Арефьев К.П., Нагорнова А.И. и др. Высшая математика. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

1.3. Произведение матриц

3215

892

122223

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

−

=⋅⋅=

′′

XABX

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+−−=

′′

+−=

′′

−−=

′

.325

,892

,122223

3213

3212

3211

xxxx

Искомое преобразование найдено.

1.4. Определители квадратных матриц, их свойства и вычисление

1.4.1.

Минор и алгебраическое дополнение

Рассмотрим квадратную матрицу п-го порядка

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

nnnn

aaa







22221

11211

Сопоставим этой матрице

А определённое число, которое назовём оп-

ределителем

этой матрицы и обозначим его одним из символов:

nnnn

aaa

DAA







22221

11211

det ===Δ= .

Определение 1.8. Определителем, или детерминантом, п-го

порядка называется число, полученное из элементов матрицы Ап

п по

следующему правилу:

•

определитель п-го порядка равен алгебраической сумме n!

слагаемых

• каждое слагаемое есть произведение n элементов, взятых по

одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А;

• слагаемое берётся со знаком плюс, если перестановки, обра-

зованные первыми и вторыми индексами элементов аij, входящими

в произведение, одинаковой чётности (либо обе чётные, либо обе

нечётные) и со знаком минус – в противном случае.

Определение 1.9. Перестановкой п чисел 1, 2, …, п называется

любое упорядоченное расположение этих чисел. Число всевозможных

перестановок из п чисел равно п!

п! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ п. Читается: п факториал.

Глава 1. Элементы линейной алгебры

Определение 1.10.

Два числа в перестановке образуют инвер-

сию, если большее из них стоит впереди меньшего. Число пар в пере-

становке, образующих инверсию, называется числом инверсий.

Перестановка называется чётной, если число её инверсий – чётное, и

нечётной, если число её инверсий – нечётное.

Пример 6. Выяснить характер перестановки 5, 2, 3, 1, 6, 4.

Решение. Считаем число инверсий:

5, 2; 5, 3; 5, 1; 5, 4;

⇒ 4,

2, 1

⇒ 1,

3, 1

⇒ 1,

6, 4

⇒ 1.

Итого: 7 инверсий, следовательно, перестановка – нечётная.

Пример 7. Классифицировать произведения элементов:

7.1.

5412352143

aaaaa

; 7.2.

43341231

aaaa

Решение.

7.1. Данное произведение входит в состав определителя пятого поряд-

ка. Проверяем количество инверсий первых индексов:

4, 2; 4, 3; 4, 1; 2, 1; 3, 1. Итого 5 инверсий. Количество инверсий из вто-

рых индексов: 3, 1; 3, 2; 5, 2; 5, 4

⇒ 4 инверсии.

Инверсии разной чётности, следовательно, данное слагаемое входит в

состав определителя со знаком минус.

7.2. Данное произведение не входит в состав какого-либо определите-

ля, т. к. индексы (31) и (34) обозначают, что из третьей строки взяты сразу

два элемента.

Как Вы видели на примерах 6 и 7, пользоваться определением для вы-

числения определителя не совсем удобно. На практике существуют методы

вычисления определителей разных порядков, позволяющие быстро нахо-

дить

величину определителя, и, меняя методы, выполнять проверку вычис-

лений.

1.4.2. Вычисление определителей

Определитель второго порядка равен разности произведений элемен-

тов главной диагонали и правой диагонали:

12212211

2221

1211

aaaa

−==Δ

Пример 8. Вычислить определители:

1.4. Определители квадратныхматриц

8.1. 26818)2(463

=+=−−⋅=

−

;

8.2.

()

aaaaaa

=+=⋅−−⋅=

−

Определитель третьего порядка можно вычислить несколькими спо-

собами (методами), один из которых − метод треугольника (звездочки):

−−++==Δ

132231312312133221332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaa

aaa

112332331221

aaaaaa

−

где первое слагаемое – это произведение элементов главной диагонали,

второе и третье – произведения элементов, стоящих в вершинах треуголь-

ников, с основаниями, параллельными главной диагонали (рис. 1.1), по-

следние три слагаемых берём с противоположными знаками, составляем

произведения из трёх элементов, но теперь – относительно правой диагона-

ли (рис. 1.2).

Правило Саррюса вычисления определителей третьего порядка

Вариант 1.

