Бромберг П.В. Теория инерциальных систем навигации

Подождите немного. Документ загружается.

276

УРАВНЕНИЯ ОШИБОК

[ГЛ.

По найденному решению

изображениях

и при

заданных пра-

вых частях можно построить решение

оригиналах. Здесь

нам

важно было установить

тот

факт,

что

инерциальная система ана-

литического типа неустойчива. Таким

же

свойством обладала

по-

луаналитическая инерциальная система

тремя акселерометрами.

Во втором случае, когда

для

формирования компенсирующих

сигналов гравитационного ускорения частично используется внеш-

няя информация,

мы

имеем

три

изолированных уравнения ошибок

второго порядка

(6.241).

Такая система удовлетворяет условиям

обыкновенной устойчивости. Собственные незатухающие колеба-

ния

такой системе происходят

частотой Шулера

v' для

грави-

тационного поля Земли. Можно построить решение уравнений

ошибок

(6.241).

Ввиду симметрии уравнений

(6.241)

рассмотрим

решение только одного нового уравнения.

Уравнение

изображениях, соответствующее первому урав-

нению

(6.241),

имеет

вид

(£

+ v'

(S) = AV

(0)+aS

(0) +

S&UO)

+ efg (S). (6.250)

Здесь

мы

использовали первую формулу

(6.245) для

определения

начального значения Д|

(0),

Правая часть

бТ^

определяется первой формулой

(6.242)

с учетом

(6.232) и (6.234), ее

можно представить

развернутом

виде

И?

= Ш +

3V"

А б/г +

Са

- + 6а

1а

+ 6?

1а

. (6.251)

На неподвижном

абсолютном пространстве основании имеем

<4i

—

£пд =

con

и a

—g'i

const,

углы

уп

и у

1а

нахо-

дятся

из

соответствующих уравнений

(6.224). В

дальнейшем

уч-

тем только ошибки измерительных элементов инерциальной

си-

стемы: гироскопов

акселерометров. Ошибки интеграторов

и ба-

рометрического высотомера будем полагать равными нулю.

При сделанном предположении изображение входного возму-

щения fttff? можно представить

виде

бП

Ч^)-^(-чк(0)

(0))

Изображения

у^

(5)иу^

(S)

находим

из

последних формул

(6.224).

Учитывая

(6.224) и тот

факт,

что с

учетом сделанного предположе-

fi.3]

УРАВНЕНИЯ ОШИБОК СИСТЕМЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ТИНА

277

ния

6£

(0) = 0,

представим изображение искомого решения

виде

»ttj£j

. (6.253)

Полученное выражение

для

изображения

Д£„ (5)

позволяет опре-

делить ошибку

Ala{t)

при

заданных входных возмущениях.

В частности,

при

постоянном дрейфе гироскопов

(ою^ —

const,

Ьщ = const) и

постоянном эквивалентном смещении нуля

акселерометров

(Ьа

1а

= const)

получим

из (6.253)

выражение

Д!<\

(0)

Д£а(0

—7—

sin

v'i

+ Д1в (0)cos v i +

*'„

Yt <°> + *£ Y

(0))

_ !!»_!«

&a Лд

(1 -

cos

v'f)

^Ч

+ ^%> л _

sin л) + (1

cos

(6.254)

Структура ошибок

ДЯ(г) и ДЕ

(f) от

дрейфа гироплатформы

6Ъ

в выражении

(6.55) и 6ю

, 6©^ в

выражении

(6.254)

одинакова,

поэтому

точностью

до

постоянного множителя можно пользо-

ваться выражением

(6.70) для

дисперсии ошибки

(t) при

одних

тех же

статистических характеристиках входного возмущения.

Для третьего случая, когда сигналы, комиепсирующие грави-

тационные ускорения, формируются программным способом, урав-

нения ошибок имеют

вид (6.243).

Рассмотрим опять только первое

уравнение

(6.243).

Соответствующее уравнение

изображениях

можно представить

форме

(S) =

Д7

(0)

(0) + SM

(0) + bVf

(S). (6.255)

На основании формул

(6.236) и (6.232)

правая часть 6Pj£, опре-

деляемая формулой

(6.244),

может быть представлена

разверну-

том виде:

61\

(«ЬгУ

+ 6g'L + ОпЛ, - Ч

У% + ввы + o*V (6-256)

Тогда

при

сделанных выше предположениях изображение ошибки

*) Изображение константы равняется этой константе, поделенной

на S.

278

УРАВНЕНИЯ ОШИБОК

[ГЛ. VI

Д£

может быть записано

виде

ji Ь ^ .

(б.

257)

Это выражение получается

из (6.253) при у' = 0.

При бы

Па

const,

бт^

const

и ба

]а

const

из (6.257) бу-

дем иметь

ДЕЛО

Д*Ч.(0)*

+ ASa (0) 4- (- (0) +

+ 4J*. (0)) 4" + (-

°%

+ g^S.) -Т + "Г •

258

Выходная ошибка

по

координате местоположения объекта изменя-

ется

от

соответствующих входных возмущений пропорционально

первым степеням времени

t. Это

получается потому,

что

интеграто-

ры обеих ступеней работают

по

разомкнутой схеме.

Во

втором слу-

чае уравнения ошибок

(6.233) и (6.237)

могут быть истолкованы

как уравнения движения двух последовательно включенных

ин-

тегрирующих звеньев, охваченных жесткой обратной связью.

Вы-

ражение

(6.258)

позволяет сделать вывод

неустойчивости инер-

циальной системы аналитического типа

случае программного

формирования компенсирующих сигналов.

этом случае инер-

циальная система может быть использована

для

объектов

отно-

сительно малым временем движения. Интересно отметить: инер-

циальная система, использующая информацию

от

барометричес-

кого высотомера,

на

малых интервалах времени ведет себя анало-

гичным образом. Если интервал времени

не

превышает

8—10 мин,

то

выражении

(6.254)

можно приблизительно положить

stov't = v'f, 1-cosy'r^i^l

- и

(!_4-

*nvVU4^

Но тогда

(6.254)

приобретает

вид

выражения

(6.258).

