Архіпова О.С. Вища математика
Подождите немного. Документ загружается.
Розділ 4 Границя і неперервність функції однієї змінної. ……………………...
56
4.1.
Основні означення й поняття математичного аналізу. ………………….. 56
4.1.1.
Елементи теорії множин. ………………………………………………….. 56
4.1.2.
Модуль дійсного числа. …………………………………………………….
57
4.1.3.
Поняття функції. …………………………………………………………… 57
4.2.
Границя числової послідовності. …………………………………………..
59
4.3.
Границя функції. …………………………………………………………… 60
4.3.1.
Геометричне означення границі функції в точці. ………………………... 61
4.3.2.
Однобічні границі функції. ………………………………………………... 61
4.3.3.
Нескінченно малі і їхні основні властивості. …………………………….. 62
4.3.4.
Порівняння нескінченно малих величин. ………………………………… 62
4.3.5.
Арифметичні дії з границями. …………………………………………….. 63
4.3.6.
Теореми про еквівалентні нескінченно малі величини. …………………. 63
4.3.7.
Приклади. ……………………………………………………………………
64
4.4.
Приклади порівняння нескінченно малих величин. ……………………... 74
4.5.
Неперервність функції. ……………………………………………………..
75
4.5.1.
Точки розриву та їхня класифікація. ………………………………………
76
4.5.2.
Основні теореми про неперервні функції. ………………………………...
78
4.6.
Властивості функцій, неперервних на відрізку. …………………………. 79
Контрольні завдання до розділу 4 …………………………………... 80
Розділ 5 Диференціальне числення функції однієї змінної. ……………………
90
5.1.
Похідна. ……………………………………………………………………...
90
5.1.1.
Правила обчислення похідних. …………………………………………….
90
5.1.2.
Диференціювання неявних функцій. ……………………………………... 92
5.1.3.
Логарифмічне диференціювання. ………………………………………….
92
5.1.4.
Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі. …………… 93
5.2.
Диференціал функції. ……………………………………………………… 94
5.2.1.
Геометричний зміст диференціала функції. ……………………………… 95
5.2.2.
Інваріатність форми диференціала 1-го порядку. ……………………….. 95
5.2.3.
Застосування диференціала до наближених обчислень. ………………… 95
5.3.
Похідні і диференціали вищих порядків. ………………………………… 96
5.3.1.
Диференціювання параметрично заданих функцій. …………………….. 97
5.4.
Застосування похідних до дослідження функцій і побудови графіків. … 98
5.4.1.
Теореми про середнє. ……………………………………………………… 98
5.4.2.
Розкриття невизначенностей за правилом Лопіталя. ……………………. 98
5.4.3.
Умови монотонності функції. Екстремуми. ……………………………… 103
5.4.4. Опуклість і ввігнутість кривої. Точки перегину. ………………………… 103
5.4.5. Асимптоти кривих. ………………………………………………………… 104
5.4.6. Загальна схема дослідження функції й побудова графіка. ……………… 105
Контрольні завдання до розділу 5 …………………………………….. 107
Розділ 6
Невизначенний інтеграл, методи інтегрування
. ………………………
114
6.1. Первісна, властивості невизначеного інтеграла. ………………………… 114
6.2. Методи інтегрування. ……………………………………………………… 117
6.2.1. Метод заміни змінної. ……………………………………………………... 117
6.2.2. Метод інтегрування частинами. …………………………………………... 120
6.2.3. Інтегрування раціональних дробів. ……………………………………….. 122
6.2.4. Інтегрування тригонометричних виразів. …………………………………
126
Контрольні завдання до розділу 6 ………………………………………. 129
Розділ 7 Визначенний інтеграл. ……………………………………………………
135
7.1. Означення, властивості, геометричний зміст визначенного інтеграла. ... 135
7.2. Методи обчислення визначенного інтеграла. ……………………………. 137
7.3. Геометричні застосування визначенних інтегралів. Обчислення площ,
об’ємів, довжин дуг…………………………………………………………
145
Контрольні завдання до розділу 7 ……………………………………. 149
Розділ 8
Невласні
інтеграл
и
………………………………………………………..
152
8.1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (1-го роду) і
їх обчислення. ……………………………………………………………..
152
8.1.1. Основні поняття. ………………………………………………………….. 152
8.1.2. Геометричний зміст невласного інтеграла. ……………………………… 152
8.1.3. Узагальнення формули Ньютона-Лейбніця. …………………………….. 153
8.1.4. Ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду для невід’ємних
функцій. ……………………………………………………………………..
154
8.1.5. Невласні інтеграли від знакозмінних функцій. …………………………. 155
8.2. Невласні інтеграли другого роду-інтеграли від необмежених функцій. ..
157
8.2.1. Основні поняття. …………………………………………………………... 157
8.2.2. Ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду для невід’ємних
функцій. ……………………………………………………………………..
158
8.3. Приклади. ……………………………………………………………………
159
Контрольні завдання до розділу 8 …………………………………….. 162
Розділ 9
Функція декількох змінних
………………………………………………
164
9.1. Основні поняття. …………………………………………………………… 164
9.2. Частинні похідні. ……………………………………………………………
166
9.3. Диференційовність функції. ………………………………………………. 167
9.3.1. Диференціал. ………………………………………………………………. 167
9.3.2. Застосування повного диференціала в наближених обчисленнях ……… 168
9.4. Геометричні зображення функції двох змінних. ………………………… 168
9.5. Частинні похідні вищих порядків. ………………………………………... 169
9.6. Диференціювання складних функцій. ……………………………………. 171
9.6.1. Окремі випадки. ……………………………………………………………. 171
9.7. Диференціювання неявних функцій. ……………………………………... 173
9.7.1. Неявна функція двох змінних. ……………………………………………. 174
9.8. Екстремум функції n змінних. …………………………………………….. 175
9.8.1. Необхідні умови існування екстремуму. …………………………………. 175
9.8.2. Достатні умови існування екстремуму. …………………………………... 175
9.8.3. Екстремум функції двох змінних. ………………………………………… 176
9.9. Дотична площина і нормаль до поверхні. ………………………………... 177
9.10. Похідна по напряму. ……………………………………………………….. 178
9.11. Градієнт функції. ……………………………………………………………
179
Контрольні завдання до розділу 9 ……………………………………... 181
Розділ 10
Диференціальн
і рівняння
. ……………………………………………….
182
10.1 Диференціальні рівняння першого порядку ………………………………
182
10.1.1. Рівняння з відокремлюванимиі змінними ……………………………….. 183
10.1.2. Однорідні диференціальні рівняння. ……………………………………... 185
10.1.3. Лінійні диференціальні рівняння. ………………………………………… 188
10.1.4. Рівняння Бернуллі. …………………………………………………………. 189
10.2. Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження
порядку. ……………………………………………………………………...
190
10.3. Лінійні однорідні диференціальні рівняння. ……………………………... 191
10.3.1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння з постійними
коефіцієнтами. ………………………………………………………………
192
10.4. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод
варіації довільних сталих. ………………………………………………….
195
10.5.
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння n –го порядку з
постійними коефіцієнтами і з правою частиною спеціального виду.
Метод невизначених коефіцієнтів. ………………………………………...
197
Контрольні завдання до розділу 10 …………………………………… 202
Розділ 11
Числові і функціональні ряди
. …………………………………………..
206
11.1. Числові ряди. Основні поняття. Необхідна ознака збіжності. ………….. 206
11.2. Достатні ознаки збіжності рядів зі знакосталими членами. …………….. 208
11.2.1. Ознаки порівняння. ………………………………………………………… 208
11.2.2. Ознака Даламбера. …………………………………………………………. 210
11.2.3. Радикальна ознака Коші. …………………………………………………... 211
11.2.4. Інтегральна ознака збіжності Коші. ………………………………………. 212
11.3. Знакозмінні ряди. Абсолютна й умовна збіжності. ……………………… 213
11.4. Функціональні ряди. ………………………………………………………. 216
11.4.1. Степеневі ряди. …………………………………………………………….. 217
11.4.2. Ряд Тейлора. Застосування рядів у наближених обчисленнях. …………. 219
11.5. Ряди фур’є. …………………………………………………………………..
223
11.5.1. Розкладання періодичних функцій у ряд Фур’є. ………………………… 223
11.5.2. Ряди Фур’є для парних і непарних періодичнихфункцій. ……………… 227
11.5.3. Періодичне продовження і розкладання в ряд Фур’є неперіодичної
функції. ……………………………………………………………………...
231
11.5.4. Розкладання в ряд Фур’є функцій, заданих на відрізку [0,l]. ……………. 234
Контрольні завдання до розділу 11 …………………………………… 238
Розділ 12
Кратні інтеграли
. ………………………………………………………….
241
12.1. Подвійні інтеграли і їх обчислення у декартовій системі координат. …. 241
12.1.1. Правила знаходження меж інтегрування в повторному інтегралі. ……... 241
12.1.2. Зміна порядку інтегрування. ………………………………………………. 243
12.1.3. Заміна змінних у подвійному інтегралі. ………………………………….. 245
12.2. Застосування подвійних інтегралів. ……………………………………… 247
12.3. Потрійні інтеграли і їх обчислення в декартовій системі координат. ….. 251
12.4. Потрійні інтеграли і їх обчислення в циліндричній і сферичній
системах координат. ………………………………………………………..
254
Контрольні завдання до розділу 12 …………………………………… 258
Розділ 13
Криволінійні інтеграли.
…………………………………………………..
261
13.1. Криволінійні інтеграли 1-го роду. ………………………………………… 261
13.1.1. Обчислення криволінійних інтегралів 1-го роду. ………………………... 261
13.1.2. Застосування криволінійних інтегралів 1-го роду. ……………………….
262
13.1.3. Приклади обчислення криволінійних інтегралів 1-го роду. …………….. 263
13.2. Криволінійні інтеграли 2-го роду. ………………………………………… 267
13.2.1. Приклади обчислення криволінійних інтегралів 2-го роду. …………….. 269
Контрольні завдання до розділу 13 ………………………………….. 272
Список л
ітератур
и
………………………………………………………
275