Буховец А.Г. и др. Статистический анализ данных в системе R

Подождите немного. Документ загружается.

3.4. Проверка статистических гипотез 61

«bg="white"», а функция «abline()» в строке 20 –– штриховую ли-

нию двойной толщины «lty=2,lwd=2», пересекающую ось абсцисс по

нормали в точке «v=point», соответствующей истинным значениям

оцениваемых величин: M , D .

В строках 21–24 описанная функция используется для непосред-

ственного построения реализаций доверительных интервалов M

и D при различных значениях и

для .

Из графиков, показанных на рис. 3.3 и 3.4, хорошо видно, что до-

верительные интервалы и для M и для D представляют со-

бой коллинеарные оси абсцисс случайные векторы, длина которых

уменьшается по мере увеличения объёма выборки и уменьшения

доверительной вероятности .

3.4. Проверка статистических гипотез

Статистической гипотезой принято считать любое предполо-

жение о законе распределения случайной величины генеральной со-

вокупности или о значениях параметров закона распределения.

Высказанное предположение, которое подлежит проверке, обозна-

чается и называется основной или нулевой гипотезой. Наряду с

основной гипотезой в рассмотрение вводится и противоречащая ей

гипотеза , которая называется конкурирующей или альтерна-

тивной. Цель проверки статистической гипотезы заключается в том,

чтобы установить, не противоречит ли высказанная гипотеза име-

ющимся выборочным данным .

Для проверки нулевой гипотезы формируется статистический

критерий –– специальная статистика , распределе-

ние которой в условиях нулевой гипотезы известно. По извест-

ному распределению статистического критерия определяется множе-

ство значений, которые величина принимает с вероятностью ,

близкой к единице, то есть практически достоверно. Это множество

называется областью принятия нулевой гипотезы . Дополне-

ние этого множества образует критическую область (или область

отвержения гипотезы ).

Проверка нулевой гипотезы осуществляется следующим образом.

По выборочным данным вычисляется наблюдаемое значение крите-

рия . Если значение принадлежит крити-

ческой области, то проверяемая гипотеза отвергается, как про-

тиворечащая выборочным данным, и принимается альтернативная

62 3. Основы математической статистики

гипотеза . Если же принадлежит области принятия нулевой

гипотезы, то она принимается, как согласующаяся с выборочными

данными. В этом случае говорят, что нулевая гипотеза принимается

на уровне значимости .

Принципиально важно понимание того, что статистическими ме-

тодами можно лишь опровергнуть выдвинутую гипотезу , но

нельзя её доказать.

Уровень значимости гипотезы характеризует вероятность со-

вершить ошибку первого рода, заключающуюся в напрасном отвер-

жении верной нулевой гипотезы: P . Помимо этого, су-

ществует вероятность совершить ошибку второго рода, состоящую

в напрасном принятии неверной нулевой гипотезы P .

Дополнительную к величину, соответствующую вероятности недо-

пущения ошибки второго рода P , называют мощно-

стью критерия. Заметим, что одновременное уменьшение вероят-

ностей ошибок первого и второго рода возможно только при увели-

чении объёма выборки .

Во многих системах компьютерной математики, в том числе и в

R, для наблюдаемого значения критерия определяется достига-

емый уровень значимости, называемый также « -значением» или

« -value», соответствующий наименьшему уровню значимости , при

котором нулевая гипотеза отвергается для данного наблюдаемого

значения критерия . Чем меньше значение величины , тем уве-

реннее отвергается нулевая гипотеза .

Важное значение в математической статистике имеет принцип

двойственности при построении доверительных интервалов и

проверке гипотез о значениях параметров распределения. Нетруд-

но убедиться в том, что при выбранном уровне надёжности дове-

рительный интервал для некоторого параметра составляют те его

значения, которые совместимы с гипотезой : на уровне зна-

чимости .

3.4.1. Пирсона