- 176 -
Це
означає
,
що
в
даній
точці
M
0
існує
диференціал
другого
порядку
.
0
0
2
2
1 1
n n
M
i k
i k
M
u
x x
= =
∂
=
∂ ∂
∑∑
Позначимо
:
( )
0
2
ik ik ki
i k
M
u
x x
∂
= = =
∂ ∂
Таким
чином
,
0
2
1 1
n n
M
i k
= =
=
∑∑
де
a
ik
—
коефіцієнти
диференціала
другого
порядку
в
точці
M
0
.
Складемо
матрицю
з
елементів
a
ik
диференціала
2
:
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
=
K
K
K K K K
K
Запишемо
головні
матриці
A
1
=
a
11
,
2
A
=
=
…,
11 1
1
n
A
=
K
K
За
формулами
Тейлора
в
околі
точки
M
0
маємо
( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0
1
= + +
Оскільки
в
стаціонарній
точці
M
0
df
(
M
0
) = 0,
знак
різниці
f
(
M
) –
f
(
M
0
)
визначається
знаком
другого
диференціала
d
2
f
(
M
).
На
підставі
критерія
Сільвестра сформулюємо достатні умови
існування екстремуму функції u = f(x
1
, x
2
, …, x
n
)...
1)
якщо всі головні мінори матриці A додатні, тобто A
1
> 0, A
2
> 0, …,
A
n
> 0, то функція u = f(M) у точці M
0
має мінімум.
2)
якщо знаки головних мінорів чергуються, починаючи з A
1
< 0, тобто
A
1
< 0, A
2
> 0, A
3
< 0, …, то функція u = f(M) у точці M
0
має максимум.
3)
якщо d
2
u(M
0
) = 0, то потрібні додаткові дослідження.
Якщо умови 1) або 2) не виконуються, то екстремуму немає.
9.8.3. Екстремум функції двох змінних
Функція
f
(
x, y
)
має
максимум
(
мінімум
)
f
(
x
0
, y
0
),
якщо
для
всіх
відмінних
від
M
0
точок
M
(
x,y
)
у
досить
малому
околі
точки
M
0
виконується
нерівність
f
(
x
0
,
y
0
) >
f
(
x, y
) (
або
відповідно
f
(
x
0
, y
0
) <
f
(
x, y
)).
Необхідні умови екстремуму
Точки
,
у
яких
диференційована
функція
f
(
x, y
)
може
досягати
екстремуму
(
стаціонарні
точки
),
є
розв
’
язками
системи
рівнянь
:
( )
x
y
f x y
f x y
′
′