Давыдкова Н.С. Стационарные установки шахт (водоотливные,вентиляторные и пневматические установки)
Подождите немного. Документ загружается.
21
Осевое рабочее колесо турбомашины. В отличие от колеса центробежной машины
сечения входа и выхода потока жидкости осевого рабочего колеса находятся в плоскостях,
перпендикулярных к оси его вращения. Жидкость движется через колесо поступательно и
одновременно закручивается в направлении вращения. Рассечем рабочее колесо (рис. 1.6, а)
цилиндрической поверхностью с радиусом r и выделим кольцевую струйку жидкости тол-
щиной ∆r, в пределах которой параметры потока (скорость и давление) можно считать
постоянными (ввиду малости ∆r).
Развернув цилиндрическую поверхность разреза на плоскость, получим так
называемую плоскую решетку профилей (рис. 1.6, б) осевого рабочего колеса. Основные
параметры этой решетки: ширина лопасти (длина хорды) b; ширина решетки В; число лопа-
стей z; угол установки лопасти θ, образованный ее хордой и вектором скорости
_
u
; углы входа
и выхода лопастей β
1
и β
2
. Важным параметром является шаг решетки
z
r2
t
π
= , равный
расстоянию между сходственными точками сечений лопастей, измеренному в направлении
вращательного движения решетки. Отношение b/t называется густотой решетки, а t/b —
относительным шагом.
При вращении рабочего колеса частицы протекающей через решетку жидкости
участвуют в относительном движении вдоль решетки (с относительной скоростью w
1
на входе
22
в решетку и w
2
на выходе из нее) и в переносном движении — с окружной скоростью u = ωr.
При постоянной угловой скорости ω для цилиндрической поверхности данного радиуса r
скорость u= соnst.
При отсутствии закручивания потока перед рабочим колесом жидкость притекает к
решетке с абсолютной скоростью
a
_
1
_
cc =
и на выходе из решетки имеет абсолютную
скорость
_
2
_
2
_
uwc +=
. На рис. 1.6 построены треугольники скоростей на входе и выходе из
решетки.
На основе уравнения неразрывности потока для несжимаемой жидкости можно
доказать, что осевые скорости c
а1
и c
а2
на входе и выходе из рабочего колеса турбомашины
одинаковы: с
a1
= c
а2
= c
а
— это скорость, с которой частицы движутся вдоль оси рабочего
колеса.
Относительная скорость w
1
на входе в решетку направлена под углом атаки δ — углом
между касательной к средней линии лопатки и относительной скоростью на входе.
Проходя через решетку, поток жидкости от взаимодействия с лопастями искривляется
и относительная скорость w изменяет свое направление, отклоняясь в сторону вращения
решетки.
Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин показали, что искривленный поток по эффекту
взаимодействия можно заменить эквивалентным прямолинейным потоком со средней
относительной скоростью
.
2
ww
w
2
_
1
_
cp
_
+
= (1.13)
Этот вывод имеет важное значение для анализа рабочего процесса осевой
турбомашины.
Совместив треугольники скоростей частиц жидкости на входе и выходе из решетки,
получим план скоростей, из которого определим угол наклона β
ср
вектора скорости
cp
_
w
и ее
абсолютную величину:
;
2
c
u
c
tg
u
a
cp
−
=β (1.14)
23
,
2
c
ucw
2
u
2
acp
−+=
(1.15)
где с
u
— проекция вектора абсолютной скорости c
а
на направление вектора u.
Скорость c
u
называется скоростью закручивания потока.
Если по абсолютной величине w
1
> w
2
. то решетка оказывает тормозящее воздействие
на поток и называется диффузорной. Если относительная скорость потока в рабочем колесе
увеличивается (w
1
< w
2
), то решетка называется конфузорной, при постоянной скорости w (w
1
= w
2
) — активной. В шахтных вентиляторах наибольшее применение получила диффузорная
решетка, активная практически не применяется.
Теоретическая производительность (подача) Q
т
. (м
3
/с) рабочего колеса определяется
выражением
,
4
)DD(c
Q
2
в
2
2a
т
−π
= (1.16)
где D
в
— диаметр втулки рабочего колеса, м.
