Бромберг П.В. Теория инерциальных систем навигации

Подождите немного. Документ загружается.

lSfi

АЛГОРИТМЫ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ НАВИГАЦИИ

[ГЛ. V

Из сравнения схем, приведенных

на рис. 5.3 и 5.4,

можно заклю-

чить,

что во

втором случае несколько проще выражения

для

ком-

пенсирующих сигналов, подаваемых

на

вход интеграторов первой

ступени. Кроме того, следует отметить,

что в

схемах

рис. 5.3 и 5.4

предусмотрен ввод печальных значений скоростей

различных

системах коордипат:

географической

(0),

(0) на рис. 5.3 и в

азимутально-свободной

(0) и v

(0) на рис. 5.4.

Искусство проектирования состоит

в том,

чтобы

из

нескольких

вариантов моделирующих схем выбрать наилучшую

точки зрения

возможности удовлетворить целому комплексу требований техни-

ческого задания

па

разработку системы.

Эти

вопросы

не

обсужда-

ются

данной работе.

5.2.3.

Инерциальная система

ортодромическим навигацион-

ным

ортодромическим опорным трехгранниками. Географическая

координатная сетка имеет особые точки, которые совпадают

полюсами Земли; вблизи полюсов затруднительно счислять долго-

ту

к. В

ортодромической системе координат можно избежать таких

затруднений, если ортодромический экватор выбирать таким

образом, чтобы движение объекта происходило

достаточном

удалении

от его

полюсов. Ортодромические системы координат

были рассмотрены

в п.

1.3.9.

Здесь

мы

рассмотрим инерциальную систему,

которой опор-

ным трехгранником служит ортодромический трехгранник

т.

е.

трехгранник

ребром

направленным вдоль географической

вертикали,

ребрами

, у

соответственно направленными вдоль

ортодромической параллели

(на

условный восток)

вдоль ортодро-

мического меридиапа

(па

условный север)

— см. п.

1.3.9.

каче-

стве навигационного трехграппика выберем

тот же

ортодромиче-

ский трехгранник

Следовательно, инерциальная система

данного типа будет являться обобщением инерциальной системы,

рассмотренной

в п.

3.2.1. Построим алгоритм рассматриваемой

системы. Проекции

абсолютной угловой скорости

опорного трехгранника

получаем

из (1.149) в

виде

= — U COS ф sin %

—

М„

— U COS ф COS

Хо

г>

v.,

= tfsintf> +

hr—JT

(5.12)

(1.144)

следует опустить верхний индекс

5.2]

ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКОГО ТИПА

157

где

, R

RQ определяются

соответствии

с (1.146)

выражениями

cos

У„

^1 '

sin

, соч

*о

+• R

-i-AsinxoCoaXo

(5.13)

Выражения

(5.13) мы

преобразуем

более удобному виду.

Пользуясь формулами

(5.2),

представим

(5.13) в

форме

cos

1 —

cos

sin

соз

cos х

sin х

(5.14)

В формулах

(5.12) и (5.14) sin %

и cos %

встречаются только

множителем

cos ф,

кроме того,

в них еще

фигурирует

sin ф.

Для формирования соответствующих величин

мы

можем вос-

пользоваться соотношениями

(1.137) и (1.138),

опустив

в них

верх-

ний индекс

i. Так,

получим выражения

sinq> = sintpn sinO -(- cos ф

cos Ф sin Л,

cos

sin

Хо

— —

cos фп cos Л,

cos ф cos

Хо —

sin ф

cos Ф — cos ф

sin Ф sin Л,

(5.15)

в которых географическая широта северного полюса ортодромии

Фп считается известной. Формулы(5.14)

(5.15)позволяют

конеч-

ном итоге выразить оз

Хо

co,,

, co

2(J

через выходные величины инер-

циальной системы: ортодромические координаты местополонсения

объекта

Л, Ф и

компоненты относительной (путевой) скорости

Ч'о'

