Дашко Н.А. Курс лекций по синоптической метеорологии

Подождите немного. Документ загружается.

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

Таблица 17.1

Длина рядов метеорологических величин

для получения достоверных средних значений

Климатический элемент Район

Острова Побережье Равнина Горы

Внетропические области

Температура воздуха 10 15 15 25

Влажность 3 6 5 10

Облачность 4 4 8 12

Видимость 5 5 5 8

Количество осадков 25 30 40 50

Тропические области

Температура воздуха 5 8 10 15

Влажность 1 2 3 6

Облачность 2 3 4 6

Видимость 3 3 4 6

Количество осадков 30 40 40 50

Для того чтобы оценить изменения хода метеорологических величин, происхо-

дящие за исследуемый период (например, как изменились средние температуры возду-

ха, средние скорости ветра, суммы осадков за последние 10-20 лет), их сравнивают с

климатическими нормами, рассчитанными за единый период наблюдений на метеоро-

логических станциях Земного шара. Этим обеспечивается сопоставимость статистиче-

ских характеристик метеорологических величин на разных станциях, в различных рай-

онах.

iКлиматическая норма – характеристика климата, статистически полу-

ченная из многолетнего ряда наблюдений в данном пункте, районе, по-

лушарии и пр.

В метеорологии под нормой понимают многолетнюю среднюю величину, на-

пример, среднее месячное или среднее годовое количество осадков, среднюю месяч-

ную или среднюю годовую

температуру воздуха, влажности, атмосферного давления, а

также характеристики экстремальных величин, сроки наступления того или иного яв-

ления, повторяемости метеорологических величин или явлений погоды.

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

Варшавской конференцией Международной метеорологической организации в

1935 г. для расчёта климатических норм рекомендован 30-летний период (1901-1930

гг.). Далее Вашингтонская конференция ВМО (1957 г.) и Женевская Первая Всемирная

конференция по климату (1979 г.) в качестве стандартного периода осреднения также

рекомендовали период в 30 лет (1931-1960 гг.), для которого в настоящее время имеет-

ся достаточно надежное физико-статистическое обоснование с точки зрения получения

климатических показателей. В настоящее время осуществляется переход к новому

«нормальному» периоду – 1961-1990 гг.

Отметим, что период в 30 лет близок к знаменитому Брикнерову циклу – много-

летнее колебание климата, выражающееся в смене тёплых и сухих периодов холодны-

ми и влажными со средним интервалом между двумя последовательными максимума-

ми 35 лет (в отдельных случаях продолжительность цикла может колебаться от 25 до

50 лет).

Однако, несмотря на то, что Брикнеров цикл считался реально существующим

на протяжении длительного времени и был получен с достаточной обеспеченностью,

по оценкам некоторых исследователей, его нельзя считать полностью достоверным, тем

более что в 20-м веке Брикнеров цикл не обнаружен. Возможно, амплитуда его умень-

шилась, и он перекрывается более сильными циклическими или нерегулярными изме-

нениями.

При решении ряда проблем длина предлагаемого ВМО периода может быть су-

щественно уменьшена. В любом случае, требуется указывать период наблюдений, по-

ложенный в основу расчёта статистических параметров.

Кроме длины выборки, не менее важным представляется вопрос о

выборе начала

базового периода. Выделить единый период для решения всех исследовательских задач

весьма затруднительно по многим причинам. Например, для статистической оценки

метеорологических величин в районах со стационарной сетью метеорологических

станций, наиболее оптимальным («нормальным»), на наш взгляд, можно считать пери-

од от 60-х годов (30 лет: 1961-1990 гг.).

Предлагаемые рядом авторов «нормальные» периоды 1901-1930, 1931-1960,

1921-1950 гг., как связанные с более или менее устойчивыми типами циркуляции, к со-

жалению, выбраны так, что здесь проявляется однозначная тенденция к потеплению в

климатическом режиме, приходящаяся своим экстремумом на 30-е годы и проявившая-

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

ся на обширных пространствах земного шара. Но в любом случае требуется сопостави-

мость данных.

17.2. Определение свойств выборки

После того, как определён объём выборки, прежде, чем решать задачи анализа и,

в последующем, прогноза условий погоды на основе имеющейся информации, необхо-

дима редакция данных (критический контроль), поскольку в них могут содержаться не-

точности, ошибки, опечатки. Редакция производится по отдельным переменным с ис-

пользованием частотных таблиц и графиков (гистограмм), что позволяет локализовать

грубые ошибки и выбросы. Для выявления ошибок, пропущенных при анализе одно-

мерных гистограмм, можно использовать перекрестные двумерные гистограммы рас-

сеяния и таблицы сопряженности признаков.

iЗадачи математической статистики состоят в том, чтобы на основании

знания некоторых свойств выборки сделать утверждение о свойствах ге-

неральной совокупности в целом

Для этого используются

приёмы вычисления выборочных статистических ха-

рактеристик и их оценок, которые дают в сжатой форме информацию о случайной ве-

личине.

Пусть имеется некоторый массив данных метеорологической величины (выбор-

ка из генеральной совокупности).

Сначала необходимо упорядочить данные:

• Путем определения, сколько раз встретится каждое значение в выборке – опре-

деление абсолютной частоты значений n

(0≤n

≥n, ∑n

=n – объём выборки),

• Путем группирования данных по градациям, классам – определение абсолютной

частоты класса (P

/n, 0≤P

≥1, ∑P

=100%).

• Если разделить абсолютную частоту каждого значения (класса) на общее число

наблюдений (объём выборки), то получим относительную частоту числа наблюдений

или вероятность данного значения метеорологической величины. Относительная часто-

та может выражаться в процентах или в долях единицы.

• Если относительную частоту данного класса (градации) отнести к его ширине,

то получим

нормированную относительную частоту класса или плотность распределе-

ния вероятности f(x).

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

Результаты обработки выборки могут быть представлены не только в таблич-

ном, но и в графическом виде. На графике вдоль оси X откладываются значения метео-

рологической величины, по оси Y – частоты их появления. Такие графики называются

гистограммами. С помощью гистограмм можно обнаружить грубые ошибки в данных

(выбросы). Следует отметить, что выбросы не всегда являются ошибкой в данных.

Иногда проверка не позволяет исключить или исправить отмеченный выброс, посколь-

ку он бывает связан с экстремальными значениями метеорологической величины, на-

блюдающимися 1 раз в большой период лет – 25, 50, 100 лет и более.

17.3. Законы распределения метеорологических величин

Исчерпывающей характеристикой случайной величины является её закон рас-

пределения. Зная закон распределения случайной величины, легко определить вероят-

ность любого значения из заданного интервала.

iЗакон распределения – соотношение, устанавливающее связь между воз-

можными значениями метеорологической величины и соответствующи-

ми им вероятностями

Первое представление о распределении можно получить, анализируя гисто-

грамму, поскольку гистограмма

показывает эмпирическое (частотное) распределение

метеорологической величины.

Эмпирический закон распределения в дальнейшем аппроксимируют (прибли-

жённо выражают) аналитически. При этом выбирают вид теоретических распределе-

ний, наилучшим образом отражающих сущность аппроксимируемого эмпирического

распределения.

Распределение вероятностей полностью характеризует случайную величину. Но

при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значе-

ния случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться

некоторыми количественными показателями, которые давали бы в сжатой форме дос-

таточную информацию о случайной величине. Основными из них являются матема-

тическое ожидание, дисперсия, асимметрия и эксцесс, мода и медиана.

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

17.3.1. Моменты распределения

Пусть X есть случайная величина, (x

, x

, …..., x

) – есть возможные значения

случайной величины, (p

, p

, …..., p

) – соответствующие им вероятности. Тогда

, где k=1, 2, …..., n, называется κ-м начальным моментом, а число

∑

=−

∑

()x

ξp

– κ-м центральным моментом случайной величины X, –

центр распределения.

ξ=Mx()

Особое значение в математической статистике имеют первый начальный момент

, а также второй, третий и четвёртый центральные моменты µ

, µ

• Первый начальный момент называется математическим ожиданием случайной

величины и обычно обозначается как М(х):

γξ

== =

∑

xp M x

()

iМатематическое ожидание определяет положение центра распределения

генеральной совокупности – т.е., некоторое среднее значение, около ко-

торого сосредоточены все возможные значения случайной величины

На практике, имея дело с ограниченными массивами данных, вместо математи-

ческого ожидания используют выборочное среднее значение, т. е. приближённо при-

нимают

Mx x()≅ .

• Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины и слу-

жит мерой её рассеяния:

µξ

== −

∑

()p

или для выборки:

== −

∑

Dxx

()p

iДисперсия характеризует разброс случайной величины около математи-

ческого ожидания.

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины, на-

пример, (°С)

, (гПа)

, (м/с)

и т.д.

Поэтому, чтобы получить характеристику рассеяния с размерностью случайной

величины (°С), (гПа), (м/с) и т.д., часто используют в качестве показателя рассеяния не

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

дисперсию, а среднее квадратическое отклонение σ, вычисляемое как корень квадрат-

ный из дисперсии:

σµ ξ=== −

∑

()p

• Третий центральный момент служит в качестве характеристики асимметрии

распределения:

µξ

=−

∑

()xp

Чтобы получить безразмерную величину, вместо

вводят коэффициент асим-

метрии:

−

∑

()

iАсимметрия характеризует неодинаковую повторяемость метеорологиче-

ской величины относительно среднего значения или неодинаковость

промежутков времени, в течение которых данная метеорологическая ве-

личина имеет значения выше средней или ниже средней

• Четвёртый центральный момент используется для оценки крутости кривой рас-

пределения по сравнению с нормальной кривой распределения. В качестве меры круто-

сти используют коэффициент эксцесса

−

∑

()

iЭксцесс характеризует островершинность (крутость, "пикообразность")

распределения

17.3.2. Нормальный закон распределения

Одним из многих типов распределений, имеющихся в Природе, является нор-

мальный закон, впервые рассмотренный А. Муавром в 1733 г. и в 1809-1812 гг. снова

открытый и независимо изученный К. Гауссом и П. Лапласом.

Случайная величина называется распределённой нормально, если она имеет

плотность распределения следующего вида:

[]

fx x Mx D() exp ()=−−

⎧

⎨

⎩

⎫

⎬

⎭

−

σπ2

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

где -∞<x<∞, f (х) – плотность распределения вероятности, а оценки распределения M(x)

и D есть

[]

Mx x fxdx D x Mx f xdx() () , () ()=⋅ = −

−∞

+∞

−∞

+∞

∫∫

–

математическое ожидание и дисперсия случайной величины (в случае стандартного

нормального распределения равны, соответственно 0 и 1).

Данная функция имеет вид колоколообразной кривой (рис. 17.2), параметр М(х)

– точка максимума, проходящая через ось симметрии, параметр

σ характеризует рас-

стояние от оси Y до точки перегиба. Если

σ мало, то кривая распределения заостренная

и высокая, если

σ велико – широкая и плоская.

Рис. 17.2. Кривая нормального распределения

Ось симметрии

У симметричного распределения асимметрия равна 0. Если асимметрия сущест-

венно отличается от 0, то распределение асимметрично.

Если плотность распределения имеет правый «хвост» (в вариационном ряду

преобладают варианты, большие среднего значения), то As>0 – правосторонняя асим-

метрия, если левый «хвост» – As<0 – левосторонняя асимметрия (в вариационном ряду

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

преобладают варианты, меньшие среднего значения). При правосторонней (левосто-

ронней) асимметрии правая ветвь (левая ветвь) распределения длиннее левой (правой).

Например, если рассмотреть ход температуры воздуха для континентального и

морского климата, то окажется, что в морском климате температура воздуха дольше

остаётся ниже среднего значения (больше значений ниже среднего, отрицательная

асимметрия), а в континентальном – выше среднего значения (больше значений выше

среднего – положительная асимметрия).

Эмпирический коэффициент асимметрии не имеет ни верхней, ни нижней гра-

ниц, что снижает его ценность как меры асимметрии, но при умеренно асимметричных

рядах он меньше единицы.

Под эмпирическим эксцессом, или коэффициентом крутости Е понимают обыч-

но уменьшенное на три единицы отношение центрального момента четвёртого порядка

к среднему квадратическому отклонению в четвёртой степени. За стандартное значение

Е принимают нуль-Эксцесс нормальной кривой распределения.

Кривые, у которых более плоская вершина по сравнению с нормальным распре-

делением, характеризуются отрицательным эксцессом (Е<0) – плосковершинные рас-

пределения, а кривые с положительным эксцессом (Е>0) – более крутые по сравнению

с нормальной кривой, имеют более острую вершину и называются островершинными.

Иногда распределение может иметь 2 или более пиков.

iАсимметрия и эксцесс показывают степень отклонения эмпирического

распределения от нормального (симметричного)

Коэффициенты асимметрии и эксцесса связаны условиями:

As<3

, E>5

где

– средние квадратические коэффициенты асимметрии и эксцесса:

As E

σσ

As E

nnn

nnnn

−

−++

−

−−++

213

24 1

3235

()

()()()

()

()()()()

Наряду с данными характеристиками в качестве описательных критериев вариа-

ционного ряда применяют понятия медианы (Ме) и моды (Мо) распределения. Для ме-

дианного значения справедливо равенство

P(x

≤Me)=P(x≥Me).

