – пара

Rxx

,



















Rxxxx

Rxx

kjjk

,,,,

Таким образом, эта матрица будет иметь вид:

54321

xxxxx

















10010

10001

01100

11000

10100

00101

00110

01010

01001

00011

Матрица, заданная таким образом, называется матрицей инциденций.

При задании отношений с помощью графов элементы множества М

изображаются точками, а стрелки, направленные от х

 М к х

 М, харак-

теризуют заданное отношение R. Для приведённого выше примера

отношение R будет иметь вид, показанный на рисунке.

Понятие отношений широко используется при анализе систем и в

процедуре принятия решений.

2.2. Свойства отношений

Отношение равенства (диагональное отношение) может быть записано

таким образом: xEy, которое означает, что x и y один и тот же элемент

множества E. Отношение R

-1

называется обратным отношению R на















00011

10100

10001

01100

01010

множестве M, если для любых x и y из множества M соотношение xR

-1

равно соотношению yRx.

1. Свойство рефлексивности. Отношение R будет рефлексивным, если

имеет место условие

RE 

(R принадлежит или равно E), т.е. отношение

равенства является подмножеством R. Например, отношение выполняется

между элементом и им самим. Если x похож на y, то x похож на X. В

матричном виде это будет соответствовать условию, если на всех диагоналях

стоят единицы, а на графике, если каждое условие имеет петлю.

2. Свойство антирефлексивности. Отношение R называется

антирефлексивным, если

0ER 

(пересечение R и E – не пустое

множество), т.е. из соотношения xRy следует, что

yx 

. Например:

а) x старше y ;

б) работа y не может быть начата пока не закончится x.

В матрице, задающей отношение антирефлексивности, на всех диагоналях

будут стоять нули.

3. Свойство симметричности. Отношение R является симметричным,

если выполняется условие: R=R

-1

, иначе говоря, если задано xRy, то

выполняется и отношение yRx. Например:

а) x похож на y, следовательно и y похож на x;

б) операция x не совместима с операцией y, то, следовательно, и

операция y не совместима с операцией x.

В матричном представлении требуется соблюдать симметричность. На

графе каждой дуге будет соответствовать встречная дуга и следовательно,

это соотношение можно представить неориентированным графом.

4. Свойство асимметричности. Отношение R называется

асимметричным, если пересечение прямого и обратного отношения дает

пустое множество





RR 

. Иначе говоря, если xRy и yRx, то одно из них

неверно. Например:

а) x подчиняется y, ясно, что y не должен подчиняться x;

б) операция x должна быть выполнена раньше операции y.

5. Свойство антисимметричности. Отношение R называется анти-

симметричным, если пересечение прямого и обратного отношения является

отношением равенства E. Иначе говоря, оба соотношения xRy и yRx

выполняются только тогда, когда x = y. Например:

операция x является частью операции y.

6. Свойство транзитивности. Отношение R является транзитивным, если

для любых элементов x, y, z из множества M и соотношений xRy и yRx

следует соотношение xRz. Например:

если х больше y (x > y), а y больше z (y > z), то х больше z (x > z).

Отношения подразделяются в зависимости от присущих им свойств на несколько

типов, указанных в таблице.

Свойства отношения

Тип отношения

Эквива-

лентность

Толерантн

ость

Строгий

порядок

Нестрогий

порядок

Рефлексивность

+ + +

Антирефлексивность

Симметричность

+ +

Асимметричность

Антисимметричность

Транзитивность

+ + +

1. Отношения эквивалентности характеризуются 3 свойствами:

 каждый объект эквивалентен самому себе (это отношение рефлексивности);

 если объект x эквивалентен объекту y, то и объект y эквивалентен x

(свойство симметричности);

 если объект x эквивалентен объекту y, а объект y эквивалентен объекту z,

то значит объект x эквивалентен z (транзитивность).