Напомним,

что

параметр высоты

определяется барометриче-

ским высотомером. Проекции а

Хо

,Оу

кажущегося ускорения мож-

но получить

из (3.53),

если заменить индекс

т на о,

опустить верх-

ний индекс

i и

положить вертикальную составляющую скорости

равпой нулю,

так как мы

условились рассматривать горизон-

тальное движение объекта;

при

указанных условиях

из (3.53)

158

АЛГОРИТМЫ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ НАВИГАЦИЙ

|ГЛ. V

непосредственно получаем

;5.16)

Если разрешить

(5.16)

относительно

, v

, то

получим выраже-

ния

^х

- Й

+ (U sin

ср

+ щ ) v

, ]

(5 17)

= %

—

Sin

+ %) % J

и, наконец,

соответствии

с (1.148)

получим формулы счисления

координат

Ли Ф в

виде

г?

Уо

= I-

(5.18)

Совокупность аналитических зависимостей

(5.12), (5.14), (5.15),

(5.17),

(5.18)

образует алгоритм рассматриваемой системы.

Правые части уравнений

(5.15) и (5.18)

являются функциями

, Ф и Л,

кроме величины

, а

Уо

которые являются выход-

ными величинами акселерометров

считаются

в (5.17) и (5.18)

известными функциями времени. Таким образом,

(5.17) и (5.18)

образуют нелинейную систему дифференциальных уравнений,

решение которых, удовлетворяющее заданным начальным услови-

ям

(0), Vy

(0), Ф (0) и Л (0),

определяет выходные величины

инерциальной системы

VQ>

Ф и Л.

Алгоритм ортодромической

инерциальной системы моделируется системой, представленной

на

рис.

5.5.

Опорный трехгранник моделируется гиростабилизиро-

ванной платформой, управление вращением которой

абсолютном

пространстве,

так же как и в

предыдущих случаях, осуществляется

через датчики моментов, установленных

на

осях прецессии (осях

кожухов) гироскопов. Прохождение сигналов

управляющих

величин наглядно представлено

на рис. 5.5 и

дополнительных

пояснений

не

требует. Укажем только

на то, что в

схеме

рис. 5.5

используются величины C0x

ci>(',

o>j

—

проекции относительной

угловой скорости трехгранника

Эти

проекции

соответст-

5.21

ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКОГО ТИПА

159

вии

с (1.142) и (1.148)

определяются соотношениями

со„„

(

(5.19)

Инерциальная система выдает информацию

координатах место-

положения объекта

Л, Ф,

компонентах путевой скорости

, v

V(i

и ориентации объекта

пространстве. Ориентация объекта опреде-

ляется углами тангажа, крена

истинным ортодромическим кур-

сом

Истинный ортодромический курс

~Ч?

определяется углом,

который образует проекция продольной

оси

объекта

на

плоскость

горизонта

касательной

ортодромическому меридиану, направ-

ленной

на

условный север,

т. е. с

осью

Угол

изменяется

от 0

до 360°

считается положительным, когда продольная

ось

объекта

поворачивается

от оси у

сторону

оси х

, т. е. к

условному восто-

ку.

Все эти

углы непосредственно снимаются

датчиков, установ-

ленных

на

осях кардановых колец

вертикальной

оси

стабилизи-

рованной платформы.

Ввиду того,

что

географические карты обычно изготовляются

географической координатной сетке, может появиться необходи-

мость

нахождении географических координат

X, ср

проекций

путевой скорости

и v

истинного курса

. Все эти

величины

являются

данном случае вторичными.

Они

выражаются через

выходные величины рассматриваемой инерциальной системы

по-

средством формул преобразования, представленных

конечном

виде.

Так, v

, v

определяются

из

формул преобразования коорди-

нат

Хо, Уо и х, у:

У*

= c»s Хо -f

sinXo,

Vy = — V

sin

+ v

COS

•

(5.20)

Фигурирующий

в (5.19)

угол Xo можно определить

по

двум послед-

ним формулам

(5.15). При их

почленном делении друг

па

друга

найдем сначала

tg Хо или ctg %

, по

величине которых определим

Хо-

Квадрант угла

Хо

определяется знаками

sin Хо и cos %

или

знаками правых частей соответствующих выражений

(5.15), так как

cos ср

всегда больше нуля.

Географическая широта

ср

определяется

из

первой формулы

(5.15),

географическая долгота

находится

(в

соответствии

двумя

ffiO

АЛГОРИТМЫ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ НАВИГАЦИИ

(ГЛ. V

§ 5.2] ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОЛУ АНАЛИТИЧЕСКОГО ТИПА

н _

Е I

к к

6 П. В. Бромбсрг

162

АЛГОРИТМЫ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ НАВИГАЦИИ

[ГЛ.

последними формулами

(1.137))

из

уравнений

sin

—

X-fj)

cos

= cos

cos Ф,

cos

—

%n)

cos

= cos

фп

sin Ф — sin

фп

cos Ф

sin

Л,

где географические широта

фп и

долгота

северного полюса

ортодромической системы координат считаются известными вели-

чинами.

И наконец, истинный курс

объекта,

т. е.

угол между осью

ипроекцией

его

продольной

оси

на

плоскость горизонта, находится

из соотношения

= + х*о,

(5.21а)

так

как

положительные направления измерения всех углов

и Хо совпадают.

(5.21а) угол

Хо

определяется расчетным путем,

"•FK

измеряется датчиком угла, установленным

на

вертикальной

оси стабилизированной платформы.

5.2.4.

Инер^иальпая система

ортодромическим навигацион-

ным

азимуталыто-свободным опорным трехгранниками. Инер-

циальная система данного типа является обобщением систем,

рассмотренных

двух предыдущих пунктах.

В рассматриваемой системе производится счисление ортодроми-

ческих координат

Л, Ф, а

измерительные

оси

горизонтальных

акселерометров стабилизируются

направлении ребер

, у

азимутально-свободного опорного трехгранника

Здесь,

как

ивп.

5.2.2,

рассмотрим

два

варианта алгоритма системы.

Аналитические зависимости

для

первого варианта алгоритма

получим следующим образом. Выражения

для

проекции

а,,

абсолютной угловой скорости опорного трехгранника

величины

производные

проекции путевой

скорости

на

ребра

, у

определяются теми

же

соотношениями,

что

п.

5.2.2,

т. е.

формулами

(5.5) —

(5.7),

формулы счисления

координат

А, Ф в п. 5.2.3 —

соотношениями

(5.18).

Теперь нужно

по проекциям

г^

,' щ

путевой скорости на'ребра

, у

опорного

трехгранника

получить проекции

, v,,

путевой скорости

на ребра

, у

навигационного трехгранника

Проекции

фигурируют

формулах

(5.18)

счисления координат

Л, Ф.

Эта задача решается формулами преобразования координат

cos

Хоо

+ v

sin

Хос,

i>»

= —

Хос

+ v

cos

Xoc,

в которых

Хос

обозначает угол, который образует ребро

ребром

причем

он

считается положительным, когда ребро

отклоня-

ется

от

ребра

сторону положительного конца ребра

, т. е. к

условному востоку. Угол

Хос

можно получить

из

(3.67),

если

там

(5.22)

5,2]

ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОЛУ АНАЛИТИЧЕСКОГО ТИПА

163

опустить верхний индекс

г,

заменить индекс

иг

на с и

помнить,

что

= 0.

Запишем

это

выражение

дифференциальной форме.

С учетом третьей формулы

(5.12)

Хос

= U sin

+ (^2- - -^М tg

Ф.

(5.23)

Чтобы

(5.23)

было эквивалентно интегральной форме

(3.6),

следует

задать начальное условие,

т. е. Хос (0).

Кроме

Хос

нужно определить также угол

Хс,

фигурирующий

в выражениях

(5.5) и

(5.6).

Его

молшо получить

из

(3.68),

если

там

заменить индекс

т на с и

опустить индекс

г.

