Давыдкова Н.С. Стационарные установки шахт (водоотливные,вентиляторные и пневматические установки)
Подождите немного. Документ загружается.
39
турбомашины.
37
ЛЕКЦИЯ № 4
4. ПОДОБИЕ ЛОПАСТНЫХ МАШИН
4. 1. Условия подобия турбомашин
В связи со сложностью процессов в турбомашинах при их создании и эксплуатации
широко используются принципы их подобия. В частности, эти принципы позволяют при
проектировании новых турбомашин использовать опытные данные, полученные при
исследовании машин, аналогичных проектируемой, или на модели со значительно меньшими
параметрами, и, таким образом, моделировать создаваемую турбомашину. Важное значение
имеет знание основных уравнений подобия для построения эксплуатационных
характеристик турбомашин и т. д.
В общем случае объекты считаются подобными, если процессы, протекающие в них,
описываются одинаковыми системами уравнений и если для них характерно подобие
условий однозначности, а также равенство критериев подобия. Критерии подобия—
безразмерные комбинации, составленные из физических величин, описывающих процесс в
объекте.
Подобными называются турбомашины, в которых соблюдается подобие
происходящих в них гидродинамических процессов.
Условием подобия этих процессов, иногда называемых для краткости подобием
потоков, является соблюдение их геометрического, кинематического и динамического
подобий. Потоки жидкости будут подобны, если они будут ограничены геометрически
подобными поверхностями и в сходственные моменты времени в сходственных точках их
скорости и силы будут пропорциональны. Для того, чтобы процессы в двух геометрически
подобных лопастных машинах были подобными, критерии для их потоков должны быть
соответственно равны.
Геометрическое подобие заключается в равенстве углов и постоянстве отношений
сходственных линейных размеров элементов конструкции подобных машин (натурной и
модельной), т. е. должно выполняться условие
,;
;const
b
b
...
D
D
D
D
k
м2н2м1н1
2м
1н
2м
2н
1м
1н
г
β=ββ=β
=====
(4.1)
где k
г
– коэффициент геометрического подобия;
"н" и "м" – соответственно индекс натуры и модели.
38
Геометрическое подобие проточной части турбомашин является условием
геометрического и кинематического подобий потоков.
Кинематическое подобие предполагает постоянство отношений скоростей в потоках
жидкости и выражается коэффициентом пропорциональности:
,const
w
w
u
u
с
с
k
м
н
м
н
м
н
к
==== (4.2)
где k
к
— коэффициент кинематического подобия.
Кинематическое подобие означает подобие треугольников скоростей в подобно
расположенных точках потока (рис. 4.1).
Динамическое (силовое) подобие требует постоянства отношений сил инерции, сил
трения и тяжести в потоках жидкости.
Достаточным условием динамического подобия установившегося движения
несжимаемой вязкой жидкости в турбомашинах является равенство чисел Рейнольдса Rе для
натурной и модельной машин:
Rе
н
= Rе
м
. (4.3)
Рис. 4.1. Планы скоростей подобных турбомашин
Число Рейнольдса выражается формулой
,
cD
Re
ν
= (4.4)
где с, D — характерные для турбомашин скорость потока и линейный размер
рабочего колеса;
ν — кинематический коэффициент вязкости, м
2
/ с.
39
Число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции к силам вязкости, т. е.
учитывает влияние вязкости жидкости на движение потока. С увеличением числа Rе
уменьшается влияние сил вязкости и после достижения критического значения Rе
кр
, равного
≈10
6
, вязкость жидкости не оказывает влияния на харакгер движения, напор, КПД и другие
параметры потока. Режимы движения жидкости, которые не зависят от числа Rе, называют
автомодельными по числу Рейнольдса.
Режимы работы рудничных турбомашин соответствуют большим значениям чисел
Рейнольдса, когда потоки заведомо турбулентны и силы инерции значительно превосходят
силы трения. В этом случае коэффициенты потерь, как известно из гидравлики, не зависят от
числа Рейнольдса, и большое различие в числах Рейнольдса (до 2 — 3 раз) не нарушает
подобия. Таким образом, для подобия рассматриваемых турбомашин достаточно соблюсти
их геометрическое и кинематическое подобия потоков.
Турбомашины с геометрически подобной проточной частью называют серией или
типом турбомашин.
4. 2. Уравнения подобия
Эти уравнения устанавливают зависимость между подачами, напорами и мощностями
натурной и модельной турбомашин, т. е. подобными турбомашинами, и зависимость между
этими параметрами для одной турбомашины от частоты вращения и размеров рабочих колес.
Для подобных треугольников скоростей (см. рис. 4.1) справедливо отношение
,
u
c
u
c
н2
н2r
м2
м2r
=
откуда
.
D
D
n
n
u
u
c
c
м
н
м
н
м2
н2
м2r
н2r
⋅==
Выражая с
r2
из уравнения (1.12) [Q
т
= с
r2
πD
2
b
2
ψ
1
] и учитывая, что
2м
2н
2м
2н
D
D
b
b
= ,
получаем при одинаковых КПД
.
D
D
n
n
Q
Q
3
м2
н2
м
н
м
н
= (4.5)
С другой стороны, для геометрически подобных турбомашин на основании уравнения
(2.4), полагая c
u1
= 0, находим
40
2
м2
н2
2
м
н
2
м2
2
н2
м
н
D
D
n
n
u
u
H
H
== (4.6)
или
.
D
D
n
n
p
p
2
м2
н2
2
м
н
м
н
м
н
ρ
ρ
= (4.6')
Используя выражение (4.5), получаем следующее уравнение для мощности:
.
D
D
n
n
N
N
5
м2
н2
3
м
н
м
н
м
н
ρ
ρ
= (4.7)
Уравнения (4.5), (4.6) и (4.7) приближенные и справедливы с точностью до изменения
объемных, гидравлических и механических КПД сравниваемых машин.
Для одного рабочего колеса D
2
= const и уравнения (4.5), (4.6) и (4.7) имеют вид:
.
n
n
N
N
;
n
n
H
H
;
n
n
Q
Q
3
11
2
1111
=
== (4.8)
Эти соотношения экспериментально получены акад. А. Рато и теоретически
обоснованы в 1925 г. акад. А. Германом. Они называются законами пропорциональности
или законами эксплуатации турбомашин и формулируются: с изменением частоты вращения
рабочего колеса турбомашины при постоянной характеристике внешней сети подача
(производительность) изменяется пропорционально первой степени, напор —
пропорционально квадрату, а потребляемая мощность —пропорционально кубу частоты
вращения:
,
n
n
NN;
n
n
HH;
n
n
QQ
3
1
1
2
1
1
1
1
=
== (4.9)
откуда
.
Q
Q
NN;
Q
Q
HH
3
1
1
2
1
1
=
= (4.10)
Последние два уравнения являются соответственно уравнениями квадратической и
кубической парабол, представляющих собой геометрическое место точек, координаты
которых определяют подобные режимы турбомашины при изменении ее частоты вращения.
4. 3. Удельная частота вращения и коэффициент быстроходности турбомашин
41
В отечественном турбомашиностроении принята классификация типов геометрически
подобных турбомашин по удельной частоте вращения n
s
. Под удельной частотой вращения
n
s
данной машины или серии машин понимают частоту вращения воображаемой модельной
турбомашины, которая обеспечивает определенные условные значения подачи
(производительности) Q
s
и напора H
s
(давления р
s
) в оптимальном режиме (при максималь-
ном КПД). Индекс s указывает, что параметры относятся к модельной машине.
В соответствии с уравнениями пропорциональности (4.5) и (4.6) при ρ = ρ
s
:
,
D
D
n
n
H
H
;
D
D
n
n
Q
Q
2
s
2
ss
3
sss
=
= (4.11)
где Q
s
— внешний диаметр рабочего колеса модельной турбомашины.
