Ченцов С.В. Автоматизированное проектирование средств и систем управления

Подождите немного. Документ загружается.



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

Методы анализа систем управления в САПР. Виды анализа как про-

ектной процедуры при автоматизированном проектировании ССУ. Требо-

вания к методам анализа в САПР.

Задачи анализа средств и систем управления связаны с исследованием

характеристик в зависимости от условий функционирования системы. Ре-

зультаты анализа дают ответ на вопрос, какими свойствами обладает иссле-

дуемый объект, удовлетворяет ли он требованиям Т3, но не объясняют, как

улучшить свойства объекта [7

Анализ технических систем в САПР основан на математическом моде-

лировании, т. е. на исследовании проектируемых СУ путем оперирования их

ММ. В САПР СУ инструменты анализа непосредственно связаны с инстру-

ментами синтеза. В частности, задачи синтеза часто удается свести к много-

кратному решению соответствующих задач анализа. Инженерный анализ СУ

традиционно проводится алгебраическими, ча

стотными и корневыми мето-

дами с привлечением методов гармонической линеаризации, вариантов мето-

да малого параметра. Применение традиционных «ручных» методов к слож-

ным, особенно нелинейным, СУ при решении практических задач в боль-

шинстве случаев оказывается затруднительным. Применение САПР позволя-

ет найти проектное решение [8

Традиционные методы анализа СУ изложены в многочисленных рабо-

тах по теории управления и, как правило, являются скалярными, предназна-

ченными для простых систем невысокого порядка. Такой подход был оправ-

дан при неавтоматизированном проектировании, когда анализ и расчет осу-

ществлялись путем приближенных теоретических исследований в сочетании

с макетированием и испытаниями, которые составляли большую ч

асть инст-

рументария проектировщика.

Машинная ориентация традиционных методов с целью применения их

в САПР состоит в том, чтобы распространить их на многомерные системы

высокого порядка, качество СУ определять не по одному, а по многим крите-

риям, упростить и ускорить процедуру получения конечных результатов,

улучшить представление результатов (графиков, таблиц и т. д.) с помощью

средств САПР.

ТЕМА 4. МЕТОДЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ: МЕТОДЫ АНАЛИЗА ССУ

Лекция 6. Методы анализа ССУ в САПР и требования к ним



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

Традиционно анализ СУ сводится к анализу устойчивости, качества и

точности, что соответствует расчету статических и динамических характери-

стик СУ. Реализация данных методов анализа СУ в САПР требует переделки

и видоизменения исходных классических алгоритмов к программной специ-

фике. Автоматизация проектной процедуры анализа технических систем сво-

дится к оперированию их ММ при проведении вычислит

ельного эксперимен-

та и означает решение соответствующих уравнений.

При анализе переходных процессов определяются зависимости фазо-

вых переменных от времени при заданных значениях внутренних и внешних

параметров технического объекта. Анализ во временной области (динамиче-

ских характеристик) позволяет получить картину переходных процессов,

оценить динамические свойства системы, он является важной процедурой

при исследовании как линейных, так и нелинейных систем. Математическая

модель технической сист

емы, описывающая ее динамические свойства, пред-

ставляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

вида [5

0),,( tV

F .



(6.1)

Следовательно, методы анализа переходных процессов технических

систем, используемые в универсальных программах анализа САПР, есть ме-

тоды решения систем ОДУ, т. е. методы численного интегрирования. Други-

ми словами, это методы алгебраизации дифференциальных уравнений. Фор-

мулы интегрирования систем ОДУ могут входить в ММ независимо от ком-

понентных уравнений или быть интегрированными в ММ компонентов.

От выбора метода решения сист

ем ОДУ существенно зависят такие ха-

рактеристики анализа, как точность и вычислительная эффективность. Эти

характеристики определяются, прежде всего, типом и порядком выбранного

метода интегрирования систем ОДУ. Инженер-пользователь САПР должен

представлять возможности методов интегрирования, заложенные в програм-

му анализа, уметь оценить вычислительные затраты, сформулировать требо-

вания к точ

ности интегрирования, диагностировать причины возможных от-

казов при работе программ анализа. В универсальных САПР постоянные ин-

тегрирования (минимальный и максимальный шаг интегрирования, точность

расчета) задаются обычно по умолчанию. Причем задаваемая точность на-

много выше требуемой для практических задач. Изменяя постоянные интег-

рирования, можно значительно повысить эффективность анализа, которая в

свою очередь зави

сит от конкретной программной и алгоритмической реали-

зации.

ТЕМА 4. МЕТОДЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ: МЕТОДЫ АНАЛИЗА ССУ

Лекция 6. Методы анализа ССУ в САПР и требования к ним



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

Для большинства проектируемых динамических систем переходные

процессы носят асимптотически устойчивый характер, т.е. при t →



СУ пе-

реходит в определенное устойчивое состояние. Расчет значений фазовых пе-

ременных системы в устойчивом состоянии есть анализ установившихся

процессов или расчет статических характеристик. Статический режим можно

рассчитать, интегрируя исходную систему ОДУ (6.1)

на достаточно большом

интервале времени – метод установления или «расчет статики через динами-

ку». Достоинства такого подхода является единство алгоритмов расчета для

анализа переходных и установившихся процессов. Недостатком – увеличение

временной емкости программы анализа.

При анализе статического режима производные фазовых переменных

в ММ СУ(6.1)

равны нулю и нет внешних воздействий, меняющихся

во времени. Следовательно, ММ системы для анализа статических характе-

ристик может быть получена из ММ (6.1)

и представляет собой систему ал-

гебраических уравнений (АУ) относительно соответствующих фазовых пе-

ременных вида

0F(V)



.

(6.2)

Значит, методы анализа установившихся процессов технических сис-

тем, используемые в универсальных программах анализа в САПР, есть мето-

ды решения систем АУ. Необходимо отметить, что многие методы решения

ОДУ и АУ сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений

(ЛАУ).

При анализе частотных характеристик технической системы определя-

ются зависимости фазовых переменных от частоты при заданных значени

ях

внутренних и внешних параметров СУ. Анализ в частотной области более

специфичен, его применяют, как правило, к объектам с линеаризуемыми ММ

при исследовании колебательных стационарных процессов, анализе устойчи-

вости, расчете искажений информации, представляемой спектральными со-

ставляющими сигналов, и т. п.

ММ технической системы для анализа частотных характеристик пол

у-

чается из (6.1)

при переходе из временной в частотную область с помощью

преобразования Фурье, что приводит к получению системы линейных алгеб-

раических уравнений (ЛАУ) с комплексными коэффициентами





(6.3)

где

А – матрица коэффициентов размерностью nn; B – вектор правых час-

тей. Следовательно, методы анализа частотных характеристик СУ, исполь-

зуемые в универсальных программах анализа в САПР, есть методы решения

систем ЛАУ.

ТЕМА 4. МЕТОДЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ: МЕТОДЫ АНАЛИЗА ССУ

Лекция 6. Методы анализа ССУ в САПР и требования к ним



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

Количество методов и алгоритмов для решения систем линейных и не-

линейных алгебраических уравнений, ОДУ в вычислительной математике

велико, однако использование большинства из них в САПР оказывается не-

эффективным из-за особенностей ММ проектируемых объектов.

Наиболее существенные особенности используемых ММ технических

систем, которые проявляются более чем на одном уровне абстрагирования:

– Высокая размерность модели (так как одной из причин автомат

иза-

ции проектирования является увеличение сложности СУ) обусловлена при-

менением ММ, обеспечивающих высокоточные результаты. Размерность

ММ чаще всего выражается порядком соответствующей системы уравнений.

– Разреженность матриц в ММ (т. е. матрицы с большим количеством

нулевых элементов) обусловлена тем, что каждый элемент проектируемого

объекта имеет непосредственные связи со сравн

ительно небольшим числом

других элементов. Разреженность оценивается отношением числа нулевых

элементов к общему числу элементов матрицы (основная причина распро-

странения матричных представлений связана с удобством программирования

матричных процедур, использованием операторов цикла, следовательно,

матричные формулировки ведут к экономии времени программирования).

– Плохая обусловленность модели (модели, при использовании кото-

рых малые погрешности исходных данных приводят к значительным по-

грешност

ям результата) называют плохо обусловленными. Из-за конечности

разрядной сетки при решении систем уравнений неизбежны ошибки из-за

округлений промежуточных результатов. Эти ошибки в процессе решения

увеличиваются и приводят к возникновению несходимости или неустойчиво-

сти вычислений.

Поэтому при автоматизированном проектировании СУ очень важно

знать и пра

вильно выбрать численный метод решения систем уравнений ММ

системы.

При создании математического обеспечения САПР усилия направлены

не только на разработку ММ, но и на развитие численных методов и алго-

ритмов анализа. Так как эффективность метода зависит от особенностей ре-

шаемой задачи, то в САПР целесообразна реализация более чем одного ме-

тода для каждого класса решаемых уравнений [6

К методам и алгоритмов анализа в САПР предъявляют следующие тре-

бования:

– Экономичность метода характеризуется затратами вычислительных

ресурсов (машинного времени Т и памяти П). На экономичность влияет,

прежде всего, размерность ММ (N). При сравнении методов исследуют ха-

рактер зависимости Т(N), П(N). Наиболее эффективные методы имеют ли-

нейную зависимость показателей экономичности от сложности решаемой за-

дачи. Дл

я многих численных методов характерна полиномиальная зависи-

мость от Т(N).

ТЕМА 4. МЕТОДЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ: МЕТОДЫ АНАЛИЗА ССУ

Лекция 6. Методы анализа ССУ в САПР и требования к ним



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

– Надежность метода оценивается как вероятность получения правиль-

ных результатов при использовании метода для решения задач заданного

класса. Недостатки высоконадежных методов – низкая экономичность.

В этом случае целесообразно комбинирование методов с переходом к трудо-

емким, но надежным методам только в результате автоматического распо-

знавания ситуаций несходимости или неустойчивости вычислений

– Точность. Погрешности решения оп

ределяются особенностями ис-

пользования ММ, численных методов, разрядностью сетки ЭВМ. Каждый

источник погрешности должен контролироваться, чтобы погрешности

не превысили предельно допустимые.

В математическом обеспечении САПР целесообразно иметь не один, а

несколько методов одинакового целевого назначения с разными возможно-

стями для удовлетворения требований точности и экономичности.

Ошибки при анализе могут быть и при ошибках в задании исходных

данных. Примерами таких ошибок могут быть ошибки в задании численн

ых

значений параметров или в задании соединений элементов в анализируемой

схеме.

Актуальной задачей создания и совершенствования математического

обеспечения САПР ССУ является повышение экономичности методов

анализа при соблюдении требований точности. Основными способами по-

вышения экономичности, применяемыми на разных уров

нях проектирования,

являются:

– Учет разреженности матриц – организация операций над разрежен-

ными матрицами. Отказ от хранения нулевых элементов, реализация алго-

ритмов, игнорирующих действия над нулевыми элементами, что уменьшает

затраты времени и памяти;

– Использование диакоптических и декомпозиционных методов, т. е.

методов исследования сложных систем по частям (основа блочно-

иерархического подхода к проектированию). Экономичность увеличивает

ся

за счет минимизации числа обменов информацией между ОЗУ и ВЗУ, распа-

раллеливанием вычислений, использование для каждой части системы под-

ходящих алгоритмов анализа;

– Учет событийности, т. е. на каждом шаге вычислительного процесса

обрабатывается информация, относящаяся только к активизированным эле-

ментам общей модели (т. е. к элементам, у которых изменение фа

зовой пере-

менной превышают пороговое значение). В имитационных моделях, в логи-

ческих схемах доля активизированных элементов уменьшается, следователь-

но, повышается эффективность учета событийности;

– Многоуровневое адаптивное моделирование – в общей модели сис-

темы для различных фрагментов используют модели для разных иерархиче-

ских уровней (например, логические и электрические) и возможность авто-

матической смены фрагмен

тов в процессе вычислений, что позволяет ис-

пользовать модели, близкие к оптимальным с точки зрения удовлетворения

требований точности и экономичности.

ТЕМА 4. МЕТОДЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ: МЕТОДЫ АНАЛИЗА ССУ



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

Методы анализа в частотной области, их основные характеристики.

Методы анализа статических характеристик

. Оценка эффективности ме-

тодов анализа СУ при их использовании в САПР

Процедура решения системы ЛАУ (6.3)

AV = B занимает важное место

в математическом обеспечении интегрированных САПР. Решение системы

ЛАУ является не только самостоятельной задачей (анализ частотных харак-

теристик), но и одной из наиболее частой повторяющихся процедур при ре-

шении других задач (например, систем нелинейных АУ, при анализе дина-

мики). При этом эффективность решения задач анализа в значительной мере

зависит от эффекти

вности использования методов решения ЛАУ [13].

Методы решения систем ЛАУ делятся на две группы: прямые и итера-

ционные. Прямые методы используют конечные соотношения для вычисле-

ния неизвестных. Их достоинства: просты, универсальны, дают решение по-

сле выполнения заранее известного числа операций. Недостатки: требуют

хранения всей матрицы

А в ОЗУ, следовательно, при увеличении n увеличи-

вается объем занимаемой памяти; не учитывают структуру матрицы

А; нака-

пливают погрешность вычисления, так как на любом этапе используются

результаты предыдущих операций. Прямые методы используют для ММ

n < 200 [6; 10].

Итерационные методы – методы последовательных приближений.

В них необходимо задать некоторое приближенное решение – начальное

приближение. После этого с помощью некоторого алгоритма проводится

один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации нахо-

дят новое приближение. Итерации проводятся до получения решения с тре-

буемой точностью. Недостатки: сложные алгоритмы решения; заранее труд-

но определить объем вычислений; сходимость и

тераций может быть медлен-

ной. Достоинства: не нужно хранить матрицу всей системы ЛАУ, можно вы-

числять элементы матрицы по мере необходимости; погрешности результа-

тов не накапливаются, так как точность вычислений в каждой итерации оп-

ределяется лишь результатами предыдущей, следовательно, итерационные

методы можно использовать для систем ЛАУ с большой размерно

стью мат-

рицы

А и для плохо обусловленных систем. Итерационные методы могут

использоваться для уточнения решений, полученных с использованием пря-

мых методов.

В программах автоматизации проектирования итерационные методы

решения используют редко, только в специальных случаях, когда гарантиру-

ТЕМА 4. МЕТОДЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ: МЕТОДЫ АНАЛИЗА ССУ

Лекция 7. Алгоритмы и методы анализа статических режимов ССУ в интегрированных САПР



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

ется быстрая сходимость итераций. В большинстве случаев используются

прямые методы, обеспечивающие решения за конечное число операций.

При решении систем ЛАУ прямыми методами на ЭВМ основными

проблемами являются: высокая разреженность матрицы

А; ошибки округле-

ний из-за конечности разрядной сетки. Основные прямые методы решения

систем ЛАУ можно разделить на три группы.

1) Методы разложения матрицы

А на сомножители – решение системы

ЛАУ сводится к решению аналогичной задачи, но с матрицами простого ви-

да. Основные затраты времени и памяти при решении систем ЛАУ с исполь-

зованием методов разложения матрицы

А на сомножители определяются на

подготовительном этапе получения соответствующих сомножителей (прямой

ход), затраты же на само решение (обратный ход) оказываются на порядок

меньше;

а) для матрицы

А предполагается, что найдены некоторые матрицы со-

множители

C, S, G, удовлетворяющие соотношению CAS = G, тогда справед-

ливы соотношения

V = SU, где U – решение системы GU = D, а правая часть

D = CB. Решение сводится к расчёту D по D = CB, U по GU = D, V по V = SU.

В программах анализа в САПР чаще всего применяют метод Гаусса или его

разновидности. Метод Гаусса – метод последовательного исключения неиз-

вестных из системы уравнений. При исключении

k-й неизвестной v

из сис-

темы уравнений

AV = B все коэффициенты a

при i > k и j > k пересчитывают

по формуле

. / a a a a a

kkkjikij







(7.1)

Исключение

n – 1 неизвестных, где n – порядок системы (6.3), называ-

ют прямым ходом, в процессе которого матрица коэффициентов приобретает

треугольный вид. При обратном ходе последовательно вычисляют неизвест-

ные, начиная с

. В общем случае число арифметических операций для ре-

шения (6.3)

по Гауссу пропорционально n

. Это приводит к значительным за-

тратам машинного времени, поскольку система ЛАУ решается многократно в

процессе одновариантного анализа и существенно ограничивает сложность

анализируемых объектов. Заметно повысить вычислительную эффективность

анализа можно, если использовать характерное практически для всех прило-

жений свойство высокой разреженности матрицы

А в модели (6.3).

Матрицу называют разряженной, если большинство ее элементов равно

нулю. Эффективность обработки разреженных матриц велика, потому что,

во-первых, не нужно делать пересчета по формуле (7.1)

, если хотя бы один из

элементов

или a

оказывается нулевым; во-вторых, не требуются затраты

памяти для хранения нулевых элементов. Хотя алгоритмы обработки разре-

женных матриц более сложны, но в результате удается получить затраты ма-

шинного времени, близкие к линейным, например, затраты оказываются про-

порциональными

ТЕМА 4. МЕТОДЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ: МЕТОДЫ АНАЛИЗА ССУ

Лекция 7. Алгоритмы и методы анализа статических режимов ССУ в интегрированных САПР



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

При использовании методов разреженных матриц нужно учитывать за-

висимость вычислительной эффективности от того, как представлена матри-

ца коэффициентов

А, точнее, от того, в каком порядке записаны ее строки и

столбцы. Для пояснения этой зависимости рассмотрим два варианта пред-

ставления одной и той же системы ЛАУ.

В первом случае система уравнений имеет вид

, b v a v a v a v a va

1515414313212111





 

21 1 22 2 2

31 1 33 3 3

41 1 44 4 4

51 1 55 5 5

av av b,

av av b.















При прямом ходе в соответствии с формулой (7.1) все элементы матри-

цы, которые первоначально были нулевыми, становятся ненулевыми, а мат-

рица оказывается полностью насыщенной. Элементы, становящиеся ненуле-

выми в процессе гауссовых исключений, называют вторичными ненулями.

Во втором случае меняются местами первое и пятое уравнения. Теперь вто-

ричные ненули не появляются, матрица остается разреженной, высокая вы-

числительная эффективность сохраняется.

Таким образом, методы разреженных матриц дол

жны включать в себя

способы оптимального упорядочения строк и столбцов матриц. Используют

несколько критериев оптимальности упорядочения. Простейшим из них яв-

ляется критерий расположения строк в порядке увеличения числа первичных

ненулей, более сложные критерии учитывают не только первичные ненули,

но и появляющиеся вторичные ненули.

Методом разреженных матриц называют метод решения сист

емы ЛАУ

на основе метода Гаусса с учетом разреженности (первичной и вторичной)

матрицы коэффициентов. Метод разреженных матриц можно реализовать

путем интерпретации и компиляции. В обоих случаях создаются массивы не-

нулевых коэффициентов матрицы (с учетом вторичных ненулей) и массивы

координат этих ненулевых элементов. При этом выигрыш в затратах памяти

довольно значителен. Так, пр

и матрице умеренного размера 200×200 без уче-

та разреженности потребуется 320 кбайт.

