Дашко Н.А. Курс лекций по синоптической метеорологии

Подождите немного. Документ загружается.

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

На основе данной формулы приводится график (рис.17.9), с помощью которого

легко снять соответствующую заданной скорости вероятность (обеспеченность) или

определить, на какую скорость можно рассчитывать при заданной вероятности, напри-

мер, скорость возможную раз за какой-либо период (

табл. 17.4).

Например, обеспеченность 10% дает показатель скорости, возможной 1 раз в 10

лет, 5% – в 20 лет, 2% – в 50 лет и т.д. (соответственно, 25, 30 и 37 м/с). Скорости, воз-

можные в соответствующие периоды по эмпирическим данным составляют: 22.9, 28.7 и

39 м/с.

0 20406080

0.001

0.005

0.010

0.050

0.100

0.500

1.000

2.000

5.000

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

70.000

Скорость сильного ветра, м/с

Рис. 17.9. Номограмма оценки вероятности сильных ветров (>=15 м/с)

на Сахалине в тёплое полугодие (ломаная линия – эмпирические данные)

Таблица 17.4

Расчётная скорость ветра, возможная течение 1, 5, 10, 20, 25, 50 и 100 тёплых сезонов

Скорость ветра (м/с), возможная 1 раз в

1 год 5 лет 10 лет 20 лет 25 лет 50 лет 100 лет

15 20 25 30 32 37 42

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

Следует отметить, что даже в случаях более или менее точного подбора распре-

деления эмпирическая функция распределения, представленная на вероятностной сетке

имеет отклонения от аппроксимирующей функции, особенно на «хвостах». Отклонения

тем сильнее, чем короче выборка.

Всестороннее исследование метеорологической величины позволяет выявить

многие особенности её формирования в различные сезоны, определить периоды време-

ни

, когда величина достигает опасной градации, определить связи с другими метеоро-

логическими параметрами, а также с характеристиками региональной и общей цирку-

ляции атмосферы.

17.6. Разработка синоптико-статистических способов прогноза

метеорологических величин и явлений погоды

Статистические методы прогноза погоды заключаются в анализе эмпирического

материала, накопленного службой погоды, с целью выявления статистическим путем

закономерностей в развитии атмосферных процессов. Статистические методы базиру-

ются в основном на теории распознавания образов, корреляционном, дискриминантном

и регрессионном анализах.

Основными этапами при разработке статистического способа

прогноза погоды являются:

•

Исследование пространственно-временного распределения метеорологической

величины, что рассмотрено в предыдущем разделе. Данная процедура позволяет наме-

тить объект исследования (например, прогнозировать либо модуль скорости ветра, ли-

бо направление и скорость, либо меридиональную и зональную составляющие), оце-

нить условия формирования выбранного объекта, его связи с метеорологическими па-

раметрами и циркуляционными характеристиками, оценить имеющиеся

возможности

по использованию архивов и т.п.

• Выбор предикторов для диагноза (анализа) и прогноза заданной характеристики

погоды.

• Формирование обучающей выборки метеорологических величин и установление

наличия (отсутствия) статистически значимых связей между переменными и отбор

наиболее информативных предикторов для прогноза.

• Построение схемы прогноза.

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

• Проверка полученных закономерностей на независимом и оперативном мате-

риале.

17.6.1. Выбор предикторов

Одним из главных вопросов статистического направления является вопрос о вы-

боре предикторов для диагноза и прогноза того или иного метеорологического элемен-

та или явления погоды.

Выбор предикторов – это сложный и трудоемкий процесс, основывающийся на

качественно-физических заключениях и требующий знаний

• Общих физических закономерностей развития атмосферных процессов;

• Общих физических закономерностей формирования того или иного

метеорологического элемента или явления погоды;

• Возможной изменчивости метеорологических величин во времени и простран-

стве;

• Возможных средних и крайних пределов значений метеорологических величин;

• Точности измерений и случайных ошибок в измерении метеорологических ве-

личин;

• Местных физико-географических и климатических особенностей района

исследования и времени года

Например, основой для прогноза скорости и направления ветра у поверхности

Земли являются поля давления. Скорость ветра определяется действием нескольких сил

– силы барического градиента, силы Кориолиса, силы трения, центробежной силы.

Таким образом, при определении потенциальных предикторов при разработке

способа прогноза

ветра в их число необходимо включить барический градиент, учесть

кривизну изобар, условия шероховатости, широту места и т.д. Кроме того, при прогно-

зе необходимо принимать во внимание условия стратификации атмосферы, возмож-

ность обмена энергией с вышележащими слоями атмосферы, суточный ход и др.

