Бойко В.В. (укл.) Фізика. Основні поняття та закони. Лабораторний практикум і збірник задач

Подождите немного. Документ загружается.

льнику Гейгера - Мюллера , що прикладався до нього 36 імпульсів у

секунду. Вважаючи, що тільки 50% випромінення реєструється лічи-

льником, визначити кількість

Р у листі. Площа віконця лічильника

3 см

(2.74·10

-17

кг)

6.12. У центрі ізольованої металевої кулі радіусом 10 см знахо-

диться джерело

β-випромінювання , що має активність 2 мКі. До яко-

го потенціалу зарядиться куля через 10с, якщо все

β-випроміню-вання

поглинається кулею? (1Кі = 3,7·10

Бк).

(5,32В)

6.13. Визначити дефект маси та енергію зв’язку ядра дейте-

рію

(3,98·10

-30

кг; 2,23 МеВ)

6.14. Обчислити дефект маси та енергію зв’язку ядра ізотопу ге-

лію

Не

(1,38·10

-29

кг; 7,73 МеВ)

6.15. Визначити дефект маси ( у відносних атомних одиницях –

а.о.м.) та енергію зв’язку (в МеВ) ядра атома азоту

. Яка енергія

припадає на один нуклон?

6.16. Визначити дефект маси ( у відносних атомних одиницях –

а.о.м.) та енергію зв’язку (в МеВ) ядра атома берилію

Ве

. Яка енер-

гія припадає на один нуклон?

6.17. Визначити дефект маси ( у відносних атомних одиницях –

а.о.м.) та енергію зв’язку (в МеВ) ядра атома літію

Lі

. Яка енергія

припадає на один нуклон?

6.18. Вирахувати енергію ядерної реакції:

НННН

+→+ .

Випромінюється чи поглинається енергія?

(випромінюється 4.02 МеВ)

6.19. Перша штучна реакція була здійснена Е.Резерфордом у

1919 році. Ядра азоту при бомбардуванні

α–частинками перетворю-

ються в ядра кисню. Вирахувати енергію цієї ядерної реакції:

ОННеN

+→+

Випромінюється чи поглинається енергія?

(поглинається 1,2 МеВ)

6.20. Вирахувати енергію ядерної реакції:

nВНВе

+→+

Випромінюється чи поглинається енергія?

(виділяється 4,36 МеВ)

6.21. Вирахувати енергію ядерної реакції:

nНеНН

+→+

Який склад кожного ядра, що бере участь у реакції? Випромінюється

чи поглинається енергія?

6.22. Період піврозпаду ізотопу йоду

131

становить 8 діб. Чому

дорівнює середній час життя цього ізотопу?

6.23. Середній час життя радіоактивного кобальту

Со

стано-

вить 7,35 року. Чому дорівнює період піврозпаду?

6.24. Обчислити ККД реактора , якщо його потужність дорівнює

5,2 МВт, а атомний реактор витрачає 20 г урану-235 на добу. Внаслі-

док поділу одного ядра урану виділяється енергія 200 МеВ.

6.25. Яку потужність має атомна електростанція, що витрачає на

добу 100 г урану-235, і має ККД 25%? Під час поділу одного ядра

урану виділяється 200 МеВ енергії.

6.26.Ядра азоту при бомбардуванні нейтронами перетворюються

в ядра радіоактивного вуглецю

(Т

1/2

= 5760 років):

HCnN

+→+

Ця реакція відбувається в природних умовах в атмосфері. Під

дією швидких частинок, що приходять на Землю із космосу, утворю-

ються вільні нейтрони, що вступають у реакцію з ядрами атмосферно-

го азоту. Вирахувати енергію цієї ядерної реакції.

Математична обробка результатів вимірювань

Існують прямі та непрямі вимірювання. При прямих вимірюван-

нях шукані величини визначаються за допомогою вимірювальних

приладів, при непрямих – розраховують за формулами.

Результати вимірювань з різних причин дають не істинне, а ли-

ше наближене значення вимірюваної величини.

Теорія похибок дозволяє визначити інтервал, в якому з відомою

ймовірністю знаходиться істинне значення вимірюваної величини,

вказати ступінь точності проведених вимірювань.

Основні поняття теорії похибок

1.1. Результат вимірювання х фізичної величини відрізняється

від її істинного значення

а на величину │∆х│ = │х-а│, яку називають

абсолютною похибкою вимірювання.

1.2. Для того, щоб отримати значення вимірюваної величини,

найбільш близьке до істинного, розраховують середнє арифметичне

x> результатів вимірювань х

, х

, ... х

, одержаних при одних і тих

самих умовах:

ххх

≈=

+++

=><

∑

1...

. (1)

1.3. Оскільки <

x> відрізняється від а, указують довірчий інтер-

вал, в якому може знаходитись істинне значення вимірюваної величи-

ни:

∆+>≤<≤∆><

a -

, або скорочено

∆±>=<

a .

Величину

∆ називають довірчою границею похибок вимірю-

вань.

1.4. Довірча границя

∆ визначається одночасно з певною ймові-

рністю

Р, яку називають довірчою ймовірністю (достовірністю).

Якщо

n – повна кількість вимірювань, а ∆n – частина вимірю-

вань, для яких абсолютні похибки │

∆х

│ не перевищують довірчої

границі (│

∆х

│≤ ∆), то

∆

≈

∆

∞→

iml

тобто довірча ймовірність Р визначає ту частку результатів вимірю-

вань, які при великій кількості останніх (наприклад, при

n =

100, 1000 або більше) потрапили б у даний довірчий інтервал.

Р вимірюється позитивним числом, яке більше одиниці: 0≤ Р ≤1.

Чим більше значення

Р, тим більша довіра до результатів вимі-

рювань. Але слід пам’ятати, що при збільшенні

Р (а отже і ∆), змен-

шується точність експерименту (збільшується відносна похибка).

Оцінити величину

∆ за заданим значенням Р (або навпаки,

знайти

Р за заданою ∆) дозволяють методи теорії ймовірностей.

1.5. Точність вимірювань описують відносною похибкою

∆

≈=

. (2)

Чим менше

ε, тим більша точність вимірювань.

1.6. Кінцевий результат подають за стандартною формою:

ε∆±>=< P,

xa . (3)

Види похибок. Довірча границя систематичних,

випадкових та сумарних похибок

При вимірюваннях розрізняють систематичні │∆

х│ та випад-

кові │

∆ x│ похибки.

Систематичні похибки залишаються постійними або законо-

мірно змінюються при повторних вимірюваннях однієї тієї ж самої

величини. Вони обумовлені, головним чином, неточністю вимірюва-

льних приладів (інструментальні похибки).

Випадкові похибки при повторних вимірюваннях однієї вели-

чини змінюється довільно. Вони залежать від випадкових причин, які

неможливо врахувати.

Похибки, які виникають при вимірюваннях, є сумою системати-

чних та випадкових похибок і називаються сумарними │

∆х│.

Відповідно до наявності двох видів похибок довірчу границю

сумарних похибок ∆ записують у вигляді суми:

∆ = ∆

∆ , (4)

де

∆

– довірча границя систематичних похибок;

∆ - довірча границя

випадкових похибок.

∆

Їм відповідають параметри: Р

– ймовірність того, що система-

тичні похибки не перевищують

∆

(∆

х≤ ∆

);

– ймовірність того, що випадкові похибки не перевищують

∆ (

∆ х≤

∆ ). При прямих вимірюваннях можуть бути допущені грубі

похибки, тобто такі, які суттєво перевищують похибки, що очікуються

в даних умовах, Вони легко виявляються в серії вимірювань через різ-

ке відхилення від інших значень. Такі дані, як правило, не врахову-

ються при обробці результатів.

Математична обробка результатів прямих вимірювань

3.1. Перед початком прямих вимірювань записують назву та ці-

ну поділки вимірювального інструмента –

с.

3.2. Результати вимірювань записують стовпчиками в таблицю

під символом відповідної величини в тих одиницях, в яких програду-

йовано вимірювальний інструмент, потім їх виражають в одиницях СІ.

Назву одиниць вимірювання пишуть поряд із символом величини.

3.3. Оцінюють довірчу границю систематичних похибок

∆

і до-

вірчу ймовірність

. У випадку, коли виключено всі систематичні

похибки, крім інструментальних,

∆

= с, Р

=1, (5)

де

с – ціна поділки вимірювального інструмента .

Якщо існують додаткові систематичні похибки, що перевищу-

ють

с, то користуються формулою ∆

= с + ∆

, де ∆

– довірча гра-

ниця додаткових систематичних похибок.

3.4. Розраховують середнє арифметичне <

x> результатів вимі-

рювань за формулою (1).

3.5. Визначають випадкові відхилення результатів вимірювань

δ :

= х

- <x>,

де х

– результат і-го вимірювання, і = 1,2,...n; а також середнє ариф-

метичне випадкових відхилень:

δ...δδ

n21

>=<

. (6)

3.6. Розраховують середнє квадратичне відхилення середніх

результатів вимірювань

ср

)n(n

δ...δδ

ср.

1−

+++

. (7)

3.7. Визначають довірчу границю випадкових похибок

∆ :

∆ = t· σ

ср

, (8)

де

t – параметр Стьюдента. Для нього існує спеціальна таблиця і він

залежить від

n ( кількість вимірювань) та довірчої ймовірності

Р .

Встановлюючи кількість вимірювань

n і задаючи значення

Р (за до-

мовленістю з викладачем), по таблиці Стьюдента знаходять відповід-

не значення

t ( якщо n = 3, а

Р =0,95 тоді t = 4,3). Для більш грубих

наближених оцінок можна скористатися виразом :

∆ = t< >.

3.8. Вираховують довірчу границю сумарних похибок

∆ = ∆

∆ та відносну похибку ε за формулою (2).

3.9. Записують кінцевий результат у стандартній формі (3), вка-

зуючи, що його довірча ймовірність

Р знаходиться між

Р і Р

= 1:

Р <P<1, або P>

Р .

Примітка 1. Якщо результати

прямих вимірювань збігаються,

то

∆ = ∆

= с і Р = Р

= 1.

Примітка 2. Якщо відносна похибка

ε перевищує 0,2 (20%),

експеримент треба повторити, взявши більш точний інструмент (зме-

ншується

∆

) і збільшуючи кількість вимірювань n (зменшується

∆ ).

Математична обробка результатів непрямих вимірювань

Розглянемо величину z, що є функцією декількох аргументів

z = f(x,y,…), а величини х,у,... визначаються шляхом прямих вимі-

рювань. Тоді послідовність розрахунків така.

1. Середнє значення

z розраховують один раз, підставляючи за-

мість аргументів

х,у,... їх середні значення:

)

...

(

z ><><>=< . (9)

2. Визначають відносну похибку непрямих вимірювань

за фо-

рмулою:

}∆∆{ ...

дy

д(lnf)

дx

д(lnf)

yxz

++=ε , (10)

де

∆

, ∆

– довірчі границі сумарних похибок вимірювань величин

х,у,.....

Для полегшення обчислень формулу (10) для розрахунку від-

носної похибки непрямих вимірювань

наводять у кожній лаборато-

рній роботі.

3. Розраховують довірчу границю сумарних похибок:

><ε=∆ z

z z

. (11)

4. Записують кінцевий результат у стандартній формі (3):

,, ε∆±>=< Pzz

5. Роблять аналіз і висновки.

Примітка 1. Якщо в розрахунках використовують табличне зна-

чення, то відповідну довірчу границю похибок визначають як полови-

ну одиниці його (табличного значення) останнього значущого розряду

з достовірністю, яка дорівнює одиниці.

Наприклад: g = 9,807 м/с

, ∆

= 0,0005 м/с

, Р

=1.

Але, якщо

g = 9,8 м/с

, ∆

= 0,05 м/с

, Р

=1.

Примітка 2. Якщо прямі вимірювання не можна виконати в од-

накових умовах, то величину

z розраховують для кожного окремого

вимірювання, а потім знаходять її середнє значення. При цьому для

прямих вимірювань беруть до уваги лише довірчу границю система-

тичних похибок, а відносні похибки прямих і непрямих вимірювань

оцінюють тільки для якогось одного вимірювання.

Запитання для самоконтролю

1. Дайте визначення похибок: абсолютної похибки та відносної

похибки вимірювання.

2. Що таке випадкове відхилення результату вимірювання і чим

воно відрізняється від похибки вимірювання?

3. Чим відрізняється похибка вимірювання від довірчої границі

похибок?

4. Як визначити довірчу границю систематичних, випадкових та

сумарних похибок?

5. Як розрахувати значення величини, що вимірюється при не-

прямому способі?

6. Розкрийте зміст поняття достовірності (довірчої ймовірності).

7. Якою є стандартна форма представлення кінцевого результату

вимірювань?

ЛАБОРАТОРНІ РОБОТИ ПО МОДУЛЮ 1

РОЗДІЛ 1. МЕХАНІКА

РОБОТА 1.1

ВИЗНАЧЕННЯ ПРИСКОРЕННЯ ВІЛЬНОГО ПАДІННЯ

ЗА ДОПОМОГОЮ МАТЕМАТИЧНОГО МАЯТНИКА

Мета роботи: виміряти прискорення вільного падіння за пері-

одом коливань математичного маятника; вивчити методику матема-

тичної обробки результатів прямих і непрямих вимірювань; вивчити

закони гармонічного коливального руху.

Прилади та обладнання: важка кулька, яка підвішена на лег-

кій нитці, що не розтягується; вертикальна шкала; секундомір.

Рух тіла під дією тільки однієї сили тяжіння називається вільним

падінням, а прискорення, якого набуває при цьому тіло, − прискорен-

ням вільного падіння g.

У даній роботі прискорення ві-

льного падіння визначається за допо-

могою математичного маятника.

Математичним маятником нази-

ва-ється матеріальна точка, яка підві-

шена на тонкій невагомій нитці, що не

розтягується. Ця матеріальна точка

здійснює коливання у вертикальній

площині під дією сили тяжіння .

На практиці математичним мая-

тником можна вважати важке тіло, яке

підвішене на легкій недеформованій

нитці, довжина якої в багато разів бі-

льша за розміри тіла.

На рис.1 видно, що сила F , яка пове-

ртає маятник у напрямку до положен-

ня рівноваги, при малих кутах відхилення α дорівняє

αα mgmg

≈= sin , (1)

де αα ≈sin (у радіанах).

Таким чином, сила F пропорційна куту відхилення маятника від

положення рівноваги, отже, пропорційна зміщенню маятника від цьо-

го положення. Така сила викликає гармонічний коливальний рух.

Період коливань математичного маятника Т залежить від довжини

маятника l і прискорення вільного падіння:

Pис.1

T π2=

. (2)

Розв’язуючи (2) відносно g , одержимо:

4π

. (3)

Звідки випливає, що визначення прискорення вільного падіння зво-

диться до вимірювання довжини маятника та періоду його коли-

вань.

Порядок виконання роботи

1. Установлюють певну (якомога більшу) довжину нитки маятника і

знаходять значення l , вимірюючи для цього відстань від точки підвісу

до центра ваги підвішеного тіла.

2. Відводячи маятник від положення рівноваги на малий кут

(5−10

), визначають проміжок часу, за який здійснюється N = 50

повних коливань. Вимірювання повторюють не менше трьох ра-

зів.

3. Обробляють результати вимірювань l і t .

4. Розраховують середнє значення величини 〉〈

за формулою

〉〈

=〉〈

і середнє значення величини 〉〈g за формулою (3).

5. Визначають відносні похибки результатів прямих і непрямих

вимірювань:

= ;

εε

++=

6. Розраховують довірчу границю сумарних похибок

〉〈=

∆

7. Оформлюють звіт і результати заносять у таблицю.

Табличні

величини

Результати прямих

вимірювань

Результати непрямих

вимірювань

№

п/п

, м t , с T, с g, м/с

− − −

Pис.1

Запитання для самоконтролю

1. Сформулюйте закон всесвітнього тяжіння.

2. Поясніть різницю між вагою і силою тяжіння.

3. Запишіть залежність прискорення вільного падіння від висо-

ти над поверхнею Землі та географічної широти місця.

4. У чому полягає різниця між фізичним і математичним маят-

никами ? Порівняйте вирази для їх періодів коливань.

5. Запишіть диференціальне рівняння гармонічних коливань і

його розв'язок. Поясніть зміст понять "зміщення", "амплітуда", "поча-

ткова і повна фази", "період", "частота коливань".

6. Від яких величин залежить повна енергія гармонічних коли-

вань?

РОБОТА 1.2

ВИЗНАЧЕННЯ МОМЕНТУ ІНЕРЦІЇ ТІЛА МЕТОДОМ

КРУТИЛЬНИХ КОЛИВАНЬ

Мета роботи : вивчити динаміку обертального руху твердого

тіла; визначити момент інерції тіла методом крутильних коливань.

Прилади та обладнання: крутильний маятник, циліндр, секун-

домір, штангенциркуль.

У даній роботі для визначення моменту інерції тіла неправиль-

ної форми використовують крутильний маятник, який являє собою

підвішений на пружному дроті диск зі скобою (рис.1).

Період коливань маятника

T зв'язаний з

його моментом інерції співвідношенням:

Т π2=

, (1)

де

k − модуль кручення підвісу, який чисель-

но дорівнює моменту сили, що закручує дріт на

кут в один радіан.

Для виключення

k з виразу (1) діють так. На

диску розміщують циліндр з відомим момен-

том інерції

У цьому випадку згідно з (1) пе-

ріод маятника дорівнюватиме