Отношение R на множестве M называют отношением

эквивалентности, если существует разбиение множества R на систему

непустых подмножеств {M

,…,M

J ,

…, M

} таких, что





(является

объединением) и, с другой стороны, пересечение любых подмножеств



0

(является пересечением пустых множеств) и соотношение

xRy выполняется только в тех случаях, когда элементы x и y принадлежат

одному классу разбиений.

При отношении эквивалентности подразумевается взаимозаменяемость

систем, обычно возможна частичная замена, но существуют и некоторые

различия.

2. Отношение сходства используется для оценки «похожести»,

сначала выясняется мера сходства, а потом их взаимное расположение

(объектов). Для понятия схожести вводится понятие толерантности:

отношение R на множестве M называется толерантным, если симметрично и

рефлексивно.

Например:

если x похож на y , а y похож на z, то это не значит, что x похож на z.

Толерантность более общее понятие, чем эквивалентность.

3. Отношение порядка. Отношение R на множестве M называется

отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно и транзитивно.

Например:

а) х больше y (x > y), y больше z (y > z);

б) вариант системы х предпочтительней варианта y.

Множество M на котором задано отношение строгого порядка называется

упорядоченным множеством.

4. Отношение нестрогого порядка можно представить в виде:



ERR



. Проявляется рефлексивность, антисимметричность и транзитив-

ность, т.е. оба соотношения xRy и yRx выполняются одновременно только

тогда, когда

xy 

Например:

а) отношение строгого порядка « > », «



»;

б) отношение нестрогого порядка «  ».

Установление типов отношений является основной процедурой

анализа систем, позволяющей разбивать систему на подсистемы,

упорядочивать подсистемы, идентифицировать их для принятия решений.

3. Принятие решений в нечёткой постановке

3.1. Понятие о нечётком множестве

Формально определим нечёткие множества. Допустим Х = {x} –

множество объектов или точек, обозначенных через Х. Например, Х может

быть множеством всех действительных чисел. Это множество называется

универсальным. Нечёткое, или расплывчатое, множество А универсального

множества Х характеризуется функцией принадлежности 

: Х  [0,1],

которая ставит в соответствие каждому элементу число 

(х) из отрезка

[0,1], указывающее степень принадлежности элемента х нечёткому

множеству А.

Функция принадлежности 

(х) задаётся числом. Обычное множество

является частным случаем нечётких множеств. Для них 

(х) = 1, если х А,

и 

(х) = 0, если х  А. Обычно если А – конечное нечёткое подмножество

Х, то А записывается в виде:

А = 

/х

+ 

/х

+ … + 

/х

. (3.1)

Например, если Х – множество русских писателей, а подмножество А

– «великий русский писатель». Вес писателей различен, поэтому отнести их

к «великим» можно с различным весом:

А = 1/Толстой + 1/Достоевский + … + 0,8/Короленко + 0,7/Лесков + … + 0,2/…

Всех писателей спроектировали от 0 до 1. Знак «+» условен и не

имеет отношения к математическому суммированию.

Произвольное непрерывное размытое подмножество А из Х

представляется так:

А =





(х)/х . (3.2)

Например, если Х = {1,2,3,4,5}, то нечёткое множество А может быть

задано как

А = 0,3/1 + 0,4/2 + 0,6/3 + 0,7/4 + 0,8/5 .

Часто вероятность проектируется на интервал от 0 до 1, поэтому

иногда значения весовой функции рассматриваются как вероятности.

Функция 

(х) в свою очередь является нечётким понятием, так как зависит

от субъективного мнения человека и каждый может давать своё размытое

множество.

Одна из задач принятия решений – это получение функций

принадлежности  для конкретных случаев. Это осуществляется, например,

экспертами.

Носителем нечёткого множества называется множество таких точек

базового множества Х, для которых величина 

(х) ≥ 0.

Высотой нечёткого множества называется понятие поверхности

функции принадлежности sup 

(x).

Нормальным нечётким множеством называется нечёткое множество,

для которого sup 

(x) = 1.