Черняховская Л.Б., Шабанов Л.А.Справочник по статике
Подождите немного. Документ загружается.
В систему уравнений (2) входят три неизвестные реакции: Х
А
, У
А
и N
C
, и мы можем однозначно определить их значения. Выбираем оси коор-
динат и составляем уравнения равновесия для стержня СD (рис.32в).
060cos50cos =−+=
∑
o
o
CD
FNXF
kx
.
060sin50sin =−+−=
∑
o
E
o
CD
FNNYF
ky
(3)
∑
=+⋅−⋅= 060sin50sin)(
o
E
o
CD
KDFEDNCDNFm
k
.
Из этих уравнений определя-
ются последние три неизвест-
ные реакции Х
D
, Y
D
, N
E
.
Таким образом, для конст-
рукции, состоящей из двух
твердых тел, можно составить
девять уравнений равновесия.
Для данной задачи оптималь-
ными являются уравнения (2) и
(3), из которых находятся все
внешние и внутренние реакции.
5.3. Задачи для самостоятельного решения
В следующих задачах (рис.33 – 37) определить внешние и внутренние ре-
акции составной конструкции при заданных размерах тел и значениях при-
ложенных сил
.
Задача 1.
(рис. 33)
х
Х
D
у
D
E
K
Y
D
F
60
0
N
C1
N
E
C
50
0
Рис. 32в
90
0
90
0
P
1
= 18 кH, P
2
= 20 кH, F = 12кH , M = 40 кHм, q =2кH/м
В
K
45
о
P
2
M
q
Рис.33
2
C
E
F
70
0
А
50
0
D
P
1
2
2
F
А
50
0
D
P
1
E
70
0
C
М
А
У
А
Х
С
У
С
Х
А
Рис.
33
а
У
С
В
K
45
0
P
2
M
C
Х
С
Q
L
Q =q CK.
N
B
Рис.
33
б
Методические рекомендации
Расчлените систему (рис.33а и рис.33б). Покажите все действующие на
каждое тело активные силы и реакции. Составьте для каждого тела уравнения
равновесия
Задача 2
(рис.34)
Методические рекомендации
Используйте для решения задачи дополнительные чертежи (рис.34а,
рис. 34б)
Задача 3 (рис.35)
F = 8 кH, P = 12 кH, Q = 20 кH , M = 60 кHм
K
30
0
90
0
А
50
0
E
В
C
H
Q
F
M
2
2
1
1,5
D
P
60
0
Рис.34
С
D
90
0
P
60
0
В
Рис.34б
Y
C
X
C
30
0
А
50
0
K
E
F
M
С
Рис.34а
Y
C
X
C
X
A
Y
C
P
1
= 8 кH, P
2
=12 кH, F = 6кH , M = 24 кHм.
Рис.35а
C
N
C
В
E
P
1
M
Y
B
X
B
60
0
Рис.35
А
2
60
0
C
K
D
F
P
2
40
0
В
E
P
1
M
Н
1,5
0,5
Методические рекомендации
Расчлените конструкцию. Составьте уравнения равновесия для балки АВ,
используя дополнительный чертеж (рис.35а). Составьте уравнения равнове-
сия для всей конструкции. Проверьте правильность решения задачи, соста-
вив уравнения равновесия для балки ADK.
Задача 4
(рис.36).
Определить давление
цилиндра на брус и гладкую вертикальную стену
и реакции опор бруса в точках его закрепления.
Вес цилиндра Р =20 н, вес бруса Q = 16 н, АВ =0,4 м, радиус цилиндра
R = 0.12 м.
Методические рекомендации.
Рассмотрите равновесие каждого тела
в отдельности.
Цилиндр касается стены в точке D и
опирается на брус в точке Е. На цилиндр
действуют три силы (рис.36 а): сила тяже-
сти
P, приложенная в его центре О, и ре-
акции в точках контакта со стеной и бру-
сом:
N
D
и N
E
. Линии действия этих сил
пересекаются в точке О. ресекаются в точке О.
Определить реакции в этом
случае можно построением силового
треугольника (рис. 36б).
На брус действует (рис.36в)
сила тяжести
Q, сила N’
E
, с которой
цилиндр давит на брус (
N’
E
= - N
E
),
реакции шарнира в точке А (
X
A
иY
A
)
и реакция N
B
, направленная перпен-
дикулярно АВ.
Составьте три уравнения равно-
весия для сил, приложенных к брусу АВ.
Сумму моментов следует составить относи-
тельно точки А. Плечо силы
N
E
относитель-
но точки А равно отрезку АЕ, который опре-
деляется из треугольника АОЕ. Плечо силы
Q равно отрезку Ас, плечо силы N
B
равно
АВ.
R
Рис. 36
О
А
В
60
0
D
E
O
N
D
P
N
E
Рис.36а
Р
N
D
N
E
Рис.36б
60
0
X
A
A
Q
N
B
B
C
Рис. 36в
D
E
N’
E
О
Y
A
30
0
x
y
с
6. Равновесие пространственной системы сил.
6.1. Уравнения равновесия пространственной системы сил.
Для равновесия пространственной системы сил необходимо и доста-
точно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси координат равнялись ну-
лю и три суммы моментов всех сил относительно каждой координатной оси
равнялись нулю, т.е. условия равновесия выражаются шестью уравнениями:
∑
∑
∑
=
=
=
;0
;0
;0
kz
ky
kx
F
F
F
∑
∑
∑
=
=
=
.0)(
;0)(
;0)(
kz
ky
kx
Fm
Fm
Fm
6.2. Моментом силы относительно оси называется момент проекции
силы на плоскость, перпендикулярную этой оси, относительно точки
пересечения оси с плоскостью
(рис.37).
Момент силы относительно оси
имеет знак
плюс, если проекция этой
силы на перпендикулярную к оси
плоскость, стремится повернуть тело
вокруг положительного направления
оси против часовой стрелки.
При определении момента силы от-
носительно оси z необходимо
выполнить следующие действия:
1.Провести плоскость ху, перпендикулярную оси z, и указать точку О их пе-
ресечения.
2. Найти проекцию
XY
F силы F на эту плоскость.
3. Определить момент силы
XY
F относительно точки О как произведение
модуля этой силы на плечо с соответствующим знаком:
.)()( hFFmFm
xyxyOZ
⋅±==
Силы, параллельные оси, и силы, пересекающие ось, моментов относи-
тельно оси не создают.
z
F
А
B
F
xy
Рис. 37
a
b
90
0
О
xy
h
Моменты силы F относительно координатных осей могут быть выра-
жены через ее проекции на оси координат
zyx
FFF ,,
и координаты точки ее
приложения x, y, z.
xyz
zxy
yzx
yFxFFm
xFzFFm
zFyFFm
−=
−=
−=
)(
;)(
;)(
При определении момента силы относительно оси можно использовать
теорему Вариньона:
момент равнодействующей относительно какой-
либо оси равен алгебраической сумме ее составляющих относительно
той же оси.
6.3. Примеры определения моментов сил относительно координатных
осей
1. Моменты силы тяжести
P
одно-
родной прямоугольной горизонталь-
ной пластины
относительно гори-
зонтальной и вертикальной осей.
Для того, чтобы определить мо-
мент силы
P
относительно оси x
(рис.38), проведем плоскость, перпен-
дикулярную этой оси. Точка С
1
явля-
ется точкой их пересечения. Сила
P
лежит в этой плоскости, поэтому ее
момент относительно оси х равен мо-
менту относительно точки С
1
.
.2/)()(
1
1
aPCCPPmPm
Cx
⋅
−=⋅
−
=
=
Ана
логично:
2/bPm
y
⋅=
Момент силы
P
относительно вертикальной оси z равен нулю, так как сила
параллельна этой оси.
2
. Моменты силы, действующей по диагонали боковой грани пря-
моугольного параллелепипеда
(рис. 39).
Для определения момента силы
Р
относительно оси х найдем ее проек-
цию
yz
Р на плоскость СLKB, которая перпендикулярна оси х. Модуль
проекции
α
sin⋅= PP
yz
.
Момент
yz
P
относительно точки С является моментом силы
Р
отно-
сительно оси х:
y
x
z
A
С
1
B
D
a
О
С
P
Рис.38
b
.sin)()( aPaPPmPm
yzyzСx
⋅
⋅=
=
=
α
Момент силы
P
относительно оси у равен
моменту этой силы относительно точки А,
так как
P
лежит в плоскости ВKEA, пер-
пендикулярной оси
у, а точка А – точка их
пересечения. Сделаем дополнительный
чертеж – вид сбоку (рис. 39а). Находим
момент силы
Р относительно точки А,
плечо равно перпендикуляру h = Аа,
опущенному из точки а на линию дейст-
вия силы
Р.
.sin)()(
α
bPhPPmPm
Ay
⋅−=⋅−==
Момент силы
P
относительно оси z равен мо-
менту ее проекции
xy
P
относительно точки С.
Проекция Р
ху
= Р соsα.
.cos)()( aPOAPPmPm
xyxyOZ
α
=
=
=
3. Моменты относительно координатных осей силы натяжения
приводного ремня шкива
(рис. 40).
Сила
Т
лежит в плоскости шкива и, следовательно, находится в плос-
кости, перпендикулярной оси х. Про-
екция силы
Т
на эту плоскость равна
самой силе, а ее момент относительно
оси х равен моменту относительно
точки С, где пересекаются ось х и
плоскость шкива. Плечом силы явля-
ется радиус шкива, так как сила
Т
направлена по касательной к окруж-
ности шкива:
.)()( RTTmTm
Сx
−==
Для определения момента силы
Т
относительно оси у находим ее
проекцию
xz
T
на плоскость Oxz. Мо-
x
B
A
h
K
α
Рис. 39а
P
a
z
a
О
D
K
E
P
P
y
z
α
А
С
Рис.39
P
xy
В
y
x
L
h
Т
ХУ
x
Т
Т
XZ
O
C
A
R
a
y
Рис.40
z
дуль проекции равен
α
sinTT
xz
=
. Момент силы
Т
относительно оси у
равен моменту
xz
T
относительно точки О, где пересекаются ось у с плос-
костью
Оxz
.sin)()( aTOCTTmTm
xzxzy O
⋅=⋅==
α
Момент силы
Т
относительно оси z равен моменту ее проекции
xy
T
на
плоскость
Оху относительно точки О:
.cos)()( aTaTTmTm
xyxyz O
⋅=⋅==
α
6.4. Рекомендации по решению задач на равновесие несвободного твер-
дого тела под действием произвольной пространственной системы сил.
1.
Изобразить на чертеже (начертить) твердое тело, равновесие которого
требуется рассмотреть в данной задаче.
2.
Проанализировать расположение активных сил и изобразить их в ви-
де векторов на чертеже.
3.
Указать направления векторов реакций наложенных на тело связей.
4.
Убедиться в том, что задача является статически определенной, т.е. что
число алгебраических неизвестных не превышает число уравнений
равновесия.
5.
Выбрать систему осей декартовых координат так, чтобы они оказались
перпендикулярными возможно большему числу неизвестных сил, или
пересекали эти силы.
6.
Составить уравнения равновесия твердого тела.
7.
Для облегчения работы по составлению уравнений равновесия сделать
дополнительные рисунки, изображающие вид с конца той оси, относи-
тельно которой составляются уравнения моментов.
6.5. Примеры решения задач на равновесие пространственной
системы сил
Пример 1. Равновесие тел, закрепленных на одном валу.
На общем валу закреплены ворот радиуса r и колесо С радиуса R
(рис. 41). На ворот намо-
тана веревка, поддержи-
вающая груз
Q. Веревка,
намотанная на окруж-
ность колеса и натяги-
ваемая грузом
Р, сходит с
колеса по касательной,
наклоненной к горизонту
под углом 30
о
.
Определить вес груза
Q, если вал остается в
равновесии, а также ре-
акции подшипников
А и
В, пренебрегая весом ва-
ла.
Решение. Рассмотрим равновесие вала с закрепленными на нем те-
лами, сделаем чертеж. На вал действуют активные силы - натяжения нитей
Р и Q, направленные по касательным к окружностям колеса и ворота и, сле-
довательно, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси
х. Реак-
цию каждого подшипника раскладываем на две взаимно перпендикулярные
составляющие:
X
A
, Z
A
и X
B
,
Z
B
, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси
вращения вала (рис. 41 а).
Начало координат выбираем в точке А. Напра-
вим ось
у по оси вала, ось z – вертикально, ось х так, чтобы получить пра-
вую систему декартовых координат.
Q
30
о
Р
С
R
х
r
z
Р
Z
Р
X
Рис.41б
D
30
0
30
0
Р
X
B
X
A
Z
B
Z
A
Q
B
A
30
0
С
D
R
r
a
b
c
y
x
Рис. 41а
z
30
0
Р
Q
B
A
30
0
С
D
R
r
а
в с
Рис. 41
Р
Неизвестными являются реакции X
A
,
Z
A
, X
B
, Z
B
и сила натяжения Р.
В данной системе можно составить пять уравнений равновесия (сумма про-
екций всех сил на ось у равна нулю), поэтому задача является статически
определенной.
Сделаем дополнительный чертеж, представляющий собой вид на барабан
и колесо с конца оси вала – оси
у (рис. 41 б).
Составим уравнения равновесия:
∑
=++= 030cos
0
PXXF
BA
kx
∑
= 0
ky
F
∑
=−−+= 030sin QPZZF
o
BA
kz
∑
=+−+= 030sin)()( aPbQcbZFm
o
B
k
x
∑
=−= 0)( rQRPFm
k
y
∑
=++−= .030cos)()( aPcbXFm
o
BZ
k
Из этих уравнений однозначно определяются все неизвестные
.
Пример 2. Равновесие однородной прямоугольной пластины, имею-
щей ось вращения.
Однородная прямоугольная
крышка весом
Р =400 Н удерживает-
ся открытой на угол
60
о
над горизон-
том противовесом
Q (рис. 42). Опре-
делить, пренебрегая трением на блоке
D, вес противовеса и реакции петель
А и В, если блок D укреплен на од-
ной вертикали с точкой
А, AD = AC.
Решение.
Сделаем чертеж крышки (рис.42 а)
и изобразим на нем действующие си-
лы: вес
Р, приложенный в центре О,
силу натяжения нити Т, приложен-
ную в точке
С и равную по модулю силе тяжести противовеса Q, и реакции
петель, каждую из которых раскладываем на две взаимно перпендикуляр-
ные составляющие:
Х
А
,
Z
А
и Х
В
, Z
В
.
Выбираем начало координат в точке
А, ось у направляем по оси вра-
щения крышки, ось
z - вертикально, ось х направляем так, чтобы получить
правую систему декартовых координат.
Сделаем дополнительный чертеж, представляющий собой вид с конца оси
у
(рис. 42 б).
Q
Е
С
D
z
x
y
A
В
30
0
z
Рис.42
Составим уравнения равновесия.
Проекции силы
Т на оси координат найдем с помощью прямых, проведен-
ных в точке
С параллельно координатным осям:
Т
x
= -Т соs 15
o
, T
y
= T sin 15
o
.
Относительно оси х создают моменты только силы Р и Z
В
, линии дейст-
вия остальных сил либо параллельны этой оси, либо (сила
Т) пересекают ее.
Относительно оси
у создают моменты силы Р и T. Моменты этих сил отно-
сительно оси
у находим с помощью вспомогательного чертежа как момен-
ты этих сил относительно точки
А, так как эти силы лежат в плоскостях,
перпендикулярных оси
у:
o
A
AOPPm 60cos)( =
,
o
A
ACTTm 75sin)( −=
Относительно оси
z все силы, кроме Х
В
, моментов не создают.
∑
=−+= 015cos
o
BA
TXXF
kx
∑
=+−+= 015sin
o
BA
TPZZF
kz
∑
=−= 05,0)( ABPABZFm
BX
k
∑
=−= 075sin60cos5,0)(
oo
ACTACPFm
k
y
∑
== .0)( ABXFm
BZ
k
Из этих уравнений однозначно определяются все неизвестные величины.
x
Х
A
В
Е
С
D
Q
O
P
y
z
Х
В
Z
В
Z
A
T
A
Рис. 42 а
30
0
Рис.42 б
T
z
X
A
А
C
O
P
60
0
x
Z
A
75
0