Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении

Подождите немного. Документ загружается.

Основы системного анализа 21

возможными постановку задач

оптимизации,

т. е. задач нахожде-

ния в классе эквивалентных систем системы с экстремальными

значениями определяемых в них функционалов.

В основе системного анализа как науки лежат определения

основных понятий и принципы проведения анализа. Рассмотрим

эти понятия.

1.2.2.

ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ

КАК СЕМАНТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Строгого, единого определения для понятия «система» в на-

стоящее время нет. В качестве «рабочего» определения в литера-

туре под

системой

в общем случае понимается совокупность эле-

ментов и связей между ними, обладающая определенной целост-

ностью.

Рассматривая систему относительно построения ИС, более

полно это определение можно пояснить на основе понятия мо-

дели.

Пусть АяВ- два произвольных множества. Функция/, одно-

значно ставящая в соответствие каждому элементу ае А элемент

/(а)€ В, называется отображением множества А в множество В и

обозначается как /:

А—>В

или А —^ В.

Элемент Да) = b называется значением элемента а при ото-

бражении/, или образом

а;

А- область определения, В - область

значений отображения/.

Если есть элементы bje В, не являющиеся образом никаких

элементов

а,-

€

^, то отображение/называется отображением «в»

В.

Если f (А) = В, то отображение / называется отображением

«на» В.

Функция/''(5) - множество элементов из ^, образы которых

принадлежат В, называется прообразом множества В, т.е.

/-1(B) = {аеА \М е В}.

В общем случае/"' может не быть отображением «в» или «на»

А,

так как функция/'' может быть неоднозначной.

Отображение/называется взаимно однозначным, если каж-

дый элемент множества В является образом не более чем одного

элемента из

У4.

22 Глава 1

Отображение/множества А на (в) В называется

гомоморфиз-

мом множеств, если выполняется условие (а,,

Oj,

..., а^) => (/(flj),

/(a^l ...

,f(a^)).

гдеа,.е A.f(a^ е В.

Изоморфизм множества А на В является взаимно однознач-

ным гомоморфизмом, т. е. (Oj, «2. .. ,

О/^)

<=>

(,f(ci^,f(a.^,

... ,

f(a,))eB.

Введенные понятия позволяют определить модель как изомор-

физм А в^, где А - множество фиксированных элементов пред-

метной области с исследуемыми связями, отношениями между эти-

ми элементами,

Ч*

- абстрактное множество, задаваемое кортежем

Ч' = <{М},Р^.Р2.....Р„>, (1.1)

где {М) - множество элементов модели, соответствующих

элементам предметной области, называемое носителем

модели;

Р,,

Pj. •••.

Рп

~ предикаты, отображающие наличие того или иного

отношения между элементами предметной области.

Предикат - это логическая и-я пропозициональная функция,

определенная для предметной области и принимающая значения

либо истинности, либо ложности.

Носитель модели является содержательной областью преди-

катов

Р^,

Р2,...,

Р„

Предикаты называются

сигнатурой

модели

Ч*.

Выбор носителя и сигнатуры при построении модели опреде-

ляется предметом исследования.

Уточним теперь понятие системы, ориентированное на зада-

чи декомпозиции, анализа и синтеза, т.е. на проведение преобра-

зования

Ч*^

->^б между двумя подмоделями.

Системой называется кортеж

5 = <Ч'„,Ч'„/'о(Ч'„,Ч',)>. (1.2)

Здесь Тд - подмодель, определяющая поведение системы.

Иногда эта подмодель может рассматриваться как

«черный ящик», о котором известно лишь то, что

на определенные воздействия он реагирует опреде-

ленным образом;

•Fj - подмодель, определяющая структуру системы при

ее внутреннем рассмотрении;

РцСЧ'д, 4*^) - предикат целостности, определяющий назначение

системы, семантику (смысл) моделей 4*^ и 'Pj,

а также семантику преобразования 4*^—»Ч'^.

Основы системного анализа

PQ(4'^, 4*^,)

1, если преобразование 4'^-»4'^, существует при

взаимно однозначном соответствии между элементами носите-

лей моделей

Ч'д

4*^,

в противном случае PQC^^,

^I)

Наличие

предиката целостности позволяет говорить

том, что система

это семантическая модель, имеющая внутреннюю интерпретацию.

Подмодель

Уд

может быть представлена в виде кортежа, вклю-

чающего пять объектов:

^^ =

<x.y,zj,g>,

(1.3)

где

= x{t)

входной сигнал, т.е. конечное множество функций времени

/: <Хо(0,...,

xi^(t)>;

У =

У(')

выходной сигнал, представляющий собой конечное множе-

ство функций

= <

yj(t).