1
ЛЕКЦИЯ № 2
2. ОСНОВНОЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ТУРБОМАШИН
Ввиду сложности движения жидкости в проточных каналах реальных турбомашин
прибегают к идеализации процессов, происходящих в рабочем колесе. В частности, при
теоретическом рассмотрении распространено понятие теоретической турбомашины или
правильнее теоретического рабочего колеса, так как рассматривается теоретически лишь
последнее без отводных и подводных элементов.
Теоретическим рабочим колесом турбомашины будем называть воображаемое колесо, в
котором вся энергия, сообщаемая приводом рабочему колесу, полностью передается лопатками
жидкости, т. е. отсутствует рассеяние энергии.
Основное уравнение устанавливает зависимость между энергией (напором, давлением),
сообщаемой потоку жидкости идеальным рабочим колесом, и его кинематическими и другими
параметрами. Оно может быть получено на основе использования струйной или вихревой
теории. Родоначальником первой теории является Л. Эйлер, второй — Н. Е. Жуковский. Обе
теории имеют свои преимущества, недостатки и допущения и могут быть распространены с
различным приближением на все типы турбомашин.
Струйная теория больше пригодна для центробежных машин, где течение потока
происходит по сути в каналах, а вихревая теория — для осевых машин, где решетка лопастей
рабочего колеса взаимодействует с потоком. Вихревая теория более глубоко вскрывает
физическую сущность рабочих процессов в турбомашинах, но более сложная и как бы является
дальнейшим развитием струйной, стыкуясь с последней. Трудами Г. Ф. Проскуры и других
ученых установлены переходы от струйной к вихревой теории.
2.1. Основное уравнение по струйной теории
Рассмотрим рабочий процесс на основе струйной теории. Согласно этой теории поток
жидкости рассматривается состоящим из бесчисленного множества элементарных струй,
разделенных бесконечно тонкими лопатками. При этом относительная скорость каждой струйки
в любой точке будет касательной к лопатке, т. е. углы δ и γ (см. рис. 1.5) будут равны нулю, а
β
1
= β
1
’ и β
2
= β
2
’.
Следует отметить, что такая схема весьма условна, так как при бесконечном числе
2
лопаток и разделении потока на элементарные струйки давление с обеих сторон лопаток будет
на одинаковых радиусах равным и рабочее колесо не сможет создать напор. Другие допущения:
поток жидкости принимается осесимметричным, а жидкость невязкой.
Для получения основного уравнения рабочего колеса воспользуемся теоремой об
изменении моментов количества движения материальной системы. Эта теорема позволяет без
знания сложных явлений, имеющих место при течении жидкости в колесе, представить общий
характер движения жидкости с необходимыми количественными показателями.
Согласно теореме при установившемся движении несжимаемой жидкости приращение
момента количества движения жидкости, протекающей через рабочее колесо, относительно оси
его вращения равно моменту всех внешних сил, оказывающих воздействие на поток. К внешним
силам в данном случае относятся силы, обусловленные действием лопаток на поток, и давления
р
1
и р
2
на часть потока, заключенного в рабочем колесе. Очевидно, что давления р
1
и р
2
вызывают радиально направленные силы, которые не создают моментов относительно оси
вращения.
Определим для центробежного колеса (см. рис. 2.1) момент М внешних сил, за счет
которого происходит изменение момента количества движения жидкости, заключенной в
колесе.
За время dt в канал рабочего колеса поступит масса dm, равная массе жидкости аbсd,, и за
то же время масса dm, равная массе еkgf, покинет канал колеса. Количество движения массы dm
при входе в колесо dmc
1
, а при выходе из него dmc
2
.
Рис. 2.1. Схема к выводу уравнения Эйлера
За 1 с при массовой производительности (подаче) рабочего колеса m количество
движения потока будет составлять соответственно mc
1
и mс
2
.
3
Момент количества движения жидкости на входе
1111
rcosmcK
α
=
(2.1)
и на выходе из рабочего колёса
2222
rcosmcK
α
=
. (2.1')
Приращение момента количества движения потока жидкости
)rcoscrcosc(mKK
11122212
α
−
α
=
−
. (2.2)
Момент М от внешних сил, действующих на поток жидкости в рабочем колесе,
)rcrc(mKKM
11u22u12
−
=
−
=
. (2.2')
В теоретическом колесе вся подведенная к нему мощность передается жидкости.
Следовательно, приращение удельной энергии жидкости
)cucu(mME
1u12u2т
−
=
ω
=
, (2.3)
где индекс «т» указывает на теоретическое приращение энергии;
ω — угловая скорость рабочего колеса, 1/с;
c
u1
и c
u2
— осредненные по расходу окружные проекции абсолютных скоростей
Энергия, сообщаемая единице веса жидкости, или теоретический напор H
т,
м:
)cucu(
g
1
mg
E
H
1u12u2
т
т
−==
, (2.4)
теоретическое давление р
т
, Па,
)cucu(gHp
1u12u2тт
−
ρ
=
ρ
=
. (2.5)
Полученные формулы выражают в различных формах основное уравнение рабочего
колеса турбомашины. Это уравнение впервые было получено Л. Эйлером для турбины и
называется уравнением Л. Эйлера. Оно имеет большое практическое значение, так как
связывает теоретический напор с кинематикой потока жидкости, протекающего через рабочее
колесо.
Полученное уравнение пригодно для всех типов турбомашин.
При отсутствии закручивания потока на входе в рабочее колесо уравнения (2.4) и (2.5)
приобретают особо простой вид:
2u2т
2u2
т
cupи
2
cu
H ρ== . (2.6)
Для осевой машины u
2
= u..
Из треугольников скоростей (см. рис. 2.1) получим:
25
1u1
2
1
2
1
2
1
cu2cuw −+= ; (2.7)
2u2
2
2
2
2
2
2
cu2cuw −+= . (2.7')
Выразив из этих уравнений значения u
1
с
u1
и u
2
cu
2
и подставив их в уравнение (2.4),
найдем
g2
cc
g2
ww
g2
uu
H
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
т
−
+
−
+
−
= . (2.8)
Полученное выражение представляет собой другой вид уравнения Л. Эйлера, которое
позволяет найти соотношение между потенциальной и кинетической энергиями, полученными
потоком жидкости в рабочем колесе, т. е. соотношение между теоретическими статическим и
динамическим напорами.
Третий член уравнения (2.8) выражает приращение кинетической энергии жидкости при
прохождении через рабочее колесо (динамический напор Н
т.дин
), первые два — потенциальной
энергии (статический напор Н
т.ст
). Потенциальная энергия увеличивается в переносном
движении g2/)uu(
2
1
2
2
− и в относительном движении g2/)ww(
2
2
2
1
− , если w
1
> w
2
(диффузорная решетка).
Теоретические статический и динамический напоры определятся соответственно
выражениями:
g2
ww
g2
uu
H
2
2
2
1
2
1
2
2
ст.т
−
+
−
=
; (2.9)
и
g2
cc
H
2
1
2
2
дин.т
−
=
. (2.10)
В осевой турбомашине, для которой u
1
= u
2
, статический напор создается в результате
диффузорного эффекта в решетке колеса за счет уменьшения относительной скорости w
2
< w
1
;
g2
ww
H
2
2
2
1
ст.т
−
=
. (2.11)
Важной характеристикой рабочего колеса является отношение теоретического
статического напора к теоретическому полному напору, которое называется степенью
реактивности турбомашины:
26
)cucu(2
cc
1
Н
Н
1u12u2
2
1
2
2
т
ст.т
−
−
−==λ . (2.12)
При отсутствии предварительного закручивания потока (с
u1
= 0) и равенстве радиальных
проекций скоростей (с
r1
= с
r2
) имеем
2
2u
2
1
2
2
ccc =− и формула (2.12) примет вид
2
2u
u2
c
1−=λ
. (2.13)
С увеличением степени реактивности уменьшается доля динамического напора. А так
как преобразование кинетической энергии в потенциальную в отводящих устройствах
турбомашин и диффузорах сопровождается потерями, то, как правило, с увеличением степени
реактивности (по крайней мере, до λ = 0,8) КПД турбомашины возрастает.