На указанном интервале времени, примерно равном

0,2

7V(7V

84,4 мин при h = 0),

обратная связь

не

успевает прояв-

лять свое стабилизирующее свойство. Таким образом,

на

указан-

ном интервале времени инерциальные системы второго

третьего

типа ведут себя примерно одинаково. Формула

(6. 258) и

опреде-

ляет выходную ошибку системы A£

(t)

при

постоянных входных

возмущениях. Этой формулой можно пользоваться

для

определе-

ния математического ожидания MA%Jt)

дисперсии DA%

(t)

слу-

чае,

когда входные возмущения являются случайными величина-

ми

известными числовыми характеристиками

(см. п. 6.1.3).

Рас-

смотрим здесь статистическую задачу

по

определению дисперсии

6.3]

УРАВНЕНИЯ ОШИБОК СИСТЕМЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ТИПА

27!)

ошибки Д£„(0 в?ри условии,

что за

входное возмущение принимает-

ся дрейф гироплатформы. Будем считать,

что 6to,,

(/) и 6w

(t),

характеризующие дрейф гироплатформы, являются стационарным

случайным процессом

корреляционной функцией

(6.67).

Будем

считать,

что мы

имеем дело

некоррелированными случайными

процессами

8ю^

(*)и6ю^

(t).

Вследствие этого можно ограничиться

вычислением дисперсии ошибки

от

какого-нибудь одного возмуще-

ния, например

6ю« (*) (см- (6.60)).

Связь между изображениями

6ы

(S)

входного возмущения

№

(S)

выходной ошибки системы определяется

из (6.257) в

виде

Д|(5)

-^бш

Лл

(5)

)

(6.259)

где

g\ —

const.

Определение дисперсии ошибки

Д|

будем вести

по

формуле

(6.66)

данном случае переходная импульсная функция

h(t)

име¬

ет своим изображением-^-,

поэтому

h{t)

I^.tK (6.260)

Как

уже

указывалось выше,

К1

их

(т

—

)

определяется функцией

(6.67)

которой

есть дисперсия Дбм

Пи

(f)

рассматриваемого

входного возмущения.

Подставляя

в (6.66)

соответствующие выражения

из

(Ь.Ь7)

(6.260) и

выполняя интегрирование, получим выражение*)

ОД|а

(i) = +

2fl<

4- 2) + ^ - -

•

(6.261)

По прошествии некоторого промежутка времени доминирующим

слагаемым будет

$Ч\

поэтому средиеквадратическая ошибка

будет приближенно пропорциональна

При входном стационарном случайном возмущении выходная

ошибка будет описываться нестационарной случайной функцией

это

естественно,

так как

рассматриваемая инерциальная систе-

ма является неустойчивой.

6.3.3.

Преобразование ошибок

географическую систему

ко-

ординат. Координаты

|a, т|

, la

являются промежуточными

или,

как

их

называли

в гл. V,

первичными координатами местоположе-

ния объекта. Первичные координаты получаются

из

решений

со-

ответствующих дифференциальных уравнений. Вторичными коор-

При

интегрировании рекомендуется просмотреть формулы

(С.08)

и (6.70).

280

УРАВНЕНИЯ ОШИБОК

[ГЛ.

динатами

для

данной системы выбраны географические координа-

ты

(р, X,

которые весьма удобны

для

практического использова-

ния.

Вторичные координаты

<p, X

проекции скорости

на оси х, у, z

географического трехгранника

углы

ф, ft, у,

определяющие ориен-

тацию объекта, находятся

по

конечным формулам, приведенным

п.

5.3.1.

При

анализе ошибок можно

(5.52)

положить

а — О

и считать

la = R cos

cos Х

, г\

— R cos

ср

sin Х

, la =

Лзшф,

(6.262)

где

= г - /g + rfi + Й.

(6.263)

Ошибки

АХ

, Дф, Ah = AR

получаются варьировапием равенств

(5.54)

равенства

(6.263),

причем

при

варьировании первого

ра-

венства

(5.54)

будем полагать

а = б.

В результате получим выражения

АХ

cos

Дф

cos

(Е

Д5«

(6.264)

Если

полученные выражения подставить

, т)

, ^ из

(6.262),

то после несложных преобразований получим

COS

АХ

= - Ala sin Х

Дп

COS л,,,

Дф = —

Д£

sin

cos

А,

— Дт|

sin

sin Х

+ Д£

cos

ф,

Д&

= Д|

cos

cos Х

Дг|

Г1

cos

sin Х

-\-

Д£

sin ф.

(6.265)

Ошибка

АХ в

долготе будет определяться

соответствии

(5.54а)

выражением

АХ

= АХ

- U At,

(6.266)

где

At —

возможная ошибка хода временного механизма.

Выражения

(6.265)

матричной форме имеют

вид

—

&inX

cosl

ГД£

—

алфcos'Xq

—

sin

Яд соаф

Ац

(6.267)

)зф

cos Х

cos

sin

<р]

\_А£,

Это матричное преобразование имеет

вид

(5.64).

Следовательно,

можно сказать,

что

(6.267)

дает возможность

по

проекциям

Д£

Дт|

Д^а

вектора ошибки

определении местоположения объекта

на

оси la, ц

, £

абсолютной системы координат найти проекции

cos

АХ

Дф

6.3]

УРАВНЕНИЯ ОШИБОК СИСТЕМЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ТИПА

28]

Да;,

Ay, Az

того

же

вектора ошибки

па оси х, у, z

географической

системы координат. Отсюда

Ах

= R cos ф АХ

, Ay R Дф, Az = Ah.