Тогда очевидно,

что

величины

Хс> %oi Хос

удовлетворяют соотношениям

Хс

= Хо + Хос-

(5.24.)

Угол

Хос мы

определили выше,

угол

Хо был

найден

в п. 5.2.3

(см.

формулу

(5.15))

ивп. 1.3.9 (см.

формулу

(1.138)).

Во втором варианте алгоритма,

так же как ивп.

5.2.2,

проек-

ции кажущегося ускорения^

Хс

, а

Уо

на

ребра

, у

(

опорного

трехгранника

у^,

которые

идеальном случае непосредственно

измеряются горизонтальными акселерометрами, используют

для

нахождения проекций

Хо

, а

Уо

па

ребра

, у

навигационного трех-

гранника

Zo-

Эта

задача решается формулами преобразования

(см.

(3.22))

Хо

= а

Х(

. cos

Хос

+ а

Ус

sin

Хос,

(5.25)

= —

зш

Хос

+ а

Ус

cos

Хос,

J '

где угол

Хос

определяется уравнением

(5.23);

так как

величины

«у

найдены,

то все

дальнейшие зависимости

для

определения

выходных величин

, V

Л, Ф

будут такими,

как в

предыдущем

пункте.

горизонтальные проекции

ОУ

х<

<а

Уо

**) абсолютной угло-

вой скорости опорного трехгранника

х^у^,

который модели-

руется стабилизированной платформой, определяются

по

форму-

лам обратного преобразования

виде

*с

*а

003

Хос

—

о)

Уо

sin

Хос,

®Ус

®Хо

Sla

Хос

+ Щ

COS

Хос-

*) ^Определять

из (5.9)

нельзя,

так как там

фигурирует

tg ф.

**) Вертикальная проекция

г(

. — U.

(5.26)

164

АЛГОРИТМЫ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ НАВИГАЦИИ [ГЛ. V

ИПЕРЦНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОЛУ АНАЛИТИЧЕСКОГО ТИПА 165

160

АЛГОРИТМЫ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ НАВИГАЦИИ

[ГЛ.

Величины

оз

, ы

Ус

используются

для

непосредственного форми-

рования управляющих сигналов

для

датчиков моментов гироско-

пов стабилизированной платформы.

С платформы

мы

снимаем «гироскопический курс»

фп,

истин-

ный ортодромический курс получается добавлением

к ф

угла

Хоо

определяемого

счетно-решающем устройстве инерци-

альной системы,

т. е. W

= ф

Хос-

данном случае отпадает

необходимость

определении

. На рис. 5.6

приведена модели-

рующая схема

для

второго варианта алгоритма.

Для

первого

варианта читателю предлагается построить моделирующую схему

самостоятельно.

5.2.5.

Обобщенный алгоритм инерциальной системы.

До сих

пор

мы

рассматривали инерциальные системы

горизонтальными

сопровождающими трехгранниками (навигационными

опорны-

ми),

одно

из

ребер которых было направлено

по

географической

вертикали. Практическое удобство таких Систем состоит

в том,

что начальное приведение моделирующих платформ

плоскость

географического горизонта

па

неподвижном основании можно

осуществить

помощью отвеса

или

других эквивалентных

ему

приборов, например акселерометров.

Это

происходит потому,

что

с точностью

до

гравитационных аномалий,

па

которых

мы

останав-

ливались

в п. 1.2.5,

географическая вертикаль, являющаяся нор-

малью

уровепным ^-эллипсоидам, совпадает

направлением

вектора силы тяжести. Однако представляет интерес рассмот-

реть таюке инерциальные системы, привязанные

другим видам

вертикалей: геоцентрической

гравитационной. Направления

геоцентрической

гравитационной вертикалей нельзя установить

непосредственными измерениями. Однако

для

каждой широты

места известны углы, которые

они

составляют

географической

вертикалью

плоскости меридиана.

Эти

углы можно вычислить

и построить геоцентрическую

гравитационную вертика-

ли,

отправляясь

от

направления отвеса

направления мери-

диана.

В этом пункте

мы

рассмотрим инерциальные системы общего

типа,

которых горизонтальные сопровождающие трехгранники

одним своим ребром могут быть ориентированы

по

любой верти-

кали

—

географической, геоцентрической

или

гравитациопной.

Построим обобщенный алгоритм

для

таких систем.

Мы

будем рас-

сматривать

два

варианта обобщенного алгоритма.

В одном

из них

проекции кажущегося ускорения будем выра-

жать

через компоненты земной относительной скорости г>,

а в

дру-

гом

—

через компоненты абсолютной скорости движения объекта

Построение обобщенного алгоритма облегчается принятыми

в данной работе обозначениями.

формулах

для

кинематических

и геометрических величин

мы

использовали

обозначениях верх-

ний индекс

г,

которому придали следующий смысл. Этот индекс

5.2]

ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКОГО ТИПА

167

нужно опускать, когда соответствующие величины рассматри-

ваются

горизонтальной системе координат, привязанной

к на-

правлению географической вертикали,

заменять

его

соответст-

венно

на

штрих

или два

штриха, когда система координат ориен-

тирована

по

геоцентрической

или

гравитационной вертикали.

В обобщенном алгоритме

качестве первичных координат

ис-

пользуем ортодромические координаты Л\Ф\й,

следовательно,

навигационным трехгранником будет служить ортодромический

трехгранник

xlylzl.

Опорный трехгранник обозначим через

ХтУтЯт,

он

будет вращаться

абсолютном пространстве вокруг

вертикали

угловой скоростью

со

i ,

которая может зависеть

от координат местоположения объекта

скорости

его

движения

или быть постоянной фиксированной величиной. Такой трехгран-

ник рассматривался

в п.

3.3.3.

Будем считать,

что

высота

определяется инерциальным мето-

дом,

для

чего предусмотрим

системе третий акселерометр

вер-

тикальной измерительной осью

дополнительный канал двухсту-

пенчатого интегрирования.

При конструировании алгоритма инерциальной системы

не-

обходимо решить вопрос

об

этапе,

на

котором следует

из

выра-

жений

для

проекции кал;ущегося ускорения выделить производ-

ные проекции соответствующей скорости, чтобы интегрированием

последних получить проекции самой скорости движения объекта.

Такую операцию можно произвести

как в

осях опорной системы

координат,

так и в

осях навигационной системы координат, пред-

варительно преобразовав

в нее

кажущееся ускорение, непосред-

ственно измеряемое акселерометрами

проекциях

на оси

опорной

системы координат.

п. 5.2.2 для

конкретной инерциальной системы

мы

привели

алгоритм

для

обоих возможных случаев.

Как уже

упоминалось

раньше,

для

решения этого вопроса следует оценить степень

сложности всей совокупности аналитических зависимостей

под-

считать количество самостоятельных вычислительных операций,

которые необходимо выполнить

обоих случаях.

Важную роль

выборе соответствующего пути конструиро-

вания алгоритма играет степень сложности выражений

для

самих

проекций кажущегося ускорепия

на оси

указанных выше систем

координат.

Для обобщенного случая, видимо, удобней пойти

но

второму

пути,

т. е.

сначала преобразовать проекции

;

, Й

(

, а,

кажу-

Ут

щегося ускорения

на оси

опорной системы координат

проекции

«ь*

°!/о' V

на оси

навиг

ационной, ортодромической системы

координат

xiyiz

108

АЛГОРИТМЫ

ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ НАВИГАЦИИ

[ГЛ.

Первый вариант алгоритма. Соответствующие

формулы преобразования имеют

вид

a i = a t cos Хот + a i sin

Ут

х,

(5.27)

a i = — a

iSinjtom

+ я i cosxom.

I'O

Вертикальные составляющие

во

всех

го-

ризонтальных системах координат совпа-

дают,

т. е. eti = at —

<&•

Смысл фигу¬

рирующего здесь угла

от

углов

ХР,

ХТ» встречающихся ниже, рассмотрен

вн.

3.3.3

дополнительно разъяснен

рис. 5.7.

