Дашко Н.А. Курс лекций по синоптической метеорологии

Подождите немного. Документ загружается.

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

[

]

Pa Mx b≤≤=−() 1 α ,

преобразованное к виду:

Px t

Mx x t

()()()−≤≤+

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=−

σσ

Здесь – статистика распределения Стьюдента,

axt

=−()

bxt

=+()

Процедура определения доверительного интервала:

1. Выбрать доверительную вероятность

−

и определить соответствую-

щее число

из таблицы стандартного нормального распределения;

2. Вычислить параметр выборки, например,

, а также доверительные гра-

ницы a и b;

3. Задать доверительный интервал для истинного параметра:

[

]

Pa Mx b≤≤=−() 1 α .

Наиболее употребительными значениями для выборки с числом членов 100 и

более являются следующие:

1 −α

0.90 0.95 0.99 0.999

1.645 1.960 2.576 3.291

Если необходимо определить интервал для выборки при n≥100, в котором лежит

истинное значение М(х) с вероятностью Р=0.95 (95%), используют табличное значение

0.95

=1.96, с вероятностью Р=0.99 (99%) – t

0.99

=2.576.

Для нормального распределения случайной величины имеют место следующие

соотношения:

[]

Px x x

() ().(

−≤≤+ =

σσ

0 68 68%)

2 2 0 95 95%)

3309797%).

Следовательно, около 68% всех возможных значений случайной величины

лежит в пределах

(x ±σ), около 95% – в пределах (x ± 2σ), и практически рассеяние

случайной величины х

заключено на участке (x ± 3σ). Это правило называется «пра-

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

вилом трех сигм». Таким образом, вероятность того, что нормально распределённая

случайная величина х

не попадает в этот участок, составляет всего 3 случая из 1000.

В заключение отметим, что при симметричном распределении –

αα

или

()(xt

−=+

σσ

)

, при асимметричном – доверительные интервалы справа

и слева от истинного среднего различаются, т.е.

()()xt

−≠+

σσ

Статистические приёмы позволяют получить представление о достаточной дли-

не выборки из генеральной совокупности, используемой для получения, например, вы-

борочных средних величин заданной точности, которые в дальнейшем при увеличении

длины ряда не претерпевают заслуживающих внимания изменений для статистически

стационарных процессов.

Если обозначить

=∆

, то по заданной точности

∆

и найденному значению

, всегда можно вычислить объём выборки n:

σ=∆n

, откуда

= ()

σ∆

Например, если требуемая точность

∆ оценки средней месячной температуры

воздуха (половина доверительного интервала) составляет 0.5

С, доверительная вероят-

ность

=0.95 (95%), то при дисперсии σ =5 (°С)

1 −α

объём выборки должен составить

не менее 77 лет. При дисперсии средней суточной температуры, равной 16 (°С)

и точ-

ности выборочного среднего от 0.1 °С до 1 °С объём необходимой выборки для вычис-

ления средней месячной температуры воздуха изменяется от 6144 до 60 случаев, т.е. от

200 до 2 лет.

Поскольку для точности оценки выборочного среднего для суточных оценок,

равной 0.1-0.2 объём требуемой достоверной выборки слишком велик по сравнению с

имеющимися возможностями, его

необходимо снизить, например, путем увеличения

доверительного интервала. Кроме того, следует учитывать остаточную неоднородность

метеорологических рядов, за счёт которой вносится определенная погрешность в сред-

нее значение и которую не удается устранить При точности оценки 0.4-0.6 длина вы-

борки может ограничиваться периодом от 13 до 6 лет.

Зависимость требуемого объёма выборки от величины дисперсии выборочного

среднего приводит к различию её объёма для отдельных месяцев. Чем меньше диспер-

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

сия исследуемой величины, тем меньше требуемый достоверный объём выборки при

заданной точности расчётов.

Поэтому, например, для умеренных широт, где изменчивость температуры воз-

духа значительнее, чем в тропических широтах, требуются большие объёмы выборок

для получения достоверных оценок. Так для островов в умеренных широтах необходи-

мы ряды не менее 10 лет, в горах– 25 лет, а в тропиках – 5 и 15 лет, соответственно (см.

табл. 17.1).

Величина задаваемого уровня вероятности зависит от важности проектируемого

объекта, подверженного воздействию окружающей среды. Для дорогостоящего и дол-

говременного сооружения принимается более высокий уровень вероятности возникно-

вения опасной градации метеорологической неблагоприятного явления погоды (обычно

рассчитывается величина, возможная не менее чем 1 раз в 50-100 лет).