Некоторые потенциальные предикторы можно учесть достаточно легко (бариче-

ский

градиент, учесть кривизну изобар, широту места и др.), другие (например, пара-

метр шероховатости) – учесть практически невозможно, ввиду их значительной измен-

чивости в зависимости от характера подстилающей поверхности, сезона года, орогра-

фических неровностей и т.д.

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

Аналогично, при выборе предикторов для прогноза температуры воздуха – фор-

мирование термического режима происходит под влиянием многих факторов, основ-

ным из которых является солнечная радиация. В свою очередь, распределение солнеч-

ной радиации в большой степени определяется состоянием неба, а состояние неба зави-

сит от особенностей атмосферной циркуляции.

При прогнозе температуры воздуха необходимо

учесть термическую адвекцию

(горизонтальный перенос), трансформацию воздушной массы, суточный ход, на высо-

тах или в условиях горного рельефа – влияние вертикальных перемещений воздушных

масс.

На первый взгляд, наиболее просто решается вопрос учёта термической адвек-

ции.

С другой стороны, при горизонтальном перемещении воздушной частицы на нее

оказывает влияние множество факторов – скорость переноса

, влияние окружающих

воздушных масс, условия подстилающей поверхности, над которой движется воздух

(тип подстилающей поверхности, условия увлажнения, условия растительного покрова,

наличие водных пространств и др.). Таким образом, температура воздуха в начале тра-

ектории может существенно отличаться от температуры в конце пути.

Учёт трансформационных изменений воздушной массы непосредственно в

пункте прогноза также

сложен, поскольку воздух у поверхности Земли может нагре-

ваться или охлаждаться путем молекулярного и турбулентного обмена с подстилающей

поверхностью, а также путем поглощения тепла от Солнца, нагревания или охлаждения

от Земной поверхности, теплообмена с вышележащими слоями атмосферы. Причём,

важно учесть, происходит нагрев или охлаждение в спокойном или движущемся возду-

хе,

при каком состоянии неба – наличие сплошной облачности может значительно

уменьшить поступление солнечной радиации днем и уменьшить потери тепла при

длинноволновом излучении ночью.

Учёт суточного хода, на первый взгляд, также не представляет затруднений: от

восхода Солнца до местного полудня температура воздуха должна повышаться, а затем

до следующего восхода – понижаться. Но на «нормальный

» суточный ход метеороло-

гических величин существенное влияние оказывают условия стратификации атмосфе-

ры, состояние неба (ясно, облачно и т.д.), условия подстилающей поверхности. Кроме

того, нормальный суточный ход температуры воздуха, в виде простого колебания с

максимумом около полудня и минимумом перед восходом Солнца, может существенно

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

нарушаться под влиянием перемещения воздушных масс, и в некоторых случаях ока-

зывается даже противоположным «нормальному» (непериодические изменения). Редко,

но всё же встречаются аномалии суточного хода с наступлением максимума в утренние

часы и даже перед восходом Солнца. Например, для Владивостока такие нарушения

наблюдаются в 5% и 2% случаев, соответственно.

Таким образом, формирование потенциального набора

предикторов требует

знаний условий формирования прогнозируемого объекта, возможностей их учёта, на-

личия архивных материалов.

Кроме того, необходимо знакомство с литературными источниками, позволяю-

щими оценить различные подходы к прогнозированию той или иной метеорологиче-

ской величины или явления погоды.

17.6.2. Формирование обучающей выборки

После того, как намечен список потенциальных предикторов, формируется пер-

воначальная выборка метеорологических величин в соответствии с возможностями

учёта того или иного влияющего фактора. При формировании выборок каждая ситуа-

ция может быть охарактеризована некоторым числом признаков, т.е., массивы форми-

руются в виде синхронной временной последовательности матриц наблюдений:

YY Y

XX X

Xn Xn Xn

tt tk

tt t

() () ( )

() ( ) ( )

, ,...,

() ,() ,...,()

() , () ,..., ()

..., ..., ..., ...

() , () ,..., ()

11 1

22 2

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

tk tk

где Y(t

) – значение предиктанта в момент времени t

(j=1, ..., k), X

) – значение i-того

(i=1, ..., n) признака (предиктора), характеризующего состояние объекта в момент вре-

мени t

(j=1, ..., k).

