Червач Ю.Б., Охотин И.С. Технические измерения в машиностроении

Подождите немного. Документ загружается.

1 0,9973 0,0027

 

и расположена симметрично по 0,00135 или по

0,135 % справа и слева относительно оси у (рис. 4).

-3

-2

-1

0,135 %



0 1

(- )



0 1

(+ )

Рис. 4. Кривая нормального распределения и иллюстрация

подынтегральных функций

Следовательно, с вероятностью, близкой к единице, можно утвер-

ждать, что случайная величина

не будет выходить за пределы

 

Поэтому при распределении случайной величины по закону Гаусса поле

рассеяния, равно

lim

 

или диапазон

 

считают за практически

предельное поле рассеяния случайной величины и принимают за норму

точности – допуск. При этом вероятность выхода случайной величины

за пределы значений

 

равна 0,0027 или 0,27 %.

В условиях производства из-за ограниченности числа измерений

при обработке вместо математического ожидания и дисперсии получают

их приближенные статистические оценки - соответственно эмпириче-

ское среднее

и эмпирическую дисперсию

, характеризующие сред-

ний результат измерений и степень рассеяния результатов. Эти оценки

определяют по формулам:

1 1 2 2

1 2 1

...

k k i

k i

x n x n x n n

x x

n n n N



  

 

  



; (11)

( )

s x x



 



. (12)

В этих выражениях

– значение, соответствующее середине i-гo

интервала, a k – число интервалов. Чем меньше величина s, тем выше

точность процесса изготовления или измерения, т. е. тем меньше вели-

чины случайных погрешностей. Поэтому параметр s используют в каче-

стве меры точности процесса изготовления или при повторных измере-

ниях одной и той же величины в качестве меры точности метода изме-

рения.

10.5. Примеры обработки результатов измерений

Если совокупность случайных величин, подчиняется закону нор-

мального распределения или закону близкому к нормальному, то при-

меняя соответствующие критерии, можно установить, что рассматри-

ваемое эмпирическое распределение наилучшим образом соответствует

именно этому закону.

При контроле партии деталей по какому-либо размеру или при

многократном измерении одной детали по какому-либо размеру мы

встречаемся со случаем, когда результаты наблюдений представляют

собой совокупность значений дискретной случайной величины, т. е. со-

вокупность действительных значений размера или значений погрешно-

стей размера.

Рассмотрим примеры обработки результатов наблюдений.

Методику статистической обработки результатов наблюдений рас-

смотрим на примере измерения дискретных размеров валов 12h10

(–0,07), обработанных на токарном станке. Размер выборки из генераль-

ной совокупности (объём всей партии) примем равным N = 200. Изме-

рения проводим на приборах типа длиномер или оптиметр с ценой деле-

ния 0,001 мм.

Анализируя результаты наблюдений, приходим к выводу, что среди

них встречаются значения существенно отличающееся от большинства

результатов, они являются промахами или грубыми ошибками. Такие

наблюдения, могут быть вызваны невнимательностью контролера, по-

паданием в выборку посторонних деталей, а также другими причинами,

нарушающими нормальные условия получения опытных данных. Сле-

дует иметь в виду, что эти наблюдения визуально резко отличаются от

среднего результата для данной выборки. При наличии промахов при-

чины их должны быть проанализированы и устранены.

Наблюдение, которое является промахом, исключают из совокупно-

сти, а остающиеся наблюдения снова обрабатывают и получают новые

значения,

и s, после чего проводят дальнейший анализ результатов и

исключают при необходимости другие промахи, пользуясь критериями

Колмогорова, Ирвина или другими. При предварительных расчетах ис-

ключают погрешности, т. е. отклонения от

, превосходящие по абсо-

лютной величине



Полученные после предварительного анализа результаты наблюде-

ния располагаем в возрастающем порядке, тем самым образуем вариа-

ционный ряд. Находим из всего числа наблюдений максимальное и ми-

нимальное значения

max

min

, находим размах.

В нашем примере минимальное значение наблюдаемого размера

равно 11,915 мм, а максимальное равно 12,005 мм, тогда размах

, рав-

ный разности полученных предельных значений, равен:

max min

12,005 11,915 0,09

R d d

    

мм.