В случае интерпретации моделирующая программа для каждой опера-

ции по (7.1)

при

a ≠ 0 и

a ≠ 0 находит, используя указатели, нужные коэф-

фициенты и выполняет арифметические операции по (7.1)

. Поскольку систе-

ма ЛАУ в процессе анализа решается многократно, то и операции поиска

нужных коэффициентов также повторяются многократно, на что, естествен-

но, тратится машинное время.

Способ компиляции более экономичен по затратам времени, но уступа-

ет способу интерпретации по затратам памяти. При компиляции поиск нуж-

ных для (7.1)

коэффициентов выполняется однократно перед численным ре-

шением задачи. Вместо непосредственного выполнения арифметических

ТЕМА 4. МЕТОДЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ: МЕТОДЫ АНАЛИЗА ССУ

Лекция 7. Алгоритмы и методы анализа статических режимов ССУ в интегрированных САПР



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

операций для каждой из них компилируется команда с найденными адресами

ненулевых коэффициентов. Такие команды образуют рабочую программу

решения системы ЛАУ, которая и будет решаться многократно. Очевидно,

что теперь в рабочей программе будет выполняться минимально необходи-

мое число арифметических операций.

б) Матрица

А представляется в виде А = LU, затем система AV = B ре-

шается как две подсистемы

Lq = B, UV = q. Матрицы L и U должны быть

найдены явно и иметь вид, обеспечивающий удобство решения.

L – нижне-

треугольная матрица;

U – верхнетреугольная, все диагональные элементы ко-

торой равны 1. Вектор

В не изменяется.

При

n = 4

44434241

34333231

24232221

14131211

llll

ulll

uull

uuul

A  .

Матрица

А в методе L

-разложения может быть представлена в виде

произведения треугольных матриц двумя вариантами:

Метод Краута – Холецкого

100

..1

2221

......



.

Метод Дулитла

u..

....

u..u

u..uu

....

....ll

..l

a..

......

a..a

222

11211

3231

001

111

 .

На первом этапе происходит разложение матрицы

(1)

1, (j i).

ij ij

ii ij













ТЕМА 4. МЕТОДЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ: МЕТОДЫ АНАЛИЗА ССУ

Лекция 7. Алгоритмы и методы анализа статических режимов ССУ в интегрированных САПР



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

100

Затем пересчитываются элементы а

очередного

j-го столбца

njji

l ,...,1, при









 



j-й строки

nij

u ,...,1 при













.



На втором этапе происходит получение решения системы (6.3) – векто-

ра V.

Сначала решается система с матрицей L, Lq = B с помощью алгоритма,

аналогичного обратному ходу метода Гаусса (только сверху вниз)

q ,..,3,2 при













,

затем решается система UV = q по формулам обратного хода метода Гаусса.

Элементы

b .0 .

Наиболее часто в современных программах автоматизации проектиро-

вания при анализе статических режимов используют методы разложения

матрицы А на сомножители. Опыт показал, что наиболее приемлемыми из

них являются компактные схемы Гаусса – одна из разновидностей метода

LU-разложения (под L и U понимается нижняя и верхняя треугольные матри-

цы) и метод Гаусса.

Оба метода в случ

ае полностью заполненных матриц примерно равно-

ценны, однако при использовании разряженных матриц предпочтение отда-

ётся LU-разложению, обеспечивающему большие удобства организации про-

граммы учёта разряженности.

2) Методы обращения матрицы – решение системы ЛАУ отыскивается

в виде V=A

-1

B. В практике автоматизации схемотехнического проектирова-

ния методы обращения матриц не используются, так как для вычисления

матрицы А

-1

нужно больше операций, чем при решении системы ЛАУ мето-

дами первой группы.

3) Методы решения систем ЛАУ с матрицей А специального вида ис-

пользуют тогда, когда этот вид может заранее гарантирован.