Исключая из этих уравнений D/D
s
получаем:
4/3
2/1
1s
4/3
2/1
2/1
s
4/3
s
s
H
Q
ncnили
H
Q
Q
H
nn =⋅= , (4.12)
где обозначено
2/1
s
4/3
s
1
Q
H
c = .
В качестве модельной машины для насосов условно был выбран насос, который при
полезной мощности 0,736 кВт (1 л. с.) обеспечивал напор Н
s
= 1 м, что соответствует подаче
Q
s
= =0,075 м
3
/ с. При этих значениях c
1
= 3,65. Для вентиляторов по рекомендации ЦАГИ (А.
Г. Бычкова) были приняты такие значения Q
s
и р
s
при которых с
1
= 1 (Q
s
= 1 м
3
/с и р
s
= 300
Па).
Удельную частоту вращения n
s
подсчитывают для режима работы одноступенчатой
машины с односторонним подводом жидкости к рабочему колесу при максимальном КПД.
Частота n
s
является одним из критериев подобия турбомашин и связывает режимные
параметры: подачу (производительность), напор (давление), частоту вращения с
геометрическими параметрами рабочего колеса и в известной мере определяет конструкцию
турбомашины. В частности, увеличение n
s
ведет к уменьшению отношения (D
2
/D
1
)
наружного D
2
и внутреннего D
1
диаметров рабочего колеса.
Из формул (4.12) видно, что турбомашины с большими значениями n
s
при тех же n и
Q будут развивать меньшие напор и давление. И, наконец, при равных H и n, но большем n
s
турбомашина будет обладать большей подачей (производительностью) Q.
Числовое значение n
s
одинаково для всех геометрически подобных машин,
работающих на подобных режимах. Это обстоятельство позволяет использовать n
s
как
характеристику типа турбомашины для классификации серий подобных турбомашин.
42
Наряду с удельной частотой вращения n
s
для классификации турбомашин
используются также другие характеристики, в частности коэффициент быстроходности k
s
:
4/3
2/1
s
H
Q
nk = . (4.13)
Физический смысл характеристик n
s
и k
s
разный, но формулы для их определения
[выражения (4.12) и (4.13)] аналогичны, а при с
1
= 1 в (4.12) совпадают и их числовые
значения. Коэффициент быстроходности k
s
не имеет размерности и выводится на основе
теории размерностей, n
s
— удельная частота вращения измеряется в об/мин.
Частота n
s
и коэффициент k
s
— важные и равноценные характеристики серий
подобных турбомашин.
4. 4. Типовые характеристики турбомашин
Серия подобных турбомашин может характеризоваться безразмерными параметрами
и типовыми (безразмерными) характеристиками. Типовая характеристика представляет
собой зависимость между безразмерными параметрами. Для ее получения воспользуемся
основным уравнением (3.4) [
2
22
т2
2
2т
ctg
bD
Qu
uH β
π
−= ]. Хотя это уравнение справедливо
при с
u1
= 0, однако это не отражается на общности получаемых зависимостей.
Обозначим ψ = b
2
/D
2
и разделим обе части уравнения (3.4) на u
2
2
:
.ctg
uD
Q
1
u
H
2
2
2
2
2
2
т
β
ψπ
−= (4.14)
Введем обозначения:
.
ctg
B;
Du
Q
;
u
H
2
2
22
2
2
т
т
ψπ
β
==δ=µ (4.15)
Параметр µ
т
называется безразмерным полным напором, или коэффициентом
напора, а δ — безразмерной подачей, или коэффициентом расхода. Для серии подобных
турбомашин ψ и β
2
постоянные величины и, следовательно, коэффициент В = const.
Смысл параметров µ
т
и δ заключается в том, что они являются безразмерными и
одинаковыми параметрами серии турбомашин. Они вытекают из геометрического и
кинематического подобий турбомашин и являются критериями их подобия.
