Чини Р.Ф. Статистические методы в геологии

Подождите немного. Документ загружается.

180

ПРИЛОЖЕНИЕ В

правильная концентрация рассеянного элемента, например

[Ва] =1200 г/т, могла бы быть задана тремя значащими цифра-

ми.

Например: [Ва] = 1200 г/т (три значащие цифры),

[Ва] =0,00120% (три значащие цифры). Внимательно изучите

эти представления (особенно второе): какие нули значащие, а

какие нет?

Можно избежать неопределенностей с нулями, если исполь-

зовать представление числа в виде мантиссы и порядка (или

так называемый научный способ представления числа). На-

пример, [Ва] =

1,20-10

г/т, [Ва] = 1,20

•

10~

%. Принято считать,

что все цифры, указываемые в мантиссе, значащие.

8.2. Округление

Приняв решение о том, сколько значащих цифр или сколько

десятичных знаков будет содержать результат, мы можем от-

бросить любые цифры сверх заданных чисел путем «округления».

Правило округления таково: чтобы. выполнить округление до п

значащих цифр (или десятичных знаков), сохраняем в представ-

лении результата п значащих цифр, а остальные отбрасываем.

Если отбрасываемые цифры составляют меньше половины еди-

ницы в л-м десятичном знаке, то п-ю цифру оставляем без изме-

нения. Если отбрасываемая цифра больше половины единицы в

п-м десятичном знаке, то к л-му знаку прибавляем единицу. Если

отбрасываемая цифра равна половине единицы, то округление

производится до ближайшей четной цифры. Цель последнего

приема состоит в том, чтобы исключить систематическое смеще-

ние,

т. е. в среднем числа будут округляться «с избытком»

столь же часто, как и «с недостатком». Например, округление

числа d= 1,335802972 до последовательно уменьшающегося числа

десятичных знаков дает последовательность:

1,3358

1,336

1.34

1,3

Если на вашем калькуляторе есть режим автоматического округ-

ления, посмотрите, дает ли он ту же самую последовательность.

8.3.

Абсолютные ошибки: сложение и вычитание

Абсолютной ошибкой числа является разность между его

истинным и приближенным значениями. Следовательно, мы ни-

когда не можем знать истинного значения абсолютной ошибки,

но можем оценить ее максимальное значение, максимальную аб-

http://jurassic.ru/

ТОЧНОСТЬ И ОШИБКИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

181

солютную ошибку. Например, определяя d=l,34 (с тремя знача-

щими цифрами), мы утверждаем, что истинное значение d за-

ключено между 1,344999...999 и 1,335000...001. Это же мы могли

бы показать иначе: d= 1,34±0,005, где максимальная абсолютная

ошибка равняется 0,005.

При сложении или вычитании чисел максимальная абсолют-

ная ошибка результата равняется сумме максимальных абсолют-

ных ошибок чисел, участвующих в операции.

Пример. Учитывая в этих числах значащие цифры, определяе-

мые заданной точностью, найдите их сумму:

Число

Максимальная абсолютная ошибка

15,9

0,05

13,444

0,0005

10,7246

0,00005

Сумма 40,0686

0,05055

Таким образом, с точностью до значащих цифр результат равен

40,1.

Твердо запомните, что округлять до суммирования нельзя

(попробуйте сделать это, и вы поймете, почему это так).

В.4.

Относительные ошибки: умножение и деление

Относительная ошибка — это отношение абсолютной ошибки

к истинному значению числа. Мы снова не можем вычислить ее

точно, но можем оценить максимальную относительную ошибку

как отношение максимальной абсолютной ошибки к приближен-

ному значению числа. Например, если d=l,34, то максимальная

относительная ошибка составляет около 0,005/1,34 = 0,0037 (что

также содержит еще меньшую ошибку, которой можно прене-

бречь).

Как при умножении, так и при делении максимальная относи-

тельная ошибка результата равняется сумме максимальных от-

носительных ошибок отдельных чисел, участвующих в этих опе-

рациях.

Пример. Чему равно значение d

, если d=l,34 (три знача-

щие цифры)? Максимальная относительная ошибка d равна

0,0037 (см. выше); следовательно, максимальная относительная

ошибка d

равняется максимальной относительной ошибке

d, умноженной на 3, т. е. равняется 0,0111. d

равняется 1.34Х

X 1,34 X 1,34 = 2,406104. Чтобы оценить максимальную абсолют-

ную ошибку d

, умножим его значение на максимальную отно-

http://jurassic.ru/

182

ПРИЛОЖЕНИЕ В

сительную ошибку: 2,406104x0,0111 = 0,027 = 0,03 (приближен-

но).

Таким образом, d

определяется с ошибкой ±3 единицы во

втором десятичном знаке, и верными являются только две зна-

чащие цифры: d

= 2,4.

8.5. Ошибки при вычислении функций

В перечислявшихся формулах содержатся такие функции,,

как log(x), sin(x) и др. «Аргумент» функции (х) может быть-

определен с ошибкой. Чему же тогда равна ошибка функции?

В качестве приемлемого приближения можно принять, что изме-

нение значения х на величину Ьх вызывает изменение значения:

функции f(x), равное

f'(x)dx,

где /' (х) — первая производная

функции f (х) по х. В данном контексте дх является максималь-

ной абсолютной ошибкой х. Список первых производных для',

всех наиболее распространенных функций вы найдете в любых'

математических справочниках, содержащих раздел, посвящен-

ный вычислениям.

Пример. Замер угла х равен 35,2° с точностью до всех ука-

занных значащих цифр. Чему равен sin (л:) с точностью до мак-

симального числа значащих цифр?

Функция f(x) равна sin(x), поэтому f'(x) = cos(x). Следова-

тельно, максимальная абсолютная ошибка sin(x) равняется

cos(x),

умноженному на максимальную абсолютную ошибку х.

В этом примере sin35,2°=0,576432315 по данным электронного'

калькулятора. Максимальная абсолютная ошибка х равна 0,05;.

следовательно, максимальная абсолютная ошибка sin(х) равня-

ется cos35,2°, умноженному на 0,05, и достаточно близка к 0,04.

Таким образом, это значение функции содержит ошибку ±4 еди-

ницы во втором десятичном знаке, и его следует определить как.

sin35,2° = 0,6.

8.6. Выводы

Можно легко оценить ошибки, возникающие из-за ограничен-

ной точности десятичных чисел, -необходимость их округления

и проанализировать тот путь, которым эти ошибки разрастают-

ся при вычислениях по формуле.

Пример. В формуле закона Брегга, приведенной в первом

абзаце этого приложения, максимальная относительная ошибка

числителя Я равна 0,005/1,54 = 0,0032. Максимальная относитель-

ная ошибка знаменателя 2sin35,2° равна 0,04/sin35,2° =

0,071.

Тогда максимальная относительная ошибка частного приближен-

но равна 0,0032 + 0,071=0,074, а максимальная абсолютная

ошибка составляет 0.074Х 1,335802972 = 0,009. Следовательно,.

d= 1,3+0,1, что противоречит результату, полученному на элек-

тронном калькуляторе (d= 1,335802972).

http://jurassic.ru/

ТОЧНОСТЬ И ОШИБКИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

183

В.7. Ошибки округления при машинных вычислениях

Разные модели компьютеров и программируемых калькуля-

торов сильно различаются «точностью» хранящихся в них чисел

и способами выполнения ими основных арифметических опера-

ций. Главным ограничивающим фактором является число дво-

ичных разрядов, из которых состоит отдельная ячейка памяти,

ограничивающая число значащих цифр, которые передаются от

одного этапа- вычислений к другому. В длинных вычислениях

каждый промежуточный результат округляется до того числа

десятичных знаков, которое присуще данной вычислительной

машине, и поэтому ошибки округления могут накапливаться.

В машинах с ограниченной точностью число десятичных цифр,

-передаваемых таким способом, может быть равно девяти или

меньше. Вследствие этого длинные вычисления, такие, как вы-

числения по формулам (5.3а) — (5.3в) или по формулам

табл. 9.4, могут иметь тенденцию к серьезной вычислительной

неустойчивости. Аккуратный программист, перед тем как при-

ступить к составлению конкретной программы, всегда проверит

технические характеристики машины и проанализирует вероят-

ное поведение выражений, то которым производятся вычисления.

http://jurassic.ru/

Приложение Г

Обозначения

А — площадь круговой гистограммы

а — размер критической области; вероятность ошибки I ро-

да; константа регрессии

В — присутствие биотита

Ь — отсутствие биотита; вероятность ошибки II рода; кон-

станта регрессии

С — число классов в классификации

С — арифметическое среднее косинусов

с — направляющий косинус; свободный член уравнения

регрессии (отрезок регрессии)

с — единичный вектор

— (греческая буква «хи») статистика критерия хи-квад-

рат

D — статистика критерия Колмогорова — Смирнова

d — половина угла при вершине сектора или конуса

d — подстрочный индекс, обозначающий направление

«вниз» (down) (см. X)

Е — ожидаемая частота

е — число 2,718 являющееся основанием натуральных

логарифмов (иногда для обозначения натурального-

логарифма используется в качестве подстрочного ин-

декса в функции log); подстрочный индекс, обозна-

чающий направление на «восток» (east) (см. X)

F — статистика дисперсионного отношения Фишера

F(x) —•интегральная функция распределения (ИФР)

f — частота; частота класса

f(x) — функция плотности вероятности (ФПВ) от х

Н — статистика критерия Крускала — Уоллиса; присутст-

вие роговой обманки

— нулевая гипотеза

Hi — альтернативная гипотеза

h — отсутствие роговой обманки

— подстрочный индекс, обозначающий отдельные наблю-

дения, классы или выборки

К — матрица концентраций

— параметр концентрации

http://jurassic.ru/

ОБОЗНАЧЕНИЯ

185

1 — единичный вектор среднего направления

М—математическое ожидание

М—выборочная оценка математического ожидания (сред-

_ неарифметическое)

М\,

— оценки математических ожиданий в двух выборках

— медиана

— меридиональный угол; статистика критерия Ходжеса—

Айне; наклон линии регрессии

— объем выборки

Ni,

N2 — объемы выборок в задачах с двумя выборками

п — подстрочный индекс, обозначающий направление на

«север» (north) (см. X)

О — наблюдаемая частота

я — отношение длины окружности к диаметру круга (л =

= 3,14159...)

R_—число «гербов»; сумма рангов

R — средняя результирующая длина

— радиус сектора круговой гистограммы; число серий;

коэффициент корреляции Пирсона

5_—

число выборок или подвыборок

5 — среднеарифметическое синусов

s — стандартное отклонение генеральной совокупности

s — выборочная оценка стандартного отклонения

2—символ суммирования [см. формулы (1.2) или (4.2) и

(4.3)]

t—i-статистика Стьюдента

t — совместно с подстрочным индексом обозначает глав-

ную ось распределения Бингхема

т — ранговый коэффициент корреляции Кендалла; собст-

венное число в распределении Бингхема

— порядковая статистика критерия Манна — Уитни и

различных критериев распределений на окружности

— статистика критерия Куипера

v — число степеней свободы

w — ширина класса

X — случайная переменная; совместно с подстрочными ин-

дексами n, е и d обозначает углы с координатными

осями, направленными соответственно на «север», на

«восток» и «вниз»

— среднее направление в генеральной совокупности

— оценка среднего направления

х — отклонение от среднего; переменная

2 — стандартизованное отклонение

http://jurassic.ru/

Список литературы

Bingham С. 1964. Distributions on the sphere and on the projective plane,

PhD thesis, Yale University.

Chayes F. 1971. Ratio correlation, Chicago: University of Chicago Press.

Clarkson E. N. K. 1979. Invertebrate palaeontology and evolution, London:

George Allen & Unwin.

Cochran W. G. 1977. Sampling techniques, 5, New York: Wiley. (Имеется

русский перевод более раннего издания: Кокрен У. Методы выборочного

исследования. — М.: Статистика, 1976.)

Davis J. С. 1973. Statistics and data analysis in geology, New York: Wiley.

(Имеется русский перевод: Девис Дж. Статистика и анализ геологических

данных. — М.: Мир, 1977.)

6. Frazer R. A., W. J. Duncan, A. R. Collar. 1963. Elementary matrices, 112,

Cambridge: Cambridge University Press.

Hall G. G. 1963. Matrices and tensors, London: Pergamon.

8. Hope K. 1968. Methods of multivariate analysis, London: University of

London Press.

9. Kamb W. B. 1959. Ice petrofabric observations from the Blue glacier, Wa-

shington, in relation to the theory and experiment, J. Geophys. Res. 64,

1891—1909.

10.