Кроме указанных статистических характеристик, рассчитываются стандартные

ошибки выборочного среднего (

), геометрическое среднее ( ), нижний и верхний

квартили и квартильный размах (

Q ), указывающий область разброса около централь-

ного значения, охватывающую примерно 50% всех возможных наблюдений:

σσ

xGii

nX XQQ=− = =−1

,,(Π Q)

где П – знак произведения,

– первый и третий квартили (25% и 75% наблюде-

ний), отметим, что второй квартиль равен медиане.

17.5. Анализ статистических характеристик

Расчёт выборочных оценок позволяет провести комплексное исследование про-

странственно-временных особенностей метеорологической величины с учетом местных

физико-географических факторов изучаемого района.

Для наглядного представления анализируемых величин строят графики их годо-

вого (рис. 17.3), временного хода (рис. 17.4), повторяемости величины по градациям,

или для ветра – повторяемость по направлениям, повторяемость скоростей ветра по

градациям

(рис. 17.5, 17.6), совместного распределения двух и более параметров, либо

синхронного хода двух и более величин и др. Вместо графиков данные могут быть

представлены в табличном виде.

Важное место в анализе особенностей метеорологического режима занимают

аппроксимация эмпирического распределения теоретическим законом и исследование

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

долговременных составляющих временных рядов (трендов), позволяющих оценить

оценить вероятность наступления события и тенденцию изменения метеорологической

величины.

123456789101112

Месяцы

V, m/c

Александровск Холмск

Рис. 17.3. Годовой ход средней месячной скорости ветра на станциях

1950 1960 1970 1980 1990 2000

Годы

100

Владивосток

Рис. 17.4. Временной ход среднемесячных сумм осадков в сентябре во Владивостоке

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

11%

18%

32%

15%

Рис. 17.5. Повторяемость направлений ветра на севере Японского моря в январе

1 - 5

5 - 9

10 - 14

15 - 19

>=20

Теплый период

Холодный период

Рис. 17.6. Повторяемость скоростей ветра по градациям над Японским морем

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

17.5.1. Исследование трендовой составляющей

Для оценки тренда важно использовать выборки большого объёма, поскольку

для многих метеорологических величин характерен волновой ход (например, для осад-

ков – засушливые периоды сменяются более влажными), и оценки тренда по коротким

рядам наблюдений могут привести к неоднозначным результатам (

рис. 17.7).

1950 1960 1970 1980 1990 2000

Годы

100

Владивосток

Рис. 17.7. Временной ход годовых сумм осадков со скользящим осреднением

(красная линия) по пятилетиям и линейный тренд (синяя линия) для Владивостока

Для сглаживания рядов используется осреднение по разным периодам, напри-

мер, по пятилетиям.

Значимость тренда определяется, например, с использованием критерия Фишера

F. По коэффициенту множественной корреляции R, который является мерой качества

подгонки (чем больше R, тем лучше модель тренда аппроксимирует временной ход ис-

следуемого параметра) для числа степеней свободы

(n )

−

рассчитывается критерий:

−

−()

который затем сравнивается с табличным значением для числа степеней свободы

и заданного уровня значимости α: . При тренд значим на за-

данном уровне значимости

α.

(n − 2)

kr n

−2

kr0

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

Построение графиков, расчёт трендовых составляющих – линейных, нелиней-

ных, – легко осуществляется с использованием возможностей ПК (например, WORD,

STATGRAF, STATISTICS, EXCEL и др.).

17.5.2. Эмпирический закон распределения

метеорологической величины

Рассчитав эмпирическую плотность распределения вероятности метеорологиче-

ской величины, либо подобрав вид распределения, нетрудно оценить вероятность на-

ступления тех или иных градаций величины, в том числе, экстремальных величин, на-

блюдающихся один раз за большой период времени (20, 30, 50, 100 и более лет).

Наиболее удобным для использования в метеорологической практике является

нормальный закон распределения. Нормальный закон

удовлетворительно описывает

распределения многих метеорологических величин – например, суточных температур

воздуха, атмосферного давления и др. Для нормально распределённой метеорологиче-

ской величины наиболее полно разработан статистическая теория, что позволяет без

громоздких расчётов и преобразований использовать, например, линейный регрессион-

ный и дискриминантный анализ при решении задач прогноза.

Распределение других метеорологических величин, например ветра,

осадков,

значительно отличается от нормального.

Исследуем закон распределения метеорологической величины на примере мо-

дуля скорости сильного (>=15 м/c) ветра над акваторией Охотского моря у побережья

Центрального Сахалина (май-октябрь). Повторяемость случаев для мая-октября приве-

дена в табл. 17.2.

