Ченцов С.В. Автоматизированное проектирование средств и систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 4. Модельное представление систем управления и элементов ССУ как объектов проектирования



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

вершины графа, то подграф называют суграфом. Маршрутом называют по-

следовательность смежных рёбер, т. е. рёбер инцидентных одной и той же

вершине. Цепь – маршрут, в котором все ребра различны. Замкнутая цепь на-

зывается циклом (контуром). Граф является связным, если можно указать

маршрут, охватывающий все вершины. Дерево графа – связный подграф,

не имеющий циклов. Фун

даментальное дерево (остов) – связный суграф

не имеющий циклов, т. е. фундаментальное дерево, охватывает все вершины

графа и не образует ни одного цикла. Ветви дерева – рёбра графа, вошедшие

в дерево. Хорды – рёбра графа, не вошедшие в дерево. Выбор фундаменталь-

ного дерева графа неоднозначен. Для одного и того же графа их может быть

несколько.

При моделировании на макроуровне особый интерес представляет де-

рево, в которое рё

бра включаются согласно некоторому приоритету. Если

изображая структуру объекта, за каждым ребром графа закреплять обозначе-

ния, заменяемого им элемента, то можно построить нормальное дерево гра-

фа. Нормальное дерево графа – фундаментальное дерево, в котором рёбра

включаются в такой последовательности: источники разности потенциала

типа E, рёбра типа С, рёбра типа R, рё

бра типа L, источники переменной типа

I. Сечение ветви дерева – множество ребер, пересекаемых линией сечения

(при этом выполняются следующие условия: линия сечения является замкну-

той и пересекает любое ребро не более одного раза, среди ветвей дерева пе-

ресекается единственная).

Граф несёт информацию о связях в объекте, удобн

ую для восприятия

человеком, но для алгоритмической обработки нужна информация числового

характера. Представить граф в таком виде можно с помощью матрицы инци-

денций А, которая кодирует ориентированный граф: каждому узлу графа

(кроме одного, называемого базовым) соответствует одна строка, каждому

ребру – один столбец. В столбце записывает

ся +1 на пересечении со строкой

узла, из которого ребро направленно, –1 на пересечении столбца со строкой

узла, к которому ребро направлено, остальные элементы этого столбца равны

0. Базовому узлу в матрице инциденций никакая строка не соответствует.

В качестве базового может быть выбран произвольный узел. Матрица инци-

денций является сильно разреженной (содержащей нулевые элементы), при-

чем разряженность возрастает с увеличением размера матр

ицы.

Граф отображает только такие структурные особенности моделируемо-

го объекта, как способ связи элементов друг с другом. Наиболее полную ин-

формацию об объекте содержит эквивалентная схема, отображающая также

физическую сущность отдельных элементов. Эквивалентной схемой объекта

является гра

фическое представление структуры объекта – взаимосвязей меж-

ду его элементами. Эквивалентная схема равноценна графу, но в отличие от

последнего каждая ветвь имеет условное изображение, отражающее ее физи-

ческую суть, т. е. кроме топологической информации присутствует информа-

ция о типах ветвей.

ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 4. Модельное представление систем управления и элементов ССУ как объектов проектирования



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

Направления потоков в ветвях выбираются произвольно (если реальное

направление при моделировании окажется противоположным, то это приве-

дет лишь к отрицательным численным значениям потока).

Представить структуру в виде эквивалентной схемы можно для сле-

дующих физических однородных подсистем: электрической, механической

поступательной, механической вращательной, гидравлической закрытой,

гидравлической открытой, магнитной и тепловой. Как можно видеть, из этих

однородн

ых подсистем состоит практическое большинство технических объ-

ектов.

В физически однородных устройствах СУ (подсистемах) различают три

типа простых элементов: емкостного типа С, индуктивного типа L и рези-

стивного типа R.

В каждой из подсистем используются специфические системы обозна-

чений элементов на эквивалентных схемах.

В дальнейшем будем использоваться единую система обозначений для эле-

ментов всех подсистем, обычно применяемую при изображении электриче-

ских экви

валентных схем. При этом элементы представля-

ют собой двухполюсники (рис. 4.7

) C, R, L, E, I.

Ветви типа E соответствует компонентное уравнение

E = f(Z), где в качестве Z могут фигурировать время, фазо-

вые переменные или константа, E – разность переменных

типа потенциалов для узлов этой ветви. Ветви типа I соот-

ветствует компонентное уравнение I = f(Z), где в качестве Z

могут фигурировать время, фазовые переменные или кон-

станта, I – переменная типа потока. Компонентные уравне-

ния ветвей типа R, C, L соответственно:

CIIRU

 ;; .