(6.268)

Равенства

(6.268)

можно было

бы

установить самостоятельно.

Тогда ошибки ДА,,,,

Дф, Ah

можно было

бы

сразу определить пре-

образованием координат

(5.64).

Однако непосредственное варьи-

рование соответствующих формул может более надежно предо-

хранить

от

возможных ошибок.

Так,

например,

для

второго

случая, когда используется информация

от

барометрического

высотомера, преобразование

(6.267)

не

приводит

цели,

так как

вариация

определяется ошибкой высотомера

6h, а не

ошибками

в вычислении координат

|„,

Ошибки

, AV

абсолютной скорости

проекциях

на

оси х, у, z

получаются также

по

формулам преобразования

координат

виде

(см.

(5.55))

= —

Attain

AF^cosAa,

- — Д7|

81пфсозл.

—

ДК^sinфsinХ

ДУ^совф,

(6.269)

= &V\ cos

фсов^а

Д^Пд

cos ф sin Х

AFfSin

ф. J

Соответствующие ошибки

относительной скорости имеют

вид

(см.

(5.56))

= AV

—

(Д&,

cos Х

ArjoSin

) U,'

= AV

, Av

= AV.

(6.270)

Теперь

нам

остается найти ошибки

определении углов ориента-

ции объекта. Углы ориентации

ft, ys, фк

определяются формула-

ми

(5.59).

Обозначения, принятые

этих формулах, весьма

на-

глядны. Однако

для

дальнейшего удобней использовать общие

обозначения

для

элементов матрицы

кт

(квадратная матрица

(5.58))

записывать

(5.59)

виде

—

оз>

(я)

ein*

= cg»,

tgy

tg^--^.

(6.271)

,(33)

' "Ь Т» (за)

'кг

^кг

Здесь

Скг

есть

элемент матрицы

нг

стоящий

на

пересечении

1-й строки

и /-го

столбца.

Ошибки

Aft, Ays, Дф

определяются варьированием равенств

(6.271).

Эти

формулы можно привести

виду

Дс*Ц*

Дс

к?

sin

^к?

cos

ДО

= -^_, Ду,-

cosft

' 'S cos ft

с™

cos ф

Дс

(

а2)

sin %

ЛЧ

cVft

(6.272)

282

УРАВНЕНИЯ

ОШИБОК

[ГЛ.

(6.272) ft, уд,

три

суть значении углов,

при

которых определяют-

ся ошибки

Aft, Ays, Дф

. В

дальнейшем

ход

рассуждений будет

общим,

но

конечные формулы

мы

приведем

для

частного случая,

в котором принимается

ft = 0, ys = 0, а ф

считается произволь-

ным.

этом случае

(6.272)

будут иметь

вид

(6 273)

Дф

Дс<и>со8ф

ДеЮвтфв.

" '

По формулам

(6.272) и в

частном случае

по

формулам

(6.273)

задача нахождения ошибок

ДФ, Ays, Дфк

сводится

определению

ошибок

при

нахождении некоторых элементов матрицы

[;г

. Эта

матрица

идеальном случае определяется формулой

(5.63). В

действительности матрица

€

аТ

строится

по

расчетным значениям

Ф,

координат местоположения объекта,

первичной информа-

цией

для

вычисления элементов матрицы

С«

являются показания

датчиков углов

на

кардановых рамках гироплатформы.

По

дат-

чики могут измерять углы только между материализованными

осями, которыми

данном случае являются связанные

объектом

оси

X, Y, Z и

связанные

гироплатформой

оси t

, т]р, £р.

Поэтому

в правой части

(5.63)

нужно вместо

ка

поставить матрицу

кр

а вместо

писать

кг

, где

тильда указывает

на то, что

элементы

матрицы строятся

по

расчетным значениям исходных величин.

Матрицу

Вр

будем представлять

виде

Скр

Ка

ар

(6.274)

где

аР

= Су\, а С

ра

есть матрица преобразования опорной коор-

динатной системы

1аЦ

^а

моделирующую

ее

координатную

си-

стему

SpljpSp. Эти

системы рассогласованы

на

малые углы

yg ,

В соответствии

формулами

(3.131) — (3.133)

можно матри-

цу

ар

= С]

1а

представить

виде

ар

= Е -

Та

, (6.275)

где

Е —

единичная матрица,

а у

есть кососимметричная матри-

ца вида

Уа

= 'К

. (6.276)

-п.

Таким образом,

действительности

(5.63)

нужно представить

в виде

ОщьСцр

^•кч^'щ'^аг'

(6.2/7)

«.3] УРАВНЕНИЯ ОШИБОК СИСТЕМЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ТИПА

2S3

Варьируя

(6.277)

около значений

= у^ = у^ _. 0,

полу-

чим

ДС

1!Г

— •

ка

АС

ар

аг

-j-

Сц

АС

ат

(0.278)

причем

соответствии

с (6.275)

&С

ар

= —у

- С

учетом

(5.62)

формулу

(6.278)

перепишем

виде

АС

КГ

- С

кг

(С

ЛС

ар

аг

га

АС

ат

);

(6.279)

гак

как

АС

ар

есть кососимметричная матрица

—у

, а С

Га

Саг*

то

соответствии

общими формулами

(3.109) и (3.110)

СгаДС-дрСар

—

~Уу

Уг

Ух

Уу

—

га

Уг_

(6.280)

Матрица преобразования

Га

есть квадратная матрица

(5.64).

Развернем теперь фигурирующую

в (6.279)

матрицу

„АС

аГ

используя

для

этой цели общую формулу

(3.103).