Koch G. S., R. F. Link. 1970. Statistical analysis of geological data, vol. L

New York: Wiley.

11.

Koch G. S., R. F. Link. 1971. Statistical analysis of geological data, vol. 11.

New York: Wiley.

12.

Krumbein W. C, F. A. Graybill. 1965. An introduction to statistical models

in geology, New York: McGraw-Hill. (Имеется русский перевод: Крам-

бейн У., Грейбилл Ф. Статистические модели в геологии. — М.: Мир,

1969.)

13.

Macbeath А. М. 1964. Elementary vector algebra, London: Oxford Univer-

sity Press.

14.

Mardia К. V. 1972. Statistics of directional data, London: Academic Press.

(Имеется русский перевод: Мардиа К. Статистический анализ угловых

наблюдений. — М.: HavKa, 1978.)

15.

Mann Н. В., D. R. Whitney. 1947. On a test of whether one of two random

variables is stochastically larger than the other, Ann. Math. Statist. 18,

50—60.

16.

Meyer S. L. 1975. Data analysis for scientists and enginers, 167—9, 342—9,

New York: Wiley.

17.

Noble B. 1964. Numerical methods 1, 1—11, Edinburgh: Oliver & Boyd.

18.

Phillips F. C. 1954. The use of the stereographic projection in geology, Lon-

don: Edward Arnold.

19.

Siegel S. 1956. Nonparametric statistics for the behavioral sciences, 6—17,

New York: McGraw-Hill.

20.

Sprent P. 1977. Statistics in action, 32, London: Penguin.

21.

Sprent P. 1981. Quick statistics, an introduction to non-parametric methods,

London: Penguin.

22.

Stephens M. A. 1970. Use of Kolmogorov — Smirnov, Cramer —von Mises

and related statistics without extensive tables, J. R. Statist. Soc. B32,

115—22.

23.

Till R. 1974. Statistical methods for the earth scientist, London: Macmillan.

24.

Wetherill G. B. 1966. Sequential methods in statistics, London: Methuen.

25.

Yule G. U., M. G. Kendall. 1950. An introduction to the theory of statistics,

Chs 1—3, London: Griffin.

http://jurassic.ru/

Оглавление

Предисловие редактора русского перевода 5

Предисловие 8

Благодарности 10

•Список таблиц' 11

•Список критических значении, используемых выражений и т. п. . . . 13

Замечания о вычислениях по формулам 14

Введение 15

Глава 1. Слово, число, рисунок 21

Глава 2. Бросание монеты и стратиграфия 41

Г лава 3. Методы проверки гипотез для одной и двух выборок ... 55

Глава 4. Номинальные статистики 61

Глава 5. Теоретические распределения и доверительные интервалы 72

Глава 6. Порядковые методы 87

Глава 7. Корреляция и регрессия 102

Глава 8. Ориентировки в двухмерном пространстве 109

Глава 9. Ориентировки в трехмерном пространстве ....... 123

Глава 10. Гипотезы, выборки и решения 144

Приложение А. Словарь терминов по матричной и векторной алгебре 163

Приложение Б. Дополнительные упражнения 171

Приложение В. Точность и ошибки вычислений 179

Приложение Г. Обозначения 184

Список литературы 186

http://jurassic.ru/

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформ-

лении, качестве перевода и другие просим присы-

лать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й

Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».

http://jurassic.ru/

Р. Ф. Чини

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ГЕОЛОГИИ

Научные редакторы В. С. Краснова и Н. А. Никишина

Младший научный редактор Т. С. Егорова

Художник Г. А. Шипов

Художественный редактор А. Я. Мусин

Технический редактор Н. И. Манохина

Корректор М. А. Смирнов

ИБ № 5757

Сдано в набор 18.10.85.

Подписано к печати 02.04.86.

Формат 60X

907,8.

Бумага кн. журн. имп.

Печать высокая. Гарнитура литературная.

Объем 6,00 бум. л. Усл. печ. л. 12,00.

Усл.

кр.-отт. 12,37. Уч.-изд л. 11,22. Изд. № 5/4574.

Тираж 4000 экз. Зак. 760. Цена 1 р. 80 к.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2.

Ярославский полиграфкомбинат Союзполиграфпрома

при Государственном комитете СССР по делам издательств,

полиграфии и книжной торговли.

150014, Ярославль, ул. Свободы, 97.

http://jurassic.ru/