...,

yjt)

z(t)

переменная состояния модели

Ч'д,

также характеризующаяся

конечным множеством функций z

= <

z^(t)....,

z^(t) >, знание

которых

заданный момент времени позволяет определить

значения выходных характеристик модели Т^;

/и g

функционалы (глобальные уравнения системы), задающие

текущие значения выходного сигнала

(О

внутреннего

состояния z

(t):

yit)

= g{zit),xm

(1.4)

z(t)=Az(t^).x(T)):xe[t^t].

(1.5)

Соотношения (1.4)

(1.5) называют уравнением наблюдения

и уравнением состояния системы соответственно. Если

описа-

ние системы введены функционалы/и g, то она уже не рассмат-

ривается как «черный ящик». Однако для многих систем опреде-

ление глобальных уравнений оказывается делом трудным

за-

частую даже невозможным,

что

объясняет необходимость

использования этого термина.

Кроме выражения (1.2) систему задают тремя аксиомами.

Аксиома

Для системы определены пространство состо-

яний Z, в которых может находиться система, и параметрическое

пространство Т,

котором задано поведение системы.

В связи

этим математические описания вида (1.3) приня-

то называть динамическими системами, так как они отражают

способность систем изменять состояния z (t) в параметрическом

пространстве Т. В отличие от динамических статические сис-

темы таким свойством не обладают. В качестве параметриче-

24 Глава 1

ского пространства обычно рассматривается временной интер-

вал

(О,

оо).

Аксиома 2. Пространство состояний Z содержит не менее

двух элементов. Эта аксиома отражает естественное представле-

ние о том, что сложная система может находиться в разных со-

стояниях.

Аксиома 3. Система обладает свойством функциональной

эмерджентности.

Эмерджентность (целостность) - это такое свойство систе-

мы S, которое принципиально не сводится к сумме свойств эле-

ментов, составляющих систему, и не выводится из них:

где у^ - г-я характеристика системы S,

т - общее количество характеристик.

При таком рассмотрении система является совокупностью

моделей и, главное, отражает семантику предметной области в

отличие от неинтерпретированных частных математических мо-

делей. Другими словами,

система

- это совокупность взаимосвя-

занных элементов, обладающая интегративными свойствами

(эмерджентностью), а также способ отображения реальных

объектов.

В рамках изучаемой дисциплины под сложной

кибернетичес-

кой системой понимается реальный объект с управлением и его

отображение в сознании исследователя как совокупность моде-

лей, адекватная решаемой задаче.

1.2.3.

1СЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ

Системы принято подразделять на физические и абстрактные,

динамические и статические, простые и сложные, естественные и

искусственные, с управлением и без управления, непрерывные и

дискретные, детерминированные и стохастические, открытые и

замкнутые.

Основы системного анализа 25

Деление систем на

физические

абстрактные

позволяет раз-

личать реальные системы (объекты, явления, процессы) и систе-

мы,

являющиеся определенными отображениями (моделями) ре-

альных объектов.

Для реальной системы может быть построено множество сис-

тем - моделей, различаемых по цели моделирования, по требуе-

мой степени детализации и по другим признакам.

Например, реальная ЛВС, с точки зрения системного адми-

нистратора, - совокупность программного, математического,

информационного, лингвистического, технического и других

видов обеспечения, с точки зрения противника, - совокупность

объектов, подлежащих разведке, подавлению (блокированию),

уничтожению, с точки зрения технического обслуживания, - со-

вокупность исправных и неисправных средств.

Деление систем на

простые

сложные (большие)

подчерки-

вает,

что в

системном анализе рассматриваются

не

любые,

имен-

но сложные системы большого масштаба. При этом выделяют

структурную и функциональную (вычислительную) сложность.

Общепризнанной границы, разделяющей простые, большие

и сложные

системы,

нет.

Однако условно

будем

считать,

что

слож-

ные системы характеризуются тремя основными признаками:

свойством робастности, наличием неоднородных связей и эмер-

джентностью.

Во-первых, сложные системы обладают свойством

робастно-

сти

- способностью сохранять частичную работоспособность

(эффективность) при отказе отдельных элементов или подсистем.

Оно объясняется функциональной избыточностью сложной сис-

темы и проявляется в изменении степени деградации выполняе-

мых

функций,

зависящей от глубины возмущающих воздействий.

Простая система может находиться не более чем в двух состоя-

ниях: полной работоспособности (исправном) и полного отказа

(неисправном).

Во-вторых, в составе сложных систем кроме значительного

количества элементов присутствуют многочисленные и

разные по

типу

(неоднородные) связи

между элементами. Основными типа-

ми считаются следующие виды связей: структурные (в том числе

иерархические), функциональные, каузальные (причинно-след-

ственные, отношения истинности), информационные, простран-

ственно-временные. По этому признаку будем отличать сложные

26 Глава 1

системы от больших систем, представляющих совокупность од-

нородных элементов, объединенных связью одного типа.

В-третьих, сложные системы обладают свойством, которое

отсутствует

любой из составляющих

ее

частей.

Это интегратив-

ность (целостность), или

эмерджентность.

Другими словами, от-

дельное рассмотрение каждого элемента не дает полного пред-

ставления о сложной системе в целом. Эмерджентность может

достигаться за счет обратных

связей,

играющих важнейшую роль

в управлении сложной системой.

Считается, что структурная сложность системы должна быть

пропорциональна объему информации, необходимой для ее опи-

сания (снятия неопределенности). В этом случае общее количе-

ство информации о системе S, в которой априорная вероятность

появления

у-го

свойства равна

р{уХ

определяется известным со-

отношением для количества информации

KY)

-lp{yp\og^p{yp. (1.6)

Это энтропийный подход к дескриптивной (описательной)

сложности.

Одним из способов описания такой сложности является оцен-

ка числа элементов, входящих

систему (переменных, состояний,

компонентов), и разнообразия взаимозависимостей между ними.

В общей теории систем утверждается, что не существует сис-

тем обработки данных, которые могли бы обработать более чем

2-10^^ бит в секунду на грамм своей массы. При этом компью-

терная система, имеющая массу, равную массе Земли, за период,

равный примерно возрасту Земли, может обработать порядка

10^^

бит информации (предел Бреммермана).

Задачи,

требующие

обработки более чем 10^^^ бит, называются

трансвычислитель-

ными.

В практическом плане это означает, что, например, пол-

ный анализ системы из ПО переменных, каждая из которых мо-

жет принимать 7 разных значений, является трансвычислитель-

ной задачей.

Для оценки сложности функционирования систем применя-

ется алгоритмический подход. Он основан на определении ресур-

сов (время счета или используемая память), используемых в сис-

теме

при решении некоторого класса

задач.

Например, если фун-

кция времени вычислений является полиномиальной функцией

от входных

данных,

то мы имеем дело

полиномиальным по вре-

Основы системного анализа 27

мени, или «легким» алгоритмом. В случае экспоненциального по

времени алгоритма говорят о его «сложности». Алгоритмическая

сложность изучается в теории NP-полных задач.

Сложные системы допустимо делить на искусственные и ес-

тественные (природные).

Искусственные системы, как правило, отличаются от природ-

ных наличием определенных целей функционирования (назначе-

нием) и наличием управления.

Рассмотрим еще один важный признак классификации сис-

тем. Принято считать, что система с управлением, имеющая не-

тривиальный входной сигнал x{t) и выходной сигнал y{t), может

рассматриваться как преобразователь информации, перерабаты-

вающий поток информации (исходные данные) x{t) в поток ин-

формации (рещение по управлению) y(t).

В соответствии с типом значений x{t), y{t), z(0 и / системы де-

лятся на дискретные и непрерывные.

Такое деление проводится в целях выбора математического

аппарата моделирования. Так, теория обыкновенных дифферен-

циальных уравнений и уравнений в частных производных позво-

ляет исследовать динамические системы с непрерывной перемен-

ной (ДСНП). С другой стороны, современная техника создает

антропогенные динамические системы с дискретными события-

ми (ДСДС), не поддающиеся такому описанию. Изменения со-

стояния этих систем происходят не непрерывно, а в дискретные

моменты времени, по принципу «от события к событию». Мате-

матические (аналитические) модели заменяются на имитацион-

ные,

дискретно-событийные: модели массового обслуживания,

сети Петри, цепи Маркова и др.

Примеры фазовых траекторий ДСДС и ДСНП показаны на

рис.

1.3, а, б.

Для ДСДС траектория является кусочно-постоянной и фор-

мируется последовательностью событий и. Последовательность

отрезков постоянства отражает последовательность состояний

системы, а длительность каждого отрезка отражает время пре-

бывания системы в соответствующем состоянии. Под состоя-

нием при этом понимается «физическое» состояние (например,

число сообщений, ожидающих передачи в каждом узле обра-

ботки). Состояния принимают значения из дискретного мно-

жества.

Глава 1

Состояние

2з

2й

t".

Т"4

«5

1 ^

Рис.

1.3. Типичные примеры фазовых траекторий

ДСДС(а)иДСНП(б)

Основы системного анализа 29

Таким образом, траектория описывается последовательно-

стью из двух чисел (состояния и времени пребывания в нем). Сле-

дует подчеркнуть, что термин «дискретный» отличается от ши-

роко используемого прилагательного «цифровой», поскольку

последнее означает лишь то, что анализ задачи ведется не в тер-

минах вещественной числовой переменной, а численными мето-

дами. Траектория ДСНП, состояниями которой являются точки

пространства

R",

постоянно изменяется и, вообще говоря, разви-

вается на основе непрерывных входных воздействий. Здесь под

состоянием понимается «математическое» состояние в том смыс-

ле,

что оно включает в себя информацию к данному моменту вре-

мени (кроме внешних воздействий), которая необходима для од-

нозначного определения дальнейшего поведения системы. Ма-

тематическое определение включает в себя и физическое

определение, но не наоборот.

Для перехода от

детерминированной

к стохастической систе-

ме достаточно в правые части соотношений (1.4) и (1.5) добавить

в качестве аргументов функционалов случайную функцию p{i),

принимающую значения на непрерывном или дискретном мно-

жестве действительных чисел.

Следует иметь в виду, что в отличие от математики для сис-

темного анализа, как и для кибернетики, характерен конструк-

тивный подход к изучаемым объектам. Это требует обеспечения

корректности

задания системы, под которой понимается возмож-

ность фактического вычисления выходного сигнала ;'(/)

(с

той или

иной степенью точности) для всех / >

при задании начального

состояния системы z(0) и входного сигнала x{t) для всех

t^.

Поэто-

му при изучении сложных систем приходится переходить к ко-

нечным аппроксимациям.

Системы с нетривиальным входным сигналом x(t), источни-

ком которого нельзя управлять (непосредственно наблюдать), или

системы, в которых неоднозначность их реакции нельзя объяс-

нить разницей в состояниях, называются открытыми.

Признаком, по которому можно определить открытую систе-

му, служит наличие взаимодействия с внешней средой. Взаимо-

действие порождает проблему «предсказуемости» значений вы-

ходных сигналов и, как следствие, - трудности описания откры-

тых систем.

30 Глава 1

Примером трудностей описания является понятие «странный

аттрактор» - специфическое свойство некоторых сложных сис-

тем. Простейший аттрактор, называемый математиками непод-

вижной точкой, представляет собой такой вид равновесия, кото-

рый характерен для состояния устойчивых систем после кратков-

ременного возмущения (состояние покоя емкости с водой после

встряхивания). Второй вид аттрактора - предельный цикл маят-

ника. Все разновидности предельного цикла предсказуемы. Тре-

тья разновидность называется странным аттрактором. Обнару-

жено много систем, имеющих встроенные в них источники нару-

шений, которые не могут быть заранее предсказаны (погода,

место остановки шарика в рулетке). В экспериментах наблюдали

за краном, из которого нерегулярно капали капли, хотя проме-

жутки должны быть регулярными и предсказуемыми, так как вен-

тиль зафиксирован и поток воды постоянен.

Математическим примером странного аттрактора является

аттрактор Хенона - система уравнений, смоделированная в

Lab VIEW (рис. 1.4, а, б).

Понятие открытости систем конкретизируется в каждой пред-

метной области. Например, в области информатики

открытыми

информационными системами называются программно-аппарат-

ные комплексы, которым присущи следующие свойства:

• переносимость (мобильность) - программное обеспечение

(ПО) может быть легко перенесено на различные аппаратные

платформы и в различные операционные среды;

• стандартность - программное обеспечение соответствует

опубликованному стандарту независимо от конкретного разра-

ботчика ПО;

• наращиваемость возможностей - включение новых про-

граммных и технических средств, не предусмотренных в перво-

начальном варианте;

•

совместимость

- возможность взаимодействовать

други-

ми комплексами на основе развитых интерфейсов для обмена

данными с прикладными задачами в других системах.

Примером открытой среды является модель OSE (Open System

Environment), предложенная комитетом IEEE POSIX. На основе

этой модели Национальный институт стандартов и технологии

США выпустил документ «Application Portability Profile (АРР).

The U.S. Government's Open System Environment Profile OSE/1