Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении

Подождите немного. Документ загружается.

Математический инструментарий в управлении проектами 301

«2 (с учетом дисконтирования). Далее для упрощения математи-

ческих выражений будем рассматривать ПРИП, полагая, что в

более сложных случаях или для непроизводственных объектов

квалифицированный экономист либо вручную, либо с помощью

программных средств (например, с помощью Project Expert) смо-

жет провести расчеты, аналогичные приведенным ниже.

Требуется определить:

• основные тренды результатов деятельности фирмы-инвес-

тора;

• меру устойчивости и выбрать набор параметров, характе-

ризующих работу фирмы-инвестора по реализации инвестиции

во время процесса реорганизации, при котором устойчивость ее

работы будет наибольшей;

• время / достижения уровня

AJJ

• критерий качества управления ПРИП во время его реали-

зации и с его помощью проводить минимизацию потерь, вклю-

чая упущенную выгоду;

• минимально необходимый размер суммы инвестиции, ко-

торый позволит вести ПРИП по выбранному сценарию, с опре-

деленной устойчивостью и при минимуме потерь.

5.2.3.

ОСНОВНЫЕ ТРЕНДЫ

ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА

На основе элементарных экономических закономерностей и

правил рассматриваются три основных тренда переходного про-

цесса в деятельности фирмы-инвестора:

1) тренд спада производства (или убытков) в связи с реорга-

низацией;

2) тренд роста объемов производства (или прибылей) в связи

с той же реорганизацией;

3) тренд временной выгоды, связанный с адаптивным управ-

лением во время переходного процесса.

Эти тренды - логистические кривые, которые одновременно

являются первыми слагаемыми некого временного ряда (на са-

мом деле число трендов можно найти значительно больще).

302 Глава 5

Параметры логистических кривых определяются через функ-

циональные и стоимостные характеристики фирмы, получающей

инвестиции. Такими основными параметрами являются асимп-

тоты, между которыми находятся логистические кривые, а также

предельные интенсивность спада, интенсивность роста и интен-

сивность регулирования.

Поступление инвестиционных сумм во времени на счета фир-

мы показано на рис. 5.3, а. Введем упрощающее предположение

(только для данного подраздела): будем полагать, что инвести-

ции в сумме V , необходимые для реализации проекта, посту-

пают на счета фирмы в течение одного интервала дискретности

т (день). Скорость поступления денег в этом случае постоянна

и равна V /т (долл./день). Рассмотрим вид изменения объемов

производства x(t) в единицу времени, который показан на

рис.

5.3, б.

Тренд спада. Предположим, что до реорганизации производ-

ства фирма-инвестор имела

M(t)=M^

рабочих мест (или участ-

ков),

выпускающих «старую» продукцию, причем с каждого мес-

та получается доля общего объема со средней величиной

А.^

Справедливо следующее соотношение:

ai= 'LAi.

1=1

Для простоты изложения будем считать, что имеется средняя

производительность одного места, которая равна A^. Произво-

дительность старых мест должна быть увеличена в к раз. Далее в

процессе реорганизации «старое» производство должно быть

уменьшено за время t от М, до

мест.

Тренд спада можно трактовать следующим образом: если не

вводить новые места, не реорганизовывать производство для

выпуска новой продукции и не завоевывать рынок, то сумма ин-

вестиции будет направлена на потребление, на выплату посо-

бий по безработице и другие непроизводственные нужды. При

таком «нерациональном» использовании инвестиции величина

x(t) превращается в тренд спада

x^(t).

Соответствующая функ-

ция этого тренда - это затухающая экспонента, определяемая

по формуле:

Математический инструментарий в управлении проектами 303

суммы J

><]^^^|^^NNf^

О 10 30 70(m=3)

г,

дни

t, дни

Рис. 5.3.

Вид входной

(а)

и выходной

(б)

функций процесса

реализации инвестиционного проекта

304 Глава 5

х,(/) = A{t)Mit)

flo+(а

ао)е~*"'.

где

- интенсивность сокращения «старого» производства;

A(t) - неизвестная функция изменения производительности одно-

го места в к раз;

M(t) - неизвестная функция изменения числа старых рабочих мест

с Л/, до Л/ц;

aQ=A^kMQ

- предельное значение объема «старого» производства

еди-

ницу времени, если на фирме оставить только

A/Q

мест и

на этом прекратить реорганизацию;

a^=A^M^

- объем производства в единицу времени до начала реорга-

низации.

Для определения

Ь^

возьмем производную x^(t) справа от точ-

ки г=0:

dx^it)

,_^о+ ' dt dt

--Ьо(а\-ао).

