Богословский С.В. Дорофеев А.Д. Динамика полета летательных аппаратов

устойчивость; ко эффициент

mQb

– эффективно сть рулей вы-

соты; коэффициент

mQb

=−

– влияние запаздывания скоса по-

тока на момент тангажа.

Другая система описывает изменение парамет ров бокового движе-

ния. После не сложных преобразований она приводится к виду

61 62 63 64 62 н

71 72 73 72 н 73 э

81 82 83 82 н 83 э

()

;

()

;

()

;

aa a ab

aa a b b

∆β



+ ∆β+ ∆ω + ∆ω + ∆γ = ∆δ



∆ω



+ ∆β+ ∆ω + ∆ω = ∆δ + ∆δ





∆ω



+ ∆β+ ∆ω + ∆ω = ∆δ + ∆δ



∆γ



=∆ω





(16)

где

;

=−

;

=−

cos

;

=−

;

xy yxy

xy xy

mJ mJ

JJ J

ββ

=−

−

;

xy yxy

xy xy

mJ mJ

JJ J

ωω

=−

−

;

xy yxy

xy xy

mJ mJ

JJ J

ωω

=−

−

нн

;

xy yxy

xy xy

mJ mJ

JJ J

δδ

−

ээ

;

xy yxy

xy xy

mJ mJ

JJ J

δδ

−

;

yx xxy

xy xy

mJ mJ

JJ J

ββ

=−

−

;

yx xxy

xy xy

mJ mJ

JJ J

ωω

=−

−

;

yx xxy

xy xy

mJ mJ

JJ J

ωω

=−

−

нн

;

yx xxy

xy xy

mJ mJ

JJ J

δδ

−

ээ

yx xxy

xy xy

mJ mJ

JJ J

δδ

−

Как и в случае уравнений, описывающих изменение продольных па-

раметров возмущенного движения b

и c

– динамические ко эффици-

енты, зависящие от производных коэффициентов аэродинамических сил

и моментов (

zxx

Cmm

ββ

и др.), от конструктивных параметров ЛА

(

,,, ,

GS J J!

и др.) и от режима установившегося полета.

3.4. Критерии динамической устойчивости

Динамическо е свойство ЛА – устойчиво сть его движения – описы-

вается общим решением однородной системы уравнений. Соответствен-

но, для определения устойчивости неуправляемого ЛА в системе (15)

следует положить ∆δ

= 0. Для упрощения обычно полагают, что невоз-

мущенное движение представляет собой прямолинейный установивший-

ся полет. В этом случае коэффициенты системы уравнений (15) можно

считать постоянными.

Частное решение такой системы отыскивается в виде показательных

функций

;;; .

ttt t

VAe Be Ce De

λλλ λ

∆ = ∆α = ∆θ = ∆ω =

После подстановки этих функций и их производных в (15) и сокра-

щения на e

λt

система дифференциальных уравнений превратится в сис-

тему алгебраических уравнений относительно постоянных A, B, C, D

(неизвестная величина λ входит в эту систему в качестве параметра)

11 12 13

21 22 23

31 32 33

41 42 31 42 42 32

42 33 44 42

() 0;

()0;

()( )

()0.

aVa a

aV a a

aVa a

aaaVaaa

aa a a



λ+ ∆ + ∆α+ ∆θ=



∆ + λ + ∆α+ ∆θ−∆ω =



−∆−∆α− −λ∆θ=





−∆+−∆α−



−∆θ+λ++∆ω=



(17)

Нетривиальное решение системы определяется из условия равенства

нулю определителя системы (17)

11 12 13

21 22 23

31 32 33

''' '

41 42 31 42 42 32 42 33 44 42

() 0,

() 0

aa a

aaa

aaaaaa aa aa

λ+

λ+ −

∆λ = =

−−−−λ

−−−λ++

которо е сводится к решению алгебраического уравнения 4-й степени

(характеристического уравнения) относительно λ

43 2

12 34

() 0.PP PP∆λ =λ + λ + λ + λ+ =

(18)