Далее вариационный ряд разбиваем на k интервалов. Число интер-

валов k в определённой степени зависит от объёма выборки N и может

быть принято по следующим рекомендациям:

5 7

 

, при



;

7 9

 

, при

40 100

 

;

9 12

 

, при

100 500

 

, кроме того при

небольшом числе интервалов удобным выбирать нечётное k. Из пред-

ставленных рекомендаций видно, что значения существенно перекры-

ваются и выбор числа интервалов не является определяющим, таким об-

разом рекомендации носят ориентировочный характер.

Примем

= 9, тогда величина интервала равна

R k

= 0,09/9 = 0 мм,

а половина интервала равна 0,5

R k

= 0,005 мм. Находим значения сере-

дин интервалов и образуем интервальный ряд, для чего к

min

прибавим

значение 0,5

R k

, к полученному значению прибавим снова 0,5R/k и так

далее, получим в итоге

max

0,5 /

d R k



, т. е. 12,000 мм.

Далее находим количество наблюдений попавших в каждый из ин-

тервалов, например, в интервал 11,935–11,945 попало 20 результатов; в

интервал 11,975–11,985 попало 12 результатов наблюдений и так далее.

Следует иметь в виду, что значения, попавшие на границу интервала,

включают в левый интервал.

Число наблюдений, попавших в данный интервал, называют час-

тотой.

Порядок обработки результатов и пример оформления расчётов

приведён в табл. 21. Значения

и s определяются по формулам (11) и

(12)

(11,920 2 11,930 6 ... 12,000 2) / 200 11,960

       

мм;

2 2 2

( 0,04) 0,01 ( 0,03) 0,03 ... ( 0,04) 0,01 0,015

s            мм.

Таблица 21

Пример обработки результатов измерения

Интервалы дейст-

вительных разме-

ров

, мм

Среднее

значение

интервала,

мм

Число

деталей в

интервале

Отклонение от

среднего значения

i i

v x x

 

, мм

Частость

n N

от 11,915

до 11,925

11,920 2 -0,04 0,01

св. 11,925

до 11,935

11,930 6 -0,03 0,03

св. 11,935

до 11,945

11,940 20 -0,02 0,10

св. 11,945

до 11,955

11,950 48 -0,01 0,24

св. 11,955

до 11,965

11,960 56 0,00 0,28

св. 11,965

до 11,975

11,970 34 +0,01 0,17

св. 11,975

до 11,985

11,980 20 +0,02 0,10

св. 11,985

до 11,995

11,990 12 +0,03 0,06

св. 11,995

до 12,005

12,000 2 +0,04 0,01

11,96



200



0,10



 

 

 



 







Характер рассеяния значений случайной величины, которой в рас-

сматриваемом примере является действительный размер вала, более на-

глядно определяется гистограммой, состоящей из прямоугольников,

высота которых равна частоте, а основание величине интервала.

Рассеяние определяется также эмпирической кривой распределе-

ния, которую называют полигоном распределения (рис. 5). Графическое

представление результатов при ручной обработке удобно выполнять на

миллиметровой бумаге. По оси абсцисс откладывают интервалы дейст-

вительных размеров валов, а по оси ординат – высоты прямоугольников

равные частотам.

Расстояния по оси абсцисс и по оси ординат для лучшей наглядно-

сти рекомендуется откладывать в отношении равном 0,8 – 1,0. На рис. 5

представлены полигон и гистограмма распределения размеров валов,

также расположение поля допуска отражающего требования к точности

по чертежу, как можно видеть эмпирические результаты несколько не

совпадают с требованиями технической документации, что в принципе

так и должно быть.

Рис. 5. Гистограмма и полигон распределения случайной величины

Например, несовпадение координаты середины поля допуска с эм-

пирическим центром группирования равно 0,005 мм, а размах превыша-

ет допуск на величину равную 0,09 – 0,07 = 0,02 мм. Для заключения о

годности партии необходимо провести анализ полученных результатов

по следующим признакам:

● соответствие эмпирического распределения закону нормально-

го распределения;

● оценка доверительных вероятностей эмпирических параметров;

● установление технологических допусков.

