Бромберг П.В. Теория инерциальных систем навигации

Подождите немного. Документ загружается.

286

УРАВНЕНИЯ

ОШИБОК

|ГЛ.

писать

виде

где

(6.116)

где

ба>'

о)у

б/*

6о)

Уо

Уравнения ошибок акселерометров

по

аналогии

(6.12)

можно

за-

До«

—

боло,

бд

йх

6Д,

(

4- 6X

Так

как

формулы

(5.17)

и (5.3)

имеют одинаковую структуру,

то уравнения ошибок первых интеграторов

по

аналогии

(6.15)

можно записать

виде

•

Дв

Яо

+ (U

sin Ф

ЕО

)

(U cos

ф Дф

Дсо

2о

)

6г)

Дг)

Уо

Да,,

— (С/

sin ф +

о>

2о

)

Дг^

—

-(сТсозфДф-т-Дй^^

б^о,

•

(6.117)

где

оЛ

+ о^

5^-20

Уо

6ЛИ

бг;

Уо

Дальше

мы

подставим

(6.117)

Аа

Хо

, Аа

Уо

из

(6.116)

Д(о

2(>

из

третьей формулы

(6.114),

также выразим

соэф

Дф

через

ДФи

ДЛ

путем варьирования первого выражения

(5.15).

Кроме того, введем

новые переменные

Лсо^, Ащ

и их

первые производные A<b

X(J

Дейу

, определив

их по

формулам

(6.16)

(6.17)

при

замене индек-

сов

я, у на х

, уо, а

также аналогично введем величины

Хо

, /

Уо

, f

по формулам

(6.18).

В результате

мы

приведем уравнения

(6.117)

форме, анало-

гичной

(6.20).

Эти

уравнения запишутся

виде

•

-Аа

Хо

гo

-f

—2[U

(sin

sin Ф + cos ф

cos Ф

sin Л)

Уо

Ф]

Ди

Уо

—

\2ш'у

(sin фп

cos Ф

—

cos ф

sin Ф sin Л)

-f- at*

sec

Ф] ДФ

-f-

2b)

cos фп cos Ф cos Л ДЛ 4~

6OJ

B.i]

ОРИЕНТАЦИЯ

ПО

ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ ВЕРТИКАЛИ

237

—

[2U

(sin фп

sin Ф 4- cos ф

cos Ф sin

Л)

+ ®

Ф]

Аш

Хо

—

tg Ф

Д(о

Уо

— \2u)

U (sin

cos Ф

—

cos

фп

sin Ф sin

Л)

-j-

<ОД*>у

Ф] ДФ —

2(H

COS

cos Ф cos Л

ДЛ -f-

бм

•

(6.118)

где

6©io

' 1

/у

°А

-д-

ба„

—

0)*

бй

+ бй

1А

' 1

O^XQ

с6„

6/г

-f 6У,

(6.119)

В этих уравнениях

, /

Ыо

, f

определяются соотношениями

/х

сй,

[2£7 (sin

здпФ

+ cos ф

cos Ф sin

Л) -f-

/У

= —

со

Жо

+ [2U

(sin фп

sin Ф

-f-

cos ф

cos Ф sin

Л)

+(D;

tgФ]й);

/г

= —

Ю-

— «у

—

2*7

[й)

Х{)

cos ф

cos

Юу

(sin фп

cos Ф —

—

cos

фп sin

Ф sin

А)]

•

(6.120)

Первые

два

равенства можно получить

из

первых двух формул

(6.21)

заменой

в них

индексов

х и у на х

и у

, а

последнее равенство

(6.120)

получается

из

последнего равенства

(6.21),

если

по

форму-

лам преобразования выразить

ш,',

через <а

Хо

, о)

(

(и

= —

sin^o 4~

-г

Щ/

cos

), представить

cos ф sin

cos ф cos %

по

формулам

(5.15)

учесть, чтоД

= /

и <й

Х()

-]-

= <в£ + a'J.

(6.120)

определяется

(6.22)

является частотой Шулера.

Теперь остается только выписать уравнения ошибок

для ин-

теграторов ортодромической широты

Ф и

ортодромической долго-

ты

Л.

Учитывая формальное сходство формул счисления

(6.6)

(6.113),

запишем искомые уравнения

по

аналогии

(6.24)

(6.25)

в виде

ДФ

- -

Дсо^

4- бФх,

ДЛ

Дй>у

sec Ф 4-

(O'

tg Ф sec Ф

ДФ

бА

(6.121

238

УРАВНЕНИЯ

ОШИБОК

[ГЛ.

где

5Ai

(о„

8всФЙАл.

+ 6Л.

(6.122)

Уравнения

(6.115), (6.118)

(6.121)

образуют совокупную систему

уравнений ошибок инерциальной системы

ортодромическими

опорным

навигационным трехгранниками.

Эта

система уравне-

ний аналогична системе

(6.26),

которая была получена

в п.

6.1.2.

Линейным преобразованием

= у

Хо

ДФ,

Wo = Ъ

ДЛ cos

Т*

ДА sin

(6.123)

уравнения

(6.115)

приводятся

виду

6(0noi

6fflnio>

(6.124;

где

б«

1о

бш

бФи

ош

По

бсо

—

6Л1

cos Ф,

бсоию

б®зо

eAxsinO,

(6.125)

6ct>

, 6oj

6(1)30 определяются последними формулами

(6.115).

Уравнения

(6.124)

не

зависят

от

переменных Дса

Уо

ДФ и ДЛ

(

поэтому

они

решаются независимо

от

остальных уравнении оши-

бок.

Линейное преобразование

(6.123)

приводит уравнения

(6.118)

к виду

Дац,

=2[6

(8Ш(рпЗгпФ

4-созф

соэФ8тЛ)

Уо

ЩФ] До)у

[2со

Уо

(sin фц cos Ф — cos ф

sin Ф sin

Л)

sec

Ф +

ДФ

[— 2щU

соэфп

cos Ф cos Л 4-

/ж^пФ]

ДЛ 4-

вАк»

ДЙ

Уо

— [2U (sin ф

sin Ф 4-cos ф

cos Ф sin

&)-\-Щ,

Ф]

Д<°х

—

«4

—

[2о>

Жо

(sin фп cos Ф — cos фп sin Ф sin

Л)

sec

Ф]

ДФ 4-

[

—

2a'

COS

cos Ф cos Л 4¬

4- /„

sirj

Ф -

Д.созФ]

ДЛ 4-

ЙАпо.