Коэффициенты P

(i = 1,2,3) являются вещественными величинами,

определяющимися теми же параметрами, что и динамические коэффи-

циенты. Каждому из четырех корней этого уравнения соответствует ча-

стное решение

;; ; .

ii i i

tt t t

ii i ii z i

VAe Be Ce De

λλ λ λ

∆ = ∆α = ∆θ = ∆ω =

Общее же решение системы (15) будет представлять собой су мму

четырех частных решений

12 4

12 3 4

tt t

VAe Ae Ae Ae

λλ λ

∆= + + +

Так как коэффициенты уравнения (18) являются вещественными ве-

личинами, то при анализе свободного возмущенного движения могут

быть следующие случаи:

1 – все четыре корня вещественные;

2 – два корня вещественные и два – комплексные сопряженные;

3 – все четыре корня попарно комплексные сопряженные.

В первом случае свободное движение ЛА складывается из четырех

апериодических движений, каждое из которых неограниченно возрас-

тает со временем, если корень положителен, и уменьшается, е сли ко-

рень отрицателен.

Во втором случае паре сопряженных комплексных корней, напри -

мер

iλ=χ+λ

iλ=χ−λ

, соответствует частное решение вида

3,4 3 4

Be Be

∆ϑ = + (19)

Поскольку рассматривается реальное движение ЛА, постольку все

величины, входящие в окончательное решение уравнений, должны быть

веще ственными . Это значит, что в рассматриваемом случае постоян-

ные B

и B

должны быть т акже комплексными сопряженными

;.B a ib B a ib

=− =+

Пользуясь формулами Эйлера:

2cos и 2sin ,

ii ii

tt tt

ee tee it

ν−ν ν−ν

+=ν −=ν

частное решение (19) можно преобразовать к виду

3,4

sin( ),

Be t

∆ϑ = ν +ψ

где

2Bab=+

;

arctg

ψ=

Итак, пара комплексных сопряженных корней дает колебательное

движение с амплитудой

, угловой частотой ν и фазой ψ. Общее же

решение в этом случае

sin( )

VAe Ae Ae t

λλ

∆= + + ν+ψ

и выражает на ложение двух апериодических и одного колебательного

движений.

В третьем случае, который встречается наиболее часто, свободное

возмущенное движение ЛА представляет собой наложение двух колеба-

тельных движений:

112 2

sin( ) sin( ).

Ce t Ce t

χξ

∆ω = ν +ψ + η +ψ

Итак, во всех случаях поведение возмущений ∆V, ∆α, ∆ω

и ∆θ опре-

деляется показательной функцией вида e

χt

, где χ – вещественный ко-

рень или вещественная часть комплексного корня характеристического

уравнения. Отсюда и условие или критерий устойчивости:

Летательный аппарат обладает продольной устойчивостью уста-

новившегося прямолинейного полета, если все вещественные корни и

(или) вещественные части комплексных корней отрицательны.

Из курса высшей алгебры известно, что необходимым и дост аточ-

ным условием этого является выполнение неравенств

1234

0, 0, 0, 0;PP PP

>>>>

123 1 4 3

()0.RPPPPPP=−−>

Если требует ся определить характер свободного возмущенного дви-

жения (апериодическое или колебательно е), период колебаний и сте-

пень затухания, то для этого необходимо решить характеристическое

уравнение. Характер возмущенного движения и его протекание во мно-

гом определяют летные качества ЛА Поэтому при оценке динамичес-

ких свойств ЛА используют количественные критерии, характеризую-

щие возмущенное движение. К ним относят период колебаний, время

уменьшения амплитуды вдвое, затухание амплитуды за один период.

Период колебаний определяется по выражению

Степень затухания (или нарастания) колебаний характеризуют вре-

менем t

уменьшения (или увеличения) амплитуды вдвое.

При χ<0

;

2 0,693n

t =− =−

χχ

;

при χ>0

;

2 0,693n

t ==

χχ

Пусть

(1)nT

χ+

– две последовательные амплитуды для

моментов времени, отличающихся на период Т. Тогда зату хание (нарас-

тание) амплитуды за один период можно найти по соотношению

(1)

χ+

где

– мера затухания (возрастания) амплитуды за период Т.

3.5. Короткопериодиче ское (быстропротекающее) и

длиннопериодическое продольные возмущенные движения

Летная практика показывает, что для продольного свободного воз-

мущенного движения ЛА характерно наложение двух различных типов

движений: быстро и медленно затухающих. Расчеты показывают, что

во всех случаях вещественная и мнимая части одной пары комплексных

корней по абсолютной величине намного превышают соответ ствующие

значения другой пары корней.

Поскольку вещественная часть комплексного корня характеризует

степень затухания, а коэффициент при мнимой единице – частоту воз-

мущенного движения, постольку паре больших (по модулю) комплекс-

ных корней соответствует быстро зату хающее (короткопериодическое )

движение, а паре малых корней – медленно затухающее (длинноперио-

дическое). В качестве примера можно привести корни и критерии воз-

мущенного движения для реактивного самолета (табл. 2).

Расчеты показывают, что в решениях для ∆V коэффициенты при бы-

стро затухающих слагаемых по величине в 100–200 раз меньше коэф-

фициентов при медленно затухающих слагаемых.

В решениях для ∆ϑ и ∆θ быстро и медленно затухающие слагаемые

имеют примерно одинаковые значения.

В решениях для ∆α к оэффициенты при быстро зат ухающих слагаемых зна-

чительно превышают к оэффициенты при медленно зат ухающих слагаемых.

Таблица 2

Параметры

Короткопериодическое

движение

Длиннопериодическое

движение

Корни характеристического

уравнения

–0,644 ± 1,687i –0,0056 ± 0,783i

Период колебаний, 1/с 3,72 80,3

Время уменьшения амплитуды

вдвое, с

1,076 123,8

Затухание за период 0,0907 0,638

Свободное возмущенное движение ЛА можно разбить на два этапа.

На первом этапе преобладает быстро затухающее короткопериодиче с-

кое движение. Отклонения ∆ϑ, ∆θ, ∆α изменяются резко, отклонение

∆V – незначительно.

К концу первого этапа практически уменьшаются до нуля те слагае-

мые в выражениях для ∆ω

, ∆θ, ∆α, которые соответству ют паре боль-

ших корней. Отклонение ∆α определяется, главным образом, этими сла-

гаемыми и поэтому практически затухает к концу первого этапа.

На втором этапе имеет место только медленно затухающее длинно-

периодическое движение. На этом этапе изменяются, в основном, ∆V ,

∆ω

и ∆θ, а колебания ∆α, имеющие незначительную амплитуд у, прак-

тически отсутствуют.

Физической причиной возникновения двух видов движения являет-

ся значительная инерционность ЛА к изменению скорости и искривле-

нию траектории, что обусловливает медленное изменение параметров,

характеризующих траекторию ∆V, ∆θ и относительно быстрое протека-

ние вращательных движений.

Для пояснения “механики” этого процесса можно представить себе

изменение параметров полета, вызванное вхождением ЛА в зону восхо-

дящего потока. Происходящее при этом приращение угла атаки приво-

дит к возникновению аэродинамического момента М

и к уменьшению

подъемной силы. Аэродинамический момент вызывает быстрое враще-

ние ЛА таким образом, что статически устойчивый ЛА стремится при-

нять балансировочный угол атаки. Вследствие большого демпфирова-

ния вращение ЛА практически заканчивается в первые же секунды воз-

мущенного движения. Изменение подъемной силы вызывает отклоне-

ние ЛА от невозмущенной траектории.

К концу первого этапа равновесие момент ов относительно поперечной

оси практически уже достигается, угловая скорость ∆ω

близк а к нулю.

Углы тангажа и наклона траектории ϑ, θ б удут о т личаться от своих перв о-

на чальных значений. Изменение высоты по д влиянием приращения подъем-

ной силы и связанное с этим изменение плотности воздуха являются при-

чинами нарушения равновесия силы тяги и лобового сопротивления (и,

следова тельно, изменения ск орости), а также подъемной силы.

Последующее движение будет длиннопериодическим, медленно за-

тухающим и продолжающимся до тех пор, пока не будет достигнуто

равновесие сил по нормали и по касательной к траектории. Следует

заметить, что длиннопериодическое возмущенное движение самолета

протекает в течение настолько длительного времени, что корректиров-

ка пилотом этого движения не представляет сложности. Контролиро-

вать же и корректировать короткопериодическо е движение значительно

труднее; кроме того, при большой частоте колебаний и относительно

слабом его затухании пассажиры подвергаются воздействию перемен-

ной перегрузки, что вызывает болезненные явления и утомление. Именно

поэтому исследование короткопериодического возмущенного движения

имеет большое практическое значение.

3.6. Понятие о характере бокового возмущенного движения

При исследовании боковой устойчивости наиболее часто встречает-

ся случай, когда характеристическое уравнение имеет одну пару комп-

лексных сопряженных корней и два вещественных – свободное возму-

щенное боковое движение складывается из двух апериодических и од-

ного колебательного. При этом общее решение дифференциальных урав-

нений бокового возмущенного движения будет

12 3 3

12 3 1

12 3 2

12 3 4

sin( )

sin(

sin( )

Ae Ae Ae t

Be B e Be t

Ce Ce Ce t

De D e De t

λλ



β= + + ν +ψ



ω= + + ν+ψ





ω= + + ν+ψ



γ= + + ν +ψ





Обычно из двух веще ственных корней один по абсолютной величи-

не очень велик, второй – очень мал, комплексные же корни имеют про-

межуточные значения, например λ

= –1,700; λ

= 0,0011; (λ

, λ

= –0,11 ± 1,500 i. Такому распределению корней соответствуют В

, много большие по величине, чем другие постоянные. В начале воз-

мущенного движения преобладает частный тип движения, соответству-

ющий большему по модулю вещественному корню λ

. Этот тип движе-

ния называется движением демпфирования крена. При этом В

, B

, D

, λ

и χ малы, поэтому вторым и третьим слагаемыми за малый про-

межуток времени t можно пренебречь. Продолжается это движение доли

секунды и, в основном, заключается в быстром апериодическом изме-

нении угла крена γ и угловой скорости крена ω

. Это движение быстро

затухает, так как λ

зависит от ко эффициента

≈−

, который

имеет дост аточно большое значение для крылатых ЛА.

Остается рассмотреть апериодическое движение, соответствующее

малому корню, и колебательное движение.

Движение, отвечающее малому вещественному корню λ

, называет-

ся спиральным: при λ

> 0 ЛА с закрепленными рулями движется по

спирали с медленным нараст анием всех боковых параметров (ψ, β, γ,

, ω

), т. е. имеет место спиральная неустойчивость.

При этом ЛА кренится и рыскает то в одну, то в другую сторону. В

случае колебательной неустойчивости, обусловленной положительным

значением веще ственной части комплексных корней, амплитуда этого

движения со временем возрастает.

Значение рассмотренных частных движений в оценке боко вого воз-

мущенного движения ЛА не одинаково. Для крылатого ЛА на ма лых

полетных углах атаки движение демпфирования крена затухает очень

быстро и практического интере са не предст а вляет.

Характер свободного возмущенного движения по сле затухания дви-

жения крена определяется соотношением между степенью флюгерной

≈−

и поперечной

≈−

устойчивости. Если a

> a

, то

колебательное движение зату хает практически по истечении не сколь-

ких секунд. Остается спиральное движение с медленно нарастающей

или затухающей амплитудой. Однако это движение, связанное с посту-

пательным движением центра тяжести ЛА, развивается очень медленно

(при χ > 0), и на самолетах легко корректирует ся при пилотировании.

Если же a

<< a

, то зату хает спира льное движение, а колеба-

тельное движение, наиболее суще ственно е в оценке бокового воз -

мущенного движения, остается и воспринимается экипажем и пасса-

жирами самолета наиболее тяжело. Боковое колебательно е движе-

ние, будучи до ст аточно высокочастотным (соизмеримым с частотой

продольного короткопериодического движения), затухает медленнее

прод ольного движения.

3.7. Влияние ст атических и вращательных производных

аэродинамиче ского момента на боковую устойчивость

“Механизм” действия аэродинамиче ских моментов в процессе сво-

бодного бокового возмущенного движения можно продемонстрировать

на примере крылатого ЛА, вне запно получившего нача льные возмуще-

ния (например, от порыва ветра) ω

> 0, γ > 0. Принимаются положи-

тельными повороты и скорости в направлении

xyzx→→→

. Враще-

ние ЛА в сторону правого крыла вызывает демпфирующий момент

ω<

, тормозящий накренение. Вследствие увеличения угла ата-

ки крыла, опускающегося вниз, и уменьшения угла атаки противопо-

ложного крыла возникает момент рыскания 0

ω< , стремящийся

повернуть ЛА вправо и создающий угловую скорость ω

< 0. При на-

кренении за счет составляющей силы веса по оси OZ

ЛА начинает

скольжение на правое крыло (β > 0). Начавшееся скольжение вызывает

в свою очередь момент

β<

(действие вертикального оперения, рас-

положенного выше центра тяжести), стремящийся уменьшить крен γ, и

момент 0

yx y

ω+ β< , стремящийся развернуть ЛА вправо (дей-

ствие вертикального оперения, расположенного за центром тяжести).

Момент 0

yx y

ω+ β< будет вращать ЛА вправо с угловой ско-

ростью ω

< 0. Это вращение приведет к возникновению демпфирую-

щего момента

ω>

и момента

ω>

. Последний способ-

ствует увеличению крена ЛА .

Моменты

направлены в противоположные стороны.

Если

xxy

β> ω

, то ЛА будет возвращаться в исходное положение

без крена (горизонта льно е положение), хотя при этом изменится на-

правление его полета. Если

xxy

β< ω

, то начальный крен будет

увеличиваться, вес ЛА станет больше уравновешивающей его проек-

ции подъемной силы на вертикальную плоскость и ЛА начнет снижать-

ся, разворачиваясь вправо. Это спира льное движение характеризуется

пологим снижением, медленно нараст ающим углом крена и угловыми

скоростями вращения. Таким образом, ЛА хотя и будет обладать попе-

речной статической устойчиво стью (

) и путевой ст атической ус-

тойчивостью (

), но будет спира льно неустойчив. Заметим, что

многие современные самолеты обладают небольшой спиральной неус-

тойчивостью, что, отчасти, вызвано желанием улучшить управляемость.

Как уже было сказано, колебательная неустойчивость может возник-

нуть у ЛА, обладающего большой степенью поперечной устойчивости

при малом значении

. В этом случае скольжение ЛА по сле на-

кренения вызовет большой момент

< 0 , быстро ликвидирую-

щий крен самолета и сообщающий ему затем крен в противоположную

сторону. У такого ЛА будет наблюдаться поперечный крен с поворота-

ми то вправо, то влево, т. е. он будет к о леба тельно не устойчив по крену.

Богословский С.В. Дорофеев А.Д. Динамика полета летательных аппаратов

Подождите немного. Документ загружается.