Таким образом, если при моделировании СУ на уровне устройств нуж-

но отобразить только топологические связи элементов устройств СУ, то дос-

таточно использовать графы, если нужно отобразить топологию и функцио-

нирование устройств СУ, то целесообразно использовать эквивалентные

схемы.

Общий алгоритм составления эквивалентных схем имеет следующие

этапы:



выделение в СУ однородных физических подсистем;



составление эквивалентных схем однородных подсистем без учета

их взаимовлияния;



установление связей между подсистемами.

Проектировщик в эквивалентной схеме отражает те элементы и свойст-

ва реального объекта, которые, по его мнению, оказывают существенное

влияние на функционирование объекта. Чем можно пренебречь, ему подска-

Рис. 6.1

Рис. 4.7

ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 4. Модельное представление систем управления и элементов ССУ как объектов проектирования



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

зывают опыт и интуиция, так как процедура составления эквивалентной схе-

мы не полностью формализована.

Таким образом, рассмотренные ММ могут служить для решения задач

в процессе проектирования устройств, соответствующих различным классам

СУ: нелинейным и линейным, нестационарным и стационарным, непрерыв-

ным и дискретным.

Элементы СУ при первоначальном их получении описываются на

уровне представления физических явлений в сплошных средах и называются

ММ объектов с распределенными параметрами. В качестве математического

описания используются дифференциальные уравнения или системы

дифференциальных уравнений в частных производных (PDE) с краевыми

условиями первого и второго рода.

Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих

частных случаев. Поэтому общий способ их решения, в то

м числе и в САПР,

заключается в использовании различных приближенных моделей.

В настоящее время наиболее широкое распространение получили модели на

основе интегральных уравнений и модели на основе различных методов

дискретизации пространства.

Обобщенная форма представления ММ элементов СУ как объекта с

распределенными параметрами есть дифференциальное уравнение в частных

производных (PDE):

0, ,

vf XG







(4.17)



с граничными условиями:

,Г,





xfvL

ГГ



где L и L

– дифференциальные операторы;



xvv  – анализируемая физическая величина;

Х – точка евклидова пространства EN;

Г – граница области G;

f, f

– функции, описывающие распределение внутренних и граничных ис-

точников исследуемого поля.

Пусть в N-мерной области G евклидова пространства EN необходимо

рассчитать распределение некоторой физической величины. Рассмотрим

пространство M функций, определённых на области G, такое, что если

 

MxuMxu 

то













xuaxuaxu







22113



ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 4. Модельное представление систем управления и элементов ССУ как объектов проектирования



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

(любая линейная комбинация функций, принадлежащих пространству M,

также принадлежит пространству M). Введём скалярное произведение функ-

ций:













,, dGxvxuvu







тогда нормой функции u



M будем называть неотрицательное число



,uuu 

, расстоянием между функциями u и v будем называть величину,

равную норме

vu 

. Такое пространство M называется гильбертовым про-

странством [1



xvv  – искомая функция (фазовая переменная), которая может быть

напряжением механического элемента, потоком газа или жидкости в пневма-

тическом или гидравлическом элементах СУ, потоком носителей заряда

в электронных элементах устройств СУ.

В простейшем случае для однокоординатной системы уравнения (4.17)

можно записать параболическое уравнение в виде

),(:),,(

txvtxf











, (4.18)

которое может, например, применяться при расчете распространения тепло-

ты в одномерных элементах механических устройств СУ. При этом требуется

найти V(x,t) – распространение температуры в зависимости от расположения

источника тепла f(x,t) по отношению к измеряемой точке оси x в заданные

моменты времени t.

Гиперболическое уравнение (волновое уравнение)

),(:),,(

yxvyxf











применяется при расчетах пневматических и гидравлических элементов СУ.

В частности, распространение потока, обтекающего элементы корпуса ЛА,

расчет давления газа в чувствительном элементе гиростабилизатора, расчет

давления пара в турбогенераторе. Результаты расчета в виде функции v(x,y)

используются в уравнениях (4.8)

, (4.9), (4.16) динамики соответствующих

устройств СУ как возмущающие воздействия на систему.

ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

Формирование математических моделей элементов устройств СУ.

Формирование математических моделей устройств СУ. Формирование ма-

тематических моделей систем управления.

При получении математического описания СУ исходят из уровней

описания СУ, представленных на рис. 4.3

– «cистема – устройство –

элемент». В зависимости от степени детализации описания будут различаться

и методы формирования моделей на разных уровнях рассмотрения и

проектирования СУ[10

]. Для автоматизированного проектирования СУ

основным вопросом является формализация методов формирования

математических моделей СУ, устройств и элементов СУ. Именно от степени

автоматизации процедур получения математического описания зависит

эффективность применения САПР СУ, а значит и качество проектирования

в целом. Необходимо помнить и о том, что именно метод получения

математической модели, реализованный в САПР, во многом будет

определять характеристики полученной модели элемент

а, устройства и СУ

в целом. Методы получения ММ в значительной степени оказывают влияние

на выбор методов анализа ССУ. И самое главное, при выборе метода

формирования ММ при проектировании САПР как инструментального

средства необходимо помнить об одном из основных назначений САПР –

создание удобной среды проектирования для инженера – пользоват

еля [12].