Идеализация процессов, происходящих в турбомашине, не позволяет использовать
полученные результаты и, в частности, уравнение Л. Эйлера для количественных расчетов, а
дает только качественную картину. Если определить напор Н экспериментально, то его
значение окажется меньше теоретического Н
т
. Одной из главных причин возникновения этой
разницы является наличие относительного вихревого движения, возникающего в каналах
рабочего колеса.
2.2. Основное уравнение по вихревой теории
Струйная теория и уравнение Л. Эйлера позволили получить важные зависимости между
параметрами рабочего колеса и потока жидкости, но не вскрыли физической сущности силового
взаимодействия между движущимися лопастями и жидкостью, которое определяет характер
движения потока, его структуру, крутящий момент рабочего колеса и передаваемую потоку
жидкости лопастями энергию. Рассмотрим этот процесс на основе вихревой теории,
учитывающей циркуляционное движение жидкости в рабочем колесе.
Движение жидкости в рабочем колесе. Относительное движение в межлопастных
каналах можно схематически представить как сумму трех движений жидкости: в неподвижной
решетке; вихревого движения внутри межлопастных каналов, обусловленного вращением
решетки; циркуляционного движения жидкости вокруг лопастей. В этом случае относительную
скорость в каналах рабочего колеса можно рассматривать как сумму трех скоростей:
27
w = w
ср
+ w
ц
+ w
о
, (2.14)
где w
ср
— скорость протекания жидкости в неподвижном колесе;
w
o
— скорость вихревого движения в канале;
w
ц
— скорость циркуляции потока вокруг лопасти.
Суммирование эпюр трех скоростей дает эпюру относительной скорости, из которой
видно, что скорость уменьшается от тыльной стороны лопатки к рабочей, а давление р, согласно
закону Бернулли, наоборот, от рабочей к тыльной стороне лопатки. Разность давлений на
рабочей и тыльной сторонах лопатки — необходимое условие передачи механической энергии
рабочим колесом потоку жидкости.
В осевой турбомашине отсутствует вихревое движение внутри межлопастных каналов и
движение потока в решетке профилей можно рассматривать как сумму двух движений
жидкости: в неподвижной решетке и циркуляционного вокруг лопастей:
w = w
ср
+ w
ц
. (2.15)
Циркуляционное движение жидкости вокруг лопаток, как будет показано ниже,
определяет взаимодействие решеток лопастей с потоком, и без него невозможна работа
турбомашин. Количественная оценка вихревого движения осуществляется так называемой
циркуляцией скорости.
Лопасти турбомашин представляют собой решетку крыловидных профилей, обтекаемых
потоком жидкости. Пользуясь свободой выбора контура, для скорости циркуляции выделиv в
центробежной (а) и осевой (б) решетках контуры аbсd, (рис. 2.2). Причем линии контуров аb и
dc по направлению совпадают с направлением относительной скорости w. Тогда циркуляции по
этим линиям
Г
ab
= – Г
dc
. (2.16)
28
Рис.2.2. Циркуляция вокруг лопастей турбомашин центробежной (а) и осевой (б)
Циркуляция скорости вокруг одной лопасти будет
Г
л
= Г
ab
+ Г
bс
+ Г
cd
+ Г
da
, = Г
bс
+ Г
da
. (2.17)
Для одной лопасти:
центробежной решетки
Г
л,.ц
= t
2
c
u2
– t
1
c
u1
; (2.18)
осевой решетки
Г
л. о
= t(w
u1
– w
u2
). (2.18')
Здесь .cuw;
z
r2
t;
z
r2
t;
z
r2
t
2u2u
2
2
1
1
−=
π
=
π
=
π
= При наличии скорости
закручивания на входе .cuw
1u1u
−
=
Подставляя, получаем соответственно для
центробежной и осевой решеток: