Бромберг П.В. Теория инерциальных систем навигации

Подождите немного. Документ загружается.

116

УСКОРЕНИЕ

[ГЛ.

ПТ

f8to(f>-ft)

sin^-y

Рис.

3.6.

Поворот координатной

си-

стемы

вектора.

Полученным выше результатам можно дать другое весьма важ-

ное истолкование.

Мы до сих пор

рассматривали преобразование

систем координат. Матрица

Су (3.126),

действуя

на

составляющие

вектора

системе

xyz,

переводит

их в

составляющие этого вектора

в системе

обеих частях равенства

(3.124)

фигурируют

составляющие одного

того

же

вектора

разных системах коор-

динат.

Для

пояснения существа нового истолкования обратимся

рис. 3.6. Там

изображены

два

вектора>

и г

*) с

координатами

у о.

и х

1ч

г„

причем век-

тор

повернут относительно

вектора

вокруг

оси z на

угол

отрицательном направле-

нии,

т. е. по

ходу часовой стрел-

ки,

если смотреть

на

вращение

с положительного конца

оси z.

Нетрудно доказать,

что в

этом

случае составляющие

и г

будут связаны между собой

со-

отношениями

(3.119). На

этом

простом примере видно,

что,

не меняя формальной матема-

тической стороны,

мы

можем

под C

понимать матрицу, кото-

рая,

действуя

на

вектор

преобразует

его в

вектор

Оба

век-

тора

при

этом рассматриваются

одной

и той же

системе коорди-

нат. Следует помнить,

что

если

первом истолковании матрица

Су определяет вращение системы координат против хода часовой

стрелки,

то во

втором истолковании

она

определяет вращение

вектора

по

ходу часовой стрелки.

Второе истолкование имеет важное значение

для

описания

конечных поворотов твердого тела около неподвижной точки..

В частности, свойство некоммутативности матричного умножения

является математическим описанием того физического факта,

что

результат нескольких конечных поворотов тела зависит

от их по-

следовательности. Наконец укажем,

что

ортогональная матрица

может иметь определитель равным —1. Классическим примером

такой матрицы является матрица вида

"-1 О О"

= о-1 о = _ Е.

0 0—1

Эта матрица, действуя

на

вектор, изменяет знак каждой

его со-

ставляющей

на

обратный,

т. е.

преобразует вектор

г в

вектор

—г.

Преобразование

меняет направление всех координатных осей

на противоположное

превращает правую систему координат

*) Причем модули

их

одинаковы:

= r

3.5]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ

117

в левую. Такое преобразование называется инверсией. Инверсию

нельзя получить

ни при

каком реальном вращении системы коор-

динатных осей

как

твердого тела.

Это

справедливо

для

любой

ортогональной матрицы

определителем, равным

—1, т. е. ее

всегда можно представить

виде произведения ортогональной

матрицы

определителем, равным

1, и

матрицы

Следователь-

но,

такая матрица включает

себя операцию инверсии.

3.5.2.

Малые рассогласовании координатных систем.

При ма-

лых рассогласованиях координатных систем одноименные

оси

и х, у

и у, z

и z

будут оставаться вблизи друг

от

друга,

а ко-

синусы углов между ними будут близки

к 1.

Структура этих коси-

нусов, находящихся

на

главной диагонали матрицы

(3.126),

тако-

ва,

что из их

близости

к 1

следует малость углов

, у

. При

малых рассогласованиях координатных систем углы

, у

элементарных поворотов системы координат будем считать малы-

ми величинами первого порядка. Тогда

во

всех выражениях

при

вычислении

всех выкладках будем сохранять только величины,

которые

не

являются малыми более высокого порядка. Очевидно,

с такой точки зрения

мы

должны положить

sin y

= y

и cos y

1. При

малых рассогласованиях координатных систем матрица

преобразования (матрица направляющих косинусов осей

х, у, z

относительно осей

, у

, z

)

получается

из (3.126),

если

там

пре-

небречь членами порядка малости выше первого. Будем иметь

Тз -тУ|

Су

= \ -У* 1 т.. (3.131)

— ?i

1 J

Введем кососимметричную матрицу

„ГО

7а -Vi 0J

с элементами первого порядка малости. Заметим,

что у

= — 7.

При учете

(3.123)

матрицу

(3.131) и

транспонированную матри-

цу

Су

можно представить

виде

= Е + Ъ С? = Е -у. (3.133)

С точностью

до

малых величин второго порядка матрица

(3.131)

является ортогональной

определителем, равным

Действительно, непосредственным вычислением получаем,

что

Су | = 1 -f- ft

-{-

уъ -f- yl я; 1.

Дальше

соответствии

дис-

трибутивным законом умножения матриц имеем

C;C

^ (Е

~'Гу) (Е+у-)

= Е-у

^ Е,

т.

е. 7

является матрицей

элементами второго порядка малости.

118

УСКОРЕНИЕ

[ГЛ.

В соответствии

общей теорией ортогональные преобразования

с определителем, равным

являются преобразованиями поворо-

та. Направление

оси

поворота можно найти

из

решения уравне-

ний

(3.128) при % = 1, где

коэффициенты

eJP

суть элементы мат-

рицы

(3.131).

Тогда

из

первых двух уравнений (третье уравнение

является следствием первых двух) немедленно получим

J-

= JL =— (3.134)

YE VI

— уравнение прямой

угловыми коэффициентами

, у

Эта прямая определяет

ось

поворота системы координат. Угол

поворота

можно найти

из

уравнения

(3.130). В

этом уравнении

приходится полагать

cos ф — 1 — ф

/2,

поэтому

его

правую часть

нельзя непосредственно получить

из

матрицы

(3.131). так как при

ее формировании

мы

опускали величины второго порядка малости.

Нужно обратиться

матрице

(3.126) и в ее

диагональных элемен-

тах удержать члены второго порядка,

т. е.

следует полагать

cos y

cos у.

= 1 —

Yi/2

— yl/2 и т. д.

Учитывая

это

обстоятель-

ство,

из (3.130)

получим

VyTTJ+

yt (3-135)

Если ввести вектор

Yi3G°

f/° +Y

(3-136)

где

х°, s° —

единичные векторы осей

х, у, 2, то из (3.134) и

(3.135)

следует,

что

направление этого вектора определяет

ось

вращения, величина этого вектора определяет угол поворота

и,

очевидно,

положительного конца этого вектора вращение коор-

динатных осей будет происходить против хода часовой стрелки.

Приведенные факты наводят

па

мысль,

что

малые ортогональные

преобразователи можно изображать векторами.

Это

окажется

справедливым, если

мы

докажем,

что

малые повороты можно

складывать

как

векторы.

Для

этого нужно доказать,

что

резуль-

тат нескольких малых поворотов

не

зависит

от их

последователь-

ности.

По

аналогии

с (3.131) - (3.133)

представим матрицы

(3.122),

(3.123)

элементарных поворотов

виде

= Е

+••*,

(i = 1, 2, 3). (3.137)

Тогда

соответствии

с (3.125)

получим

Е + Yi +

у-г

+73+ 7i 7з +

7з 7з

ЪУхУь-

(3.138)

Отсюда

точностью

до

малых величин второго порядка

= Е+

72+

Уз. (3-139)

З.Й]

ПРЕОБРАЗОВАНИИ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ

га."

~Хр

— X

- Ya

—y

—

Yi 0

Но сложение матриц обладает свойством коммутативности, поэто-

му результат

не

зависит

от

порядка перемножения матриц.

Мы

всегда получим,

что

матрица малого ортогонального преобразо-

вания имеет

вид (3.131). Так как

малые повороты обладают свой-

ством коммутативности,

их

можно представлять

виде векторов

над

ними можно производить операции

по

векторным правилам.

Следует помнить,

что с

положительного конца вектора

(3.136)

вращение координатных осей происходит против часовой стрелки,

вращение вектора будет происходить

обратном направлении,

т.

е. по

ходу часовой стрелки.

этом можно убедиться непосред-

ственно.

Преобразование

(3.124) при

учете

(3.132) и (3.133)

можно пред-

ставить

виде

(3.140)

Очевидно,

векторной форме

(3.140)

можно записать

виде

ра-

венства

Ьг

= г х у = —у х г, (3.141)

которое подтверждает сделанное заключение.

Векторное представление

не

только позволяет суммировать

малые повороты,

по,

очевидно,

разлагать

их на

составляющие

по правилам векторной алгебры.

Углы

у,, у

, Y

являются разновидностями эйлеровых углов.

Их отличие

от

классических углов Эйлера,

так

называемых углов

прецессии

ф,

нутации

8 и

собственного вращения

<р,

состоит

в том,

что

Yi, 7г. 7з

определяют

три

последовательных поворота, каждый

из которых производится вокруг

оси, не

участвующей

преды-

дущих поворотах.

классическом случае повороты

на

углы

ср

происходят вокруг одной

и той же оси

подвижной системы.

Классические углы Эйлера неудобны

для

изучения малых рас-

согласований коордипатных систем,

так как в

этом случае толь-

ко угол

остается малым,

углы

ф и (р

могут быть произвольны-

ми

при

сохранении малости

их

суммы

ф + (р.

Подробно этот вопрос рассмотрен

«Аналитической механике»

А.

И.

Лурье [266]. Указание

на

этот факт имеется

«Механике

гироскопических систем»

А. Ю.

Ишлинского

[22].

3.5.3.

Составляющие некоторых векторов

моделирующей

системе координат.

На

основании полученных соотношений можно

выразить составляющие вектора кажущегося ускорения

по

осям

, z

моделирующей системы координат через составляющие

этого вектора

системе

xyz,

принимаемой

за

поминальную систе-

му. Соответствующие составляющие связаны между собой мат-

ричным уравнением

(3.124), в

котором слева следует заменить

12Л

УСКОРЕНИЕ

IГЛ.

тп

на

а%

, й

, а

справа

— х, у, z на a

, «у,

общем слу-

чае матрица преобразования

имеет

вид

(3.126),

а при

малом рас-

согласовании систем

и xyz она

определяется формулой

(3.131).

этом последпем случае выпишем соответствующие выра-

жения

обычной форме.

Будем иметь

о%

7з«и

—

Уг<><г,

v + \h&t —

VeO*i

(3.142)

= % +

Y2««

—

YiOy

Составляющие

, a

были выражены раньше через компоненты

скорости,

их

производные

коордипаты местоположения объекта.

Напомним,

что под xyz

следует понимать любую декартову систе-

му координат, рассмотренную раньше.

В дальнейшем

нам

понадобится иметь

под

рукой выражения

составляющих абсолютной угловой скорости

трехгранника

ХрУрЯр

на его оси.

Угловую скорость

а>

следует рассматривать

как сумму двух скоростей: угловой скорости

<о

номинального

трехгранника

xyz,

которая здесь будет играть роль переносной

скорости,

относительной угловой скорости

трехгранника

ХрУрЯр относительно трехгранника

xyz.

Относительную скорость

в соответствии

с рис. 3.5

можно представить

векторной форме

^P^W'TMU^

(3-143)

где

ж?, f/p, £° —

единичные векторы вдоль соответствующих коор-

динатных осей.

Для

нахон?дения составляющих

fi)

psc

й>

РУр

со

рГр

вектора

по

осям

, у

, z

следует определить соответствующие

на-

правляющие косинусы векторов

х\, ур, В

частности,

соответ-

ствии

процессом образования матрицы

(3.126)

можпо утвер-

ждать,

что

направляющие косинусы

ж?

системе

будут

оп-

ределяться

ее

первым столбцом

при у

= 0, а

направляющие

косинусы

z° —

третьим столбцом.

Таким образом,

для

нахождения составляющих </)'

рХр

, ®ру

р1

Ир

можно составить матричное соотношение

cos

1>п

—

cos

YiSin

0 1

sin

(3.144)

sin Y

0 cos

cos

to _

Процедура образования проекций

о)

Ур

,со

гр

абсолютной угловой

скорости трехгранника

xyz по

значениям

<х>

(о

а>

остается преж-

ней,

т. е.

такой

же, как и для

вектора кажущегося ускорепия.

3.5]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ

121

Таким образом, суммируя соответствующие составляющие отно-

сительной

Юр

переносной

скоростей, получим выражение

для

Юр*Р1

©pup, o>

pZp

—

проекций абсолютной угловой скорости трех-

гранника

на его оси в

общем случае.

В частном случае, когда углы

Т21 Уа

малы,

то с

оговоренной

выше точностью

из

(3.144)

по

образцу формул

(3.142)

получим

(Vp

®х

Уз'%

—

Ya»

°>РУ

У*

<*и

Yi«z

— №х»

(3.145)

ргр

7з

Y»«b

—

Yi«V

При образовании этих формул дополнительно предполагалось,

что угловые скорости

, у

являются малыми величинами пер-

вого порядка, поэтому

первом,

во

втором

третьем уравнениях

(3.145)

мы

пренебрегли соответственно слагаемыми —

-у

YJYJ

как

величинами второго порядка малости.

Так,

например,

если

под xyz

понимать географическую систему координат,

то на

неподвижном основании

она

вращается

угловой скоростью Зем-

ли

U = 15

град/ч. Физические площадки моделирующего трех-

гранника

xyz

имеют

настоящее время неконтролируемое враще-

ние

со

скоростью порядка

0,01

град/ч. Таким образом, относи-

тельная скорость

в 1000 раз

будет меньше переносной, поэтому

пренебрежение нелинейными членами

—Y

и т

- Д-

можно считать

оправданным.

ГЛАВА IV

ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

§ 4.1. Линейный осевой акселерометр

-WW4 -WW4

хШШШх

4.1.1. Принцип действия и уравнедия движения. Схема такого

прибора представлена на рис. 4.1. Чувствительным элементом

акселерометра служит инертная масса, которая может перемещать-

ся относительно корпуса прибора вдоль жесткого стержня. Пере-

мещению чувствительного элемента препятствует сила натяжения

пружины, пропорцио-

нальная его отклонению

от нейтрального поло-

жения, а также демпфи-

рующая сила, пропор-

циональная скорости

движения чувствитель-

ного элемента относи-

тельпо корпусаприбора.

Прибор снабжен ус-

тройством для снятия

показаний, которое в

большинстве случаев

преобразует смещение чувствительного элемента от нейтрального

положения в напряжение постоянного или переменного тока.

Демпфирующее устройство и устройство для снятия показаний

прибора на схеме рис. 4.1 не показаны.

Движение чувствительного элемента акселерометра будем

изучать в системе координат xyz *), начало которой совместим с той

точкой стержня, в которой находится центр масс чувствительного

элемента в нейтральном положении, а ось х направим вдоль стерж-

ня.

Мы здесь не фиксируем положение осей у и 2, так как в этом

пока нет необходимости. Ось х будем называть осью чувствитель-

ности акселерометра или его измерительной осью. Очевидно,

координата х определяет здесь относительное смещение центра масс

чувствительного элемента от нейтрального положения.

Под xyz здесь понимается любая прямоугольная система координат

с перечисленными ниже свойствами и, в частности, система с географической

ориентировкой осей.

Рис.

4.1. Схема однокомпонентного осевого

акселерометра.

§ 4.1]

ЛИНЕЙНЫЙ Осввий АКСЕЛЕРОМЕТР

Сначала напишем векторное уравнение движения центра масс

чувствительного элемента как свободной материальной точки. Для

этой цели, очевидно, нужно мысленно отбросить связи и их влияние

заменить реакциями. Имея перед глазами рис. 3.3 и формулы

(3.40)

—

(3.42),

запишем это уравнение в виде

т (W + W) = ту' + F', (4.1)

где т — масса чувствительного элемента, д' — вектор гравитаци-

онного ускорения в той точке пространства (точка С), в которой

находится центр масс чувствительного элемента, W — абсолютное

ускорение точки М движущегося объекта, с которой совпадает

начало системы координат xyz, W — ускорение центра масс

чувствительного элемента в системе координат xyz, F' — прочие

силы, включая силы реакции связи. В уравнении (4.1) перенесем

член mW в правую часть и будем трактовать — mW как силу инер-

ции от движения точки М объекта с ускорением W; запишем W

в развернутом виде по формуле

(3.31).

Тогда получим

I-

2о>

ИГ

Ф х (© х г)

-m(W -g') + F', (4.2)

где г — радиус-вектор точки С в системе координат xyz, а о> —

вектор абсолютной угловой скорости трехгранника xyz, локальное

дифференцирование ведется также в системе xyz.

Уравнения движения получаются из (4.2) посредством проек-

тирования всех век торных величин на ось х, так как две остальные

проекции на оси у и г дают соотношения для определения реакций

связи. В силу кинематических связей радиус-вектор г и его ло-

кальные производные направлены вдоль оси х и они равны соответ-

ственно х, х, х. В соответствии с этим обстоятельством проекция

второго слагаемого левой части (4.2) на ось х равна нулю, проекция

последнего слагаемого равна —т ((о

co'i)

х (см.

(3.38)).

Тогда

уравнение движения центра масс чувствительного элемента можно

записать в виде

тх т 05,

со

) х — — т (W

-- gx) — kx - сх -\- F

, (4.3)

где — kx и — сх соответственно определяют восстанавливающую

силу от натяжения пружин и демпфирующую силу. Силой сухого

трения /''

тр

между чувствительным элементом и стержнем пренебре-

жем.

