Буховец А.Г. и др. Статистический анализ данных в системе R

Подождите немного. Документ загружается.

1.6. Определители и собственные значения 21

Для вычисления собственных значений матриц в 91 ис-

пользованы функции «eigen()$values», а для поиска собственных

векторов в 95 –– функция «eigen()$vectors». Как видно из резуль-

татов расчёта 92–94 , матрицы и имеют комплексно-сопряжённые

собственные значения. Отсюда следует, что вещественные линейно-

независимые собственные векторы есть только у : 95–99 .

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение векторного пространства.

2. Дайте определения операций сложения векторов и умножения

вектора на число. Перечислите основные свойства этих опера-

ций.

3. Какие векторы называются линейно независимыми и линейно

зависимыми?

4. Дайте определение базиса векторного пространства. Сколько

различных базисов можно указать в конечномерном векторном

пространстве?

5. Дайте определение скалярного произведения векторов. Пере-

числите основные свойства скалярного произведения.

6. Какие векторы называются ортогональными?

7. Что называется координатами вектора в заданном базисе?

8. Дайте определение матрицы. Что такое размер матрицы? Какие

матрицы называются квадратными? Что такое порядок квад-

ратной матрицы?

9. Какие матрицы называются равными?

10. Какие операции определены для матриц. При каких условиях

эти операции выполнимы? Укажите основные свойства этих опе-

раций.

11. Какие матрицы называются коммутативными?

12. Дайте определение обратной матрицы. Укажите условия, при

которых матрица А имеет обратную. Приведите пример квад-

ратной матрицы, не имеющей обратной.

Глава 2

Сведения из теории

вероятностей

В данной главе приведён краткий обзор основных понятий тео-

рии вероятностей, используемых затем в математической статисти-

ке и статистических методах обработки экспериментальных данных.

Приводимые примеры демонстрируют использование этих понятий

для решения прикладных задач на языке статистической обработки

данных и программирования R [1]. Излагаемый материал не претен-

дует на полноту и математическую строгость изложения и никоим об-

разом не подменяет основных учебников по освещаемым темам [4–6].

2.1. Случайное событие и вероятность

В теории вероятностей понятие события является первичным и не

определяется через другие более простые понятия. Для описания со-

бытий как результатов испытаний (также называемых опытами или

наблюдениями) с неопределённым исходом используется понятие слу-

чайности. Под испытанием (или экспериментом) понимают любое

наблюдение какого-либо явления, выполненное в заданном комплек-

се условий с фиксацией результата, которое может быть повторено

(хотя бы в принципе) достаточное число раз.

Испытание, исход которого не может быть определён однозначно

до проведения эксперимента, принято называть случайным.

Наряду с самим событием в рассмотрение вводится противопо-

ложное к нему событие

, которое заключается в том, что событие

не происходит.

Событие, которое при случайном испытании происходит всегда,

называется достоверным и обозначается как .

Событие, которое никогда не происходит, то есть является проти-

воположным к достоверному, называется невозможным и обознача-

ется как .

События и называются несовместными, если появление од-

ного из них исключает появление другого. Иначе говоря, такие собы-

2.1. Случайное событие и вероятность 23

тия никогда не происходят одновременно.

Пусть на рассматриваемом множестве событий определены следу-

ющие операции:

1. Сумма событий –– событие, состоящее в том, что про-

изойдёт хотя бы одно из событий: и/или ;

2. Произведение событий –– событие, состоящее в том, что

произойдут оба события: и , и .

Событие эксперимента (испытания) считается элементарным ,

если его нельзя представить через другие события с помощью опера-

ций сложения и умножения.

Совокупность всех таких событий образует про-

странство элементарных исходов :

если

Предполагается, что каждому возможному исходу в данном ис-

пытании, может быть сопоставлена неотрицательная числовая функ-

ция, такая что P . Значения этой функции, выражающие

меру возможности осуществления элементарного события , назы-

вается его вероятностью. При этом имеют место следующие свой-

ства вероятности : P , P , P .

В рамках такого подхода любое событие , связанное с этим экс-

периментом, определяется как сумма элементарных исходов, а его ве-

роятность –– как сумма вероятностей соответствующих элементарных

исходов

P P

Для таких случайных событий справедливы два утверждения, на-

зываемых теоремами сложения вероятностей :

1. Если события и –– несовместны: , то P

P P ;

2. Если же события и –– совместны: , то P

P P P .

24 2. Сведения из теории вероятностей

2.2. Условная вероятность и независимость

событий

Если некоторое событие рассматривается не на всём простран-

стве элементарных исходов, а лишь на некоторой его части, где кро-

ме осуществляется и другое событие , то имеет смысл использо-

вать определение условной вероятности события , откуда следует

теорема умножения вероятностей:

P P P

Событие полагают не зависимым от , если P P .

Иначе говоря, события и считаются независимыми, если появ-

ление одного из них не изменяет вероятности другого события. Для

независимых событий теорема умножения вероятностей принимает

более простой вид

P P P

Это равенство часто рассматривают как определение независимо-

сти событий и .

Понятия независимости случайных событий и условной вероятно-

сти являются очень важными для математической статистики. До-

статочно отметить, что многие свойства статистических оценок по-

лучаются именно в предположении независимости входящих в них

случайных величин. А понятие условной вероятности используется

при определении регрессионной модели.

2.3. Случайные величины и законы

распределения

Случайная величина представляет собой однозначную дей-

ствительную функцию, заданную на пространстве элементарных со-

бытий . Каждая случайная величина задаёт распределение вероят-

ностей на множестве своих возможных значений.

Законом распределения случайной величины называется вся-

кое соотношение, устанавливающее связь между возможными значе-

ниями этой случайной величины и соответствующими им вероятно-

стями. Случайная величина считается заданной, если известен её

закон распределения.

2.3. Случайные величины и законы распределения 25

Наиболее общей формой закона распределения является функция

распределения вероятностей случайной величины, определяемая

равенством

Основные свойства функции распределения :

1. Значения функции распределения ограничены интервалом:

6 6 ;

2. Функция распределения –– неубывающая функция:

> , если ;

3. Предельные значения аргумента соответствуют предельным

значениям функции распределения: , ;

4. Вероятность события равна приращению функции

распределения на соответствующем интервале:

P 6 .

В зависимости от структуры множества возможных значений в

практических задачах обычно различают два вида случайных вели-

чин: дискретные и непрерывные.

Дискретной называется случайная величина, множество возмож-

ных значений которой конечное или счётное. В качестве закона рас-

пределения дискретной случайной величины часто используют ряд

распределения, записываемый в виде таблицы :

где P при этом .

Функция распределения дискретной случайной величины будет

иметь разрывы первого рода (скачки), в точках, соответствующих

значениям случайной величины (абсциссы скачков). Причем вели-

чины этих скачков будут равны вероятностям соответствующих зна-

чений (ординаты скачков).

Непрерывной называется случайная величина, имеющая непре-

рывную и дифференцируемую функцию распределения .

В качестве закона распределения непрерывной случайной величи-

ны обычно используется функция плотности распределения веро-

ятностей:

26 2. Сведения из теории вероятностей

Основные свойства плотности распределения вероятностей :

1. Плотность распределения вероятностей –– функция неотрица-

тельная: > ;

2. Плотность распределения удовлетворяет условию нормировки:

3. Вероятность события равна интегралу на соответ-

ствующем отрезке от плотности распределения:

P 6 6

4. Функция распределения равна несобственному интегралу от

плотности распределения с переменным верхним пределом:

2.4. Многомерные случайные величины

Понятие случайной величины может быть обобщено на случай: си-

стемы случайных величин: