Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

Предоставляем читателю возможность самостоятельно убедиться в справед-

ливости остальных ранснстп

[АМК+ма-гь-гж^з!;

[с//

•

Я1+

[<Н •

2]а ==[<*'

•

31;

[о; - Па

Н--

2Ь«= -

31;

И- Л

Н-(^-21.= И-31.

Пример р с

И1

е а и я пор м а ль пых урапнепий много

групповым способом Праппс-Прапсвипа.

Требуется

решить

две частично независимые системы нормальиых уравнений:

О 4т, :-т

-2т-,+2

т,

+ 3х

+ —1

-2

Т1

+ тН-5тб-2

2, = 3^ +

5x4

4x5—1

/1Т

—тз—Т4

Т5

—т

+Зтз

—

4 —

2тз+2

-т

—т

+ Зт

+ 2х

—3

-2т

+2т4 +

5х

+ 4

Зт

Х4

+ 0т

+б.

Связующими пеизвестпымп являются т

и т

. Остальные неизвестные в каж-

дой системе исключаются.

Решение первой системы приведено и табл. 62, второй — в табл. 63. Для

решения применялась сокращенная схема алгоритма Гаусса.

Копффнциспт [ее

• 1]

4.00 = 5.00—0,50

•

2,00;

» [«/•

11!

= -1.00 = -2.00+ 0.50-2.00;

> [е.9

•

Ц,= '-4.50-= +2.00 + 0.50-5,00.

Таблица 62

Строка

Т|

т.

т» /

Контроль

Л,

Ех

Х<

'V.

4,00

+1,00

—0,25

3,00

-2,00

+0,50

+1,00

5,00

+2,00

-0,50

—1,00

-2,00

+5,00

-1,25

+4,00

+2,00

-1,25

Л'1

Л'<

2.75*

+ 1.50

4.00

-1.50

-1.00

+2.75

+4.50

+2.75

+4.50

Неизвестные —1,24

+1,07 | -0,94

• Коэффициенты строки ,\<3> получены Обычным путем, после исключения т,.

Таблица бЗ

Отрока

т*

Тя т«

т.

Контроль

Е*

Л',

4,00

—1,00

+0,25

3,00

—1,00

+0,25

—1,00

+1,00

-0,25

-2,00

+3,00

-0,75

+2,00

+6,00

-1,50

+1,00

-1,50

Е,

А.

ЛЬ

2,75

—1,25

+0,45

3,00

—1,75

+0,64

+2,00

5,00

+2,75

-1,00

-3,00

+4,00

+2,50

—0,91

+10,00

+2,50

-0.91

Л'

(

2,19

+1,46

3,63

-1,01

+5,01

+2,64

+10,10

+2,63

+10,10

Неиз-

вестные

—0,53

—1,12 +1,07

—0,94

Строка иолучеаа обычным способом. Коэффициенты строки

пол учет,г следующим образом:

[ее

•

= 5.00 — 0.25

•

1.00—0.64

-1.75

= 3,63;

[сI

• 2]

= +4.00—0,25

•

3.00 +

0.64 •

2,75=5.01;

[еб*

•

= +10,00— 0.25

•

6,00+0.64

2,50=+10.10.

Теперь получим коэффициенты соязукяцой системы, суммируя соответ-

ствующие коэффициенты частных связующпх'спстем, т. е. строк А^

табл. 62 и 63.

4/Нт.,+2.96Т

—2,51=0;

«=

+5.39;

+2.96Т

+7.63т

+4.01 -

=+14,60.

Решепие связующей спстемы выполпено в табл. 64.

Таблица 64

Строки

т.

Контроль

Л'<

Я.

Л'<*>

4,94

+2,96

-0,60

7,63

-2,51

+0.51

+4,01

+5,39

-1,09

+14,60

-1,09

5,85

+5,52

+11,37

+11,37.

Неизвестные

+1,07

-0,94

333

Поастаплял полученные пеизвестпы© т

= +1,07 и т

= —0,94 п злнмава-

цпогпшс строки табл. 62 и 63, находим остальиые неизвестные т, = 1,24,

т»

-= -0.53 и т

= -1.12.

Дли контроля правильности решения иодстапим иайдениые пепзвестнио

к сумму всех нормальных уравпеиий, которую, в свою очередь, получим как

сумму уравнении и (т. е. сумм 1-й и 2-й систем)

Зт,

+ Зт

—тз +

8т

10т

— —3 -

1,24-3-0,53+1.12+8- 1.07-Ю-0.04 +

5.00

=-0.03.

Остаточная погреигаость преиобрегасма.

Таким обравом, практически убедились в полной строгости способа Пра-

иис-Прапевича.

Если связующие нормальные уравнения, в свою очередь, распа-

даются на частично независимые системы, то н для пх решеипя можио

применить способ Нранис-Праиевича.

Многогруниовой сносоо Пранпс-Праневича чаще всего применяют

и сочотппшг с коррелатпым способом с дополнительными неизвест-

ными (см §71, н. 3).

4. Вычислительная схема для решения

больших систем нормальных уравнений.

Дополнительный контроль решений

Для решения больших систем нормальных уравнений (больше

10—20 уравнений) обычная сокращенная вычислительная схема

становится неудобной, так как множители, сумму произведений кото-

рых вычисляют при получении преобразованных коэффициентов,

могут оказаться удаленными одни от других на большое число граф.

Ото обстоятельство усложняет вычисления и сопряжено с возмож-

ными промахами в них.

Укавапиын недостаток устраняется применением двух вычисли-

тельных схем. На схеме 1 выписывают коэффициенты уравнений пер-

воначальной системы N и уравнений эквивалентной системы Д'

На

схеме

2 выписывают коэффициенты олиминациониых уравнений А'.

Загибая лист бумаги по левому краю очередной графы схемы 2,

прикладывают ее к правому краю соответствующей графы

схемы,

в результате чего все пары множителей, которые должны перемно-

жаться, оказываются расположенными рядом.

Вид схемы 1 и схемы 2 показан в табл. 65.

Верхние края схем должны быть обозначены жирной чертой,

чтобы не ошибиться, прикладывая схему 2 к схеме 1.

Коэффициенты уравнений первоначальной системы (на схеме 1

выделены полужирным прямым) следует выписывать чернилами дру-

гого цвета по сравнению с коэффициентами эквивалентных и эли-

миианпонных уравнений. Последние коэффициенты должны быть

вьугасаны одним цветом.

13 схеме 1 заполпяют все строки; в схеме 2 — через строку.

Производственным опытом математической обработки большого

числа геодезических измерений установлено, что в значениях коаф-

фнцпентов первоначальной системы пормальных уравнений и в коэф-

334

та:

»»

и —

г—

Графи

строки

"С

"О

•э

Г4

•

1»

Й;

•«

"С

и и

•у.

1с;

и»

КЗ

•-*

~ и

"'С-

•у.

ел

•

" со

им

Г*

О,

М и

РЧ

С.*

Лз

О»

№

•

г-

•э

1-1,

* 5:

Граф"

и строьи

фициентах уравнении эквивалентной системы достаточно сохранять

три значащие цифры (как правило, два десятичных знака); в коэф-

фициентах элимипацпошшА- уравнений необходимо сохранять на

два-три десятичных зпака больше. Напомним еще, что при вычисле-

нии нензвестпых пх иадо подставлять но мерс получения в каждое

очередное эквивалентное уравнение.

Хорошим контролем правильности вычисления «горки» может

служить также вычисление неизвестных и = г— I, для чего ис-

пользуется графа 8/ — А',/ -{- ...-{- Л

// А

/А -Ь

При уравнивании параметрическим способом обязательно прове-

ряют равенства

[рар] = =

|/;а

<;]

=. . . = [рв

1>]=0.

В коррелотном способе должны быть выполнены подстановки

уравненных значений измеренных величин во все условные урав-

нения.

Если для решения уравнений применяется снособ краковяиов,

то на месте строк Л

{°\ Л'*

', . .

пТ~

схеме 1 и строк Е

в схеме

разместятся краковяновып строки, которые придется таким обра-

зом выписывать но два раза. Вследствие этого применение способа

краковяиов для решения больших систем уравнений на настольных

механических машинах нерентабельно. Иа ЭВМ этот способ, несом-

ненно. эффективнее алгоритма Гаусса.

§ 75. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИЙ

Если при уравнивании число как необходимых, так и избыточ-

ных величин большое (больше 50—100), то наиболее эффективен

метод приближений Этот метод удобен для вычислений как на на-

стольных механических машинах, так и на электронно-вычислитель-

ных. Сущность метода заключается в следующем.

Задача уравнивания любым из двух основных «ноеобов в чисто

математическом смысле есть задача на нахождение абсолют-

ного минимума функции многих переменных.

При уравнивании параметрическим способом эта функция имеет

вид

2 Л(АД+«/Л-Ь . . . ТА). (Х.22)

1-1

При уравнивании коррелатным способом функция ирнобретпег

внд

Ыу-Н

/л

-ь• . . +

<ЧГЪГ-Р1Ъ'№

<*, кг). (X.23)

/-1

Поправки VI в выражении (Х.23) должны рассматриваться кок

величины, не зависящие от коррелат *.

* Если

таблице коэффициентов на месте I, будут стоять величины

—

р,1/<,

то вместо \ра{1] получим —[дра/ы] =

—

(я/ь]= И

336

Система равенств

дУ

"^7=° А) (Х.21)

даст систему нормальных уравпешш с неизвестными т/ (/ =

Снстема равенств

«ф

(/=-1 о <*25>

даст систему нормальных уравнен пи коррелат, еслп учесть, что

(; —1

г).

Итак, установлено, что задача уравнивания любым основным

способом есть задача на нахождение абсолютного минимума княдра-

тпческой функции многих переменных. Обозначим эту фупкцию через

/(2,, . . 2

Система уравнении

(/=1 т) (Х.26)

решает задачу.

Рассмотрим следующий способ решения задачи на отыскание аб-

солютного минимума функции / (г,, . . ., г

). При этом известно,

что функция (квадратическая) имеет единственную точку экстре-

мума — минимум.

Для нахождения точки минимума разобьем неизвестные па

группы, например, следующим образом: I группа—г

. II группа—

, 2

; Ш группа — г

, г

Далее будем последовательно в каждом 1-й приближении нахо-

дить минимумы функции

- Л') АП АО АП -<0)_*<0/-

—т»п *

1 МО -<•") - - - -(О

-1П\

,.Г1)

г (АП АП АП А() ,0) . -., „.:„

III111

IX.27)

где — последние значения неизвестных, полученные в процессе

приближении.

Функции рМ будут изменяться с изменением значении г^. Для

решения указанных экстремальных задач необходимо решать системы

линейных уравнений

I. -^-=0

= 1,2)

П. -^-0 (/==3. 4. 5) • (Х.28)

°<

ПГ

III. -ЭТТ- =0 (/ =

Процесс приближений продолжается до тех нор, пока очередные

зпичепия неизвестных начнут повторяться.

22 Заказ 1140 337

Сходимость приближении для квадратичной функции теоретически

никаких сомнении не вызывает н полностью подтверждена опытом.

Прп уравнивании основными способами приходится иметь дело

с квадратичными функциями (Х.22) и (Х.23). Системы равсиств (Х.24)

п (Х.25) приобретают общпй вид

Л\т-1 +

•

• I-

= 0 )

(Х.29)

Например, при т -•= 7 общая система нормальных уравнений

имеет вид

.У

. .+Л'

+^ =

]

(х.ао)

17=1

. . . +

-Г Л

Системы уравнении (X

.28)

будут такими:

I групп а

где

+ Л +

7*21

«О ]

где

= ь

+ + Л'

<4'>++

1>Ы =

Ц+ Угь^ +

Л'ввг»)

Л-

Ь7

(

/Л г р у л п а

^6=64-^07=7

4-=0

где

0?=7+ =0 |

77=74-Г

(Х.31)

(Х.32)

г,-

(/ = 3, 4, 5. С, 7) суть последние значения неизвестных, полу-

ченные в процессе приближении.

II группа

У33-3 + Л

31=4

4- У$ьЧ

^31 — 0

]

Л'м*з +

««4

+ ^

4Б

+ ^ = 0 ! , (X.33)

-^3523+Л

45«

+ЫььН 4~ — 0 '

(X .34)

(Х-35)

(Х.36)

= +

. .4-)

= /.

+Л\

4') +

. 4-Л

4° 0 =1. 2, 3. 4, 5).

Таким образом, при решении частных систем уравнении (Х.31),

(Х.ЗЗ) и (Х.35) в процессе приближений изменяться будут только

их свободные члены. Поэтому преобразование коэффициентов повто

338

рять не придется. В каждом приближении будут вынолпяться только

преобразования свободных членов.

Рассматривая равенства (Х.3'2), (Х.34) и (Х.36), нетрудно видеть,

что нвмененне свободного члена в очередном приближении равно

сумме произведений соответствующих коэффициентов полной си-

стемы нормальных уравнений (т. е. системы (X.30) на последние зна-

чения неизвестных других групп. Однако можно избавиться н от пре-

образования свободных членов в каждом приближении, если вклю-

чить в преобразования не только коэффициенты данной группы, но

и остальные коэффициенты тех же уравнений. Тогда в процессе

приближений можно пользоваться коэффициентами «полных элими-

национных уравнений» частпых систем и сразу но элимшнщшшным

строкам получать очередные значения неизвестных. 1$ справедли-

вости сказанного нетрудно убедиться, рассмотрев подробно процесс

преобразования свободных членов, получаемых по формулам (Х.32).

(Х.34) и (Х.36) *.

Итак, при уравнивании методом приближений рекомендуется сле-

дующий порядок действий.

1. Составляют п о л н ы е у р а в н е и и я для каждой группы

неизвестных и исключают из них неизвестные данной группы, в ре-

зультате чего получают п о л н ы е эли м и н а ц ионные у рав-

нения данной группы. Так, например, полные уравнении

1 группы

Л-.Л-ЬА'.Л + А-.^ + А'.^/Ч 1

ч- л

сг

у>

Л'

=<'> + /,,=0

1 ; Т

А'о^д

-Ь

• V ,2^') / —О

| 2П"5 Т*'

2в

I •'г.

7 ~ — >

Исключая неизвестные г, н г

нз системы (X .37). получаем •»лн-

мииацнонпые уравнения

.('+!)_/? .С+1) I р „„(О .-(О

1 /Г

,-(')_1.

/.•

„-<')_!_ .-(О..,, . 1

. (А..18)

-(Пл. Р -(« • /•' .-(О I. Г .(Охр.-Ох р

2. В процессе приближений используют уравнения типа (Х.38).

которые должны быть составлены для всех групп (конечно, в обрат-

ном норядке). При этом в уравнениях любой группы члены, содер-

жащие неизвестные этой группы, располагают слева, члены с неиз-

вестными других групп — справа.

При разделении неизвестных на группы общих неизвестных

должио быть как можно меньше. Заметим, чго в группы уравнений

включают те уравнения, в которых неизвестные той же группы вхо-

дят с квадратичными коэффициентами. Разумеется, в группах урав-

нений должна быть соблюдена симметричность коэффициентов отно-

сительно квадратичной диагонали.

(Х.Х7)

* Вычислительный прием использования элиминацпонных уравнений для

прнбапжслий предложен Л. Д. Юдиным.

22* 339

В приближениях вычисляют только те неизвестные п группа*,

которые требуются для других групп. Те же неизвестные, которые

входят только в одну группу, получают после окончания приближе-

ний по соответствующим элимииациоипьш строкам.

Описи и вый групповой метод приближений можно рассматривать

как некоторое обобщение методов исключения и птерацдл. Еслп все

неизвестные отнести в одну группу, то получим классический алго-

ритм Гаусса (или способ краковяиов): если же в группах оставить

по одному неизвестному, то групповой метод приближений преври-

тится в способ простой итерации'.

Проиллюстрируем метод приближений примером, решенным спо-

собом Праннс-Прапсвнч;! в § 74.

Разобьем неизвестные на группы следующим образом: I группа — т,, т,

Л группа — т

. т

Соолютстиумщт

но.шые уравнения

Плнмииацтяшыс уравнения получены в табл. 0<> н С>7.

Прп большом числе уравпений в группах следует применять вычислитель-

ные

схемы (см. табл. 65) п делать еще одну схему

«Приближения».

Таким образом,

для каждой группы придотся составлять три схемы. В пашем примере эти три

схемы заменены одной, так как число уравнении в группах незначительно.

С точностью до 0,01 значения неизвестных совпали с результатами реше-

ния тех же уравпеппй способом Пранис-Прапевича.

Если для окончательных значений неизвестных практически достаточно

сохранять один десятичный знак, то приближения можно заканчивать, когда

очередные изменения неизвестных станут меньше 0,05. В нашем примере в этом

случае можпо было бы накончить вычисления иа третьем приближенна.

Покажем теперь, что, нримепяя метод приближений прп коррелатном спо-

собе, можно разбивать на группы условные уравпеиия, т. е. применять способ

приближений Гаусса. При этом сходимость приближении будет обеспечена.

. Известно, что в способе приближений Гаусса после каждого решения очеред-

ной группы условных уравпеппй шчисляют свободные члены следующей группы

условных ураниешш по исправленным результатам измерепнй и приближения

заканчивают после исчезновения невязок.

Пример.

Общая система иормальных уравнений

4т, •! т,- 2т, 2 0, ?! = —5.00,

:т

-т

+ та-г3=0, -

2=-Н'.00.

~г

вГ

Згз-ц—2т; + 2=0,

= 4-1.00,

1-т.-т

:-(;т,4-Зг-, —

4=0, у, = 4-4.00.

2т, т

—2г

Зт,+ Ют

0. 5.,

= 4-12.00.

340

Таблица №

УрЯПИГ-

11 Г. Ч

Л,

У."

Л-<Г>

Е*

4,00

+1,00

-0,280

0,00

5,75

+1,29

+1.12

-1,24

+1,08

-1,24

+1,07

-2.00

+3.00

+3,50

—0^)09

10,00

6,87

Приближения

Т,

[

(

,2,00

г5,00

-П.300

-1,250

-1,00

-4,00

+4,00

-1,00

-4,50 +2,75

+0Л74

+0,174

-гО,783

—0,478

+1.00

-2.00

+2,00 + 12,00

+1,61

-1,39

+5,74

+12.83

—0,234

+0,202

—0,836

—1,868

-0,84

-0,95

—0,ОД

—0,94

-0.45

-0,50

-0,52

-0,95

-1,09

-1,11

Таблица 67

Уравне-

ния

т,

Т4

I '

-V,

4,00

—1,00

— 1.0»

-и ,ш>

+3.00

•РС.Л>

+0,250

—0,750 —1,500

.V*

3,00

-1,00 —2,00 +2,00

+ 1,00

V»"!)

2,75

—1,25

—1,75

•

7=»

+2,50

Е1

+0,455

+0,636

—.1,000

-0,909

И риближения

, -0,45

-0,05 +1,29

—0,Ь4

-0,50

— 1,09

+1,12

-0,95

! —0,52

-1,11

+1,08

-0,9'.

; -0,52

-1,11

+1,07

-0,94

Пусть группа условных уравпешш и я сет впд

Тз(з*1. ...

Ал) —О,

<Гл

('., . . • Тп) О

в всего имеется пять уравнений. Тогда, иапрпмор, во второй ссрпп прпб.тлжб

пи» очередные изменения свободных членов нормальных уравнении, согласие

формулам (Х.32), (Х.34) и (Х.36), будут равны

АН'з— («вз («!*', +

«а* >

«а^б)! <

Д]Гл =

|0<в,

+ т-во*-'

)!.

Но

341