Наибольшие трудности возникают при построении ММ объектов

управления, так как учет физических процессов и явлений в этих объектах

требует длительных и весьма трудоемких математических операций.

Большое количество однообразных и утомительных операций при

построении ММ, в том числе дифференцирование, умножение полинома на

полином, раскрытие скобок, приведение подобных членов, неизбежно

связаны с многочисленными ошибками. Авт

оматизация этих операций

обязательна и на современном этапе выполняется на базе символьных

процессоров математических систем Maple, MathCAD, MATLAB.

В качестве математического описания моделей элементов устройств

СУ используются дифференциальные уравнения или системы дифференци-

альных уравнений в частных производных (PDE) с краевыми условиями пер-

вого и второго рода (4.17)

. Общий способ их формирования и решения, в том

числе и в САПР, заключается в использовании различных приближенных

подходов. В настоящее время наиболее широкое распространение получили

модели на основе интегральных уравнений и модели на основе различных

методов дискретизации пространства [11

; 12].

ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 5. Методы формирования моделей ССУ



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

Основная идея построения модели на основе интегральных уравнений

заключается в переходе от исходного дифференциального уравнения в част-

ных производных к эквивалентному интегральному уравнению, подлежаще-

му дальнейшим преобразованиям.

Сущность метода состоит в аппроксимации искомой непрерывной

функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некото-

рых точках области – узлах. Совокупность узлов, соединенных определен-

ным образом, образует сетку. Сет

ка, в свою очередь, является дискретной

моделью области определения искомой функции.

C помощью дискретизации непрерывная математическая модель пре-

образуется в дискретную модель, состоящую из конечного числа степеней

свободы. Методы пространственной дискретизации:



методы конечных элементов (МКЭ);



методы граничных элементов (МГЭ);



методы конечных разностей (МКР);



методы конечных объемов (МКО);



спектральный метод;



метод свободных стенок.

В настоящее время в линейной механике твердого тела метод конечных

элементов наиболее распространен, в то время как применение метода гра-

ничных элементов для решения данных задач находится на втором месте.

Для нелинейных задач метод конечных элементов является наиболее эффек-

тивным и доминирующим.

Классический метод конечных разностей почти полностью по

терял

свое значение при решении практических задач механики твердого тела. Это

утверждение, однако, неверно для механики жидкости и газов, где разност-

ные методы до сих пор широко распространены. Метод конечных объемов,

основанный на законах сохранения, применяется для решения сильно нели-

нейных задач механики жидкости и газов. Спектральные методы использу-

ются в р

азличных областях механики и основаны на пространственно-

временном преобразовании в область, где задача может быть легко решена.

Метод свободных сеток – один из новых методов вычислительной математи-

ки и основан на конечно-разностном подходе с использованием независимых

сеток, полученных в результате применения конечно-элементных техноло-

гий.

Оба метода относятся к классу сеточных методов приближенного ре-

шения кр

аевых задач. С точки зрения теоретических оценок точности, мето-

ды обладают примерно равными возможностями. В зависимости от формы

области, краевых условий, коэффициентов исходного уравнения оба метода

имеют погрешности аппроксимации от первого до четвертого порядка отно-

сительно шага. В силу этого они успешно используются для разработки про-

граммных комплексов авто

матизированного проектирования технических

объектов.

ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 5. Методы формирования моделей ССУ



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

Методы конечных элементов и конечных разностей имеют ряд сущест-

венных отличий. Прежде всего, методы различны в том, что в МКР аппрок-

симируются производные искомых функций, а МКЭ – само решение, т. е. за-

висимость искомых функций от пространственных координат и времени.

Методы сильно отличаются и в способе построения сеток. В МКР строятся,

как правило, регулярные сетк

и, особенности геометрии области учитываются

только в околограничных узлах. В связи с этим МКР чаще применяется для

анализа задач с прямолинейными границами областей определения функций.

К числу традиционных задач, решаемых на основе МКР, относятся исследо-

вания течений жидкостей и газов в трубах, каналах с учетом теплообменных

процессов и ряд других. В МКЭ разбиение на эл

ементы производится с уче-

том геометрических особенностей области, процесс разбиения начинается от

границы с целью наилучшей аппроксимации её геометрии. Затем разбивают

на элементы внутренние области, причем алгоритм разбиения строится так,

чтобы элементы удовлетворяли некоторым ограничениям, например стороны

треугольников не слишком отличались по длине, и т. д. Поэтому МКЭ наи-

более часто используется для решения за

дач с произвольной областью опре-

деления функций: расчет на прочность деталей и узлов строительных конст-

рукций, авиационных и космических аппаратов, тепловой расчет двигателей

и т. д.

Общей проблемой методов является высокая размерность результи-

рующей системы алгебраических уравнений (несколько десятков тысяч в ре-

альных задачах). Поэтому реализация МКР и МКЭ в со

ставе САПР требует

разработки специальных способов хранения матрицы коэффициентов систе-

мы и методов решения последней.

Основная идея МКР заключается в замене частных производных их

разностными аналогами. На рис. 5.1

представлена графическая интерпрета-

ция некоторых конечно-разностных аппроксимаций для производных.

Существует три способа замены производной первого порядка [2

; 3].

Правая схема:









Vx x Vx

 









Левая схема:









Vx Vx x











Центральная схема:









Vx x Vx x

  







ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 5. Методы формирования моделей ССУ



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

Рис. 5.1

Для получения разностных аналогов производных более высоких

порядков рассмотрим разложение функции в ряд Тейлора в окрестности

точки x:



234

111

...

2! 3! 4!

VV V V

Vx x Vx x x x x

  

         





(5.1)



234

23 4

234

111

...

2! 3! 4!

VV V V

Vx x Vx x x x x

  

         





(5.2)

Для получения центральной разности второго порядка вычтем выраже-

ние (5.2)

из выражения (5.1), получим













2 2

Vx xVx VxVx x

Vx x Vx Vx x



  



   







 

В индексированном пространстве узлов сетки формула будет иметь

вид

iii

VVV











– x x x +



x X

ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 5. Методы формирования моделей ССУ



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

Разностный аналог производной третьего порядка получаем аналогич-

но:

21 11

21 1

333

iiiii

iiii

VVVVV

VVVV

xx x

 





 











 

Теперь рассмотрим алгоритм метода конечных разностей.

Метод конечных разностей является старейшим методом решения

краевых задач [1

; 3].

Алгоритм МКР состоит из этапов, традиционных для метода сеток.

1. Построение сетки в заданной области. В МКР используется сетка,

задаваемая конечным множеством узлов. В узлах сетки определяются при-

ближенные значения



искомой функции φ. Совокупность узловых значе-

ний



называют сеточной функцией.

2. Замена дифференциального оператора









в исходном диффе-

ренциальном уравнении разностным аналогом L

, построенным по одной из

схем, рассмотренных ниже. При этом непрерывная функция φ аппроксими-

руется сеточной функцией 

3. Если есть граничные условия второго и третьего рода, то для гра-

ничного узла с этим условием записывается соответствующая аппроксима-

ция. В результате должна получиться замкнутая система НАУ.

4. Решение полученной нелинейной системы алгебраических

уравнений.

Рассмотрим задачу распространения теплового потока в одномерной

области. На рис. 5

.2 представлена одномерная сетка, состоящая из четырех

точек.

Рис. 5.2

Решим уравнение:

0















, (5.3)

где



TTkk 

, Т – функция температуры.

ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)

Лекция 5. Методы формирования моделей ССУ



Автоматизированное проектирование средств и систем управления. Курс лекций

Применив центральную разностную схему, получим систему НАУ

(5.4)

, решив которую с учетом граничных условий получим значение темпе-

ратуры в узлах сетки.

10 10

21 21

32 32

21 21

TT TT























































(5.4)

Основа физической концепции МКЭ – это разбиение математической

модели конструкции на непересекающиеся компоненты (подобласти) про-

стой геометрии, называемые конечными элементами или просто элементами

(для краткости) [1

; 2; 3]. Множество элементов, на которые разбита конст-

рукция, называется конечно-элементной сеткой. Механическое поведение

каждого элемента выражается с помощью конечного числа степеней свободы

или значений искомых функций во множестве узловых точек. Поведение ма-

тематической модели, таким образом, аппроксимируется поведением дис-

кретной модели, полученной путем сборки или ансамблирования всех эле-

ментов. Заметим, что концепция разбиения-сборки естественно возникает

при исследовании многих искусственных или живых систем. Нап

ример, лег-

ко представить мост, здание, двигатель или скелет как сложную систему, со-

ставленную из простых компонентов. Заметим также, что в отличие от мето-

да конечных разностей конечные элементы не накладываются друг на друга

в пространстве.

Рассмотрим основные типы конечных элемен

тов для одно-, двух- и

трехмерных задач механики и их свойства, называемые атрибутами элементов

(рис. 5.3

Рис. 5.3