Проекции

a i, a

a i

выражаются

че-

*О

"О

Рис.

5.7.

Взаимная

ори- рез

соответствующие компоненты относи-

ентация «горизонталь- тельной (земной) скорости

и их

произ-

иых» осей географичес- водные

по

формулам (3.53), если

в них

кого ортодромического

ИН

екс

заменить

на о.

Разрешая

и опорного трехгранни-

л m м г

ков

азимуте.

эти

уравнения относительно производных

, v i, v

i, получим

*о

Уо

t = а 1 4-

(С/

sin ф

со

)

.г?

i —

(С/

cos

ср

cos

ХО

со

i +

™

*О *

«о

gsin

(ср

—

ср*)

sin

ХО,

a i — (U sin

ср*

со

г — Р cos ф

sin —

i)v i —

—

gSin

(ф —

ф')С05Хо,

\ = а

+ +

2Ui>

cos

* - g cos

(Ф-Ф

•

(5.28)

В соответствии

с (1.146)

в]

cos

Л1

•!-

cog

Хр

я!

cos

Хо

sinxo-

(5.29)

5.2]

ИНЕРЦИАЛЬНЬГЕ СИСТЕМЫ ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКОГО ТИПА

160

В каждом конкретном случае (5.29) можно преобразовать таким

образом, чтобы

в них

ХО

встречался только

выражениях

cos <р*.

•

cos

ХО

и cos

1 я

ХО- Д

ЛЯ

географической вертикали

мы это

доказали

в п.

5.2.3, получив формулы (5.14),

для

геоцентрической

вертикали (1.35) имеем

Я, = i?

= г,

вследствие чего

0, (5.30)

я.

для гравитационной вертикали

соответствии

(1.135)

(1.147)

1 1

+ к

Уо

и"

1 1

Я"о

-j-

+ О

COS

ф"с08

XO)»

+ a

cos

ф*

sin

XO),

-^-^

cos

ф"

cos

sin %

(5.31)

При этом

i?j

(1.97)

и г

(1.17) фактически зависят

от

sin

ф,

sin

ф'.

Выражения

sin ф

, cos ф', cos

ц>

sin /

и cos ф* cos /о»

необ-

ходимые

для

вычисления

1/#*

1/-Яо>

определяются форму-

лами преобразования (1.137) вида

sin

ф*

= sin фп sin

Ф*

+ cos ф

cos Ф

sin Л',

cos

ср*

sin

ХО

—

cos фп cos

Л*,

cos ф

cos

ХО

= sin ф

cos

Ф*

— cos ф

sin

Ф*

sin

Л*,

(5.32)

Фп —

соответствующая широта северного полюса ортодроми-

ческой координатной сетки.

Угол

Хо

можно получить

по

значениям

tg Хо или ctg

Хо,

ко-

торые получаются почленным делением двух последних выраже-

ний (5.32). Угол

Хот

между осью

навигационного, ортодромиче-

ского трехгранника

осью

опорного трехгранника

(рис. 5.7)

получается

из

уравнения

iom

со

i —

о)

i = U sin

ф*

Я1

tgO*

—й>

, (5.33)

которое является результатом дифференцирования равенства

(3.68).

Здесь следует задать начальное условие: значение угла

3Com

при t - 0, т. е. Хот (0).

170

АЛГОРИТМЫ

ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ НАВИГАЦИИ

[ГЛ.

Формулы счисления координат Л\ Ф

определяются

(1.149):

Л* =

-о

(

"о

весФ*,

(5.34)

а высота k —

(1.1226):

h = -^К*

sin

(q) — ф

{

) -+- v i cos

(ф

—

)],

(5.35)

где х = |/*1 — е

sin

Для вертикальных составляющих скорости имеет место равен-

ство v i = v i. Горизонтальные составляющие скорости v * и v i,

x v

фигурирующие в

(5.28)

(5.35),

можно определить из формул пре-

образования

| = v i

cosxo

+ Y i sin

XOI

*O "0

Y,i

- — v i sin

+ v i cos

XO-

(5.30)

Теперь нужно выразить ускорение силы тяжести g через коорди-

наты ф

{

и h. Это выражение в соответствии с

(1.66)

можно записать

в виде

g = g3o

* (1+MaV),

(5.37)

где р =

5,317-10"

978,049

см/с

, а =

6378,245

км.

Строго говоря, в

(5.37)

должна фигурировать геоцентрическая

широта ф'. Однако с небольшой погрешностью g можно опреде-

лять по одной и той же формуле

(5.37)

для ф, ф' и

ф",

ошибки при

этом не будут превосходить §ag = 1,7 Л0~

g для ф

= ф и

0,5fJccg

0,85 -10~

g для ф

= ф". В первом случае горизонтальные со-

ставляющие а

Хт

, а

Ут

кажущегося ускорения вообще пе зависят

от величины g. В выражениях g sin (ф — ф

) sin Хо. 8

sin

(ф —

—

ф') cos Xoi g cos (

— ф

), встречающихся в

(5.28),

с точностью

до величины порядка \0"

g можно полагать sin (ф — Ф) =

sin ф' cos ф', cos (ф — ф') — 1 и с точностью

0,5-10"

считать sin (ф —

") = a sin

ф"

cos ф", cos (

—

") = 1. Тогда

указанные выше выражения будут зависеть от sin ф'

С08ф*8ШХот

cos

*cos

Xoi встречающихся и в других зависимостях

алгоритма системы.

5.21 ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКОГО ТИПА 171

И, наконец, следует определить проекции абсолютной угловой

скорости опорного трехгранника х

, /Д, z

на его собственные реб-

ра, чтобы рассматривать соответствующие вращения моделиру-

ющей гироплатформы в пространстве. Эти величины мы получим

следующим образом. Сначала вычислим проекции абсолютной

угловой скорости со i, со i на оси навигационной, ортодромической

^о

;

'О

системы коордипат по формулам

со i = — U cos ф

sin

ХО

—

U cos ф cos xl -\-

В!

(5.38)

а затем по формулам обратного преобразования

CD i = 0> ( COS Хоти — СО i sin Xom,

СО

I =

СО

i Sin

XOM

+ М I

COS

XOM

o Vo >

определим горизонтальные проекции абсолютной угловой ско-

рости опорного трехгранника

на его ребра х

, у

. Все

слагаемые в

(5.38)

фактически уже известны, они встречаются

в приведенных выше зависимостях. Величипа со

{

зависит от

конкретного выбора вращения опорного трехгранника в азимуте.

Величина со

может определяться по одпой из формул

(3.56)

—

(3.56г).

Схема, моделирующая рассмотренный алгоритм, приведена

на рис. 5.8.

Второй вариант алгоритма. Во втором вариан-

те алгоритма мы опять исходные величины a i , а

{

преобразуем

"т

в a i, a i по формулам

(5.27),

а затем выразим а

, a i через ком-

° *о ''о

поненты абсолютной скорости и их производные. Мы воспользуем-

ся формулами

(3.54)

и в соответствии с ними при замене индекса

т на о сформируем вырал^-ения в виде

4 =

щ + со iV i -

со*Гj

+^8т(ф"-ф

)8тХо,

"о

о Vo Уа

"О

®*

+ ~~

siu (cp

ч»*)

cos

О -"-О

(5.40)

174

АЛГОРИТМЫ ИИЕРЦНЛЛЬПЫХ СИСТЕМ НАВИГАЦИИ

[ГЛ.

Обобщенные выражения

1/Я,*/

1//?^,

1/#о

определяются фор-

мулами

(5.29) — (5.32).

Угол

%1т

получаем

из

уравнения

(5.33),

только

там со *

выра¬

зим

по

третьей формуле

(1.150).

Тогда

тг

i sin Л

Хот

«=

СО

{

—

СО

i = U COS фп -ZT

COS

I/O

Ф*

i .