С геометрической точки зрения медиана – абцисса точки, в которой площадь,

ограниченная кривой распределения, делится пополам.

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

Модальным значением является значение Х, при котором плотность распреде-

ления имеет максимум. Бывают одномодальные, двух-, трех- и многомодальные рас-

пределения. Другими словами, мода – это значение метеорологической величины, ко-

торое наблюдается наибольшее число раз. Нахождение моды не требует каких-либо

вычислений – им является вариант, которому соответствует наибольшая частота.

iДля нормального распределения

имеет место равенство математического

ожидания, медианы и моды

Таким образом, сопоставляя статистические характеристики выборки, можно

судить о близости закона распределения метеорологической величины к нормальному,

определить крутость и скошенность распределения.

Термин «нормальный закон распределения» (синоним: распределение Гаусса),

получил свое название в силу своей распространённости. Термин «нормальный» т.е.

обычный (Normal) применяется в

условном смысле, как общепринятый, не означая, од-

нако, что подчинение другим законам распределения выражает какую-то анормаль-

ность данной величины или явления.

С точки зрения математической изученности и простоты свойств нормальный

закон распределения во многих своих чертах привлекателен и удобен при практиче-

ском использовании, особенно в случаях, когда значения тех или иных величин форми-

руются под воздействием большого числа взаимно независимых факторов. Это в пол-

ной мере относится ко многим основным метеорологическим величинам и явлениям

погоды.

Главной особенностью нормального закона распределения является то, что он

является некоторым предельным, к которому приближаются другие распределения.

Кроме нормального закона распределения, в метеорологической практике ши

роко используются и другие типы распределений.

17.4. Точность и достоверность оценок выборки

По имеющейся выборке из генеральной совокупности можно лишь приближён-

но оценить математическое ожидание М(х), рассчитав выборочное среднее значение

∑

p, (где х

, х

,..., х

– значения метеорологической величины, р

, р

,..., р

– со-

ответствующие им вероятности, i = 1, 2, 3,..., n – число членов выборки).

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

Средняя величина, вычисленная по элементам другой выборки того же объёма и

из той же генеральной совокупности, определяется числом, как правило, отличным от

первого, т.е. среднее может изменяться от выборки к выборке.

Оценивая выборочные средние величины какого-либо ряда наблюдений, мы

оцениваем параметры генеральной совокупности, т.е. по (

x ) пытаемся оценить М(х).

Но выборочная средняя величина является точечной оценкой конкретного ряда и не

определяют точность и достоверность оценки выборки.

Достоверность и точность могут быть получены путем определения доверитель-

ных (конфиденциальных) оценок (границ), характеризуемых шириной доверительного

интервала и доверительной вероятностью. Доверительный интервал является мерой

точности оценивания параметра, доверительная вероятность

характеризует степень

достоверности или надежности результатов.

Чтобы судить об М(х) по x , необходимо найти доверительный интервал, в ко-

тором лежит истинное среднее М(х), с заданной доверительной вероятностью

[

]

Pa Mx b≤≤=−() 1 α ,

или

Px M x−≤=−() βα1 .

Здесь

α – вероятность ошибки (0.05, 0.01 или в процентах, соответственно 5%,

1% и т.д.) или уровень значимости, a и b – доверительные (конфиденциальные) грани-

цы,

β – доверительный (конфиденциальный) интервал.

Доверительные границы a и b ограничивают с некоторой вероятностью (напри-

мер, 95%, 99% и т.д.) область, в которой лежит истинное среднее (неизвестный пара-

метр). Вероятность того, что неизвестный параметр окажется внутри построенного ин-

тервала

β, и называют доверительной вероятностью 1-α.

В каждом конкретном случае выбор значения (1-

α) зависит от вида решаемой

задачи. Если мы выбираем 1-

α=0.95 (или α=0.05), это означает, что в 95 случаях из 100

истинное значение параметра лежит внутри данного интервала. С возрастанием 1-

α до-

верительный интервал становится все длиннее, оценивание, следовательно, – все неоп-

ределеннее.

Из теории статистики известно, что для оценки математического ожидания М(х)

по значению выборочного среднего можно использовать равенство

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии