Архіпова О.С. Вища математика
Подождите немного. Документ загружается.
- 270 -
Одержимо
параметричні
рівняння
прямої
:
.2,22
;,
;2,12
dtdztz
dtdyty
dtdxtx
=+=
==
=
+
=
Параметр
змінюється
в
межах
BA
ttt
≤
≤
,
тобто
1
0
≤
≤
t
,
тоді
2 2 2
1 1
2 2 2 2
0 0
71
2 (1 2 ) (2 2) 2 (14 20 9) .
3
L
y dx x dy z dz
t dt t dt t dt t t dt
+ + =
= + + + + = + + =
∫
∫ ∫
Приклад
.
Знайти
площу
еліпса
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
.
Розв
′
язання
.
Перейдемо
до
параметричних
рівнянь
cos ; sin
x a t y b t
= =
.
Додатному
обходу
контуру
відповідає
зміна
параметра
t
від
0
до
π
2
,
тоді
2 2
0 0
1 1 1
cos cos sin sin 2
2 2 2 2
L
ab
S xdy ydx a tb tdt b ta tdt ab dt ab
π π
= − = + = = π= π
∫ ∫ ∫
.
Приклад
.
Перевірити
,
що
даний
вираз
є
повним
диференціалом
функції
)
,
(
y
x
u
,
і
знайти
цю
функцію
:
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
dx
x
y
dy
x
)
,
(
)
,
(
)
2
cos
2
3
(
)
2
sin
1
(
+
=
+
−
−
.
Розв
′
язання
.
Знайдемо
: x
x
Q
x
y
P
2cos2;2cos2 −=
∂
∂
−=
∂
∂
.
Оскільки
x
Q
y
P
∂
∂
=
∂
∂
,
то
вираз
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
)
,
(
)
,
(
+
є
повним
диференціалом
функції
)
,
(
y
x
u
.
Знайдемо
цю
функцію
,
приймаючи
0 0
0; 0
x y
= =
:
0 0
0
0 0
( , ) ( , ) ( , ) 3 (1 sin2 )
3 (1 sin2 ) .
y y
x x
x y
u x y P x y dx Q x y dy C dx x dy C
x x y C
= + + = − + − + =
= − + − +
∫ ∫ ∫ ∫
Приклад
.
Обчислити
∫
+−
L
dyxyydxx
22
,
де
L
–
коло
222
ayx =+ ,
що
пробігається
в
додатному
напрямку
.
Розв
′
язання
.
Маємо
2 2
( , ) ; ( , )
P x y x y Q x y xy
= − = ;
2 2
;
P Q
x y
y x
∂ ∂
= − =
∂ ∂
.
- 271 -
Оскільки
функції
( , ), ( , ), ,
P Q
P x y Q x y
y x
∂ ∂
∂ ∂
−
неперервні
в
області
D
,
обмеженій
колом
L
,
застосуємо
формулу
Гріна
:
( )
∫ ∫∫
∂
∂
−
∂
∂
=+
L D
dxdy
y
P
x
Q
QdyPdx ;
(
)
( )
∫ ∫∫
+=+−
L D
dxdyxydyxyydxx
2222
.
У
подвійному
інтегралі
перейдемо
до
полярних
координат
,
тому
що
область
інтегрування
D
−
це
круг
222
ayx ≤+ :
2 2 2 2
cos ; sin ; ;
x y x y a
=ρ ϕ =ρ ϕ + = =ρ
( )
2
4 4
2 2 2 3
0 0
2
4 2
a
D D
a a
x y dxdy d d d d
π
π
+ = ρ ρ ρ ϕ= ϕ ρ ρ= π=
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
.
Приклад
.
Знайти
функцію
за
повним
диференціалом
:
(
)
( )
2
2
yzx
yzdxxydzzxdy
du
−
−
+
=
.
Розв
′
язання
.
Щоб
знайти
u(x,y,z),
проінтегруємо
цей
вираз
уздовж
ламаної
ABMM
0
,
відрізки
якої
паралельні
координатним
осям
,
обравши
початкову
точку
в
M
0
(1,0,0):
( )
0 0
, ,
M M M A AB BM
u x y z du du du du
= = + +
∫ ∫ ∫ ∫
.
Обчислимо
кожний
інтеграл
окремо
.
Рівняння
лінії
(
)
( )
0
0
2
2
: 0, 0 0
M A
zxdy xydz yzdx
M A y z
x yz
+ −
= = ⇒ =
−
∫
.
Рівняння
лінії
(
)
( )
2
2
: , 0 0
AB
zxdy xydz yzdx
AB x const z
x yz
+ −
= = ⇒ =
−
∫
.
z
M(x,y,z)
y
M
0
A B
x
Рис. 13.3
- 272 -
Рівняння лінії
(
)
( )
2
2
: ,
BM
zxdy xydz yzdx
BM x const y const
x yz
+ −
= = ⇒ =
−
∫
( )
( )
( )
( )
2 2
0
0 0
2 2
2 2 .
z z
z
d x yz
xydz x x
x C
x yz x yz
x yz x yz
−
= = − = = +
− −
− −
∫ ∫
Отже,
( )
C
yzx
x
z,y,xu +
−
=
2
.
Контрольні
завдання
до
розділу
13
Завдання
1.
Обчислити криволінійний інтеграл 1-го роду:
13.1.1.
( )
L
xy x dl
−
∫
;
L
− дуга кривої:
2 , (0 2)
y x x
= ≤ ≤
.
13.1.2.
2
( ) ; : , (1,0), (0,1)
L
x y dl L
відрізок
AB A B+
∫
.
13.1.3.
4
1 cos ; : tg (0 )
4
L
xdl L y x x
π
+ = ≤ ≤
∫
.
13.1.4.
4
sin 1 sin ; : ctg ( )
4 2
L
x xdl L y x x
π π
+ = ≤ ≤
∫
.
13.1.5.
2 2
( 2 ) ; : 2 , 0 2, 0
L
x y dl L x y x y
− = ≤ ≤ ≥
∫
.
13.1.6.
4
sin cos ; : lnsin ( )
4 3
L
x xdl L y x x
π π
= ≤ ≤
∫
.
13.1.7.
2 3
sin cos ; : lncos (0 )
4
L
x xdl L y x x
π
= ≤ ≤
∫
.
13.1.8.
4 2
sin cos ; : lncosec ( )
6 3
L
x xdl L y x x
π π
= ≤ ≤
∫
.
13.1.9.
4 2
cos sin ; : lnsec (0 )
6
L
x xdl L y x x
π
= ≤ ≤
∫
.
13.1.10.
;
L
xdl
∫
L
− дуга кола:
(0 )
2
R
π
ρ= ≤ ϕ≤
- 273 -
13.1.11.
2
2
cos
;
1 cos
L
x
dl
x
+
∫
L
− дуга синусоїди:
sin (0 )
y x x
= ≤ ≤ π
.
13.1.12.
2 2
L
x y dl
+
∫
;
L
– верхня половина кардіоїди:
)
cos
(
ϕ
+
=
ρ
1
a
.
13.1.13.
3
2
sin
; : cos (0 )
2
1 sin
L
x
dl L y x x
x
π
= ≤ ≤
+
∫
13.1.14.
(
)
1 2
2 2
L
x y dl
+
∫
;
L
– дуга кола:
2 2
16, 0.
x y y
+ = ≥
13.1.15. .
3
2
sin
; : cos (0 )
2
1 sin
L
x
dl L y x x
x
π
= ≤ ≤
+
∫
13.1.16.
2 2
L
y x dl
+
∫
;
L
– дуга кола: cos , sin , 0
2
x t y t t
π
= = ≤ ≤
.
13.1.17.
L
ydl
∫
;
L
– перша арка циклоїди:
3( sin ), 3(1 cos )
x t t y t
= − = −
.
13.1.18.
( 2 3 )
L
x y z dl
+ −
∫
;
L
− відрізок прямої між точками
(1,3, 1), (3,5, 1)
A B
− −
.
13.1.19.
( )
L
x y z dl
− +
∫
;
L
− відрізок прямої між точками
(0,1,2), (4,3,4)
A B
.
13.1.20.
2 2
( )
L
y x x y dl
− +
∫
;
L
− дуга кривої:
2 2
4, 0
x y y
+ = ≥
.
13.1.21.
( 3 )
L
x y dl
+
∫
;
L
– дуга кривої:
2 2
4 4, 0, 0
x y x y
+ = ≥ ≥
.
13.1.22.
( 5 )
L
y x dl
+
∫
;
L
− відрізок прямої: 2y-3x=6,
0 3
x
≤ ≤
.
13.1.23.
2 2
( )
L
x y dl
+
∫
;
: (cos sin ), (sin cos ) (0 2 )
L x a t t t y a t t t t
= + = − ≤ ≤ π
.
0 3
x
≤ ≤
13.1.24.
L
xyzdl
∫
;
2 3
1 1
: , , 8 (0 1)
2 3
L x t y t z t t
= = = ≤ ≤
.
- 274 -
13.1.25.
2 2 2
( )
L
x y z dl
+ +
∫
;
L
- дуга гвинтової лінії:
cos , sin , (0 2 )
x a t y a t z bt t
= = = ≤ ≤ π
.
13.1.26.
L
xydl
∫
;
L
− дуга еліпса:
cos , sin (0 )
2
x a t y b t t
π
= = ≤ ≤
.
13.1.27.
L
zdl
∫
;
L
−дуга конічної гвинтової лінії:
cos , sin , (0 )
x t t y t t z t t
= = = ≤ ≤ π
;
13.1.28.
2 2 3 2
( )
L
dl
x y+
∫
;
L
− дуга гіперболічної спіралі
1 2
1, 3, 2 2
ρϕ= ϕ = ϕ =
.
13.1.29.
2 2
L
x y dl
+
∫
;
L
− коло:
Rxyx =+
22
.
13.1.30.
( )
L
xy x dl
+
∫
;
L
− дуга параболи у=2
2
x
+1,
0 1
x
≤ ≤
.
- 275 -
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1.
Архипова Е.С., Болотина Л.В. Методические указания и контрольные
задания по теме «Сходимость числовых рядов» по курсу высшей
математики. Харьков, ХПИ, 1984, 14 с.
2.
Архипова Е.С., Ажиппо Л.А. Методические указания и контрольные
задания по теме «Кратные интегралы». Харьков, ХПИ, 1988, 20 с.
3.
Архипова Е.С., Ажиппо Л.А. Методические указания к типовым
расчетам и варианты контрольных заданий по теме «Приложение
производных к построению графиков функций, заданных
параметрически» Харьков, ХПИ, 1990, 21 с.
4.
Курпа Л.В, Архипова Е.С., Корниль Т.Л. Высшая математика. Общий
курс. Харьков, ХГПУ,1997,173 с.
5.
Курпа Л.В, Архипова Е.С., Корниль Т.Л. Учебное пособие и
контрольные задания по курсу высшей математики для студентов
экономических специальностей. Харьков, ХГПУ, 1998, 170 с.
6.
Архипова Е.С., Курпа Л.И. Ряды. Учебно-методическое пособие для
студентов инженерно-физических, машиностроительных и
экономических специальностей. Харьков, ХГПУ, 1999, 79 с.
7.
Курпа Л.В., Архипова Е.С. и др. Математика для экономистов.
Решение задач и варианты индивидуальных заданий. Харьков, ХГПУ,
1999, 333
с.
8.
Курпа Л.В., Архипова Е.С. и др. Высшая математика. Решение задач
и варианты типовых расчетов. Часть 1. Харьков, ХГПУ, 1999, 287 с.
9.
Курпа Л.В., Архипова Е.С. и др. Высшая математика. Решение задач
и варианты типовых расчетов. Часть 2. Харьков, ХГПУ, 1999, 279 с.
10.
Курпа Л.В., Архіпова О.С. та інші. Вища математика. Розв’язання
задач та варіанти типових розрахунків. Том 1. Харків, НТУ „ХПІ”,
2002, 315
с.
11.
Курпа Л.В., Архіпова О.С. та інші. Вища математика. Розв’язання
задач та варіанти типових розрахунків. Том 2. Харків, НТУ „ХПІ”
2002, 311
с.
12.
Архіпова О.С., Курпа Л.В. та інші. Higher mathematics. Problem
solving and variants of typical calculations. Volume 1. Kharkiv, NTU
«Khpi».2004, 316
с.
- 276 -
13.
Архіпова О.С., Курпа Л.В. та інші. Higher mathematics. Problem
solving and variants of typical calculations. Volume 2. Kharkiv, NTU
«Khpi».2004, 305
с.
14.
Торкатюк В.И., Шутенко Л.Н., Стадник Г.В., Колосов А.И., Архипова
Е.С.,Протопопова В.П. и др. Математический аппарат и методы
формирования оптимальных параметров управления процессом
функционирования строительного предприятия. Монография.
Харьков, 2007, 827 с.
15.
Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М :
Наука, 1971.
16.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии. – М : Наука, 1960.
17.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М : Наука, 1984.
18.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М : Наука, 1988.
19.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Вып. 1. –
М : Наука, 1967.
20.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 2. – М :
Наука, 1973.
21.
Боревич В.И. Определители и матрицы. – М : Наука, 1970.
22.
Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.
М : Физматгиз, 1958.
23.
Рублев А.Н. Линейная алгебра. – М : Высш. шк., 1968.
24.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М :
Наука, 1969.
25.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. – М : Физматгиз, 1959. – Т.1,2,3.
26.
Игнатьева А.В., Краснощекова Т.И., Смирнов В.Ф. Курс высшей
математики. – М : Высш. шк., 1964.
27.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. –
М : Наука, 1988.
28.
Овчинников П.Ф., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Высшая
математика /Под ред. П.Ф. Овчинникова. – К : Вища шк., 1987.
29.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для
втузов. – М: Наука, 1985. – Т.1,2.
- 277 -
30.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. - М : Государственное издательство технико-теоретической
литературы, 1956.
31.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М :
Наука, 1985.
32.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые
расчеты). Учебное пособие для втузов. – М : Высш. шк., 1983.
33.
Тевяшев А.Д., Литвин А.Г. Высшая математика. Общий курс.
Сборник задач и упражнений. – Харьков : Рубикон, 1999.
34.
Высшая математика для экономистов. /Под ред. Н.Ш.Кремера – М:
ЮНИТИ, 1997.
- 278 -
Навчальне
видання
Вища математика
Навчальний посібник
Автор:
Архіпова
Олена
Семенівна
Редактор: М.З. Аляб’єв
Відповідальний за випуск: А.І. Колосов
План 2008, поз. 112 Н
__________________________________________________________________
Підп. до друку 24.12.2007 р. Формат 60х 84 1/16 Папір офісний
Друк на ризографі Умовн.-друк. арк. 16,6 Обл.- вид. арк. 17,0
Тираж 500 прим. Зам. №
__________________________________________________________________
61002,
Харків, ХНАМГ, вул. Революції, 12
Сектор оперативної поліграфії ІОЦ ХНАМГ
61002, Харків, ХНАМГ, вул. Революції, 12
ЗМІCТ
Передмова
…………………………………………………………………………...........
3
Розділ 1
Матрична алгебра, визначники, системи лінійних рівнянь
…………
4
1.1.
Матриці й дії над ними…………………………………………………… 4
1.1.1.
Матриці та їх класифікація. ……………………………………………….. 4
1.1.2.
Дії над матрицями. …………………………………………………………. 5
1.2.
Визначники і їх властивості. ………………………………………………. 6
1.3.
Обернена матриця. Ранг матриці. ………………………………………….
8
1.3.1.
Елементарні перетворення матриць. ………………………………………
9
1.3.2.
Ранг матриці. ………………………………………………………………. 9
1.4.
Розв’язування систем лінійних рівнянь. ………………………………….. 10
1.4.1.
Загальні поняття. …………………………………………………………… 10
1.4.2.
Правило Крамера. ………………………………………………………….. 11
1.4.3.
Розв’язування систем рівнянь матричним способом (за допомогою
оберненої матриці). …………………………………………………………
12
1.4.4.
Системи m лінійних рівнянь із n невідомими. Теорема Кронекера-
Капеллі. ……………………………………………………………………...
12
1.4.5.
Правило розв’язування довільної системи m лінійних рівнянь із n
невідомими. …………………………………………………………………
13
Контрольні завдання до
розділу 1 ……………………………………… 15
Розділ 2
Векторна алгебра
………………………………………………………….
17
2.1.
Основні поняття …………………………………………………………. 17
2.2.
Лінійні операції над векторами …………………………………………… 18
2.3.
Координати вектора. ……………………………………………………….. 19
2.4.
Ділення відрізка в заданому відношенні …………………………………. 21
2.5.
Напрямні косинуси. Орт вектора. …………………………………………
22
2.6.
Скалярний добуток векторів. ……………………………………………… 22
2.7.
Векторний добуток векторів. ……………………………………………… 26
2.8.
Мішаний добуток векторів. ……………………………………………….. 27
2.9.
Лінійний n-мірний простір. ……………………………………………….. 28
2.10.
Лінійна залежність векторів. ……………………………………………….
30
2.11.
Розкладання вектора по заданому базису. ………………………………...
31
Контрольні завдання до розділу 2 ……………………………………… 32
Розділ 3
Аналітична геометрія.
…………………………………………………….
35
3.1.
Поняття про рівняння ліній і поверхонь. ………………………………….
35
3.1.1.
Геометричні місця точок. ………………………………………………….. 35
3.1.2.
Полярна система координат. ……………………………………………….
36
3.2.
Поверхні й лінії першого порядку. Площина й пряма. ………………….. 39
3.2.1.
Площина. ……………………………………………………………………
39
3.2.2.
Пряма лінія на площині. …………………………………………………… 41
3.2.3.
Пряма в просторі й на площині. …………………………………………... 41
3.3.
Лінії другого порядку. ……………………………………………………... 47
3.3.1.
Класифікація ліній другого порядку …………………………………….. 47
3.3.2.
Еліпс. ………………………………………………………………………... 48
3.3.3.
Гіпербола. …………………………………………………………………... 48
3.3.4.
Парабола. …………………………………………………………………… 49
3.3.5.
Фокально-директоріальна властивість …………………………………… 50
3.3.6. Рівняння еліпса, гіперболи, параболи, паралельно зміщених щодо осей
координат. …………………………………………………………………..
50
3.4. Поверхні другого порядку. ………………………………………………... 51
Контрольні завдання до розділу 3 …………………………………….. 53