По имеющемуся ряду наблюдений выборочное среднее значение составляет 18.2

м/c (конфиденциальный интервал – 1.01 м/с), выборочная

медиана 16 м/с, σ=5.32 м/с,

мода 15 м/с, т.е. различия между ними составляют 1-3 м/с.

Проверим соответствие эмпирического распределения модуля сильного ветра

нормальному закону.

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

Таблица 17.2

Частотная таблица для модуля скорости сильных ветров

Скорость, м/с

Количество

наблюдений

Накопленное

количество

Процент

Накопленный

процент

15 152 152 34.86 34.86

16 77 229 17.66 52.52

17 55 284 12.61 65.13

18 44 328 10.09 75.22

19 20 348 4.59 79.81

20 24 372 5.50 85.32

21-24 25 397 5.73 91.05

25-29 18 415 4.13 95.18

30-34 10 425 2.29 97.47

>=35 11 436 2.53 100

Для оценки близости эмпирического распределения к нормальному обычно,

кроме вычислений выборочных статистических характеристик, используют совместные

графики эмпирической плотности распределения метеорологической величины (гисто-

грамму) и нормальной кривой распределения. Как показывает анализ гистограммы

(

рис. 17.8), эмпирическое распределение модуля скорости ветра имеет значительные

отклонения от нормальной кривой и не может быть аппроксимировано нормальным

законом распределения:

Рис. 17.8. Гистограмма эмпирического распределения скоростей

сильных ветров c аппроксимацией кривой нормального распределения

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

Полигон эмпирического распределения модуля скорости сильного ветра в при-

водимом случае показывает характерную для скорости ветра ограниченность распреде-

ления слева и довольно резкий спад от преобладающих значений в сторону возрастания

скорости (длинный правый «хвост»). Распределение J-образное, класса L-

ограниченное.

17.5.3. Процентили

При имеющихся значительных отличиях эмпирического распределение метео-

рологической величины от нормального закона выборочные среднее и среднее квадра-

тическое отклонение не являются показательными характеристиками. При этом удоб-

нее пользоваться выборочной модой или процентилями, которые показывают более оп-

ределенно, какая часть наблюдений располагается выше или ниже заданного предела

(

табл. 17.3).

Таблица 17.3

Процентили распределения модуля сильных ветров

с мая по октябрь включительно (экспериментальные данные)

Процентиль V, м/с Процентиль V, м/с

10 15.0 70 17.4

20 15.0 80 19.1

30 15.1 90 22.9

40 15.3 95 28.7

50 15.9 97 32.3

60 16.5 99 44.0

Например, из общего числа сильных ветров над морем в 70% случаев отмечают-

ся скорости ветра более 15 м/с, только в 10-15% – можно ожидать усиления ветра до 20

м/с и более. В 95% случаев – скорости ниже 29 м/с (или в 5 % выше этого предела), в

99% случаев – скорости ниже 40 м/с.

17.5.4. Приёмы аппроксимации

При отличиях эмпирического распределения метеорологической величины от

нормального закона, используются приёмы аппроксимации исследуемой величины

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии

17. Математическая статистика в синоптической метеорологии

другими, более подходящими моделями. Например, для максимальной скорости ветра

предложено несколько способов аппроксимации функции распределения.

В качестве наиболее подходящей модели, описывающей вероятностные свойст-

ва экстремальных величин, обычно используют один из трех типов распределения

Гумбеля:

−= =−−− −∞<<

−= =− >

−= =−

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

Fx G x x x

Fx G x

( ) ( ) exp{ exp[ ( )]}, ,

() () exp[( )], ,

() () exp ( ) , .

αβ

βε

∞

Третий тип распределения Гумбеля, рассмотренный Гудричем при

ε=0, получил

широкое использование в практике для вероятностной характеристики максимальных

ветров и получил название распределения Гудрича.

Л.С. Гандин предложил аппроксимировать функцию распределения максималь-

ной скорости ветра выражением

Fu e

()

−

где

- интегральная вероятность (т.е. вероятность того, что скорость ветра больше,

чем u),

β и γ – параметры, зависящие от ветрового режима в данном районе (по оценкам

Кошинского для станций Восточного Сахалина β и γ составляют, соответственно 7 и

1.50).

Fu()

Отметим, что распределение Гандина получено как частный случай распределе-

ния Гудрича.

По Максвеллу (для частного случая распределения Релея):

()=

−

Распределение Максвелла может рассматриваться как частный случай распреде-

ления Гандина при

β=

σ 2

и γ=2).

Для анализируемой в данном примере выборки предлагается аппроксимация

функции распределения скоростей >=15 м/с выражением вида:

FU e

() .( )

−

311 7

0 138

где

– заданная скорость сильного ветра.

Н.А. Дашко Курс лекций по синоптической метеорологии