(5.41)

Проекции абсолютной угловой скорости

<о {, о> i на

ребра опор-

*с

ного трехгранника

определяются

(5.39),

только

в них

со

{, со i в

соответствии

с (1.150)

определяются выражениями

со

г = —

и]

СО

i =

''о

(5.42)

Координаты

, Ф

{

находятся

по (5.34). Для их

определения

необходимо преобразовать

V i, V i в v i, v i. В

соответствии

Ко

Уо

У о

(1.121) V_i = v

-f- UR] cos ср'.

Тогда

из рис. 5.7

можно полу-

чить формулы перехода

виде

v i = V i — UR\

сейф*

cos

Xoi

v i = V i — UR\ cos ф

sin y

(5.43)

В формуле

(5.35)

счисления

можно получить

v i = V i и

v,i = F

i = F i,

причем можно получить

по

второй формуле

преобразования

(5.36) из

величин

V j и V i.

Теперь пужно выразить ускорение силы тяготения через коор-

динаты

и h. В

соответствии

с (1.68)

=•

g™

-f

Р'зт'ф

(5.44)

(а

+ /г)

причем

Р' =

1,84-КГ

081,438

см/с

а =

6378,245

км.

5.2]

ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОЛУ АНАЛИТИЧЕСКОГО ТИПА

175

Строго говоря,

в (5.44)

должна фигурировать геоцентрическая

широта

ф'.

Однако

небольшой погрешностью

можно опреде-

лять

по

одной формуле

(5.44) для

любой широты:

ф, ф', ф".

Ошибки

при

этом

не

будут превосходить

P'ctg' = 0,6-10"

gf' для

= ф и

0,5p'ag'

= 0,3-

10~

для

* = ф". При

этом

во

втором

случае горизонтальные составляющие

а «, а »

кажущегося уско-

*о Уо

рения вообще

не

зависят

от g'. В

выражениях

g' sin (ф* — ф*)Х

Xsin

Xoi g' sin (

" — ф*) cos Хо, g' cos (ф" — ф

встречающихся

(5.40), с

точностью

до

величины порядка

0,5-10~

можно

полагать

siu (ф"— ср) = — a sin ф cos ф, sin (ф" — ф') =

а sin ф' cos ф' и в

любом случае

cos (ср — ф') = 1.

Схема, моделирующая рассмотренный алгоритм, приведена

на

рис.

5.9. Как

указывалось раньше, моделирующую схему можно

видоизменять,

не

нарушая конечного результата.

частности,

во

втором варианте алгоритма можно было

бы по

компонентам

Vл абсолютной скорости получать соответствующие компоненты

(

, v

относительной скорости

и по у

v i

провести вычисления

У° \ "о

остальных величин,

т. е.

фактически свести решение этой части

задач

предыдущему случаю

(см. рис. 5.8).

Кроме того,

некото-

рых случаях может оказаться удобней находить сначала проекции

скорости

опорной системе координат,

затем

их

преобразовать

в навигационную коордипатную систему,

Так,

например, было

сделано

моделирующей схеме, изображенной

на рис. 5.4.

При-

ведем

еще

один конкретный пример. Рассмотрим

качестве опор-

ного трехгранника азимутально-свободный трехгранник

соответствующий гравитациоппой вертикали. Будем считать,

что

в инерциальной системе имеются только

два

горизонтальных аксе-

лерометра,

a h

вводится

от

барометрического высотомера.

Будем следовать второму варианту алгоритма, рассмотренного

в данном пункте.

горизонтальном движении

точностью, ого-

воренной

в п. 3.3.3,

проекции а

а -

кажущегося ускорения

можно определить

по (3.65). Эти

формулы запишем

таком

по-

рядке:

. =

<•, V » = а (5.45)

"•с

с Ус Ус

Естественно, теперь удобней сначала получить проекции

•

абсолютной скорости

на оси

опорной (азимутально-свобод-

ной) координатной системы,

затем

уже

посредством формул пре-

образования получить проекции

V *, V •

абсолютной скорости

на

оси

навигационной

(в

данном случае ортодромической) системы