Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений
Подождите немного. Документ загружается.
где рг
—
суммарная поправка, полученная иосле всех предыдущих прибли-
жений. Поэтому
ДИ'з=19взР
1
~1 = 1
я
з
,
"1
Те же пыражеиия (Х.39) для ДИ' получим, если значения ДИ' вычислим
по исправлеппым результатам измерений г/ + V? (1= 4, . • •» ")• Действи-
тельно, пусть Д = И'з — И'
3
, тдо
И
з — повое значение свободного члена,
гычислонное по
х,-
-г Vг = 1 и).
Разлагая в ряд
И'з-Ч'э + • . •
> -
г
п4-
у
п)
= ФзК */»)-Ивз'
~1
=
убеждаемся а снраведлниостп равенства
ДИ
з = И'з— И"з =
Таким образом, способ Гаусса вытекает пз общей теории группового метода
приближении.
При разбивке неизвестных на группы следует учитывать, что
с увеличением групп сходимость приближении будет ускоряться. Это
показывают выражения (Х.27). Очевидно, что чем больше неизвест-
ных окажется в группах, тем больше будут «шаги приближений»
к точке минимума.
Вычисления на ЭВМ
Для вычислений на ЭВМ с ограниченной оперативной памятью
(2048 ячеек) в группы надо включать такое число неизвестных, чтобы
составление и преобразования нолпых уравнений одной группы
можпо было бы выполнить, не обращаясь к впешпей памяти. Приме-
нение способа краковянов позволит существенно увеличить число
неизвестных (и уравпений) в группах. После завершения преобразо-
вании краковяновые коэффициенты отправляются на внешнюю на-
мять, а вся внутренняя память освобождается для преобразовании
следующей группы.
Б процессе приближений необходимые краковяновые коэффициен-
ты и очередные значения неизвестных других групп вызываются из
внешней памяти на внутреннюю. Возвращаются на внешнюю память
те же коэффициенты и последние значения неизвестных данной
группы.
Таким образом, число обращений к внешней памяти будет при-
близительно равно произведению числа групп на число приближе-
ний. т. е., как показывает опыт уравнивания больших геодезических
сетей, — не более 30—50.
При соблюдении пашпх рекомендаций вероятность сбоя машины
достаточно мала. Как показывает производственный опыт, эта вероят-
ность меньше 0,1.
Применение ЭВМ позволяет значительно уменьшить требования
к точности приближенных значений необходимых неизвестных нри
342
(Х.39)
уравнивании параметрическим способом. Если эти значения грубы,
после их уточнения в результате нескольких приближений линеа-
ризацию уравнений связи и все последующие вычисления можпо
повторить, стерев перед этим всю промежуточную информацию. Ука-
занный вычислительный прием оказался весьма аффективным для
уравнивания триангуляции способом последовательной вставки пунк-
тов. Ири этом после каждого приближения в оперативной намяти
оставляют только координаты, все же остальное, кроме первичной
информации, стирают*.
§ 76. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ
1. Формула среднего отношения весов
и ее применение
Во многих случаях оценку точности измеренных величин и их
функций можно значительно облегчить, применяя полученную в § 60
формулу среднего отношения весов. Эта формула среднего значения
отношений весов результатов измерений к весам уравненных зиачс-
пий измеренных величии обычно позволяет получить приближенную,
по практически достаточно удовлетворительную оценку точности,
не прибегая к строгим, но гораздо более сложным формулам.
Проведем еще одни вывод формулы (У.67)
где р — веса результатоа измерений;
у — веса уравненных зпачешш измеренных величин;
п — число" всех измереппых величин;
к — число необходимых величин.
Вспомпнм обозначения параметрического способа ур&ввпваипя:
х' — уравненные зпачешш измереппых величии;
I — необходимые неизвестные;
Тогда для обратного веса значения х/, т. е. уравиешюго значения измерен-
ной величины, на осповашш формул (УП.ЗЗ) можно паппсать
= /*) («=»!••.•» ");
дх(
-гг--ац
(1
=
1
/ 1 А).
=
а
а
а
/1<?и +
а
й
а
Ч<?12 •
•
+ ада,*^,*
+
а
.'2
й
/1 (?21
-г
а
1г
а
12Я«г
+
-
- --гв*
2
в,-/:<>а* -
* Описанный вычислительный прием нредложен М. М. Машимооым.
« («Д011 I- +•••-!-
в
/*<?1*) -Г
+ ««Г («ЛСП -I-<»12<?22-Г • • •
-I"
а
1к(?ак)
+
IIЛ И
Принимая во внимание выражение (VII. 17), находим
I _ о цац | . •
а
'к
а
1к . .
ТГ--7Г + -7Г+----Г
Рг
<<~
1
"ТТ
-
= «1|«Л °12 +
•
• ('
=1 П
)
, я 1к^1к
-Г-7Г
(<•=1 ")
И
(Х/,0)
Принимая во внимание формулы
(VI
1.22), имеем [а
х
а,
1
=
[«•>&« I
= . ..
. . . = = 1, поэтому, учитывая выражение (Х.40), паходим
где и — число всех измерении, к — число необходимых величин.
Формулы (Х.41) и (У.67) вдентичиы.
Приведем несколько примеров применения формулы (Х.41).
В главе VII приведен пример уравнивания спстемы нивелирных
ходов, состоящей нз девяти ходов (вернее, звеньев ходов) п четырех
определяемых точек, с оценкой точности всех определяемых высот
и двух разностей высот (пример 1).
Разность высот (1
4
—1
п
) принята измеренной величиной, поэтому
п 9
можно ожидать, что ее вес повысится после уравнивания в —
о
рази. Вес измерения этого звена р
е
—
1,1, сгало быть, Р
п
1,1 — =
= 2,Г>, откуда = 0,40. Пз уравнивания получено -^——0,38, т.е.
"в * *
практически то же число.
В отношении определяемых высот будем рассуждать так. До урав-
нивания веей этих высот можно считать равными весам ходов от бли-
жайших исходных марок, т. е. вес 1Г
ез
равен р
1
— 1,2; вес И'ц равеп
Рз = 1,1; вес //о, равен р
7
— 1,2 и вес П'
8е
равен р
9
— 1,0. Веса
этих же высот после уравнивания получены такими: Р
т
= 2,1;
и
т. е.
(Х.41)
"М- —
1
- = 9 1-
Среднее значение отношений весов равно
2.1+2.4+2.1 -г 2,5
/, =2-3.
Но веса уравненных значений измеренных величин должны повтл-
9
епть^я в среднем в
—
= 2,25 раза, а если определяемые высоты рас-
положены равпомерно в сети, то и пх веса по сравпеиию с непосред-
ственными передачами от блпжайшлх исходных марок должны
повыситься приблизительно во столько же раз.
Найдем теперь, пользуясь формулой (Х.41), вес разности высот
(//93-7/8,,) =
Указанная разность может быть получена до уравнивания наи-
более точно как сумма превышений х. +
аг
&
.
Обратный вес этой
1 1
суммы равен —
вес
равен 0,50.
Можно ожидать, что после уравнивания вес будет 0,56 -2.25
«1,3. На самом деле оп оказался равным 1,5. Такое расхождение
вполне допустимо.
Как видим, в рассмотренном примере вполне можно воспользо-
ваться формулой (Х.41), по прибегая к громоздким формулам стро-
гой оценки точностей.
Рассмотрим другой пример. С 1955 по 1901 г. базисные стороны
в сплошной триангуляции 2 класса располагали не более чем через
14 треугольников. Найдем точность наиболее слабой стороны в сети,
которая будет находиться в центре квадрата, образованного четырьмя
выходными сторонами, полагая базисные стороны безошибочными,
а треугольники равносторонними.
Точность передачи от любой базисиой стороны к определяемой
до уравнивания характеризуется формулой
где т" — средняя квадратпческая ошибка измерения углов;
10 — число треугольников передачи.
В данном случае в качестве результатов измерений будем рас-
сматривать треугольники с предварительно уравпепными углами.
В квадрате, образованном четырьмя выходными сторонами,
имеется около 200 треугольников. Все эти треугольники исполь-
зуются для получения определяемой стороны.
Следовательно, л* = 20, и поэтому после уравнивания
получим
т
8 т" -|/Т
ч/10
т*
ч/Т
20
=
-р- V ?•
* От нершипы до центра квадрата расположено 10 треугольников.
Если прямом т" = 0.9", получим
*»5 0-9"
7
/Т 1
5 ^ 20С 265"" Г 3 ** 400000 "
Такой же результат получен п работе проф. К. Л. Проворова *
после строгих, но длительных и громоздких выкладок. Такое же со-
гласие результатов получилось для точности дирекцпонпою углл
слабой стороны сети.
Следует, однако, иметь в виду, что формула (Х.41) будет давать
достаточно точные результаты лишь при умелом ее применении,
когда учитывают только те измерения, которые за лют по влияют на
точность определяемой величины, п когда в качестве непосредственно
измеренных величин принимают либо действительно измеренные
величины, либо их функции, но мало связанные одна с другой.
2. Учет систематических влияний
при уравнивании
Метод наименьших квадратов наиболее эффективен при соблюдении
следующих условий:
1) ошибки измерений носят в основном случайный характер и их
систематические части пренебрегасмы;
2) невязки условных уравнений являются результатом действия
только ошибок измерений.
На практике эти два условия соблюдаются далеко пе всегда.
В действительности возникающие невязки отягощены очень часто не
только случайными ошибками измерений, по и систематическими.
Кроме того, певязкн содержат и ошибки исходных данпых, иногда
довольно существенные.
Под систем а т и ч е с к и м и в л и я п п я м и понимают
влияния систематических ошибок измерений и ошибок исходных
данных на невязки в условных уравнениях.
Систематические влияния могут снижать эффективность приме-
нения метода наименьших квадратов.
В некоторых случаях влияние систематических ошибок измере-
ний и ошибок исходных данных можно ослабить, учитывая его при
обработке. В качестве простого примера можно привести вычисление
превышений по сторонам геодезической сети из прямых и обратных
наблюдений вертикальных углов. В среднем значении нз прямого
и обратного нревышений в значительной степени будет ослаблено дей-
ствие вертикальной рсфракцип н систематической ошибки измере-
ния углов наклона.
При уравнивании результатов измерений нескольких связанных
условиями величин параметры систематических влияний можно
учитывать в виде дополнительных неизвестных в параметрических
пли в условных уравнениях поправок. Для этого, конечно, нужно
* К. Л. П р о в о р о в. О точности сплошных сетей триангуляции. М.,
Геодезпздат, 1956. 163 с.
346
зиить л о возможности точнее закономерности систематических влия-
ний-
]3 некоторых случаях характер систематических влиянии можно
установить методами интерполировании функций по измеренным
значениям, ос л и известны аргументы, функциями которых могут
рассматриваться систематические ошибки. Таким образом, напри-
,юр, решают задачи уравнивания высот в фотограмметрии пли про-
изводят исследования систематических ошибок диаметров горизон-
тальных кругов теодолитов. В нервом случае нримеияюг параболи-
ческое интерполирование, во втором — периодическое.
Для иллюстрации используем пример уравнивания треугольника
с исходной стороной и измеренными остальными пятью ого элемен-
тами. который решен в главе V § 57 (пример 4) и § 59 (пример 4).
Пусть имеем основания считать, что измерения длин сторон тре-
угольника отягощены постоянной относительной ошибкой. Тогда
дополнительным неизвестным, которое должно быть определено из
уравнивания, будет некоторый малый коэффициент к = 1Ш, где О —
знаменатель относительной ошибки.
В параметрические уравнения поправок для сторон искомый ко-
эффициент нужно вводить следующим образом.
Уравненное значение измеренной стороны представляется в виде
где л — измеренное значение стороны.
Отсюда
и, наконец,
V = 5А-+ 0Т| + 6т
г
4- I,
где а, Ь и I имеют прежние значения.
Теперь имеем не два неизвестных, как раньше, а три — т
х
, х
г
и к.
Конечно, для $ и к в первом члене уравнении поправок нужно
выбрать соответствующие размерпостп. Так, в рассматриваемом
примере расстояпия равны 79 600 и 101 900 см и еслп коэффициент
к можпо предполагать равным около 1/100 000, то 5 выгодно выра-
зить в километрах, а к — в стотысячных долях. Тогда зпаченпя 5
и к будут близки к единице.
В условных уравнениях поправок коэффициент к должен учиты-
ваться как дополнительное (неизмеренное) неизвестное. Делается
это следующим образом.
Пишем условное уравнение
51 п«'
где с — исходная сторона и ж' —
величин.
уравненные значения измеренных
Далее можно написать
с
81П +
(Х.42)
где х
{
— измеренные значеппя величин.
Полагая приближенное значение пеизвестного к равным нулю,
т. е, к
0
= 0. получаем для невязки обычную формулу
Приводя равенство (Х.42) к линейному виду, получаем условное
уравнение поправок с дополнительным неизвестным
«Л-^з-'Ч -Ь Ы
км
•
А-+IV=О,
В условном уравнении для другой стороны будет фигурировать
то же дополнительное неизвестное к.
Копочно, нельзя дать рекомендаций для учета систематических
влияний па все случаи. Для решения этой сложной задачп необхо-
димо глубокое знание как предмета исследования, так и метода наи-
меньших квадратов.
Рассмотрим теперь, на к можно выявить наличие систематических
влияний до уравнивания и установить, хотя бы примерно, их харак-
тер. Для этого необходимо подвергнуть анализу невязки, возника-
ющие в математических соотношениях между результатами измерений
при наличии избыточно измеренных величин. Результаты анализа
тем надежнее, чем большее число невязок использовано для иссле-
довании.
Прежде всего необходимо получить по возможности точнее, сред-
нюю квадратическую ошибку измерений. Для этого можно вос-
пользоваться формулой
в которой фигурирует п невязок, свободных от систематических
влияний. Если систематические ошибки являются только ошибками
неходпых данных, то в формуле (Х.43) следует использовать только
невязки, на которые совершенно не влияют эти ошибки, например,
невязки замкнутых полигонов нивелирных ходов или иевязкн сумм
углов треугольников.
Далее получают значение
где фигурируют только те невязки, па которых отражаются ошибки
исходных даипых, например, невязки ходов между исходными мар-
ками.
Ш
(Х.43)
(Х.44)
Если /н
0
заметно больше т, то предполагаются существенные
систематические влияния, характеристика которых на измеренные
величины выражается величиной
'"о
= 1Л"о-
т2
- (Х.45)
Дальнейшее исследование вопроса зависит от конкретных усло-
вий задачи.
§ 77. УРАВНИВАНИЕ ФУНКЦИЙ
РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
»
В геодезической практике часто встречаются случаи, когда вклю-
чение в уравнивание функций результатов измерений позволяет
упростить уравнительные вычисления.
Рассмотрим условия, соблюдение которых обеспечивает строгость
уравнивания функций результатов измерений.
Предположим, измерено п величин и получены результаты из-
мерений . . х
п
с весами соответственно^ р
х
, . . .. р
п
• Пусть
далее вычислено I величин
У1
- -
/1 (*1
• • • Хп) |
, (Х.46)
уравненные значения которых должны удовлетворять условным урав-
нениям
ф|(«г1
у,)=о
.0.
где т<С I < п.
В равенстве (Х.47)
(/==1, 2, . .
но в то же время должно быть
1 П
нлн, имея в виду выражение (Х.46),
Сравнивая формулы (Х.48) и (Х.49) и обозначая
(Х.47)*
(Х.48)
Ок.
дх(
•а/
получаем
б/=а/хг 1+о,у
8
+
.
• --г«/п"п
(/
=
1,
2, . . ., I).
(Х.49)
(Х.ЭД
(Х.51)
* § 77 наппсап докт. техн. наук, профессором Е. Г. Бойко.
" Разумеется, условные уравнения (Х.47) должны быть эквивалентны
основным уравнениям, возникающим между измеренными ве.тнчнннмк.
Приводя условные уравнения (Х.47) к линейному виду, 11аш,
Ше
}' (Х.5>\
. - г'1тА Н'т -0 )
где
о® у
= • • • '
и()
- (Х.53)
13 матричной форме система равенств (Х.51) примет вид
(Х.54)
(Х.55)
Строгое уравнивание должно выполняться под условном [риЦ =
= вин. Поэтому в уравнении (Х.55) вектор О выразим через век-
тор V при помощи равенства (Х.54)
ЛЙ +
И'
= ЛаГ+И'=0. (Х.5С)
Введем обозначение
Аа = С, (Х.57)
тогда матричное равенство (Х.50) примет вид
СУ+1У=О, (Х.5§)
где
Ап • • • Сщ \ /А
и
. . . А
и
\ /а
1
, . . . а
1П
\
• • • с
тп
} \Ляц . - . А
т(
) . . . сс,„ /
Система условных уравнении (Х.58) является исходной для стро-
гого уравнивания. Как известно, для определения поправок в
измеренные величины необходимо составить и решить систему нор-
мальных уравнении коррелат
С«СЧг + И'«=0. (N.59)
350
9 ~
О
О
\
Здесь д — диагональная матрица обратных весов измеренных
рслнчнн,
( 1
7Г
0
о-Ь
Рг
Рп
к — вектор коррелат. С
1
—
транспонироваиная матрица С.
Докажем следующую теорему-, у р а в н и в а н и е ф у н к ц и й
результатов измерений приведет к тем же
к о п е ч п ы м р е з у л ьтатам, что и у р а в н и в а и п
е
не-
посредственно измеренных в е л и ч и и, е с л и об-
ратные веса функций задать матрицей
=
М^Яг] [7«
(
а
г
1 . . . [«а
(
а
(
Ь
(Х.60)
Доказательство. Равенство (Х.СС) в матричном "виде
можно представить так:
<)'=а
7
а
Г
. (
х
-
61
)
Примем в качестве исходной систему условных уравнений (Х.55)
и выполним уравнивание под условием 1Р'6
2
1 = пап, где Р' зада-
ются матрицей (Х.60).
Система нормальных уравнений коррелат в этом случае иримет
вид
А()'Л
т
к+\У=0, (Х.62)
или, учитывая выражепис (Х.61),
А
ад<х
т
А
7
к II-*=0.
(Х.63)
По ранее мы установили, что строгое уравнивание под условием
1 рV-1 = ппп приводит к системе нормальных уравнений (X .59),
которую с учетом (Х.57) «южно записать так
(Лсс)</(/1а)
т
А--ИГ=0.
Принимая во внимание известное соотношение
(,1а)
т
=а
т
Л
т
,
А а да
1
А
7
к -}-
1Г
= 0.
(Х.С4)
получаем из (Х.64)
(X .65)
Совпадение равенств (Х.63) и (Х.65) доказывает теорему.
Рассмотрим пекоторые следствия доказанной теоремы.
351