Дописываем к определителю первые 2 строки, отмечаем

главную диагональ и параллельные ей (содержащие 3 элемента). Сумму

произведений их элементов берём со знаком плюс. Произведение элементов

правой диагонали и ей параллельных берём со знаком минус (рис. 1.3):

Рис. 1.1 Рис. 1.2

–

Глава 1. Элементы линейной алгебры

−

232221

131211

333231

232221

131211

aaa

Рис. 1.3

331221233211132231231231133221332211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa −

−

=Δ

Вариант 2. Дописываем к определителю два первых столбца. Со-

ставляем сумму произведений элементов главной диагонали и ей парал-

лельных (по 3 элемента), все произведения элементов правой диагонали и

ей параллельных берём со знаком минус (рис. 1.4):

3231333231

2221232221

1211131211

aaaaa

−−−+++

Рис. 1.4

122133112332132231322113312312332211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa −

−

=Δ

Вычисление определителей высших порядков рассмотрим позже.

Пример 9. Вычислить определитель

112

121

173

−−

Решение.

Применим метод треугольника:

() () ()

.13)171311122(217111123

112

121

173

=−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅+−⋅⋅=

−−

Проверим результат, вычислив определитель методом Саррюса:

. 137341146

−

1211

2112

7317

−

−−−

1.4. Определители квадратныхматриц

Определение 1.11.

Минором Mij элемента a

определителя п-

го порядка называется определитель (п

−

1)-го порядка, полученный из

данного определителя путём вычёркивания элементов

i-той строки и j-

того столбца.

Определение 1.12. Алгебраическим дополнением A

элемента

определителя

называется число A

= (

−

(i + j)

. Таким образом

алгебраическое дополнение A

элемента a

– это соответствующий

минор M

, умноженный на

− )1( .

Пример 10.

Найти алгебраические дополнения A

, A

для определите-

ля

214

320

173

−

=Δ .

Решение. Найдём сначала минор M

, вычеркнув в определителе тре-

тью строку и первый столбец, а затем минор M

, вычеркнув в исходном оп-

ределителе третью строку и второй столбец:

23221

=+==

−

М , 9019

=⋅+==

−

М .

Вычислим соответствующие им алгебраические дополнения

23)1(

=−=

MА , 9)1(

−=−=

MA .

В общем виде для

333231

232221

131211

aaa

=Δ выполненные действия выгля-

дят так:

22132312

2322

1312

2322

1312

)1( aaaa

А −==−=

;

23111321

2321

1311

2321

1311

)1( aaaa

А −=−=−=

Основные свойства определителей.

Свойство 1

. Определитель равен сумме произведений элементов ка-

кой-либо i-строки на их алгебраические дополнения

∑

=Δ

jijin

)(

Глава 1. Элементы линейной алгебры

Говорят: разложить определитель по элементам i–ой строки. Это свой-

ство даёт ещё один метод вычисления определителя, причём любого поряд-

ка, – метод понижения порядка.

Обратимся к частным случаям, разложив каждый из определителей по

элементам первой строки:

•

п = 2,

()

∑

=Δ

112

()

12121111

2221

1211

АaАa

+==Δ

Из определения алгебраического дополнения следует:

2222

)( 1 aaА =−=

2121

)( 1 aaА −=−=

В итоге

()

21122211

2221

1211

aaaa

−==Δ ;

• n = 3,

()

∑

=Δ

113

()

=+−==Δ

3231

2221

3331

2321

3332

2322

333231

232221

131211

aaa

()

(

)

(

)

223132211333212331122332332211

aaaaaaaaaaaaaaa −

−

Вычисление определителя третьего порядка свелось к вычислению

трёх определителей второго порядка.

• п = 4,

()

∑

=Δ

114

1.4. Определители квадратныхматриц

()

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

=Δ

(

)

−= a

444342

343332

242322

aaa

)1(

−a

444341

343331

242321

aaa

)1(

−a

444241

343231

242221

aaa

)1(

−a

434241

333231

232221

aaa

Вычисление определителя 4-го порядка свелось к вычислению опреде-

лителей третьего порядка.

Совершенно аналогично вычисляются определители 5-го порядка. Они

сводятся к вычислению определителей 4-го порядка, а вычисление опреде-

лителя

п-го порядка – к вычислению определителей (п − 1)-го порядка.

Свойство 2. Сумма произведений элементов i–той строки на алгеб-

раические дополнения любой другой строки равняется нулю.

Свойство 3. Если в определителе элементы какой-то строки записа-

ны в виде суммы двух слагаемых, определитель можно представить в виде

суммы двух определителей, отличающихся только одной строкой; в первом

из них в указанной строке записаны первые слагаемые, во втором опреде-

лителе данная строка содержит вторые слагаемые:

=+=

+++

333232131

232221

131211

bababa

aaa

321

232221

131211

333231

232221

131211

bbb

aaa

Свойство 4. Величина определителя не изменится, если его строки и

столбцы поменять местами, т. е.

332313

322212

312111

333231

232221

131211

aaa

= .

Глава 1. Элементы линейной алгебры

Это свойство называется транспонированием определителя и чи-

тается так: транспонирование определителя не меняет его величи-

ны.

Следствие. Правила (свойства), сформулированные для строк, верны

и для столбцов (и наоборот).

Свойство 5. Перестановка двух строк (или двух столбцов) определи-

теля равносильна умножению его на

(−1).

Например,

333132

232122

131112

333231

232221

131211

aaa

−= .

Свойство 6. Умножение всех элементов одного столбца (или одной

строки) определителя на любое число λ равносильно умножению определи-

теля на это число λ. Иначе, если все элементы какого-либо столбца содер-

жат общий множитель, его можно вынести за знак определителя.

Например,

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aaa

λ=

Свойство 7. Если к элементам некоторого столбца (строки) опреде-

лителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки),

умноженные на любой общий множитель λ, то величина определителя не

изменится.

Например,

333231

232221

131211

33323231

23222221

13121211

aaa

aaaa

λ+

Свойство 8. Если определитель имеет два одинаковых столбца (или

две одинаковых строки), то он равен нулю.

Свойство 9. Если все элементы некоторого столбца (или некоторой

строки) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Свойство 10. Если элементы двух столбцов (или двух строк) опре-

делителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Доказывается с помощью свойств 6 и 8.

Например,

333

011

122

363

021

142

=⋅=

−−

, т. к. первый и второй столбец

определителя пропорциональны.

Свойство 11. Если в определителе какой-либо столбец (строка) яв-

ляется линейной комбинацией других столбцов (строк), такой определитель

равен нулю:

1.4. Определители квадратныхматриц

32313231

22212221

12111211

β+λ

aaaa

Доказывается с помощью свойств 3 и 6.

Пример 11. Вычислить определитель

4531

2332

4321

2753

−−

−−−−

=Δ

Решение.

Вариант 1. Вынесем из четвёртого столбца общий множитель 2 и

разложим определитель по элементам первой строки (см. свойства 1, 6):

−−

−−−−

=Δ

∑

2531

1332

2321

1753

() ()

+−

−−−

−+

⎢

⎣

⎡

−

−−−

−⋅=

251

132

231

253

133

232

132

2111

() ()

531

332

321

231

132

221

4131

⎥

⎦

⎤

−−

−−−

−+−−

−−−

−+

Каждый из определителей найдем методом треугольника:

()

(

)

[

−

+−=Δ 1256320651810189301232

()

(

)

]

−

−+−−++ 20996181583621267

(

)

.7073550572

−+−

Теперь вычислим определитель также с помощью свойств 1 и 6, но

предварительно преобразуем его.

Вариант 2. Вынесем общий множитель 2 из последнего столбца и

воспользуемся свойством 7, чтобы получить нули в первом столбце:

Глава 1. Элементы линейной алгебры

1,2,3

2531

1332

2321

1753

4531

2332

4321

2753

−

⋅==Δ

−−

−−−−

−−

−−−−

Цифры и стрелки справа от определителя обозначают следующие пре-

образования: вторую строку умножим на 3 и прибавим к первой строке (ре-

зультат запишем на месте первой строки). Затем вторую строку, умножив

на (−2), прибавим к третьей (результат запишем на месте третьей строки) и,

наконец, вторую строку прибавим к четвёртой. Получаем

.22

0210

5910

2321

5210

∑

==Δ

−−−−

−−−

Теперь воспользуемся свойством 1, разложим определитель по элемен-

там первого столбца:

[]

()

=−−=⋅+⋅+⋅−⋅=Δ

−−−

021

591

521

41312111

1200102 AAAA

===

∑

−−−

021

070

521

()

.70

720702

232221

−

⋅⋅=⋅++⋅= AAA

Очевидно, второй вариант более компактный, т. к вычисление опреде-

лителя четвёртого порядка свелось к вычислению только одного определи-

теля третьего порядка, который также преобразовали, прибавив первую

строку ко второй, а затем разложили по элементам второй строки.

Определение 1.13. Если определитель D квадратной матрицы

А отличен от нуля, то матрица А называется невырожденной. В

противном случае матрица называется вырожденной.

Замечание. Если квадратные матрицы А, В – одного порядка, то

()

.detdetdet BAAB ⋅=

Упражнения.

Доказать справедливость равенств, пользуясь пере-

численными выше свойствами определителей.