С учетом (4.15) уравнение типовой характеристики для серии турбомашин принимает
вид
43
µ
т
= 1 – Вδ; (4.16)
µ
т
зависит только от одного параметра δ.
Графическое изображение типовых (безразмерных) характеристик для различных
серий турбомашин (при разных углах β
2
) приведено на рис. 4.2.
Рис. 4.2. Типовые теоретические безразмерные характеристики турбомашин
Для построения типовой характеристики серии турбомашин достаточно знать
индивидуальную характеристику одной машины из серии, например модели, подвергнутой
исследованиям. По известным параметрам модельной машины и ее индивидуальной ха-
рактеристике, используя формулы (4.15), можно определить коэффициенты напора µ
т
и
расхода δ, по которым строится типовая характеристика.
Из-за удобства использования безразмерных параметров для построения
характеристик турбомашин по аналогии были введены безразмерные параметры и для
реальных турбомашин. В качестве таких параметров были приняты, по предложению ЦАГИ,
отвлеченные напор
_
H
и производительность (подача)
_
Q, определяемые формулами:
.
4
Du
4
Q
Q;
u
H
H
2
22
_
2
2
т
_
π
δ=
π
==µ= (4.17)
На основе этих формул безразмерные давление, мощность и КПД будут выражаться:
.;
Du
4
N
N;
u
p
p
_
2
2
3
2
_
2
2
_
η=η
π
ρ
=
ρ
=
По зависимостям между безразмерными параметрами строятся действительные
типовые характеристики турбомашин.
44
Основное преимущество типовых характеристик в том, что каждый тип турбомашин
имеет только одну характеристику, не зависящую от геометрических размеров, частоты
вращения и плотности перемещаемой жидкости.
4. 5. Универсальные характеристики турбомашин
В соответствии с принципами подобия параболы
2
1
1
Q
Q
HH
= ,
являясь геометрическим местом подобных режимов работы турбомашин, должны быть
также линиями постоянного КПД. В действительности КПД турбомашины не сохраняется
постоянным при изменении частоты ее вращения. Это вызвано тем, что, с одной стороны, с
увеличением частоты вращения возрастают скорости потока и пропорционально их
квадратам — гидравлические потери, а с другой стороны, при малых частотах вращения
сильнее сказываются механические потери. Проведя кривые одинаковых КПД через точки,
лежащие на разных индивидуальных характеристиках, получаем серию кривых, замкнутых
внизу и замыкающихся при их достаточном продолжении вверху (рис. 4.3). Полученную
совокупность изолиний равных КПД и характеристик Н = f (Q) при различных значениях n
называют универсальной характеристикой турбомашины. Такая характеристика дает
сведения о четырех основных параметрах турбомашины: напоре H, производительности Q,
частоте вращения n и КПД η и позволяет отчетливо представить энергетические свойства
турбомашины.
Форма кривых равных КПД позволяет заключить, что для каждой лопастной машины
существует точка О, соответствующая оптимальному режиму работы установки с
максимальным КПД. Отступление от оптимального режима работы приводит к посте-
пенному понижению КПД.
45
Рис. 4.3. Универсальная характеристика турбомашины
Универсальные характеристики строятся на основе индивидуальных
эксплуатационных характеристик Н = f (Q) и η = f
2
(Q) при разной частоте вращения n.
Индивидуальные эксплуатационные характеристики H= f (Q), N = f
1
(Q), η = f
2
(Q) и
характеристики H — Q — η при различных значениях n в совокупности дают наиболее
полную характеристику любой турбомашины. Такую совокупность характеристик получают
путем испытаний отдельных натурных образцов, а если их размеры и требуемая мощность
слишком велики, то путем испытания геометрически подобных моделей. В последнем случае
полученная модельная характеристика пересчитывается на натурные условия по формулам
подобия.
Совокупность указанных индивидуальных и универсальных характеристик служит
основой для рационального выбора вентиляторов и насосов и их эксплуатации на горных
предприятиях.