В соответствии

принятыми

в гл. V

обозначениями матрицу

в (3.103)

следует обозначить через

аТ

, а

матрицу

Cl —

через

Гг

Таким образом,

левой части

(3.103)

стоит матрица С

Га

аГ

но Дб7

£;Г

Car&t,

поэтому, полагая h

= АХ

и ф At — Дф,

получим

из (3.103)

выражение

ДЯ

8П1ф

Д^иСОЭф"

CrabCav =

ДЯ

мПф

0 Дф (6.281)

. — &Ха

cos

ф —

Дф

С учетом

(6.280) и (6.281)

уравнение

(6.279)

можно предста-

вить

виде

0 —

—

ДА a si п

Ak„

cos ф"

ДС

КГ

= С

кг

^ + Д^а sin

0 - у

+ Дф ,

(П.282)

—

ДЯ

с cos ф

Ух

Уу

где

, у

, y

определяются

соответствии

с (5.64) и (6.278) в

виде

—

sinX

COS%

0 ~|

Гу*

—

sin^cos%

—

з!пф91пХ,

совф

(6.283)

COSфCOS?v

СОЯфвШЛд

sin ф у^

кг

есть квадратная матрица

в (5.58).

Формула

(6.282)

является общей,

т. е. она

справедлива

для

любых углов ориентации объекта

ft, ys, фк-

В частном случае

кг

получается

из (5.58) при ft = ys = 0

в виде

-cos

—

sin ф

simlV

cost,,

• (6.284)

0 0 1.

284

УРАВНЕНИЯ ОШИБОК

[ГЛ.

В этом частном случае матрицы, стоящие

правой части

(6.282),

легко перемножить.

полученной таким образом матрице

ДС

отберем элементы

ей?,

фигурирующие

(6.273).

результате

получим следующие выражения

для

ошибок

Д#,

Ays,

Дфк

ори-

ентации объекта:

Дт>

—

{(у

—

Дф)

cos

— (Уу

-г

cos

tp) sin ф

}

- —у

Ays

= —

{{Ух

—

Аф)й1П.ф„

+ (у

Д^аСОЗф)

созф

}

= —

уу,

Аф

= у

sin

ф = Vz-

(6.285)

В правой части

(6.285)

у*, уу, y

являются проекциями векторов

ошибок

положении приборного трехгранника

расчет-

ного трехгранника

xjz на оси X, Y, Z,

связанного

объектом

трехгранника

XYZ.

Первый вектор ошибок задается своими про-

екциями

, y

, yi

на оси

опорного абсолютного (инерциально-

го) трехгранника

1аУ]а£а

и он

обусловлен собственным дрейфом

гироплатформы

неточной начальной выставкой. Второй вектор

ошибок задается проекциями

—

Дф, A?v

cos

ф, АХ

sin ф (см.

п.

6.1.4)

на оси

географического трехгранника

xyz и он

обуслов-

лен ошибками Дф,

АХ

инерциальной системы

определении коор-

динат местоположения объекта.

§ 6.4.

Уравнения ошибок бесплатформенной

инерциальной системы

6.4.1.

Уравнения ошибок ориентации. Уравнения ошибок

ориентации будем составлять

для

бесплатформенпой инерциальной

системы, которая реализована

по

второму варианту алгоритма,

изложенному

п.

,5.5.1.

По

этому варианту алгоритма ориента-

ция связанного

объектом трехгранника

XYZ в

инерциальпом

пространстве устанавливается вычислением матрицы направля-

ющих косинусов

ак

Элементы этой матрицы находятся решением

системы линейных уравнений, которые

матричной форме запи-

сываются

виде

(см.

(3.106))

(6.286)

где

соответствии

(3.104)

кососимметричная матрица

о>

имеет

вид

-ш

(Оу

Шу

Компоненты

юу, о>

абсолютной угловой скорости трех-

гранника

XYZ

определяются гироизмерителями. Уравнение оши-

бок ориентации

матричной форме получается варьированием

6.41

УРАВНЕНИЯ ОШИБОК БЕСПЛАТФОРМЕННОЙ СИСТЕМЫ

285

уравнения

(6.286).

Выполняя

эту

операцию, получим

АСак

-|-

ак

Ыо

(6.288)

Кососимметричную матрицу ошибок

б(5

будем записывать

в виде

д&к

бш

зк

бш

3к

бш

8К

0 —

бш

6©

гк

(6.289)

С учетом

(4.116)

эквивалентные смещения нулей гироизмери-

телей имеют

вид

6(о

1к

—

«j6A

-j-

6tox>

(dybha

~\-

6oir.

[

(6.290)

6ю

8к

шгб^и

-f-

6coz.

В уравнении

(6.288)

элементы матриц

flK

и 6w

считаются

известными функциями времени, поэтому

(6.288)

представляют

в компактной записи систему девяти линейных неоднородных

дифференциальных уравнений первого порядка.

Из

решений

этой системы уравнений находим ошибки

определении девяти

направляющих косинусов.

При

решении такой системы следует

задать начальные условия,

т. е.

значения матрицы ошибок

АС

ак

при

t = 0, т. е.

АС

ак

(0).

Элементы Асак

(0) в

этой матрице опре-

деляют ошибки начальной выставки бесплатформенпой инер-

циальной системы. Решение матричпого дифференциального урав-

нения

(6,288)

можно свести

квадратуре.

Для этой цели сделаем замену переменных, положив

АС

ак

АВ€

ак

. (6.291)

Если подставить

(6.291)

матричное уравнение

(6.288),

то

в результате получим

АВС

ан

+ АВ (С

ак

—

С'*А)

b®

(6.292)

Но

соответствии

(6.286)

выражение, стоящее

левой части

уравнения

скобках, тождественно равно нулю. Учитывая

это

обстоятельство

умножая

обе

части уравнения

(6.292)

справа

на матрицу

С~

= С

ак

= С

ка

получим

АВ

—

ан

6<5

(6.293)

Матрицу, стоящую

правой части полученного уравнения,

с учетом общих выражений

(3.109)

(3.116)

можно представить

286

УРАВНЕНИЯ ОШИБОК

[ГЛ.