•

(6.126)

ОРИЕНТАЦИЯ

ПО

ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ ВЕРТИКАЛИ

23!)

где

ooiip

—

6о>,

4- /х

У.

(6.127)

Уравнения

(6.126)

(6.127)

являются уравнениями, аналогичными

(6.86)

(6.87).

При

линейном преобразовании

(6.123)

уравнения

ошибок

(6.121)

остаются

без

изменения.

Совокупность уравнений

(6.124), (6.126)

(6.121)

образуют рас-

щепленную систему уравнений ошибок. Уравнения

(6.126)

(6.121)

решаются после того,

как

будут найдены решения

, у„

, y

изо-

лированной системы уравнений

(6.124).

Наконец, уравнения

(6.126)

(6.121)

можно разрешить отно-

сительно переменных

ДФ и ДЛ.

Если провести рассуждения, ана-

логичные

тем,

которые позволили уравнения

(6.86)

привести

виду

(6.92),

то в

результате получим уравнения ошибок

определении

ортодромических координат

виде

•

ДФ

4- (v

—

со'

—

оз'

—

2(й

U cos

фп

cos Л —

—

2«у

8ШфЦФ)ДФ

2(С/sinф

4- щ.

1#Ф)ДЙ

-г

1{Щ

ы'хъЩо

tg Ф) tg Ф 4-

2my

cos ф

cos Ф cos

Л] ДО

A64-(v

—

CO'J

вес

—

20)^.(7

sin

secФ) ДО

—

2 (U sin ф + ш

Уо

tg Ф) ДФ +

[

о>;,

tg Ф

ь>

Хо

(о'у

2U>

(sin ф

cos Ф — cos ф

sin Ф sin Л)] ДФ = ош

где

бсоф

= —

dtbio

(6Ф

4- 2{U sin ф 4-

Qij,

tgO)fiAiCosO,

ША

йсопо—

(£7

siп ф

tol,

tg<I))6''Di

-|-

(бЛсоаФ)'

бЛяшФ

бй

Ф1

зес

Ф)4-

•

(6.128)

(6.129)

де

= дл cos Ф.

(6.130)

Линейному преобразованию

(6.123)

можно дать истолкование,

аналогичное тому, какое было дано преобразованию

(6.82).

Здесь

также следует рассматривать

три

сопровождающих трехгранника:

ортодромический (идеальный) трехгранник

расчетный орто-

дромический трехгранник

приборный трехгранник

жестко связанный

гироплатформой. Ориентация первых двух

трехгранников относительно геоцентрического ортодромического

трехгранника ЕрЛоСо определяется

(см. п. 1.3.9)

направляющи-

ми косинусами, которые соответственно определяются обратной

240

УРАВНЕНИЯ ОШИБОК

[ГЛ. VI

матрицей

(5.72)

по

истинным

Ф, Л и

расчетным

Ф, Л

ортодромиче-

ским координатам. Малое рассогласование осей расчетного трех-

гранника

относительно истинного

определяется малы-

ми углами

—

АФ,

ДЛ cos Ф, ДЛ sin Ф, а

углы

, y

Zf)

Ух

)

г0

определяют малые рассогласования осей приборного

трехгранника относительпо трехгранников

соответ-

ственно.

Величина

фп

является географической широтой северного

по-

люса ортодромической координатной сетки.

При ф

~ 90° он

сов-

падает

географическим полюсом Земли,

при

этом, очевидно, орто-

дромический трехгранник

превращается

географический

xyz и

ортодромическая широта

Ф в

географическую

ф.

Если учесть

указанные обстоятельства,

то

простым сравнением легко убедить-

ся,

что при ф

= 90

уравнения ошибок, полученные

данпом пун-

кте,

превращаются

уравнения ошибок, выведенные

в п. 1.2 и

п. 1.4

настоящей главы.

Можно было

бы

сначала составить уравнения ошибок

для бо-

лее общего случая,

т. е. для

инерциальной системы, работающей

в ортодромической сетке,

затем соответствующие уравнения

ошибок

для

географической сетки получить предельным перехо-

дом

при

90°.

Но

мы

предпочли двигаться

по

восходящему пути,

переходя

от

анализа простых систем

анализу более сложных.

6.1.7.

Уравнения ошибок инерциальной системы

ортодроми-

ческим навигационным

азимутально-свободным опорным трех-

гранниками. Алгоритм такой системы описан

в п. 5.2.4

сферои-

дальной модели Земли. Здесь

мы

рассмотрим уравнения ошибок

для второго варианта алгоритма. Алгоритм, соответствуюший сфе-

рической модели Земли, получаем следующим образом.

Из

соот-

ношения

(5.23)

при

= R и В

= 0 и с

учетом

(6.112)

получим

выражения

Zoo

= U sin ф + ы'

Уо

tg Ф,

(6.131)

определяющие изменения угла

ос

между горизонтальными осями

ортодромического навигационного трехгранника

азиму-

тально-свободного опорного трехгранника

Формулы преоб-

разования

(5.25)

(5.26)

сохраняют свой смысл. Остальные ана-

литические зависимости алгоритма будут определяться соотно-

шениями

(6.111)

—

(6.113)

формулами

(5.15).

Ортодромические

инерциальные системы

азимутально-свободным опорным трех-

гранником

ХсУс^с

ортодромическим опорным трехгранником

геометрически соотносятся между собой

так

же,

как и

геогра-

фические инерциальные системы

азимутально-свободным опор-

ным трехгранником

географическим опорным трехгран-

ником

xyz.

Поэтому здесь можно повторить

те же

рассуждения

том же

порядке,

как это

имело место

в п. 1.5

данной главы.

Мы

fi.l]

ОРИЕНТАЦИЯ

ПО

ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ ВЕРТИКАЛИ

241

предлагаем соответствующие рассуждения

необходимые выклад-

ки провести читателю самостоятельно,

здесь приведем только

окончательный результат.

Уравнения ошибок

для

пперциальпой системы, рассматривае-

мой

данном пункте, можно привести

одному

из

трех видов урав-

нений: уравнениям

(6.115), (6.118), (6.121),

уравнениям

(6.124),

(6.126),

(6.121)

или

уравнениям

(6.124), (6.128).

В указанных уравнениях следует положить

= Ъ

Д%ос, (6-132)

6t0io

So>ic

cos

у_ос

6<о4с

sin

Хос,

6(i).;

= —

Soic

sin

Хос

60>2С

COS

ХОС,

(6.133)

Йа

ба

1С

cos Хос +

бо.,

(;

sin Хос, 1

(6.134)

ба

2о

= — бя

1С

sin Хос 4"

б«

cos Хос J

где

6coic,

бй'

—

компоненты эквивалентного дрейфа

собствен-

ный дрейф гироплатформы вокруг осей

, у

, z

азимутальв©-сво-

бодного опорного трехгранника

Величина

аос

определяет

эквивалентный

6/i

Xoc

бх

ое

) дрейф нуля интегратора угла

Хос-

Величины бате, ба

с являются эквивалентными смещениями нуля

акселерометров системы. Величина

определяет здесь ошибку

в нахождении ортодромического курса

(см.

п.

5.2.4),

причем пер-

вое слагаемое

(6.132)

определяет уход гироплатформы

азимуте,

второе слагаемое

—

ошибку

вычислении угла

Хос-

Таким обра-

зом,

мы

здесь опять проектируем горизонтальные составляющие

векторов эквивалентного дрейфа гироплатформы

смещения нуля

акселерометров (задаваемых проекциями

бо>1

5со'

и 6а

1с

6а

2с

на

оси опорного трехгранника

) на оси х

, у

навигационного

трехгранника

Входное возмущение

уравнении ошибок

для

угла

содержит

инструментальные ошибки реальных элементов инерциальной

си-

стемы, которая участвует

формировании, ортодромического курса

YK,

Т.

е.

азимутальный дрейф гироплатформы бю

эквивалентный

дрейф бхзос пуля интегратора угла

Хос-

6.1.8.

Уравнения ошибок иперциальной системы

тремя аксе-

лерометрами. Обобщенный алгоритм инерциальных систем

тре-

мя акселерометрами

которых одна

из

осей опорного

навигаци-

онного трехгранников ориентирована вдоль географической

(г),

геоцентрической

(_z

) или

гравитационной

(z")

вертикалей,

а их го-

ризонтальные

оси

рассогласованы

на

некоторый угол, изменяю-

щийся

по

определенному закону, были рассмотрен

в п. 5.2.5.

В настоящем пупкте рассмотрим частный случай, когда опорный

навигационный трехграпники совпадают между собой

и с

географи-

242

УРАВНЕНИЯ ОШИБОК

[ГЛ. VI

ческим трехгранником xyz. Алгоритм рассматриваемой инерциаль-

ной системы получим из первого варианта обобщенного алгоритма

(п.

5.2.5),

если в аналитических зависимостях последнего положим

= 0, хо = О,

* = 90*, Ф

, А

= А, Ф

= ф,

(6.135)

а оси з4, Ут,

%т

и Хо, yl, z

будем считать совпадающими между

собой и с осями х, у, z соответственно. Кроме того, для составле-

ния уравнений ошибок необходимо построить алгоритм для сфери-

ческой модели Земли, поэтому в указанных выше аналитических

зависимостях еще дополнительно следует полагать R

= R)

R = R„ -\- h (fl

= 6371 км) И RQ = 0. При указанных услови-

ях проекции о)

, Шу, щ абсолютной угловой скорости опорного и

совпадающего с ним навигационного трехгранников на их оси х,

у,

z будут определяться формулами (6.1)

—(6.3)

(6.4), (6.5),

при-

чем формулы счисления координат ф и X будут определяться

(6.6),

а формула счисления третьей координаты — высоты h — полу-

чается из

(5.35)

при е = 0 в виде

h = v

(6.136)

Выражения

(5.28)

преобразуются к виду

Vx —

х + {U sin ф -f- щ) v

— (U cos ф + щ) v

= а

— (U sin ф + щ) и

-f

\ + vi '

Щ = a

+ h

cos

— g.

Входящая сюда величина ускорения силы тяжести g будет опреде-

ляться в соответствии с (1.15а) выражением

g =

^(l+Psin4).

(6.138)

В отличие от

(1.159),

мы здесь будем вместо ф' писать ф, так

как в рассматриваемом случае мы имеем дело с первой сферической

моделью Земли.

Уравнения ошибок гироплатформы и счисления координат

ф, X для рассматриваемой здесь инерциальной системы, очевидно,

будут точно совпадать с уравнениями ошибок

(6.10)

(6.24),

ко-

торые были введены в п. 1.2 даннойтлавы, так как там фактически

исследовались аналогичные инерциальные системы, но только

для горизонтального движения объекта (h =

const).

Следователь-

но,

нам остается составить уравнения ошибок для первых инте-

граторов и интегратора высоты.

§ 6.1] ОРИЕНТАЦИЯ ПО ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ ВЕРТИКАЛИ 243

Уравнение ошибок для интегратора высоты будет иметь вид

Ah = Av

+ 6A

(6.139)

где bh

— эквивалентный дрейф нуля интегратора высоты.

Уравнения ошибок первых интеграторов составляются посред-

ством варьирования соотношений

(6.137)

с учетом инструменталь-

ных ошибок самих интеграторов. Проделав указанную операцию

(см.

также

(6.15)),

получим

• Av

= Аа

+ (U в!п<р + со

) Av

-\- (U sin ф Дф + До>

;

) v

—

— (U cos ф + щ) Av

— (— U sin ф Дф + До)

) v

-f- bv

Ащ = Дйу — (U si n ф + со

) Av

— (U cos ф Дф + Дш

) v

4¬

+ Ащь\ 4- 6v

2 loo

= Aa

4- -д- (v

ДУ* 4-

) — — 4-

) Ah 4¬

2Av

Ucosq

— 2^(7 sin ф Дф — Ag 4- bv

. J

(6.140)

Здесь b$

6У

определяются формулами

(6.15a),

Ыг

Л1

-f-

определяет эквивалентный дрейф нуля вертикального инте-

гратора ускорений. Ошибки в определении ускорения силы тя-

жести получаются варьированием выражения

(6.138):

= - ДА -Ь g$ sin 2ф Дф,

(6.141)

где через gr, обозначено ускорение силы тянчссти на высоте h

в точках, лежащих в экваториальной плоскости. Дальше поступим

следующим образом: подставим в уравнения

(6.140)

Ag из

(6.141)

и Аа

, Да,,, Аа

из

(6.12)

с учетом сноски, Av

, Av

выразим по

(6.139)

через Ah, Ah и

ДЙ>

АЩ, АЩ через Ащ

Ащ, Дф по фор-

мулам

(6.9),

введем обозначения

(6.18)

и заменим Av

, Ду

, Av

через Ащ, Ащ, Ащ, Ащ. В последнем случае соот-

ветствующие величины будут определяться не формулами

(6.16)

(6.17),

а выражениями вида

, 'Ah &

' *

-д-

- Ащ 4- щ — , = До,, 4- jf Ащ 4-

, 'ДА , .'Ah

<°У -д- 4- ©И -д- 1

-д-

= — Ащ —

соя

— , = — Ащ — -

д-

Ащ —

— •

(6.142)

которые получаются из

(6.5).

Если выполнить все указанные выше

244

УРАВНЕНИЯ ОШИБОК

операции,

то

уравнения

(6.140)

преобразуются

виду

[ГЛ.

•

—

Ли*

ЛУх

—

/хУг

+ 2 Ащ

—

2 (U

sin

ф)

Ащ

—

(2щ1/ cos

ф -|-

со

sec

ф)

Дф —

2оэ

—

(ш

-f-

2щ1/

sin

ф +

о/

tg ф) -д- 4"

6(0^,

Д(Ьу

—

у„ 4- /

(2t7 sin ф

ш'у

ф) Ди

—

\щ tg ф 4-

-д-1 Дсо„

—

(

COS

ф 4- щщ sec

ф —

—

2~frUsinipj Дф —

2(с7этф

+ щ)

—

(2to

(7 sin

4- щщ tg

4- щ) 4- бщщ

= Л

(—

у„)

2Ясо

Д(о

+ 2R (U cos

со

) Ды

—

(2R(\)

sin ф

sin 2ф) Дф

-f-

(2v

4- 4-

аГ

2а

cos

ф) ДЛ

(6.143)

где

бо)^

- 6d)j —

5^i,

бсЬзд

6о)2

-|-

(2(7

cos

)

ЬН

= 6£

(6^i)',

(6.144)

причем

6%, 6(1)2

определяются формулами

(6.20).

Совокупность

уравнений

(6.10),'(6.24)

(6.43)

образует систему уравнений оши-

бок рассматриваемой инерциальной системы

тремя акселеромет-

рами.

полученной системе уравнений ошибок можно применить

линейное преобразование

(6.82).

результате преобразования

уравнения

(6.10)

переходят,

как и

раньше,

(6.83),

уравнения

(6.24)

не

изменяют своего вида,

(6.143),

переходят

уравнения

Ащ =

—

2 Ащ 4- 2

(17 sin ф

&>у

ф)

Да>у

-f

(2(й'

cos ф 4-

о>

sec

4- f

)

Дф —

2о>

(щ + 2щ[/

sin ф

о)

Ф)

^ 4-

sin ф

6io

Здесь,

как и

прежде,

(бк

есть производная

по

времени

от

величи-

ны

SAi.

6.1)

01Ч1ЕПТАЦИЯ

ПО

ГЕОГРЛФНЧЕСКОП ВЕРТИКАЛИ

245

Д»у

— 2

sin

Шу

tg ф)

Ащ -

(to

ф + 2 Ащ

—

\2uiJJ

cos ф

-)-

ЩЩ

sec

ф —

2 U

sin ф) Дф

(/ysin ф —

cos

ф)

ДА.

— 2 (V sin

+ щ) -g- —

ДА

—

(2(03*7

sin

+ щщ tg

йу)

-1- дшш.

ДА

2ЯщАщ

4- 2/?

(C7

cos

ф -(-

Wy)

Дю

—

(2/?с7<0у

зтф 4- g

psin2v —

)

Дф

ЯДАХ соэф

Н-

(2v

(о

2о>у(7

cos

ф)

Ah 4-

6У

(6.145)

где

•

offlm

A'Oi

—

(Одб^!

= — /

б»! —

щопх,

бо)

П/1

бсоц

(2с7

созф

-f-

щ)Ьк

/у Yz —

ЛТя

(2с7

cos

ф 4-

Шу)

б/^,

в*п

Д(—/Л

/хЪ)

й'

8»

•

(6-146)

причем

6(0,', 6ci)2

определяются

(6.20),

а бг)

третьей формулой

(6.144).

наконец,

системе уравнений

(6.24)

(6.145)

можно

ис-

ключить переменные Дсо

и Ащ и

свести

ее к

эквивалентной сис-

теме уравнений, которая будет содержать переменные

Дф, Д6 —

АХ

cos ф и Ah.

Процедура исключения переменных

Дш

и Ащ

остается такой

же,

как ивп. 1.4

данной главы. Промежуточные формулы

(6.90)

(6.91)

сохраняют свой смысл

и в

рассматриваемом случае.

?Те-

сколько изменяются выражения

для

Д.,

, %. Эти

выражения

по-

лучаются

из

(6.137),

если

в штх щ, щ, щ

также

, v

щ выразить

учетом

(6.5)

через

щ, ш

сйу, (!)

причем

при

диф-

ференцировании выражений

(6.5)

следует помнить,

что

входящая

в выражение

для R = R

-|- k

высота

также зависит

от

времени.

Таким образом, можно получить выражения

(Ь

(2£7

sin ф 4-

Шу

ф)

toil

+ [2U cos ф + щ)

fv =

—

;

>х

+ (2U

sin

щ tg

ф)

(Оу

— щ

= -Б- — (% +

„

)

—

2Ы

У^

cos ф

(6.147)

Если провести указанное выше исключение переменных,

то

246

УРАВНЕНИЯ ОШИБОК

[ГЛ.

в результате получим уравнения

виде

Дф

-^-д

(

* "

'х ~

а}

у Ф ~

2СО

У^

sin ф tg ф +

^-J

Дф +

2(Г7зтф

о)

1^ф)Д9

-!-

/г

((by —

Шу

tg ф) tg ф + 2 (Z7 cos ф +

о.>у)

tg ф

— 2ш

-д-

—

со.

2(0у(7

sin

(р

Ц" Ф

Д9

4- 2 ~

ДО

4-1V

—

< sec

2со

C/sec

-j-

ДВ

ДО

Д/г

, .

—

(Г/ sin

со

ф) Дф

4¬

—

со

о)у

4- sec

ф)

2d)

cos

—

ДА

х (С/ вЫф

coy

tg ф)

Дф

2(J/cos

ф 4-

Шу)

— +

ДА

4- (6у

2со

£/

cos ф

а>

(Оу

ф)

— =

6со

,„

ДА

—

(2v

+ а* 4-

-f

2ыус7

cos

ф)

Ah +

4- 2Ясо

Дф

(р#, sin 2ф

Ra'

Дй£

2со^) Дф —

—

(г/совф

toy)

ДО

4¬

4- [(— Лсоу

ficoLwy

ф —

2 (ff cos

Шу)

.V]

Д9 -

6г;

(6.148)

В этих уравнениях введены обозначения:

•

6(%/

ficdift

+ 2

Оф1

(бфх)

4- 2

((7 sin ф

ф) 6Х

cos

ф,

бсоол

бЧЬил

—[2 (Г/ sin ф

4- «у tg

ф)

бср

4- 2 -(И cos ф

(SXi

cos

ф)',

•

.(6.149)

в которых

6LOI/!

Ьщц

определяются формулами

(6.146).

Получен-

ные уравнения ошибок инерциальной системы

общем случае

являются линейными дифференциальными уравнениями

пере-

менными коэффициентами.

Для

некоторых частных случаев дви-

жения объекта коэффициенты уравнений ошибок будут выражаться

постоянными величинами.

Это,

безусловно, будет иметь место

при

горизонтальном движении объекта

(h =

const)

вдоль географиче-

ской параллели

(ф =

const)

постоянной скоростью (а>,'

(

const).

Чтобы определить важнейшее свойство инерциальных систем

с тремя акселерометрами, рассмотрим случай, когда объект

на-

ОРИЕНТАЦИЯ

ПО

ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ ВЕРТИКАЛИ

ходится

на

экваторе

неподвижен относительно Земли,

т. е.

когда

(t) = щ (t) = h (i) = 0. При

таких условиях проводится ана-

лиз ошибок инерциальной системы

двумя акселерометрами

п.

1.3 и

анализ уравнений ошибок ориентации

форме

(6.83)

п. 1.4

настоящей главы.

Так как

уравнения

(6.83)

сохраняют

свой смысл

и в

рассматриваемом случае,

то

нам

по

существу оста-

ется провести анализ уравнений ошибок

определении коорди-

нат. Такой апализ будем проводить

по

уравнениям

(6.148),

кото-

рые

при ф (/) = Оу (t) = h (t) = 0

приобретают

вид

Дф

v*Aw

бю

фЛ

и_

—

2v'

—

2ШДё

= Ьи

Д0 4^

ДО

^-ДА

д(Ьё,

[

(6.150)

Согласно формулам

(6.149)

(6.93), (6.87)

третьей формуле

(6.146),

правые части уравнений

(6.150)

линейно зависят

от

углов

Уя,

Уу,

Изменение этих углов

во

времени определяется форму-

лами

(6.97),

если сохранить принятое

там

допущение

постоянст-

ве входных возмущений

6coi, бшц, 5(0ш.

Первое уравнение

(6.150)

решается независимо

от

остальных уравнений.

Это

уравнение

от-

личается

от

уравнения ошибок Дф

для

инерциальной системы

дву-

мя акселерометрами, которое можпо получить

из

первого уравне-

ния

(6.92)

при ф (t) =

со; (£)

~ 0, так как по

(6.149), (6.146), (6.87),

(6.93)

бо)ф^

отличается

от бсо^

слагаемыми

—

oh-i

+ 2 бф*,

зависящими

от

эквивалентного дрейфа нуля первого интегратора

вертикального канала системы

тремя акселерометрами. Поэтому

можно сделать заключение

(по

крайней мере

рамках рассматри-

ваемого случая),

что

наличие третьего капала

не

изменяет

су-

щественно характера зависимости ошибки

Дер

от

времени.

Два по-

следних уравнения

(6.150)

являются взаимосвязанными.

Их ха-

рактеристический полином имеет

вид

(S) - (S

- 2v

) (5

)

4t7

(6.151)

Без ущерба

для

точности

мы

можем

(6.151)

пренебречь членом

4t7

так как

величина

примерно

в сто раз

меньше

. В

этом

случае корни характеристического полинома можно вычислить

по формулам

8и*

= ± v /2, S

= ±iv.

(6.152)

Среди корней

(6.152)

имеется положительный корень, равный

v)/~2, следовательно, решение двух последних уравнений

(6.150)

будет неустойчивым,

при

бесконечном увеличении времени ошиб-

ки

ДО и Ah

будут неограниченно возрастать. Устойчивость

яв-

248

УРАВНЕНИЯ ОШИБОК

[ГЛ.

ляетея внутренним свойством системы

и она

определяется харак-

тером решений соответствующих однородных уравнений. Рассмот-

рим такое решение при начальном условии

ДА

(0) --

ДО

(0) = 0, Ah (0) = Ah

ДО (0}

ДО,,.

В соответствии

(6.90)

(6.142)

при ф

=•

0 и щ = 0

имеем

ДЙ

Аа>

(0) =

RAv

(0).

При

этом

(6.90)

мы

опустим величину

6к\ (0), которая является начальным зпачеиием внешнего возму-

щения. Если

двум последним уравнениям

(6.150),

взятым

с ну-

левыми правыми частями, применить методы операционного

исчисления

учетом заданного начального условия,

затем полу-

ченные линейные алгебраические уравнения разрешить относи-

тельно изображений

Д9 (S) и Ah (S)

искомых функции,

то

тогда

получим выражение

21/

ДВ„ IS'*

- 2v) -

-щ-

Д0

(5)-

- 2v)

(,V

Щ '

А/-

у2

)

Д[^.2Л,/У

(6.152a)

В приведенных равенствах

мы в

выражении

(6.151)

для Д (5)

пренебрегли слагаемым

по

отношению

слагаемому

Имеет место следующее разложение

па

элементарные дроби:

(0.152о)

(52

(б'

-г v

)

3V»

б'

—

+ v

Если учесть приведенное разложение

табличные изображения для

тригонометрических

гиперболических функций, то

по

изображе-

ниям (6.152а) легко найти оригиналы. Они будут иметь вид

ДО (Л

-^-si n

vt -

—

4^=

(cb v

\[lt -

cos

vt),

Ah(t)

-^shv/2.«

l/jl-^(chv|/"2l-cosv/).

у 2 J V V

(6.153)

Мы здесь

соответствии

(6.22)

заменили

Rvna

у' Rg. Из

анализа

полученных выражений можно сделать вывод, что неустойчивость

по каналу долготы обусловливается

его

перекрестной связью

каналом высоты,

так как при Ah

= 0

ошибка

ДО (она при

= 0

равна ДА.) изменяется

по

гармоническому закон,/.

Канал высоты является собственно неустойчивым, так как при

А%

= 0

ошибка

Ah (t)

будет все равно возрастать неограниченно.

Чтобы иметь представление

скорости возрастания ошибок,

ука-

6.1]

ОРИЕНТАЦИЯ

по

ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ ВЕРТИКАЛИ 249

жем,

что в

выражениях

для

гиперболических синуса

косинуса

S?y2i=4~(*

v Y

- e-

ch v fit -

-|-(**

Уъ

(Г>

^ )

по прошествии небольшого промежутка времени главную роль

играет возрастающая экспонента

Эту

экспоненту можно

г—

ЗТ it

%Y*~t

2,8 — (

переписать

виде

—

где

— период Шулера, рав-

ный

84,4

мин

при R = R

Тогда

при t = 30 мин эта

экспонента

становится примерно равной

^ 23, при t ^ 60 мин — е

2п

529 и т. д.

Следовательно,

указанным моментам времени

по-

ловинные значения начальных амплитуд будут увеличиваться

примерно

во

столько

же раз.

К инерциальный системам обычпо предъявляются требования,

чтобы

они

обеспечивали необходимую точность

определении

на-

вигационных параметров

заданном интервале времени, который

зависит

от

свойств движущегося объекта. Если принципиально

неустойчивая система обеспечивает требуемую точность

заданном

интервале времени,

то ее

можпо применить

на

соответствующем

объекте. Вообще

последнее время наряду

классическим

оп-

ределением устойчивости, данным Ляпуновым,

котором тре-

буется наблюдение системы

на

бесконечном интервале времени,

было введено понятие технической устойчивости,

по

которому тре-

буется, чтобы система

не

вышла

за

пределы определенной области

за некоторый конечный промежуток времени. Насколько извест-

но автору, понятие технической устойчивости впервые было введе-

но

Н. Д.

Моисеевым. Следует отметить, что

по

существу вопросы

технической устойчивости

при

конкретных значениях параметров

системы решаются

при ее

моделировании

помощью ЭВМ.

В заключение вернемся

рассмотрению инерциальной системы

с двумя акселерометрами. Такая система анализировалась

пре-

дыдущем пупкте при

h =

const,

т. е. в

предположении, что объект

движется

горизонтальной плоскости. Снимем

это

ограничение

и будем считать,

что

объект может двигаться

пространстве

изменением высоты. При этом будем считать (мы иа этом останавли-

вались раньше),

что

вычисление радиуса-вектора

R = И

•

осуществляется

инерциальной системе

использованием внешней

информации, поставленной

систему барометрическим высото-

мером. Барометрический высотомер имеет собственную ошибку

6А, которая является

в том

или ином смысле известной функцией

времени. Величина

является одной

из

входных ошибок системы.

Уравнения ошибок

(6.10)

(6.24)

для рассматриваемой системы

не

изменяются, поэтому

нам

нужно только заново вывести уравне-

ния ошибок первых интеграторов, которые будут аналогом урав-

нений

(6.19).

При

составлении уравнений ошибок интеграторов

следует отметить,

что

ошибки акселерометров также остаются

250

УРАВНЕНИЯ

ОШИБОК

[ГЛ.

без изменения.

Они

определяются формулами

(6.12)

(6.12а).

При изменении высоты

истинные значения величин

и v

оп-

ределяются первыми двумя уравнениями

(6.137).

расчетные зна-

чения гТ*

и Ь

этих величин определяются

инерциальной системе

с двумя акселерометрами

по

формулам

(4.25),

(5.3) и

(6.13).

Так

как

множителе

при bh

(см.

(4.27))

можно расчетные значения

величин заменять

их

истинными значениями,

то с

учетом

(6.137)

запишем

= а

sin ф

со

)

-\-

4 (U

cos ф

+ w

) v

\ bh

•

= йу —

sinf

т-«

)у

4 [v

—

Vz] 4 bv

. \

(6.154)

Теперь

из

уравнений

(6.154)

нужно вычесть соответствующие урав-

нения

(6.137),

затем разности расчетных

истинных значений

функций нужно заменить

их

главными линейными частями,

т. е.

вариациями. Применяя такую процедуру, получим

Д4

Да

п ф

со

)

(U cos

ф Дф

Дш

)

6г5*

Аду

= Аа

— (U sin ф

со

)

—

cos ф Дф

Дш

)

bv%,

(6.155)

где

6»f

- [v

(2(7

cos

-f

ffl

)

]

6/г„

+ bv

(2t7

cos

)

bz%

= [ц

—

Vz\

W„

—

ci)

•

(6.156)

В последних выражениях

и>

, щ, о

определены

по

формулам

((5.1)

(6.3).

Теперь следует

До*, Да,,

определить

по

(6.12),

(6.12а),

также, воспользовавшись формулами

(6.142),

выразить

Ду

Дг>

Дг5

через Дсо,',,

Дю

Да»',,, Да>

формулах

(6.142)

величины

Ah и Ah

следует заменить

на

6Й.

(б/*)'

(здесь штрих

означает дифференцирование

по

времени). Тогда получим

•

—

Дсо

/*Y*

—

/Л*

-Д Д^х —

((7

sin Ф

о,,

g ф) Дюу —

—

(2(O

cos ф 4

to,,"

sec

ф) Дер

-f- 6%*,

Дсоу

= /

у„

— f

— (21/ si

ф +

ш1,

ф) До*

((0

tg ф + -д

Дю'у

— (2со

С/

cos ф 4

(ОмСОу

sec

ф) Дф

6©в*,

•

(6.157)

где

•

бы,* =

6У

4 -д- ба

+ Ом -гт

(—

2bj

sin ф f-

Ыу

tg ф) ,

6,i]

ОРИЕНТАЦИЯ

ПО

ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ ВЕРТИКАЛИ

251

О0>2*

- -д-

ЬЩ*

бО!

— (В

—

(о)

2ti>

sin

ф 4

а£шу

ф)

. •

(6.158)

Уравнения

(6.10), (6.14), (6.157)

образуют систему уравнений оши-

бок инерциальной системы

двумя акселерометрами

при

про-

извольном движении объекта, когда параметр высоты вводится

систему барометрическим высотомером. Полученную систему

уравнений ошибок можно считать обобщением системы уравне-

ний

(6.26).

Если

полученной системе уравнений применить

ли-

нейное преобразование

(6.82),

то

уравнения

(6.10)

прпведутся

форме

(6.83),

уравнения

(6.14)

останутся

без

изменения,

уравне-

ния

(6.157)

приобретут

вид

• А6>

Дш

+ 2 (V sin

Ео'у

ф)

Дозу

(2%иcos

со,,

sec

Д) Дф

ДЯ

sin ф 4

бшг*,

Дсо

= —(2U

sin ф

-[-

щ tg

ф)

Аы

- (щ tg

4 д

Ин

—

(2(л>

cos

со

Шу

sec

(р)

Дф

4 (/

sin

—

cos

ф) АХ

6d>ij#,

(6.159)

где

б(6

- 6%* 4

Дуя — /

oton*

б(о.

4 /

—

(6.160)

6EOJ*

б(Ь-2*

определяются

(6.158).

Уравнения

(6.159)

являются обобщением уравнений

(6.86).

И наконец, уравнения

(6.24)

(6.159)

можно разрешить относи-

тельно

Дф и Д6 =

АХ

cos ф.

Процедура исключения

Аы

Дсо,',

из указанных уравнений остается такой

же,

как и

при

выводе урав-

нения

(6.92).

Такое исключение производится

помощью выраже-

ний

(6.90)

(6.91).

результате

мы

получим

два

дифференциаль-

ных уравнения второго порядка:

Дф 4--д-Дф

—

(о*

—

(й„*

— 2щ,11 sin ф

4 Дф-

sin

ф 4

©у

ф) Дё

(toy—

(o„tg ф)tgф

ДВ

бо)

4 2 (U

сойф

<о'и)-!^Ф

2.52

УРАВНЕНИЯ ОШИБОК

1ГЛ.

Д6

4 ~~ Дй + (v

- щ

sec

2o)'

sec ф 4

)

ДО

—

(С/

sin

Шу

ф)

Дф

tg ф +

й)

О)у

+ sec"' ф) 4

Im'jJ

cos

—

Шу tg ф|

Дф

6(й

•

(6.161

где

б<%*

- —

бац*

(д^)'

4 -g-

6ф!

-|-

(£/

sin

4 Щ tg

ф)

дА-i

cos ф,

бше*

бшп*

— (2U cos ф +

Шу

ф)

6ф^4

4 (ы

tg ф -|- -^j ЬХ

cosft

(6li

cos

ф)'.

•

(6.162)

Очевидно, полученные уравнения

(6.161)

можно рассматривать

как обобщение уравнений

(6.92).

Полученные уравнения ошибок

форме

(6.10), (6.14), (6.157)

или

виде

(6.83), (6.159),

или,

наконец,

виде

(6.83), (6.161)

позволяют проводить линейный анализ ошибок инерциальной

системы

двумя акселерометрами

при

любом движении объекта.

Эти уравпения будут иметь постоянные коэффициенты

при тех

же условиях,

что и

система

тремя акселерометрами.

част-

ности,

при ф (0 ~ «у

(£)

= Ah (t) ~ 0

данные системы будут удов-

летворять условиям обыкновенной устойчивости, тогда

как

про-

веденный анализ уравнений

(6.150)

показал,

что в

этом случае

инерциальная система

тремя акселерометрами была неустой-

чивой,

(йь-.

Инерциальная система

тремя акселерометрами

инерциальная

система

двумя акселерометрами

барометрическим высотомером

решают один

и тот же

комплекс навигационных задач. Однако

вторая система является более устойчивой (если можно

так вы-

разиться): здесь

мы

впервые встречаемся

таким случаем, когда

использование внешней информации

некоторых навигационных

параметрах позволяет улучшить некоторые характеристики инер-

циальных систем,

данном случае характеристику устойчивости.

6.1.9.

Учет ошибок

установке осей чувствительности измери-

тельных элементов. Входные ошибки инерциальной системы были

разделены

в п. 1.1

данной главы

на

четыре класса. Методические,

инструментальные ошибки,

также ошибки начальной выставки

системы нашли свое отражение

уравнениях ошибок.

Нам ос-

тается учесть влияние входных ошибок, обусловленных неточной

выставкой

(в

процессе производства) осей чувствительности

из-

мерительных элементов,

или по

другой, более краткой терминоло-

гии, ошибок конструкции.

До сих пор

предполагали

мы, что оси

6.1]

ОРИЕНТАЦИЯ

по

ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ ВЕРТИКАЛИ

253

чувствительности акселерометров

гироскопов совпадают

соот-

ветствующими осями стабилизированной платформы, которые

мы всегда обозначали через

, у

, z

. В

действительности из-за

неизбежных погрешностей монтажа приборов каждая

из

осей

чувствительности акселерометров

гироскопов будет отклонена

от соответствующей

оси

платформы

па

малый угол, который можно

в пространстве охарактеризовать двумя малыми независимыми

ве-

личинами. Будем обозначать

оси

чувствительности акселерометров

через

, у

, z

, а оси

чувствительности гироскопов

—

через

£г,

Уг, 2

Положение осей

ХА, УА, ZA И Х

, y

, z

относительно

опорной координатной системы Хру^

будем определять матрич-

ными выражениями

^А

УА

~Р J

(6.163)

Ут

-til

л*р

(6.164)

которые легко получить обобщением преобразования координат-

ных систем, определяемых формулами

(3.124)

(3.131).

(6.163)

(6.164)

штрихи

над

буквами указывают

на ось

чув-

ствительности измерительного элемента,

нижний индекс ука-

зывает

на ось

платформы, вокруг которой повернута

ось

чувст-

вительности

на

соответствующий малый угол. Вращение считается

в положительном направлении.

Так,

например,

есть угол

по-

ворота

оси

акселерометра

ХА

вокруг

оси

платформы

и т. д.

Для определенности опорный трехгранник будем обозначать

через

xyz.

Этот трехгранник моделируется приборным трехгран-

ником

Преобразование опорной координатной системы

xyz в

приборную

определяется матричным выражением

Уг

Р.

Уу

~Ух

(6.165)

которым

мы по

существу

уже

неоднократно пользовались

данном

параграфе.

Три акселерометра измеряют проекции

хд

, а

УА

, а

2д

кажу-

щегося ускорения

на оси х

, у

, z

. С

помощью двух последо-

вательных преобразований

(6.165)

(6.163)

можно величины

254

УРАВНЕНИИ

ОШИБОК

[ГЛ.

МА

, а

гА

выразить через проекции

, а„, а,

кажущегося

ус-

корения

на оси х, г/, z

опорного трехгранника

zi/z.

Матрица сум-

марного преобразования получается умножением квадратной

матрицы

(6.163)

справа

на

квадратную матрицу

(6.165).

Если

про-

изведении указанных матриц пренебречь величинами второго

по-

рядка малости относительно углов

9 и у с

соответствующими верх-

ними

нижними индексами,

затем само преобразование записать

в обычной форме,

то

получим выражения

а*

Ох

(Уг

)

(Уу

Ъу)

'VA

-V

(у.\ + й) я

— (ух

)

С)

о.

(6.166)

Сг

= Я

(V]/

« )

«X — (Y.v Н" "к

" у •

Реальные характеристики трех акселерометров

осями чувстви-

тельности

УА, 2А

имеют

вид

(1 +

Ыъ'а)

ХА

бя*,

«1,

= (1 +

Ьк"а)а

УА

+ 6a

= (1

-h б^Г) «z

'Ь 6a

(6.167;

где

ба

, бя

, 6a

—

смещения нулей

и bh'

, 6й£, 8AJ —

ошибки

масштабных коэффициентов соответствующих акселерометров.

Подставим

(1.167)

хА

, а

!УА

, а

гк

из

(6.166),

раскроем скобки

и пренебрежем величинами второго порядка малости относительпо

б/г

углов

б и W.

Тогда выходные ошибки акселерометров

Аа

— ах и т. д.

можно представить

форме

(6.12)

учетом фор-

мул

(6.126),

если только

указанных выражениях эквивалентные

смещения нуля акселерометров определять соотношениями

A —

A + Ьа

-f

вДх

— «А + ба

ба

67*„

8«

„б*

бй

(6.168)

Для большей общности

мы

здесь предполагаем,

как это в

дей-

ствительности должно иметь место,

что

ошибки масштабных коэф-

фициентов

не

одинаковы

для

различных акселерометров.

Можно аналогичными рассуждениями показать,

что при

учете

ошибок конструкции эквивалентный дрейф гироскопов пужно

оп-

ределять выражениями

6a>i.

6h'

ауф'

—

со,ф

бо)*,

боз

б/г,(

-j-

—

Шдфг

бОу,

бм

щЬкц

Ч\фу

A +

ва>г,

(6.169)

6.2]

ОРИЕНТАЦИЯ

ПО

ГРАВИТАЦИОННОЙ ВЕРТИКАЛИ

255

причем

по

отношению

(6.10а) считаем,

что

ошибки масштабных

коэффициентов различных каналов управления платформы

не

оди-

наковы.

Формулы

(6.168)

(6.169)

решают поставленную задачу.

6.2.

Система

ориентацией опорного трехгранника

по

гравитационной вертикали

6.2.1.

Уравнения ошибок инерциальной системы

гравитацион-

ным опорным

навигационным трехгранниками.

Гравитационный

трехгранник

x"y"z"

ориентирован

пространстве

таким образом,

что

его ось z"

направлена вдоль линии действия силы тяготения

вверх,

ось у"

лежит

плоскости меридиана

направлена

на

север,

ось х" по

необходимости должна быть направлена вдоль парал-

лели

на

восток.

Ось х", как это уже

отмечалось раньше, совпадает

с осью

географического трехгранника

xyz.

Грань

х"у"

трехгранника

x"y"z"

мы

иногда называли гравита-

ционным горизонтом. Аналитические зависимости алгоритма инер-

циальной системы

опорным гравитационным трехгранником

"y"z"

удобно выражать через проекции абсолютной скорости

и их

производные.

этом случае проекции

а"

кажущегося ускоре-

ния

на оси х", у" не

зависят

от

гравитационного ускорения #\так

как вектор такого ускорения перпендикулярен плоскости грави-

тационного горизонта.

п. 6.1.1 мы

условились вывод уравнений ошибок основывать

на алгоритме, построенном

для

сферической модели Земли.

дан-

ном случае нужно базироваться

на

вторую сферическую модель

Земли

(п.

1.4.2),

которой направление радиуса совпадает

с ли-

нией действия силы тяготения. Соответствующий алгоритм можно

построить самостоятельно,

но мы

поступим иначе. Будем соответ-

ствующие аналитические зависимости получать

из

обобщенного

алгоритма, построенного

для

сфероидальной модели Земли,

с по-

мощью перехода

пределу

при Я, R и

R[-+K,

где Л —

+ К Я

= 6371 км.

Мы должны использовать второй вариант обобщенного алго-

ритма, приведенного

в п.

5.2.5.

дальнейшем ограничимся рас-

смотрением инерциальной системы

двумя акселерометрами

при

горизонтальном движении объекта, поэтому

формулах обобщен-

ного алгоритма вертикальную скорость движения будем полагать

тождественно равпой нулю.

обобщенном алгоритме опорный

трехгранник обозначен через

навигационный трехгран-

ник через

xlylzl.

Угол между осями

yl (xl) и

у]п(х

) обозначен

через

Хот, а

между осями

г/

(х

) и у\ (x

) —

через

рассматри-

ваемом случае опорный

навигационный трехгранники совпадают

между собой

и с

гравитационным трехгранником

x"y"z",

поэтому