Анализ результатов измерения случайных величин становиться

возможным, если знать, какому теоретическому закону распределения

вероятностей случайной величины соответствует эмпирическое распре-

деление.

Исходя из формы эмпирической кривой, и из значений эмпириче-

ских параметров выдвигается гипотеза о соответствии ее тому или ино-

му теоретическому закону распределения.

Следует иметь в виду важность графического представления формы

эмпирической кривой, на которую влияют, кроме всего прочего, выбор

числа интервалов и соотношение значений по осям абсцисс и ординат.

Соответствие эмпирического распределения предполагаемому тео-

ретическому распределению устанавливается на основании критериев



по ГОСТ 11.006–74, например критерия Колмогорова.

Сравнение характеристик эмпирического и теоретического распре-

делений проводят следующим образом. Рассматривают значения пара-

метров эмпирического и принятого теоретического распределений. Па-

раметры

и s, определённые по данным выборки, дают лишь прибли-

женную характеристику точности генеральной совокупности исследуе-

мых объектов.

Характеристикой рассеяния значений случайной величины в гене-

ральной совокупности служат математическое ожидание

( )

M x

и сред-

нее квадратическое отклонение



Между вероятностными характеристиками

( )

M x



и эмпириче-

скими значениями

и s различия заключаются в том, что первые рас-

сматриваются как постоянные неизвестные величины, характеризующие

распределение генеральной совокупности, а вторые, являются случай-

ными величинами, определенными из выборочной совокупности и дают

лишь приближенную оценку

( )

M x



C увеличением объема выборки и числа наблюдений, разница меж-

ду

( )

M x

, а также между



и s уменьшается.

Обработка результатов наблюдений выборки заданного объема, по-

зволяет установить границы, внутри которых с определенной, вероятно-

стью, будут находиться значения параметров генеральной совокупно-

сти.

Степень этого доверия или так называемый доверительный интер-

вал выбирают исходя из технических требований на показатели качества

функционирования изделия.

Границы доверительного интервала определяют доверительную ве-

роятность, которая характеризует надёжность принятого результата.

Для нормального распределения таким доверительным интервалом,

например, для математического ожидания

( )

M x

будет интервал, имею-

щий границы

( )

M x

равные

 

, где



– среднее квадратическое от-

клонение для распределения величин

Так как

 



то границами доверительного интервала будут

x s





Из таблицы значений

( )



находим, что в границах

   

ле-

жит 99,73 % всех значений случайной величины

, выраженной через z,

так как

2 (3) 2 0,49865 0,9973

   

. Таким образом, с надежностью

0,9973 можно утверждать, что значение

( )

M x

лежит в интервале

 

Так как x и s – случайные величины, то доверительные интервалы,

как это следует из приведенного выше расчета, зависят от множителя,

при



, который обозначим для общего случая через z.

Очевидно, надежность того, что значение

( )

M x

лежит в пределах

x z

 

, будет больше, чем 0,9973, если



, и меньше, чем 0,9973, при



Обычно задаются надежностью, равной одной из следующих вели-

чин: 0,90; 0,95; 0,99; 0,999, что соответствует значениям z, равным 1,645;

1,96; 2,576 и 3,291.

Рассмотрим пример, примем, что рассмотренное выше распределе-

ние погрешностей изготовления валов являющееся выборкой объёмом

200



имеет нормальное распределение, тогда:

0,015

0,001

1 199

   



мм.

Доверительный интервал для

( )

M x

определяют по формуле:

( )

x x

x z M x x z

     

Тогда с надёжностью 0,9 или 90 % можно ожидать, что:

11,96 1,645 0,001 ( ) 11,96+1,645 0,001

M x

    

или

11,958 ( ) 11,962

M x

 

Для выборок, малых объемом, множитель x должен быть заменён

множителем



, который находят по табл. 22 по распределению Стью-

дента.