в виде кососимметричной матрицы

бО)

бШзо

— ОЩю

—

6 «за

бй)и

бсвая

бш.

'6.2941

Здесь

6ш

„, бй)

за

суть проекции вектора ошибок гироизме-

рителей

на оси |о,

Ч(!

, £,„

абсолютной (инерциальной) системы

ко-

ординат

|аПа£о'

исходном виде этот вектор задан своими проек-

циями 6<о

1К

, бсй

к, бю

зк

на оси X, У, Z

связанной системы коорди-

нат

XYZ.

Интегрируя уравнения

(6.293) и

учитывая

(6.294),

получим

AB{t)

ДС

лк

(0)С

ка

(0)+

J дй„ (6.295)

Первое слагаемое правой части

(6.295)

определяет

соответст-

вии

с (6.291)

матрицу

АВ (0).

Если

обе

части матричного урав-

нения

(6.295)

умножить справа

па

матрицу

ак

(t)

то с

учетом

(6.291)

получим решение уравнения

(6.288) в

виде

ДС

0К

(*) =

ДС

„

(0) €

(0) С

(0 + (j бш

(x)dj) С

(#). (6.296)

Нетрудно видеть,

что при t = 0 АС

ал

(t) — AC

(0).

Первое слагае-

мое правой части определяет ошибки

направляющих косинусах,

зависящие

от

ошибок

начальной выставке, второе слагаемое

—

от инструментальных ошибок гироскопических датчиков абсо-

лютной угловой скорости.

При анализе уравпений

(3.107)

указывалось,

что

достаточно

решить, например, первые

две

группы уравнений

таким обра-

зом найти направляющие косинусы осей

£„, г\

Направляющие

косинусы

оси £„

могут быть затем определены

из

векторного

ра-

венства

ч"-

Компонентами единичных векторов

§° и

.(и)

,03)

пк

)

т|п

системе координат

XYZ

являются

вв

Сак\ Caif соответственно, тогда компоненты вектора будут

определяться выражениями

.(81

(121

J-i:\)

Сов

—

CfiK

/32)

/33)

(18)-(М)

(•(lit

-С")

/»)

(11) /22) _ /12) /21)

(6.297)

Варьированием этих выражений получим

А*

/пи

/аз>

—

Ш)

Ас

—

Дс

0а)

(м)

Де»

Lag

ttK

"''«к

wilt

—

0,,

Дс

т)

—

Дс

а1)

Дс

(М)

А*8>

Дс

'У

22)

—

02)

Дг

(21)

—

Дг

(,2)

(2,)

(6.297a

S 6.4]

УРАВНЕНИЯ

ОШИБОК Г.ЕСГТЛЛТФОРМЕПНОТТ СИСТЕМЫ

287

Если третья строка матрицы

ан

находится

по

формулам

(6.297),

то

матричном равенстве

(6.296)

следует определить только

элементы первых двух строк матрицы ДС

аК

, элементы третьей

строки ДСдн будут найдены

по

формулам (6.297а).

6.4.2. Уравнения

ошибок

в определении проекций кажуще-

гося

ускорении

на оси

инерциального трехгранника.

бесплат-

форменной инерциальной системе

оси

чувствительности акселе-

рометров устанавливаются параллельно осям

X, У, Z

связанного

с объектом трехгранника

XYZ.

Поэтому

они

измеряют проекции

а-х,

ay, a,/

кажущегося ускорения

на

указанные

оси.

Вследствие

этого инструментальные ошибки акселерометров (эквивалентные

сдвиги нулей) могут быть записаны

форме

Ьа

1к

-J-

Ьа

= ОуЬН

+ Ьа

, (6.298)

-\- ba

где,

как и

прежде,

обозначает ошибку масштабного коэффи-

циента,

Ьаху

бйу, ba-z —

сдвиг нуля соответствующего акселе-

рометра.

Проекции

а^

, а^, а^

кажущегося ускорения

на оси |

, г|„,

£о инерциального трехгранника £

(

,чя£„ вычисляются

по

формуле

(5.79).

Ошибки

определении величии

, a™, at

получаются

варьированием

(5.79) с

учетом формул

(6.298).

Таким образом,

получим

(6.2Ш

Здесь

для

матрицы ДС

и|(

, определяемой

(6.296),

принято новое

обозначепие

6С

ак

Новым обозначением

мы

хотим подчеркнуть,

что для

последу-

ющих уравнений ошибок

ЬС

аК

должна рассматриваться

как

вход-

ное возмущение. Действительно, весь последующий анализ оши-

бок нужно вести

по

уравнениям предыдущего пункта, начиная

с уравнения

(6.227).

Только

уравнениях

(6.227) и во

всех после-

дующих уравнениях величины

Aa^

, До^, Да^

нужно определять

не

по

уравнениям

(6.224)—(6.226), а по

формулам

(6.299). Но

величины Ав$

Авп,

находятся

правых частях указанных

выше уравнений ошибок

поэтому рассматриваются

там как

входные возмущения.

6.4.3. Уравнения ошибок инер

шальной

системы полуанали-

тического

типа

вычислителем

направляющих

косинусов плат-

формы.

Алгоритм

такой

системы

был

рассмотрен

в п.

5.5.3.

Для

составления уравнений ошибок можно величины

опре-

—

ьс

ЙЯ

2К

Да*

28S

УРАВНЕНИЯ ОШИБОК

[ГЛ.

делить

не по

формулам

(5.83), а по

соотношениям

(0.201).

Тогда

уравнения ошибок гироплатформы, акселерометров

интеграто-

ров скорости

для

рассматриваемой системы будут точно такими,

как

в п. 2.1

настоящей главы,

т. е.

будут совпадать

уравнения-

ми

(6.205) и (6.207). Из

уравнений

(6.205) и (6.207)

были получе-

ны уравнения

(6.214). При

решении уравнений

(6.214)

получаем

углы

у» и у v,

которые определяют отклонение гироплатформы

от

"с

плоскости гравитационного горизонта. Далее,

из

третьего урав-

нения

(6.205)

простым интегрированием

—

угол

у,-,

определяю¬

щий уход гироплатформы

«азимуте»,

и,

наконец,

из

уравнений

(6.207)

простым интегрированием находим

Д<о " и Дсо ».

Послед¬

ние величины могли использоваться

для

нахождения ошибок

Дл.

Дф", А%

Во-первых, варьированием

(5.88)

получаем выра-

жения

Дф"

COS

Agco

SXc

-Ag

in?,

COS

ф"

Дс

cos

- Atf sin £

СОЙ

.<*Я

(6.300)

Ошибки

нахождении элементов

матрицы

ас

могут быть

определены

из

решения дифференциальных уравнений, которые

в матричной форме получаются варьированием

(5.89).

Таким

образом,

ЛС

0С

ДС

ис

+ С

аС

, (6.301

где кососимметричная матрица

а)

определяется формулой

(5.90).

Полученное уравнение формально совпадает

с (6.288),

поэтому

решения

(6.301) (по

аналогии

с (6.296))

можно записать

виде

(M>

(Q-AC

(0)C

(0)C«(<)

+ (J

bbi

(x)dx)C

(t).

(6.302)

В этом выражении

6<а » и боз ••

совпадают

полученными ранее

ошибками Дсо

Лоэ^».

Из

матричного уравнения нужно опреде-

лить элементы второй

третьей строк. Ошибка

элементе

определяется затем

из

выражения

Дс<?

£>Лс<?

+ AfilPcff -

с^Дсй

AcS°

cff. (6.303)

Таким образом, выражения

для

определения ошибок

Дл.

Дф",

Дх'с

найдены.

*) Предлагаем читателю сравнить

(6.272).

ПРИЛОЖЕНИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ

Сферическим треугольником называется фигура, образованная

тремя дугами больших кругов, попарно соединяющих

три

точки

на сфере

(рис. П. 1). На рис. П. 1 а, 6, с —

стороны сферического

треугольника,

А, В, С —

вершины

углы

при

вершинах сфери-

ческого треугольника,

7? —

радиус соответствующей сферы. Пло-

щадь сферического треугольника

а = R

(А + В -|- С — л).

Сфе-

рический избыток

А -г В -\- С — п = o/R

является мерой телес-

ного угла, опирающегося

на

сферический треугольник. Сумма

углов сферического треугольника больше

180°, т. е. А + В +

Суп.

Рис.

П.1.

Сферический треугольник.

Приведем основные формулы

для

сферического треугольника.

Теорема синусов:

sin

я _ sin b

Tsiir

sin

A sin В sin С

2. Теорема косинусов:

cos а = cos Ь cos с + sin Ь sin с cos А.

Теорема

пяти элементах:

sin

a cos В = —sin

cos с cos А + cos 6 sin с.

Теоремы двойственности:

sin Л cos

= sin Б cos С cos а + cos В sin С,

5. cos А =

—cos

7? cos С

-j-

sin В sin С cos a,

6. sin Л

etg*JB

— sin с ctg С — cos с cos Л.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев В. Д. Теория инерциальной навигации (автономные си-

стемы).— М.: Наука, 1966.

2. Андреев В. Д. Теория инерциальпой навигации (корректируемые

системы).— М.: Наука, 1967.

3. А п п е л ь П. Теоретическая механика. В 2 томах.— М.: Физматгиз

1960.

4. А р л е й Н., Бух Н. Введение в теорию вероятности и математичес-

кую статистику.— М.: ИЛ, 1951.

5. Белавин О. В., 3 е р о в а М. В. Современные средства радиона-

вигации.— М.: Советское радио, 1965.

В.

Бессекретный В. А., Фабрикант Е. А. Динамический

синтез систем гироскопической стабилизации.— М.: Судостроение, 1968.

7. Б л а ж к о С. Н. Курс сферической астрономии.— М.: Гостехиздат,

8. Броксмейер И. Ф. Системы инерциальной навигации.— М.: Су-

достроение, 1967.

9. Бромберг П. В. Матричные методы в теории импульсного и релей-

ного регулирования.— М.: Наука, 1967.

10. Б у л г а к о в Б. В. Прикладная теория гироскопов,— М.: Гостехиз-

дат, 1955.

11. Б у л г а к о в Б. В. Колебания.— М.: Гостехиздат, 1954.

12. Выгодский Н. Я. Дифференциальная геометрия.—М.: Гостех-

издат, 1949.

13а. Пельпор Д. С- Теория гироскопов и гиростабилизаторов.—М.:

Высшая школа, 1971.

136. Бромберг П. В., Михалев И. А., И и к и т и н Е. А.,

Бауман В. А., Балашова А. А. Гироскопические приборы

и системы. /Под ред. Д. С. Пельпора.— М.; Высшая школа, 1971.

13в.

Никитин Е, А., Шестов С. А., М а т в е е в В. А. Элементы

гироскопических приборов. /Под ред. Д. С. Пельпора.— М.: Высшая

школа, 1972.

14. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.— М.: Гостехиздат, 1953.

15. Г н е д е н к о Б. В. Курс теории вероятности.— М.: ГИТТЛ, 1950.

16. Г о р е н ш т е й н И. А., Шульиан И. А. Инерциальные навига-

ционные системы,— М.: Машиностроение, 1970.

17. Дубошин Г. Н. Теория притяжения.—М.: Физматгиз, 1961.

18. Д у б о ш и н Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы.—

М.: Наука, 1968.

19. Инерциальная навигация /Под ред. О'Доннела,— М.: Наука, 1968.

20. Инерциальная система управления /Под ред. Питмана.— М.: Воениздат,

£196.4.

21. И ш л и н с к и й А. Ю. Механика специальных гироскопических си-

стем,—

Киев: Изд-во АН УССР, 1952.

22. Италийский А. Ю. Механика гироскопических систем.— М.: АН

СССР, 1963.

ЛИТЕГАТУГА

291

23 Крылов А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях матема-

тической физики, имеющих приложение в механических вопросах. —

М.:

AH.CjCCP,

1963.

24. К у р а н т Р., Гильберт Д. Методы математической физики.—

М.: ГИТТЛ, 1933.

25. Л и и т о ы Н. Начальная выставка инерциальной системы на подвиж-

ном основании.— М.: Наука, 1971.

26а. Лурье А. И. Операционное исчисление и его приложение к задачам

механики.— М.: Гостехиздат, 1950.

266. Лурье А. И. Аналитическая механика.— М.: Физматгиз, 1961.

27. Л э и и н г Д. X., Бенин Р. Г. Случайные процессы в задачах авто-

матического управления.— М.: ИЛ, 1958.

28. М а к-К л у р К. Л. Теория инерциальной навигации.—М.: Наука,

1964.

29. М а л к и н И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний.—

М.: Гостехиздат, 1956.

30. Михайлов А. А. Курс гравиметрии в теории фигуры Земли,— М.:

Ред.

бюро ГУГК при СНК СССР, 1939.

31. Никитин Е. А., Балашова А. А. Проектирование дифферен-

цирующих и интегрирующих гироскопов и акселерометров.— М.: Маши-

ностроение, 1969.

32. Пельпор Д. С. Теория гироскопических стабилизаторов.— М.:

Машиностроение, 1965.

33. Пельпор Д. С., Колосов Ю. А., Рахтенко Е. Р. Расчет

и проектирование гироскопических стабилизаторов.— М.: Машино-

строение, 1972.

34. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к за-

дачам автоматического управления.— М.: ГИТТЛ, 1957.

35. Р аш евский П. К. Курс дифференциальной геометрии,— М.: Гос-

техиздат, 1956.

36. Рил ли У., Холлистер У., Денхард "У. Теория проектиро-

вания и испытаний гироскопов.— М.: Мир, 1972.

37. р о й т е н б е р г Я. Н. Гироскопы.— М,: Наука, 1966.

38. Селезнев В, П. Навигационные устройства.— М.: Оборошиз, 1966.

39. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.— М.: ГИТТЛ,

1938.

40. Стрелков СП. Введение в теорию колебаний.— М.: Гостехиздат,

1951.

41. Тузов Г. И. Выделение и обработка информации в допплсровскнх

системах.— М,: Советское радио, 1967.

42. Фридлендер Г. О. Инерциальные системы навигации.— М.:

Физматгиз, 1961.

43. Фридлендер Г. О., Козлов М. С- Авиационные гироскопичес-

кие приборы.— М.: Оборонгиз, 1961.

44. Эрике К. Космический полет. Т. 1.— М.: Физматгиз, 1960.

45. Э с к об а л П. Методы астродинамики. — М.: Мир, 1971.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Глава

Фигура Земли, поле силы тяжести Земли, координаты

местоположения

1.1.

Фигура Земли

координаты точек

на ее

поверхности

... 5

1.1.1.

Геоид

(5).

1.1.2.

Земной сфероид

(5).

1.1.3.

Координаты точек

на

земном сфероиде

(6).

1.1.4.

Семейство ft-эллипсоидов вращения

(7).

1.2.

Поле силы тяжести Земли

уровенные поверхности

.... И

1.2.1.

Гравитациошгое поле Земля

(11).

1.2.2.

Поле силы тяжести

(16).

1.2.3.

Уровенные поверхности поля силы тяжести

(17).

1.2.4.

Ускорения

сил тяжести

тяготения

на

Л.-эллипсоиде

(20).

1.2.5.

Аномалии силы

тяжести

уклонения вертикали

(24).

1.2.6.

Сопровождающие трехгран-

ники

(25).

1.3.

Координаты местоположения

формулы счисления

1.3.1.

Относительные геоцентрические координаты

(27).

1.3.2.

Формулы

счисления прямоугольных координат

(30).

1.3.3.

Формулы счисления гео-

графических координат

(31).

1.3.4.

Счисление гравитационных координат

(34).

1.3.5.

Счисление геоцентрических координат

(38).

1.3.6.

Счисление

аб-

солютных координат

(38).

1.3.7.

Другие модели криволинейных коорди-

нат

(41).

1.3.8.

Угловые скорости сопровождающих трехгранников

(4:1).

1.3.9.

Ортодромические системы координат

(46).

1.4.

Сферическая модель Земли

1.4.1.

Геометрические параметры модели

(57).

1.4.2.

Модели полей тяго-

тения

силы тяжести

(59).

1.4.3.

Формулы счисления

для

сферической

модели Земли

(61).

Глава

II.

Некоторые вопросы геометрии кривых

на

поверхности

2.1.

Траектории

на

поверхности

2.1.1. Общие сведения

(64). 2.1.2.

Сопровождающий траекторный трехгран-

ник

(67). 2.1.3.

Геодезический трехгранник

накопление ошибок

орие1Гтации

его

осей

азимуте

(68).

Глава

III.

Ускорение

и его

представление

различных коорди-

натных системах

3.1.

Инерциальная система координат

3.1.1. Барицентрическая инерциальная система координат

(71).

3.1.2.Дви-

жение

геоцентрической системе координат

(72).

3.2.

Абсолютное ускорение

3.2.1. Выражения проекций вектора

абсолютного ускорения

на оси

произвольно ориентированной системы координат

(78). 3.2.2.

Выражения

проекций вектора

абсолютного ускорения

на оси

координат через про-

екции земной относительной скорости

v на те же оси (80).

ОГЛАВЛЕНИЕ

3.3.

Кажущееся ускорение

некоторых координатных системах

3.3.1. Инерциальная система координат

(83). 3.3.2.

Экваториальная

система координат, жестко связанная

Землей

(84). 3.3.3.

Горизонталь-

ные системы координат

(85). 3.3.4.

Координатные системны сферической

модели Земли

(№).

3.4.

Ускорение

косоугольных системах координат

3.4.1. Контравариантные составляющие

(!)8).

3.4.2.

Ковариантные состав-

ляющие (ЮЗ)).

3.4.3.

Некоторые свойства матрицы преобразования

(106).

3.5.

Преобразование координатных систем

3.5.1. Преобразование координатных систем поворотом

(111).

3.5.2.

Малые

рассогласования координатных систем

(117).

3.5.3.

Составляющие некото-

рых векторов

моделирующей системе координат

(lift).

Глава

IV.

Чувствительные элементы инерциальных систем

. .

4.1.

Линейный осевой акселерометр

4.1.1. Принцип действия

уравнения движения

(122).

4.1.2.

Условия

квазистатического измерения

(1116). 4.1.3.

Измерение вектора кажуще-

гося ускорения

(131).

4.2.

Интегрирующее устройство

4.3.

Однокомпонентный гироскопический измеритель абсолютной

угловой скорости

4.4.

Гиростабилизировапные платформы

Глава

Алгоритмы инерциальных систем навигации

5.1.

Классификация инерциальных систем

. . .

5.1.1. Общие положения

(140).

5.1.2.

Классификация инерциальных

систем

(141).

5.2.

Инерциальные системы полуаналитического типа

5.2.1. Инерциальная система

географическим навигационным

гео-

графическим опорным трехгранниками

(143).

5.2.2.

Инерциальная систе-

ма

географическим навигационным

азимутально-свободным опорным

трехгранниками

(145).

5.2.3.

Инерциальная система

ортодромическим

навигационным

ортодромическим опорным трехграттиками

(156).

5.2.4.

Инерциальная система

ортодромическим Навигационным

азимуталь-

но-свободным опорным трехгранниками

(162).

5.2.5.

Обобщенный алго-

ритм инерциальной системы

(166).

5.3.

Инерциальные системы аналитического типа

5.4.

Бесплатформенные инерциальные системы

5.4.1. Инерциальная система

одНокомпонентными гироизмерителями

абсолютной угловой скорости

(185).

5.4.2.

Инерциальная система

со

сво-

бодными гироскопами

(188).

5.5.

Полуаналитическая инерциальная система

непосредствен-

ным определением ориентации опорного трехгранника

. . .

Глава

VI.

Уравнения ошибок

6.1.

Система

ориентацией опорного трехгранника

по

географи-

ческой вертикали

6.1.1. Общие положения (1Р4).

6.1.2.

Уравнения ошибок инерциальной сис-

темы

географическими опорным

навигационным трехгранниками

(1%).

6.1.3.

Анализ уравнений ошибок

для

неподвижного объекта, находяще-

гося

на

знваторе

(208). 6.1.4.

Гасщепление уравнений ошибок

(221).

6.1.5.

Уравнения ошибок иперциальной системы

географическим навигацион¬

ным

азимутально-свободным опорным трехгранниками

(229).

6.1.6.

Урав-

нения ошибок инерциальной системы

ортодромическими опорным

и на-

вигационным трехгранниками

(234).

6.1.7.

Уравнения ошибок инерциаль-

ной системы

ортодромическим навигационным

азимутально-свобод-

ным опорным трехгранниками (24о).

6.1.8.

Уравнения ошибок инерциаль-

ной системы стремя акселерометрами

(241).

6.1.9.

Учет ошибок

установке

осей чувствительности измерительных элементов

(252).

ОГ ЛАЙЛЕНИН

§ 6.2. Система с ориентацией опорпого трехгранника по гравитаци-

онной вертикали 255

6,2.1. Уравнения ошибок инерциальной системы с гравитационным опор-

ным и навигационным трехгранниками

(265).

6,2.2.

Уравнения ошибок

инерциальной системы с гравитационным навигационным и азимутально-

свободным опорным трехгранниками

(262).

6.2.3.

Уравнения ошибок инер-

циальной системы с гравитационным ортодромическим навигационным

трехгранником

(266).

§ 6.3. Уравнения ошибок иперциальной системы аналитического

типа 268

6.3.1. Уравнения ошибок

(288).

6.3.2.

Анализ уравнений ошибок непод-

вижного в абсолютном пространстве объекта

(273).

6.3.3.

Преобразование

ошибок в географическую систему координат

(279).

§ 0.4. Уравнения ошибок бесплатформенной инерциальной системы 284

6.4.1. Уравнения ошибок ориентации

(284).

6.4.2.

Уравнения ошибок в

определении проекций кажущегося ускорения на оси инерциального

трехгранника

(287).

6.4.3.

Уравнения ошибок инерциальной системы

полу аналитического типа с вычислителем направляющих косинусов плат-

формы

(287),

Приложение. Элементы сферической тригонометрии 289

Литература 290

Hi - °~r

Павел Владимирович Бромберг

ТЕОРИЯ ИНИЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ НАВИГАЦИИ

М., 1379 г., 296стр. с.илл.

Редактор А. А. Мошлевский

Техн. редактор Л. В, Лихачева

Корректор Л. Н- Воронина

ИБ Jfi 11462

СД-IHO

в набор

ЗН.О;!.79.

Подписано к печати

06.07.79.

Т-11245.

Бумага 60х90"/

, тип. № 1.

Обыкновенная гарнитура. Высокая печать.

Усл.

печ. л. 18,5. Уч.-изд. л.

18,49.

Тираж

2400

экз.

Заказ JVi 1737. Цело книги 2 р. 10 к.

Издательство «Наука»

Главная редакция физико-математической литературы

117071,

Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

2-я типография издательства «Наука*

121099,

Москва Г-Р9, Шубине Кий пер., 10