1.3. Произведение матриц
7
1.3. Произведение матриц
Определение 1.5. Если матрица А имеет размеры (т
×
р) и
матрица В имеет размеры (р
×
п), то произведением матрицы А на
матрицу В называется матрица С(т
×
п), элементы которой
,
1
2211
∑
=
=+++=
p
k
kjikpjipjijiij
babababac
где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. Обозначается:
.
nppmnm
BAC
×××
⋅
Таким образом, чтобы получить элемент
ij
c матрицы С, необходимо
найти сумму произведений элементов i-той строки матрицы А на соответст-
вующие элементы j–го столбца матрицы В, т. е. умножение матриц возмож-
но тогда, и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу
строк матрицы В.
Пример 3. Найти произведение А
⋅
В, если
,
101
132
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=A
.
0120
4231
3112
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=B
Решение. Проверяем размерность матриц:
32 ×
A ,
43 ×
B ⇒ можно пе-
ремножать. Умножаем элементы первой строки матрицы А на элементы
первого столбца матрицы В, сложив результаты, получаем элемент с
11
= 2 ⋅
2 + 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 = 7.
Затем снова первую строку матрицы А умножаем на следующий (вто-
рой) столбец матрицы В поэлементно, вычисляем
с
12
= 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 = 13.
Снова первую строку матрицы А умножаем на третий столбец матрицы
В: с
13
= 2(−1) +3(−2) + 1⋅ 1 = −7.
Наконец, чтобы получить с
14
, находим сумму произведений элементов
той же, первой, строки матрицы А на элементы четвёртого столбца матрицы
В: с
14
= 2(−3) +3 ⋅ 4 + 1⋅ 0 = 6.
Таким же образом вычисляем элементы второй строки матрицы С, а
именно, перемножая элементы второй строки матрицы А поочерёдно на
элементы столбцов матрицы В, пока не переберём все столбцы матрицы В:
С
21
= −1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 = −2,
С
22
= −1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 = 1,
С
23
= −1 ⋅ (−1) +0 ⋅ (−2) + 1⋅ 1 = 2,