Таблица 22

Значение коэффициента Стьюдента

при разной доверительной вероятности Р

Значение коэффициента Стью-

дента при доверительной вероят-

ности Р

Значение коэффициента

Стьюдента при доверительной

вероятности Р

Число наблюдений

0,05 0,90 0,95 0,98 0,99

Число наблюдений

0,05 0,90 0,95 0,98 0,99

1,0

0,82

0,77

0,74

0,73

0,72

0,71

6,31

2,92

2,35

2,13

2,01

1,94

1,90

1,86

12,71

4,30

3,18

2,78

2,57

2,45

2,36

2,31

31,82

6,96

4,54

3,75

3,65

3,14

2,97

2,90

63,66

9,92

5,84

4,60

4,03

3,71

3,50

3,36

120

∞

0,70

0,69

0,68

0,67

1,84

1,76

1,73

1,70

1,67

1,66

1,65

2,26

2,14

2,09

2,04

2,00

1,98

1,96

2,76

2,60

2,53

2,46

2,39

2,36

2,33

3,25

2,98

2,86

2,76

2,66

2,62

2,58

Значение



зависит от объема выборки, т. е. от



пользуясь

этими таблицами, можно получить, например, что при



и надеж-

ности 0,9 коэффициент

1,73





; притом же значении N и надежности

0,95; 0,99 и 0,999 величина



будет равна соответственно 2,09; 2,86;

3,88.

Выбор надёжности определяется объектом производства, напри-

мер: для изделий общего назначения можно принять надёжность 0,9;

для изделий повышенной надёжности – 0,95; для авиационной техники –

0,99; наконец – 0,999 или как говорят: «три девятки» для особо ответст-

венных изделий, нарушение работоспособности которых представляет

собой опасность для жизнедеятельности людей.

Таким образом, если бы значения

11,96



0,015



были полу-

чены из выборки объемом 20 шт., а не 200 шт., как это было показано в

предыдущем примере, то при заданной надежности 0,9 границы довери-

тельного интервала были бы следующими:

0,015

0,001

1 199

   



11,96 1,73 0,001 ( ) 11,96+1,73 0,001

M x

    

или

11,955 ( ) 11,965

M x

 

При надежности «три девятки» получили доверительный интервал

значительно больший

11,96 3,88 0,001 ( ) 11,96+3,88 0,001

M x

    

или

11,948 ( ) 11,972

M x

 

При уменьшении объема выборки и увеличении требуемой надеж-

ности величина доверительного интервала будет возрастать, т. е. грани-

цы возможных значений величины

( )

M x

будут расширяться.

Аналогично могут быть определены доверительные интервалы для

значения



10.6. Пример построения гистограммы и полигона

распределения в Excel 2007

Откройте Microsoft Excel 2007 и занесите в таблицу (рис. 6) данные

примера п. 10.5 (табл. 21): среднее значение

интервала и число

де-

талей в интервале, продублировав дважды столбец со значениями

Рис. 6.

Пройдите следующие шаги:

1. На панели инструментов нажмите «вставка» (рис. 7). На первом

шаге нам необходимо выбрать тип «гистограмма». После вы-

бранного типа гистограммы нажимаем ОК.

Рис. 7.

2. На втором шаге необходимо задать источник данных диаграммы.

Для этого в открывшемся белом окне щелкаем правой клавишей

мыши и выбираем «Выбрать данные». В строке «Диапазон дан-

ных для диаграммы» нажать на кнопку с красной стрелкой и, за-

жав левую клавишу мыши, выделить два столбца со значениями

, затем опять нажать на кнопку с красной стрелкой, вернув-

шись в окно мастера диаграмм.

3. Далее в том же окне «Выбрать данные» переходим на вкладку

«Строка/столбец». В строке «Подписи по горизонтальной оси

(категории)» щелкаем на «Изменить» и также нажимаем на кноп-

ку с красной стрелкой и выделяем столбец со значениями xi, за-

тем снова нажимаем на кнопку с красной стрелкой, возвращаясь

в окно мастера диаграмм. Щелкаем ОК.

4. На получившейся диаграмме щелкаем правой клавишей мыши на

любом столбце гистограммы и выбираем «формат ряда данных»,

переходим на вкладку «параметры ряда» и устанавливаем шири-

ну бокового зазора, равную нулю, нажимаем ОК.