Далее справедливо допускаем, что каждое место сокращает-

ся независимо от другого места, т.е. ведется индивидуальная ра-

бота. Это означает, что поток соответствующих событий на

отрезке

[О,

Н стационарен, ординарен и в нем отсутствует после-

действие. Предположим, что производительность реорганизуе-

мых рабочих мест также увеличивается равномерно на этом же

отрезке.

Таким образом, за одну дискретную единицу времени Т мы

имеем следующие элементарные изменения:

1) производительность Ait) изменяется с уровня

У4,

ДО

уровня

2) количество старых рабочих мест теряется (с пересчетом их

производительности в к раз) на к (М^- М^) единиц.

Выполнив подстановки, в первом приближении получим

h h

откуда следует соотношение:

^0 = 1/ ip , день-'.

Математический инструментарий в управлении проектами 305

Тренд роста. Основная часть инвестиции направляется на со-

здание нового производства, выпуска новой продукции и завое-

вание рынка. В процессе реорганизации за время переходного

процесса остается только

старых мест и создается Mj прин-

ципиально новых мест, средняя производительность которых по

завершении реорганизации станет А 2 . Кроме того, для нового

производства может потребоваться до

М^

фирм-субподрядчиков,

необходимых для выпуска новой продукции. Средняя произво-

дительность субподрядчика в интересах нашей фирмы равна А^.

Если отбросить из рассмотрения другие обстоятельства, то

тренд роста Х2(г) имеет вид

X2(t) =

A{t)M{t)+B(t)N(t)

{а2-ао)[1 -е"*''] .

где b^ - интенсивность наращивания «нового» производ-

ства;

A(t) - функция изменения производительности одного

нового места;

M{t) - функция изменения количества новых мест;

B(t) - производительность фирмы-субподрядчика;

Л^(/) - производительность фирмы-субподрядчика;

а^=А^кМд;

02=^2^2 ''" ^Ив ~ объем нового производства в единицу времени

за счет созданных новых мест

привлечения фирм-

субподрядчиков .

Для определения

Ь^

возьмем производную

XjCO

справа от точ-

ки f=0. Полагаем, что после создания нового места У4(0=^2 ^ ^°^'

ле привлечения фирмы-субподрядчика B(t)=A^. После этого по-

лучим

dx2(t)

t-^o+

\dM{t) dN{t)

{ dt dt

= -bi(.a2~ao)

Сделав соответствующие подстановки, в первом приближе-

нии имеем

t р t р

или

306

Глава 5

bi^

AikMo

n-l

AiMi+AsMs

при AikMo

A2M2

AsMs

день"

Отметим следующую особенность: если производство реор-

ганизовано на 100 %, то Л/д=0, поэтому

6,=1//.

Тренд временной выгоды (адаптации). Адаптация управления

дает двойной эффект при освоении инвестиций. Во-первых, адап-

тация позволяет более эффективно использовать суммы инвести-

ций. Во-вторых, часть риска неудачи при освоении инвестиций

может быть переложена на другие организации, что приводит к

снижению риска.

Тренд временной выгоды в первом приближении имеет вид

хз(0 = б2^е-*",

(5.1)

где *2 - коэффициент роста интенсивности (или «ускорение» получения

финансовых результатов).

5.2.4.

ВЫБОР ВАРИАНТА ОСВОЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЙ

Рассмотрим механизм получения двойного эффекта при ос-

воении инвестиций. Учтем обстоятельства, способствующие на-

личию различных вариантов использования денежных (и других)

средств во время ПРИП:

• из вьщеленных инвестиционных сумм не все средства мгно-

венно начинают «работать» на проект;

• периодически возникают средства, свободные на короткие

интервалы времени (существенно меньще /J.

Более полное использование вьщеленных средств возможно

только при реализации дополнительных альтернативных реше-

ний, которые инвестор должен оперативно принимать (т.е. адап-

тивно выбирать варианты):

• давать деньги в качестве ссуды (предоставлять кредит) под

проценты на короткие периоды времени Т;

Математический инструментарий в управлении проектами 307

• помещать деньги на депозитный счет в банк для получения

прибыли;

• участвовать самостоятельно или совместно с другими фир-

мами в краткосрочных коммерческих сделках, приносящих при-

быль.

Каждый из этих вариантов перекладывает часть риска неудач-

ного освоения инвестиций на другую организацию, которая по-

лучает на некоторое время часть денег и несет ответственность

за возвратную сумму, равную сумме предоставленных ей средств

плюс полученные дополнительные средства (прибыль). Далее для

определенности будем полагать, что временно неиспользуемые

остатки средств предоставляются в виде ссуды надежным орга-

низациям.

Сумма инвестиций, выделяемых инвестором и поступивших

на счета объекта инвестирования на интервале дискретности (0,т),

равна V . Различные варианты освоения вьщеленных фирме ин-

вестиции показаны на рис. 5.4.

Выделенные средства могут потребляться различными тем-

пами. На рис. 5.4а показаны два крайних варианта, которые на

практике маловероятны:

• вьщеленные средства сразу, в течение одного дня исполь-

зуются по прямому назначению (вертикальный прямоугольник 1

площадью V , толстая линия);

• выделенные средства в течение периода t равномерно рас-

ходуются по прямому назначению (горизонтальный прямоуголь-

ник 4 площадью V , толстая линия). В этом варианте в течение

длительного времени значительные суммы не используются, хотя

и находятся в распоряжении фирмы.

Наиболее реален некий промежуточный вариант (ступенча-

тая фигура 3 площадью V , точечное заполнение), при котором

темп потребления денег максимальный на ранних стадиях освое-

ния инвестиций, а затем темп снижается (но и неиспользуемых

средств на более поздних стадиях становится мало). Такой вари-

ант реализуется при хорошем предварительном бизнес-планиро-

вании. Однако и в этом случае в течение некоторого времени

имеются неиспользуемые денежные суммы.

Промежуточный вариант 3 аппроксимируем в виде тренда

который изображен гладкой линией. Учитывая, что освое-

ние средств (наращивание новых мощностей фирмы) идет с

308

Глава 5

s(t),

доля

'.дни

Рис.

5.4. Освоение выделенных инвестиций:

- возможные

варианты темпов освоения инвестиций;

б - освоение вьщеленных инвестиций

Математический инструментарий в управлении проектами 309

интенсивностью b^, этот тренд можно представить в виде экс-

поненты:

vC0 = Fp6ie-'"'.

Несложно проверить, что сумма инвестиций равна интегралу

оо

Fp = jv (О dt .

Остаток неиспользуемых средств инвестиций описывается

выражением

s(t)^Vp-jvit)dt=Vpe-^'' •

Вид графика s(t) показан на рис. 5.4, б в виде гладкой сплош-

ной линии.

Рассмотрим рис. 5.4, б. Предположим, что мы решили выде-

лять ссуды другим организациям на короткие периоды времени

Г> т под проценты. По истечении интервала Г ссуда возвраща-

ется вместе с платой за кредит. Введем в рассмотрение коэффи-

циент Р, который показывает, какая часть от вьщеленной ссуды

начисляется за каждый день ее использования (Р легко пересчи-

тывается из процентов годовых и имеет размерность

день'^).

Дру-

гими словами, коэффициент Р - это размер платы за кредит в

долях от этой суммы за день.

Например, если предоставить ссуду 100 тыс. долл. на 30 дней,

/'=0,01,

день'^,

то возвратная сумма будет равна

100 (1+РТ) = 100 (1+0,30)=

130

тыс. долл.,

где РТ=0,30

- безразмерная величина.

Возможны следующие два варианта работы с неиспользуе-

мыми средствами (в действительности таких вариантов может

быть довольно много):

1) плата за предоставленную ссуду каждый раз относится к

финансовым результатам (к прибыли, подлежащей дальнейшему

распределению по статьям баланса) и вторично не участвует в

последующих вьщелениях ссуд;

2) дополнительные средства, полученные в качестве платы за

ссуду, сразу участвуют в последующих вьщеляемых ссудах.

310 Глава 5

Стандартные формулы финансовой математики для обоих

вариантов неприменимы.

Вариант 1. Вид тренда временной выгоды получим с помо-

щью следующей итерационной процедуры.

Этап 1. В момент времени

1^=0

можно полагать, что в тече-

ние Г дней нам не потребуется сумма

s(ti)

Vpe:

-п,

т.е.

это временно свободные деньги.

По истечении интервала Гбудем располагать этой возвращен-

ной суммой плюс плата за ссуду:

Сумму s(t^) далее будем использовать, а полученную плату

VpPTe-^^i

отнесем к финансовым результатам.

Этап 2. В момент времени г,=Г можно полагать, что по

истечении следующих Т дней нам не потребуется сумма

По истечении второго интервала Т нам вернут сумму

s\t2)

Vp(l

+ PT)e-^^t>i

Сумму sitj) далее будем использовать по прямому назначе-

нию,

а полученную плату

= ГрРГе-2^*1

отнесем к финансовым результатам.

Этап 3. В момент времени /2=27' можно полагать, что по

истечении следующих Т дней нам не потребуется сумма