Если ввести обозначения

а " о

(;

о = —

*о\<, = —

(4.4)

и пренебречь величиной са*

-j-

(о

по отношению к vj|, то (4.3)

124

ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

[ГЛ. IV

можно привести

виду

+ 2

+ v\x = - (W

- g'x). (4.5)

Здесь, очевидно,

определяет частоту собственных недемпфиро-

ванных колебаний чувствительного элемента,

а б —

относительный

коэффициент затухания. Обычно выбирают

6 <" 1, и

тогда собст-

венное движение представляет собой затухающие (демпфирован-

ные) колебания

частотой

= v

Y 1 — б

Оценим порядок

пренебрегаемой величины

о* + о>г на

примере геоцентрической

системы координат

не

вращающейся вокруг геоцентри-

ческой вертикали, которая рассматривалась

в п. 3.3.3. В

этом

случае

о>

= о> - = 0, а №.. = о> •

определяется второй фор¬

мулой

(3.55) при

замене индексов

г на

штрих

и т на с. При

высоте

полета

h = 29 км (г = 6400 км) и

скорости полета

v = 3360 км/ч

и/г

= 2 U.

Тогда

о> - = у <oJ + и* < 3 £7.

Собственная частота

"с

колебаний чувствительного элемента акселерометра имеет порядок

100 Гц, т. е. v

имеет порядок

600 1/с.

Учитывая,

что U — 7,29-

•10~

1/с,

получим оценку

Г o>f, -|- со^ <С 3,64-10"

которая

оправдывает сделанное выше пренебрежение.

Пусть

уравнении

(4.5)

правая часть равняется постоянной

величине, тогда после погашения собственных колебаний чувстви-

тельного элемента прибора,

т. е. в

установившемся режиме,

vlx = -(W

- g

). (4.6)

В правой части

(4.6) W

есть соответствующая проекция абсолют-

ного ускорения точки

(начало координатной системы

xyz,

сов-

падающее

нейтральным положением центра масс чувствительного

элемента),

a g

—

проекция гравитационного ускорения точки

(текущего положения центра масс чувствительного элемента),

отстоящей

от М

вдоль

оси х на

величину

х. В

реальных приборах

максимальное значение

имеет порядок меньше одного

мм,

поэто-

му

в (4.6)

практически можно считать,

что оба

ускорения

и g'

определяются

для

одной

и той же

точки.

зависимости

от

удобства

рассуждений

эту

точку можно считать совпадающей

с М или С.

Вследствие этого правую часть

(4.6)

будем считать проекцией

кажущегося ускорения точки

М на ось

чувствительности акселеро-

метра.

Как мы уже

отметили выше, устройство

для

съема показаний

преобразовывает смещения

х в

надлежащую физическую величину,

которая является выходной величиной

или

просто выходом аксе-

лерометра. Таким образом, можно сказать,

что

линейный осевой

акселерометр измеряет проекцию кажущегося ускорения

на

свою

ось чувствительности

той

точки объекта, которая совпадает

точ-

кой

М.

Физически уравнение

(4.6)

проще осмысливается, если

вер-

4.1]

ЛИНЕЙНЫЙ ОСЕВОЙ АКСЕЛЕРОМЕТР

125

нуться

исходным параметрам прибора

(см.

(4.4)).

Тогда

(4.6)

можно записать

виде соотношения

кх = — та

, в

правой части

его стоит сила инерции, равная алгебраической сумме силы инер-

ции

—mW

силы тяготения

действующих

на

чувствитель-

ный элемент акселерометра,

левой части

кх

означает силу натя-

жения пружины. Таким образом,

соответствии

с (4.6)

акселеро-

метр функционирует

как

обычный силометр,

в нем

обобщенная

сила инерции сравнивается

или

измеряется силой натяжения

пружины.

По

существу

мы

объяснили здесь функционирование

акселерометра

точки зрения наблюдателя, связанного

движу-

щимся объектом. Представляется интересным случай, когда нейт-

ральное положение чувствительного элемента акселерометра (точка

М) совпадает

центром масс движущегося объекта.

этом случае

легко пояснить,

чем

является кажущееся ускорение (измеряемое

акселерометром)

для

движущегося объекта.

Уравнение движения центра масс объекта можно записать

виде

W - т

д' + Т, (4.7)

где

то —

масса объекта,

Т —

равнодействующая негравитацион-

ных:

сил

(сила тяги, аэродромические силы),

д' —

сила тяготе-

нии (объемная)

центре масс объекта

*). Из (4.7)

можно получить

в проекции

на ось х

выражение

о*

-g'

= -^Ц (4.8)

которое показывает,

что

измеряемое акселерометром кажущееся

ускорение обусловлено действием

сил

иегравитационного проис-

хождения. Рассмотрим теперь механизм измерения акселерометра

с точки зрения наблюдателя, связанного

абсолютным простран-

ством. Сила тяги

аэродинамические силы приложены

точкам

внешней поверхности движущегося объекта. Если

под

воздейст-

вием этих

сил

центр масс объекта движется

определенным уско-

рением,

то с

таким ускорением,

по

крайней мере

поступательном

движении, будут перемещаться

все

внутренние частицы тела.

По

закону Ньютона

ко

всем материальным частицам должна быть

приложена соответствующая сила, пропорциональная этому уско-

рению.

Эти

силы возникают через деформацию элементов конст-

рукции движущегося тела.

частности, чувствительный элемент

акселерометра будет двигаться

надлежащим ускорением

под

воздействием силы

от

деформации пружины.

Но эта

сила

как раз и

является измерительным элементом прибора. Силы тяготения

являются объемпыми силами,

они

непосредственно приложены

каждой материальной частице движущегося тела

сообщают

ей

*) Здесь предполагается,

что в

объеме тела гравитационное поле одно-

родно.

!2G

ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПНЕРТПТЛЛЬНЬТХ СИСТЕМ [ГЛ. IV

одно и то же ускорение (по крайней мере в однородном гравита-

ционном поле), поэтому при свободном «падении», т. е. при движе-

нии только иод воздействием гравитационных сил, движущееся

тело не деформируется. При свободном «падении» измерительная

пружина не деформируется и выходная величина акселерометра

будет равна нулю. Данная интерпретация может оказаться весьма

полезной, она во многих случаях может предохранить от возмож-

ных ошибок.

Вернемся к вопросу о представлении выходной величины аксе-

лерометра. С физической стороны эта величина зависит от выбора

устройства для снятия показаний. Однако для общих рассуждений

нам удобно не связывать себя с конкретным выполнением такого

устройства, а просто согласовать выходную и входную величины

акселерометра но размерности.

С учетом (4.4) приведем (4.6) к виду

— — х =

—

v\x = W

- g'

. (4.9)

Величину, стоящую в (4.9) слева (имеющую размерность ускоре-

ния),

обозначим через а

*) и будем ее считать выходом акселе-

рометра. Если, далее, заметить, что W

— g'

= а

, то (4.9) можно

окончательно записать в форме

= а

(4.10)

Зависимость

(4.10)

можно рассматривать как статическую характе-

ристику прибора, ее можно получить при надлежащей обработке

экспериментальных данных.

4.1.2.

Условия квазистатического измерения. Акселерометра

относятся к классу регистрирующих приборов, задача которых

состоит в том, чтобы в процессе измерения их выходная величина

с минимальным динамическим и масштабным искажениями повто-

ряла изменяющуюся во времени входную величину, подлежащую

измерению, т. е. выход прибора должен как бы статически подсле-

живать за изменяющимся входом (см.

(4.6)).

Условия такого

квазистатического измерения являются общими для всех регистри-

рующих приборов, движение чувствительного элемента которых

описывается уравнением второго порядка вида

(4.5).

Эта задача

была решена А. Н. Крыловым.

Приведем основной результат. В общем виде качественное

изменение измеряемой величины а

во времени представляется

кривой на рис. 4.2; сначала измеряемая величина увеличивается

от нуля до некоторого максимума, а затем уменьшается от этого

*) Здесь и в дальнейшем мы приборные значения, приведенные к раз-

мерности измеряемых величин, будем обозначать той же буквой, но с «вол-

ной» наверху.

§ 4.1]

ЛИНЕЙНЫЙ ОСЕВОЙ АКСЕЛЕРОМЕТР

127

максимума до нуля. Нулевые значения а

соответствуют, напри-

мер,

мгновениям включения и выключения двигательной установки

или, например, мгновениям, когда сила тяги двигателя уравнове-

шивается силами сопротивления среды (аэродинамические силы

сопротивления для самолета). Тогда можно считать, что измерение

производи тся в квазистатическом режиме, если период собственных

колебаний чувствительного элемента прибора Т

= 2 n/v

будет

значительно меньше некоторого характеристического времени,

определяющего скорость увеличения

или уменьшения измеряемой величи-

ны.

Если изменение измеряемой ве-

личины а

происходит по гармони-

ческому закону а

— а

sin nt, то роль

такого характеристического времени

играе

период гармонического коле-

бания Т = 2 п/п. Период Т

собст-

венных колебаний чувствительного р

с. 4.2. Кривая изменения

элемента прибора имеет порядок, проекции кажущегося ускоре-

равный 0,01 с. В дальнейшем мы

ния на

измерительную ось ак-

будем считать, что указанпое выше селерометра.

условие выполняется, измерение ка-

жущегося ускорения акселерометр производит в квазистатичес-

ком режиме и связь между а

и а

определяется уравнением

(4.10).

Это уравнение определяет условие идеального измерения

, так как выход акселерометра а

в этом случае без каких-либо

масштабных искажений измеряет входную величину а

в любом

интервале ее изменения. Если по оси абсцисс откладывать величи-

ну а

, а по оси ординат — величину а

, то геометрически статиче-

ская характеристика прибора, определяемая зависимостью

(4.10),

изображается прямой, выходящей из начала координат и накло-

ненной под углом 45° к оси а

. Такой прямой изображается идеаль-

ная статическая характеристика акселерометра. В общем случае

статическая характеристика представляется нелинейной зависи-

мостью

я*

= / (а

) + ба

(4.11)

где f (а

) — нелинейная функция, монотонно увеличивающаяся

вместе с а

и удовлетворяющая условию / (0) = 0, величина Ьа

определяет так называемое смещение нуля акселерометра.

Смещение нуля акселерометра 6а

определяется рядом физиче-

ских причин. Так, например, по схеме прибора, изображенной на

рис.

4.1, можно нарисовать такую картину. Пусть правая и левая

пружипы установлены с предварительным натягом так, что в

положении равновесия (нейтральное положение) центр масс

чувствительного элемента находится в точке М„ и устройство для

снятия показаний отрегулировано таким образом, что его пулевая

ЧУВСТВИТЕЛЬНЬШ ЭЛЕМЕНТЫ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

(ГЛ. IV

точка соответствует указанному нейтральному положению чувст-

вительного элемента. Изменение условий работы прибора

окружающей среде может привести, например,

неравномерному

распределению температуры

объеме корпуса прибора,

что в

свою

очередь может привести

неодинаковому изменению

сил

предвари-

тельного натяга правой

левой пружин;

это

приведет

перемеще-

нию нейтрального положения чувствительного элемента прибора

из точки

Мо в

некоторую другую точку

М. В

этом случае устройст-

во

для

снятия показаний выдает сигнал, который, будучи приведен

к размерности ускорения, будет представлять собой сдвиг нуля

акселерометра

Ьа

Такой

же

эффект может произойти также

в том

случае, если

процессе работы прибора собьется отрегулирован-

ная заранее нулевая точка устройства

для

снятия показаний.

Это

может произойти, например,

при

нестабильности напряжения

или

частоты питающего тока, нестабильности электрических

магнит-

ных параметров элементов прибора

и от

других причин. Более

подробпое рассмотрение этого вопроса связано

необходимостью

рассмотрения конкретных схем акселерометров. Такой вопрос

выходит

за

рамки данной книги.

Величина

6а

показывает,

что

выходная величина

может

отличаться

от

нуля даже

в том

случае, когда

= 0.

Уравпение

(4.11)

удобно преобразовать

виду

= h

+ бя

(4.12)

введя величину

£г-

= К,

(4.13)

которую будем называть масштабным коэффициентом.

Безразмерный масштабный коэффициент

равняется тангенсу

угла наклона прямой, идущей

из

начала координат

текущую

точку нелинейной статической характеристики, которая соответ-

ствует текущему значению нелинейной функции

/ (а

). Для

линей-

ной характеристики

= const он

определяет угловой коэффици-

ент прямой. Идеальное значение этого коэффициента равняется

Удобно представлять

виде

= 1 + 6А

Д1

(4.14)

где

будем называть погрешностью масштабного коэффициента.

Из

(4.12)

следует,

что

(4.15)

т.

е. Ыг

определяет относительную погрешность акселерометра.

Для дальнейшего изложения материала

нам

необходимо выбрать

математическую модель акселерометра.

качестве такой модели

мы будем пользоваться соотношением

(4.12)

при Ьа

~ 0, т. е.

4-1]

ЛИНЕЙНЫЙ ОСЕВОЙ АКСЕЛЕРОМЕТР

выражением

= h

-a

= (1 + 6Х) а

(4.16)

Кроме модели акселерометра

(4.16)

нам

будет нужна также мате-

матическая модель (уравнение) ошибок акселерометра. Вводя

обозначения

Аа

= а

— а

(4.17)

для погрешности акселерометра

используя

(4.12)

(4.14),

полу-

чим

для

математической модели (уравнения) ошибок выражения

Аа

—

$К

+ Sa

(4.18)

В правой части уравнения ошибок акселерометра

(4.18)

величины

и ба

будем называть входными ошибками акселерометра,

величину

Аа

—

выходной ошибкой, причем

дальнейшем знаком

Д будем обозначать выходные ошибки

как

самой инерциальной

системы,

так и

различных приборов, входящих

в ее

состав,

зна-

ком

6 —

входные ошибки.

Во

всех случаях входные ошибки будут

играть роль внешних возмущений, действующих

на

прибор

или

на систему, входные ошибки будут считаться известными величи-

нами

и их

Изменение

во

времени будет также известно.

Так,

напри-

мер,

8Ав и 6Й

могут быть известными постоянными величинами,

случайными величинами

известными числовыми характеристика-

ми (математическое ожидание

дисперсия), определенными (детер-

минированными) функциями времени, случайными процессами

известными статистическими характеристиками (корреляционная

функция)

ит. д.;

выходные ошибки будут находиться

из

решений

соответствующих уравнений ошибок.

Для

акселерометра

оно

зада-

ется

конечном виде

(4.18).

Заметим,

что в

случае, когда

Ыь

является нелинейной функцией входного сигнала

величина

ошибок

t]h

и Ьа

будет зависеть

от

вибрации мест крепления

прибора. Такой эффект обусловлен широкойзвестным явлением

детектирования

при

прохождении нескольких колебаний через

нелинейный элемент.

Несколько слов скажем

терминологии. Выше

Аа

и &h

мы

называли погрешностями акселерометра

масштабного коэффици-

ента соответственно,

сейчас

—

ошибками.

метрологии точность

измерительных приборов характеризуется

их

ошибками

или по-

грешностями. Чтобы получить истинное значение измеряемой

величины, нужно

измеренной величине прибавить ошибку

или

вычесть погрешность. Ошибка

погрешность измеряемой величины

имеют одинаковые численные значения

отличаются только зна-

ком. Таким образом, точность измерительных приборов можно

одинаковым основанием характеризовать ошибкой

или

погреш-

ностью,

так как для

такой характеристики играет роль только

их

численное значение. Обычно

специальной литературе

как у нас,

так

и за

рубежом принято говорить

об

ошибках инерциальных

си-

П. L.

Бромберг

130

ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

[ГЛ. IV

стем

и об их

уравнениях ошибок.

Мы в

дальнейшем будем говорить

об ошибках инерциальных систем

приборов, входящих

в их

состав,

не

заботясь

о том, чем на

самом деле

они

являются

—

ошиб-

ками

или

погрешностями.

В тех

случаях, когда

это

различие явля-

ется важным, внимательный читатель всегда сумеет разобраться

этом вопросе

сам.

Отметим,

что

уравнение ошибок акселерометров

(4.18)

можно получить

из

математической модели акселерометра

(4.16)

методом варьирования. Вариация функции берется

по тем

же правилам,

что и

взятие дифференциала. Вариации соответству-

ющих величии берутся около

их

номинальных значений. Таким

образом,

при

варьировании

(4.16) с

учетом принятых обозначений

для входных

выходных ошибок получим

До*

+ &а

. (4.19)

Так

как h* = 1, то это

выражение совпадает

уравнением ошибок

(4.18).

Методом варьирования

мы

будем пользоваться

дальней-

шем,

так как в

более сложных случаях,

как,

например,

при

выводе уравнений ошибок инерци-

альной системы, метод варьиро-

вания позволяет более просто

быстро получить конечный

ре-

зультат.

В заключение отметим,

что на

практике большое распростране-

ние получили однокомпонентные

маятниковые акселерометры. Чув-

ствительным элементом такого

акселерометра является плоский

маятник. Отклонению чувстви-

тельного элемента

от его

нейт-

рального положения препятствует

момент

сил

натяжения пружин,

который пропорционален углу отклонения чувствительного эле-

мента. Схема такого акселерометра представлена

па рис. 4.3. При

этом

на рис. 4.3

демпфирующее устройство

устройство

для

снятия

показания прибора

не

показаны.

точке

находится центр масс

маятника. Маятниковый акселерометр также измеряет проекции

вектора кажущегося ускорения

на

свою измерительную

ось,

кото-

рая совпадает

перпендикуляром

плечу маятника

нейтральном

положении чувствительного элемента

(ось х на рис. 4.3).

Особен-

ность маятникового акселерометра состоит

в том, что

результат

измерения проекции

зависит

от

наличия

или

отсутствия соответ-

ствующей проекции вектора кажущегося ускорепия

на ось

пере-

крестной связи

(ось z на рис. 4.3). Для

уменьшения влияния

перекрестной связи

до

приемлемой величины угол отклонения

чувствительного элемента

от

нейтрального положения (угол

р на

Рис.

4.3.

Маятниковый акселеро¬

метр.

4.Ц

ЛИНЕЙНЫЙ ОСЕВОЙ АКСЕЛЕРОМЕТР

131

рис.

4.3)

должен быть сведен

до

достаточно малой величины

своем

рабочем диапазоне измерения проекции

Если

при

этом период

собственных колебаний чувствительного элемента маятникового

акселерометра выбран также достаточно малым,

то в

качестве

его

математической модели

уравнений ошибок можно использовать

выражения

(4.16) и (4.18)

соответственно.

Мы

будем

так же

посту-

пать

дальнейшем

для

однокомпонеитного акселерометра

неза-

висимости

от его

принципиальной схемы.

4.1.3.

Измерение вектора кажущегося ускорения.

косоуголь-

ной системе координат вектор кажущегося ускорения

можно

определить через ковариантные

, а

контравариантные

, д

составляющие. Ковариантные составляющие получаются

ортогональным проектированием вектора

на оси

выбранной систе-

мы координат, контравариантные составляющие образуются проек-

тированием вектора

по

правилу параллелограмма.

прямоуголь-

ной системе координат

при

одинаковом выборе единиц измерения

различие между обоими видами составляющих исчезает. Ковари-

антные

коптравариантпые составляющие вектора кажущегося

ускорения имеют физический смысл,

так как они

могут быть непо-

средственно измерены.

Три

линейных однокомпонептных акселеро-

метра,

оси

чувствительности которых

не

лежат

одной плоскости,

измеряют ковариантные составляющие,

так

как

каждый

из

акселерометров изме-

ряет ортогональную проекцию вектора

кажущегося ускорения

на

свою

ось

чув-

ствительности. Контравариантные состав-

ляющие можно измерять

помощью прост-

ранственного (трехкомпонентпого) акселе-

рометра. Схема пространственного акселе-

рометра представлепа

на рис. 4.4.

Чувст-

вительный элемепт удерживается

нейт-

ральном положении

помощью трех

пружин,

оси

которых

общем случае

совпадают

ребрами некоторого косо-

угольного трехгранника.

На

чувствитель-

ный элемепт акселерометра действует

обобщенная сила инерции

— та,

произ-

вольно ориентированная

пространстве.

Эта сила уравновешивается силами натяжения трех

пар

пружин.

Каждая пара пружин будет уравновешивать составляющую силы,

которая

соответствии

принципами механики получается

проектированием силы

— та по

правилу параллелограмма

па оси

этих пружин.

Мы

здесь предполагаем,

что

деформации пружин

невелики, вследствие чего взаимное расположение линий действия

сил натяжения пружин практически

пе

изменяется

процессе

измерений. После погашения собственных колебаний чувствитель-

Рис.

4.4.

Схема прост-

ранственного акселеро-

метра.

132

ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

1ГЛ. IV

ного элемента силы натяжения пружин окажутся пропорциональ-

ными контравариаптным составляющим кажущегося ускорения.

Естественно,

приборе должны быть предусмотрены демпфиру-

ющее устройство

устройство

для

съема показаний.

В трехкомпопентпых акселерометрах могут быть использованы

современные техпические средства

для

создания центрирующих

квазиупругих

сил,

например, посредством применения электро-

магнитных

электростатических пространственных подвесов.

4.2.

Интегрирующее устройство

В инерциальных системах акселерометры всегда применяются

в сочетанип

интегратором,

так как при

интегрировании надлежа-

щим образом скорректированных показаний акселерометров полу-

чаются соответствующие компоненты скорости объекта. Интегра-

тор

не

является, подобно акселерометру, чувствительным элемен-

том инерциальной системы,

он

является частью вычислительного

устройства, причем

его

непременной составной частью. Рассмот-

рим процесс интегрирования

па

примере получения проекции

относительной скорости

на ось х — v

; эта

величина получается

при интегрировании

ее

производной

по

времени

Величина

извлекается

из

выходного сигнала

акселерометра. Процесс

интегрирования

идеальном случае описывается выражением

= v

, (4.20)

где

—

выходная величина интегратора, приведенная

размер-

ности скорости. Иптегрируя

(4.20) по

времени

пределах

от 0 до

£, получим выражение

*«

(*) - (0) = v

(t) - v

(0). (4.21)

Если

в (4.21)

положить

v(0) =М0), (4-22)

то получим

(t) = v

(t). (4.23)

Условие

(4.22)

показывает,

что к

моменту включения иперциальной

системы

мгновение времени

г = 0

нужно, чтобы

на

выходе инте-

гратора была установлена проекция скорости

(0),

соответствую-

щая этому мгновению. Установку значения

(0) на

выходе инте-

гратора,

т. е.

выполнение условия

(4.22),

называют начальной

вы-

ставкой интегратора, которая является составной частью началь-

ной выставки инерциальной системы.

Величина

(0),

устанавливаемая

на

выходе интегратора перед

включением системы, определяется

из

показания какого-нибудь

внешнего относительно инерциальной системы источника навига-

ционной информации.

4.8]

ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ

УСТРОЙСТВО

133

В правой части уравнения

(4.20),

определяющего функциони-

рование идеального интегратора, фигурирует величина

. Эта

величина

не

является физическим сигналом, способным управлять

интегрирующим устройством.

составе инерциальной системы

нет

прибора, измеряющего

эту

величину. Величина

определяется

из следующих соображений.

выражение

для а

входит

качестве

слагаемого

Если разрешить такое выражение относительно

то получим выражение вида

- а

+ В

(4.24)

(см., например,

(5.3));

здесь

—

кинематическая величина,

зависящая

от

координат местоположения, компонент скорости,

проекций абсолютной угловой скорости опорного трехгранника,

измеряется акселерометром. Расчетное значение этой величины

определяется вычислителем инерциальной системы

преобра-

зуется

на его

выходе

надлежащий физический сигнал, способный

управлять интегрирующим устройством.

учетом вытеск аз энного

уравнения интегратора первой ступени будем записывать

виде

м.

= h

(й

+ В

). (4.25)

Выходы акселерометра

вычислителя

и В

отличаются

от

своих

идеальных значений

и В

, а

масштабный коэффициент

/г

отли-

чается

от

своего номинального зпачепия

= 1,

поэтому интегри-

рование осуществляется

ошибкой, которая определяется

из

урав-

нения ошибок. Уравпепие ошибок получается варьированием

(4.25)

около истинных

номинальных значений входящих туда

величин.

Так,

будем иметь

Д4

= К (До* + АВ

) + (а

+ В

) (4.26)

или, учитывая,

что h% = 1,

перепишем

(4.26) в

виде

= (Аа

+ АВ

) -4- (а

+ В

) б/г

+ 6v

. (4.27)

Полученное выражение

(4.27)

является уравнением ошибок инте-

гратора первой ступени канала

х. Для

других каналов уравнения

ошибок получаются подобным образом.

правую часть

(4.27) мы

добавили величину

которую будем называть дрейфом нуля

интегратора;

характеризует внутренние свойства интегриру-

ющего устройства.

В дальнейшем

качестве математической модели

уравнения

ошибок интеграторов, используемых

схемах инерциальных

си-

стем, будем пользоваться соответственно выражениями

(4.24) и

(1.27)

вне

зависимости

от

принципиальных схем интеграторов.

Принципиальная схема интеграторов

работе

не

рассматривается.

134

ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

(ГЛ. IV

4.3.

Однокомпонентный гироскопический измеритель

абсолютной угловой скорости

Прибор представляет собой астатический гироскоп

двумя

степенями свободы, схема которого изображена

на рис. 4.5.

Кожух

гироскопа

вращающимся внутри ротором (собственно гироско-

пом) может поворачиваться вокруг

оси у

относительно корпуса

прибора. Вращению кожуха противодействуют момент

от сил

натя-

жения пружины

момент

сил от

демпфирующего устройства.

Демпфирующее устройство

на ри-

сунке

не

показано. Выходом при-

бора является угол

поворота

кожуха гироскопа вокруг

оси у,

преобразованный датчиком угла

в надлежащую физическую вели-

чину. Угол

отсчитывается

от

ней-

трального положения,

котором

момент

от сил

натяжения пружи-

ны равняется нулю.

Ось х,

пер-

пендикулярная

оси

кожуха

и оси

ротора

(ось z при р = 0) *), яв-

ляется измерительной осью при-

бора,

а ось z —

осью перекрест-

ной связи. Очевидно,

оси х и z

жест-

ко связаны

корпусом прибора.

Можно показать,

что

прибор

из-

меряет проекцию

вектора

о>

абсолютной угловой скорости

на

измерительную

ось

прибора. Если

период собственных колебаний подвижной части прибора доста-

точно

мал по

отношению

характеристическому времени измене-

ния величины

угол

достаточно

мал во

всем рабочем диапа-

зоне изменения

Ж)

то

выходная величина гироизмерителя

приведенная

размерности угловой скорости, будет определяться

выражением

5а

= К'

Ых-

(4.28)

Выражение

(4.28)

является математической моделью гироизмери-

теля абсолютной угловой скорости. Номинальное значение, мас-

штабного коэффициента

должно равняться единице,

т.е. h* = 1.

При варьировании равенства

(4.28)

получим уравнение ошибок

гироизмерителя, которое будем записывать

виде

Рис.

4.5.

Схема однокомпонент-

ного гироизмерителя абсолютной

угловой скорости.

(4.29)

Ось х',

перпендикулярная

оси

кожуха

и оси

ротора

при

любом

р"

является осью чувствительности гироскопа

двумя степенями свободы.

ГИРО СТАБИЛИЗИРОВАННЫЕ ПЛАТФОРМЫ

Величина

$&.

называется смещением нуля гироизмерителя

или его

собственным дрейфом вокруг измерительной

оси, a bh

—

ошибкой

масштабного коэффициента

Моделями

(4.28), (4.29)

будем пользоваться

дальнейшем

не-

зависимо

от

принципиальной схемы прибора. Принципиальные

схемы прибора

методы технической реализации

работе

не

рас-

сматриваются.

4.4.

Гиростабилизировэнные платформы

Для стабилизации акселерометров

пространстве используется

гироплатформа, которая материализует опорную систему коорди-

нат

на

борту объекта.

Гироплатформы имеют

по

крайней мере

три

вращательные сте-

пени свободы относительно объекта, которые

обеспечивают возмож-

ность сохранить платформе неизменное положение

пространстве

при изменении угловой ориентации объекта. Гироплатформы

бы-

вают двух типов:

одних используются

три

гироскопа

двумя

степенями свободы,

других

— два

гироскопа

тремя степенями

свободы. Степени сво'боды определяются относительно самой плат-

формы.

первом случае гироскопы работают

режиме силовой

стабилизации,

а при

малых значениях собственного момента

в режиме индикаторно-силовой стабилизации,

во

втором случае

они работают

индикаторном режиме.

Все необходимые математические модели выведем

на

примере

гироплатформы

индикаторно-силовой стабилизацией, получив-

шей весьма широкое распространение. Схема такой гироплатформы

представлена

на рис. 4.6.

Стабилизируемый элемент (собственно платформа)

установ-

ленными

на ней

гироскопами

акселерометрами подвешен

систе-

ме кардановых колец, которые обеспечивают

ему три

степени сво-

боды. Такая схема удобна

для

материализации горизонтальных

трехгранников,

которых одна

ось

направлена вдоль местной

вертикали того

или

иного вида,

основным режимом движения

объекта является крейсерский,

т. е.

режим горизонтального движе-

ния

постоянной скоростью вдоль заданной траектории. Одна

ось

стабилизированного элемента

(ось z

)

будет направлена

по

местной

вертикали,

остальные

оси

кардановых колец будут находиться

вблизи плоскости горизонта.

На

осях кардановых колец установ-

лены разгрузочные двигатели, которые

предназначены

для

парирования возмущающих моментов внешних

сил,

приложенных

к платформе.

На платформе установлены

два

гироскопа

вертикальными

осями прецессии

(оси

кожухов)

один

горизонтальной осью.

Первые

два

гироскопа обычно называют горизонтальными, тре-

тий

—

азимутальным;

на

осях прецессии гироскопод монтируются