Например, содержанием матриц для прогноза ветра, являются ситуации, описы-

вающие состояние атмосферы в моменты времени t

• Скорость ветра у земной поверхности Y(t

);

• Градиент давления у поверхности земли;

XX X

() , () ,..., ()

() () ( )

11 1

• Градиент геопотенциала на различных уровнях атмосферы –

– на АТ

XX X

() , () ,..., ()

() () ( )

11 1

850

, – на АТ

XX X

( ) , ( ) ,..., ( )

() () ( )

22 2

700

и т.д.,

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

скорости ветра на АТ

850

, АТ

700

–

и др.

XX X XX X

t t tk t t tk

( ) , ( ) ,..., ( ) , ( ) , ( ) ,..., ( )

() () ( ) () ( ) ( )

33 3 44 4

12 12

В качестве предикторов нередко используются переменные, полученные на ос-

нове асинхронных связей. Например, для прогноза температуры воздуха можно ис-

пользовать величины температуры со сдвигом по времени (12 часов назад, сутки назад

и т.п.), т.е., матрица формируется следующим образом

YY Y

tt tk

tt t

tt tk

() () ( )

() ( ) ( )

, , ...,

, ,...,

..., ..., ..., ...

, ,...,

12 1 12 2 12

24 1 24 2 24

−− −

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

ττ τ

−− −12 1 12 2 12() () ( )

, ,..., YY Y

tt t−− −24 1 24 2 24() ( ) ( )

, ,..., YY Y

tt tk−− −ττ τ() () ( )

, ,...,

где

– предиктант, например, температура воздуха в 16 ч.,

, , – те же

величины температуры, но выступающие в роли предикторов, поскольку берутся со

сдвигом от исходного значения времени, соответственно, на 12, 24,

τ часов назад, где τ

– временной сдвиг. Такие связи называются авторокорреляционными.

YY Y

tt() ( ) ( )

, ,...,

YY Y

tt tk k

Следующим шагом является

формирование так называемой обучающей выбор-

ки на основе оценок связи предиктанта и предикторов.

Составляющие обучающей выборки используются в дальнейшем для построе-

ния уравнений регрессии между предиктантом и предикторами. По данным обучающей

выборки необходимо построить зависимость, с помощью которой оптимальным обра-

зом можно восстановить значения Y по заданным значениям X, например вида

YX X X

11 22

...

где

– коэффициенты, – предикторы, Y – предиктант.

αα α

,,...

XX X

n12

,,...

17.6.3. Корреляционный анализ

Выбор предикторов осуществляется на основе исследования связей между пре-

диктором и объясняющими переменными (предикторами). Здесь широко используется

парный корреляционный анализ. При корреляционном анализе изучается теснота связи

между двумя случайными переменными – рассчитываются парные коэффициенты кор-

реляции между предиктантом

Y и предикторами X

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

Для расчета используют коэффициенты корреляции Бравайса-Пирсона:

xxyy

xx yy

(,)

()()

−−

∑

∑∑

Значения коэффициента корреляции r изменяются в пределах от -1 до +1. При

r=0 линейная связь отсутствует.

Квадрат коэффициента корреляции Бравайса-Пирсона задаёт так называемую

меру обусловленности, показывая, какая часть значений

X и Y коррелируют в одном и

том же направлении.

Хотя коэффициенты корреляции можно вычислять для любой пары случайных

величин, особенно полезно использовать его для гауссовских случайных величин, со-

вместные распределения которых подчиняются нормальному закону.

17.6.4. Проверка гипотезы о значимости коэффициентов корреляции

Какую величину выборочного парного коэффициента корреляции следует счи-

тать достаточной для статистически обоснованного вывода о наличии корреляционной

связи между исследуемыми переменными?

Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции осуществляется на

основе предположении о наличии двумерного нормального распределения случайных

переменных

[]

fXY r r

xx yy xxyyr

x y XY XY

xy XYx

(, ) ( ) exp ( )

()/ ()/ ()() /

(,) (,)

__ __

(,)

=−⋅−−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

∗

⎧

⎨

⎩

∗− +− − − −

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

⎫

⎬

⎭

−

πσ σ

σσ σ

Предположение о значимости коэффициента корреляции определяется с исполь-

зованием статистики Стьюдента с

k=n-2 степенями свободы:

tr n r

XY XY

=−−

(,) (,)

(/(21

)

По уровню значимости

α и числу степеней свободы k по таблицам распределе-

ния Стьюдента находится критическое значение статистики

, удовлетворяющее усло-

вию

Pt t

()≥=α,

где

Р – вероятность осуществления события.

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

При tt

≥ предположение (гипотеза) об отсутствии корреляционной связи меж-

ду переменными

X и Y отвергается. При достаточном объеме выборки значимыми ко-

эффициентами парной корреляции считаются

0.3.

r ≥

В случае значимого коэффициента корреляции целесообразно построить дове-

рительный интервал для истинного коэффициента корреляции

Q(x,y). Но поскольку

для этого необходимо знать закон распределения выборочного парного коэффициента

корреляции

r(x,y), для подбора функции принимается преобразование Фишера:

, откуда истинное значение коэффициента корреляции Q(x,y) с доверитель-

ной вероятностью

(1-q) заключено в пределах

Zthr

(,)

thZ Q X Y thZ

≤

(, )

thZ

, где - гипер-

болический тангенс от аргумента

Z, определяемый с помощью соотношения:

thZ

−−

+−

exp exp( )

Кроме того, рассчитывается вероятная ошибка коэффициента корреляции:

rXY

rXY[( , )]

(,)

[( , )]

..=±

−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

=±067

067

где

– средняя ошибка коэффициента корреляции.

[( , )]rXY

При

или

XY r XY(,) [(,)]

> 4 r

XY r XY(,) [(,)]

> 3

коэффициент корреляции надежен и

отображает искомую связь.

17.6.5. Отбор информативных предикторов

Важным моментом является отбор наиболее информативных предикторов, т.е.

переменных, имеющих наиболее высокие значимые связи с предиктором, которые за-

тем могут быть включены в соответствующие линейные схемы прогноза.

В этой связи возникает вопрос анализа мультиколлинеарности, под которым по-

нимается наличие тесных статистических связей между объясняющими переменными

(предикторами). Включение таких переменных в схему прогноза одновременно зату-

шевывает имеющиеся

связи и приводит к неустойчивости вычислительных схем.

Явление мультиколлинеарности затрудняет решение регрессии, что требует ли-

бо исключения из схемы одного из взаимосвязанных предикторов, либо новых спосо-

бов обработки и дополнительной информации. Например, если необходимо получить

прогностическую схему из имеющейся совокупности наблюдений, обойти возникаю-

щие трудности можно, используя в качестве новых

переменных некоторые линейные

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

комбинации исходных переменных, выбранные так, чтобы корреляции между ними

были малы, либо вообще отсутствовали.

Таким образом, в линейные схемы прогноза должны включаться переменные,

имеющие наиболее тесную связь с предиктором, и не имели связи между собой, либо

эта связь должна быть незначимой.

17.7. Построение схем прогноза

с помощью регрессионного анализа

После исследования наличия или отсутствия связей между переменными, а так-

же структуры этих связей выбиралась наилучшая аппроксимация зависимости

Y=f(X),

т.е. решались задачи прогноза (восстановления) основных метеорологических величин

по значениям соответствующих объясняющих переменных (предикторов).

Величину Y можно аппроксимировать посредством построения уравнения рег-

рессии, содержащего неизвестные параметры. Если построение зависимости ограничи-

вается двумя переменными Y и X, то имеет место простая линейная регрессия:

Yb bX

Если же в рассмотрение включаются более, чем два признака Y и X

, X

, ..., X

то регрессия множественная:

Yb bX bX bX

01122

...

где

– неизвестные параметры (коэффициенты при предикторах

), – ошибки аппроксимации Y посредством функции регрессии (сво-

бодный член).

bb b

n12,,

...,

XX X

n12,,

...,

Различают линейную и нелинейную регрессию.

В случае нормального распределения изучаемых величин используется линей-

ная регрессия. Число данных точек обычно превосходит число неизвестных коэффици-

ентов , поэтому для подбора коэффициентов может быть использован

метод наименьших квадратов.

bbb b

n012,,,

,...,

В основе метода наименьших квадратов лежит минимизация суммы квадратов

отклонений исследуемых метеорологических величин. Для случая двух переменных

коэффициенты

уравнение

1 0

Yb bX

решается следующим образом

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

bYbX

xxyy

=−

−−

−

∑

()(

()

)

Если число переменных более двух, целесообразно использовать стандартные

программы на ПК, поскольку расчеты вручную становятся громоздкими.

Более наглядно связь между двумя переменными может быть представлена гра-

фически (

рис. 17.10).

y = 31.681Ln(x) - 0.5031

= 0.5318

0123456

y = 8.8836x

1.1777

= 0.5773

0123456

y = 11.184x - 0.1842

= 0.5048

0123456

y = -2.7659x

+ 27.502x - 22.906

= 0.5301

0123456

Рис. 17.10. Примеры уравнений регрессии между двумя переменными X и Y

17.7.1. Оценки свойств уравнений регрессии

Для оценки свойств построенных уравнений регрессии (свойств модели) ис-

пользуются следующие показатели:

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии