Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Диференціальне числення функцій кількох змінних. Визначені інтеграли. Диференціальні рівняння. Практикум

Подождите немного. Документ загружается.

Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут»

І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей,

О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

ФУНКЦІЙ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ.

ВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

ПРАКТИКУМ

Київ — 2011

Диференціальне числення функцій кількох змінних. Визначені інтеграли. Диференціальні

рівняння. Практикум. (І курс ІІ семестр) / Уклад.: І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей,

О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова. — К: НТУУ «КПІ», 2011. — 184 с.

Гриф надано Методичною радою НТУУ «КПІ»

(протокол № 6 від 18.02.2010)

Навчальне видання

Диференціальне числення функцій кількох змінних.

Визначені інтеграли. Диференціальні рівняння.

Практикум

для студентів І курсу технічних спеціальностей

Укладачі: Алєксєєва Ірина Віталіївна, канд. фіз-мат. наук, доц.

Гайдей Віктор Олександрович, канд. фіз-мат. наук

Диховичний Олександр Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц.

Федорова Лідія Борисівна, канд. фіз-мат. наук, доц.

Відповідальний

редактор

В. В. Булдигін, д-р фіз.-мат. наук, професор

Рецензенти: С. В. Єфіменко, канд. фіз.-мат. наук, доц.

В. Г. Шпортюк, канд. фіз.-мат. наук, доц.

Зміст

Вступ

............................................................................................................................................. 4

Довідник

Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

................................... 5

Розділ 2. Визначені інтеграли

............................................................................................. 16

Розділ 3. Диференціальні рівняння

................................................................................... 40

Практикум

Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

1. Функції кількох змінних ......................................................................................................... 49

2. Похідні й диференціали функцій кількох змінних ................................................................ 54

3. Дотична й нормаль до поверхні. Градієнт ............................................................................. 61

4. Екстремуми функції кількох змінних ..................................................................................... 67

Розділ 2. Визначені інтеграли

5. Обчислення визначеного інтеграла ........................................................................................ 75

6. Застосування визначеного інтеграла ...................................................................................... 81

7. Обчислення і дослідження невластивих інтегралів ............................................................... 88

8. Подвійний інтеграл у декартових координатах ..................................................................... 93

9. Заміна змінних у подвійному інтегралі ................................................................................ 100

10. Застосування подвійного інтеграла .................................................................................... 104

11. Потрійний інтеграл ............................................................................................................. 109

12. Криволінійний інтеграл 1-го роду ...................................................................................... 119

13. Обчислення криволінійного інтеграла 2-го роду ............................................................... 125

14. Застосування криволінійного інтеграла 2-го роду ............................................................. 130

15. Поверхневий інтеграл 1-го роду ......................................................................................... 134

16. Поверхневий інтеграл 2-го роду ......................................................................................... 139

17. Теорія поля .......................................................................................................................... 143

Розділ 3. Диференціальні рівняння

18. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінним .................................................. 151

19. Однорідні диференціальні рівняння ................................................................................... 154

20. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку. Рівняння Бернуллі ................................. 158

21. Рівняння, що дозволяють пониження порядку .................................................................. 163

22. Лінійні однорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами ............................ 166

23. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами ........................ 169

24. Системи лінійних диференціальних рівнянь ..................................................................... 175

Додаток

................................................................................................................................... 179

Список літератури

................................................................................................................. 184

Вступ

Практикум з вищої математики «Диференціальне числення функцій кількох

змінних. Визначені інтеграли. Диференціальні рівняння» є складовою навчаль-

ного комплекту з вищої математики, який становлять: конспект лекцій, практи-

кум, розрахунково-графічна робота, збірник контрольних та тестових завдань.

Матеріал практикуму складено на основі багаторічного досвіду викладання

математики авторами в НТУУ «КПІ», він відповідає навчальним програмам з

вищої математики всіх технічних спеціальностей НТУУ «КПІ» денної та заочної

форм навчання та містить наступні розділи дисципліни «Вища математика»:

— диференціальне числення функцій кількох змінних;

— визначені і невластиві інтеграли;

— невластиві інтеграли;

— кратні інтеграли;

— криволінійні інтеграли 1-го і 2-го роду;

— поверхневі інтеграли 1-го і 2-го роду;

— елементи теорії поля;

— диференціальні рівняння 1-го порядку, які інтегруються у квадратурах і

рівняння вищих порядків які зводять до них;

— лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами.

Практикум містить розгорнутий довідковий матеріал, широкий спектр

розв’язаних навчальних задач, які достатньо розкривають відповідні теоретичні

питання та сприяють розвиткові практичних навичок і є зразком належного

оформлення задач для самостійної роботи, певну кількість задач для самостій-

ної роботи в аудиторії та домашнього завдання.

Метою практикуму є:

 допомогти в опануванні студентами основ математичного апарату у галу-

зі диференціального числення функцій кількох змінних, усіх типів визна-

чених інтегралів, теорії поля, диференціальних рівнянь;

 розвинути логічне та аналітичне мислення;

 виробити навички самостійної постановки задач та вибору методу їх

розв’язання;

Самостійне розв’язання задач, яке формує основу математичного мислен-

ня, передбачає активну роботу з теоретичним матеріалом практикуму, викорис-

танням конспекту лекцій чи підручників.

У практичній частині використано такі позначення:

[A.B.C] — посилання на клітинку С, у якій вміщено теоретичний факт або

формулу, таблиці A.B. з теми А;

, , ,...

  

— посилання у навчальній задачі на коментар, який вміщено пі-

сля розв’язання.

Розділ 1. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

ФУНКЦІЙ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ

1.1. Функція двох змінних



Віддаль між точками

1 1 1 2 2 2

( ; ), ( ; )

M x y M x y

2 2

1 2 2 1 2 1

( , ) ( ) ( )

M M x x y y

    

1 1 2 1

( ;...; ), ( ;...; )

n n

M x x M x x

 

1 2

( , ) ( )

i i

M M x x





  







-окіл точки

0 0

( ) { | ( , ) }

U M M M M



    





Класифікація точок. Точку

M D



називають внутрішньою

точкою множини

якщо існує такий

( ),

U M



що

( ) .

U M D





Точку

називають межовою точкою

множини

якщо будь-який

( )

U M



містить як точки, які належать

так і

точки, які їй не належать.

Множина всіх межових точок

множини

утворює її межу





Область.

Множину

називають

відкритою, якщо всі її точки

внутрішні.

Множину

називають зв’язною, якщо

будь-які її точки можна сполучити

ламаною

L D



Відкриту, зв’язну множину називають

областю.

Об’єднання області

з її межею

називають замкненою областю

D D D

  



Функція двох змінних. Якщо

вказано правило

за яким кожній

точці

( ; )

M x y D

 



відповідає

єдине значення

z E

 



то

кажуть, що в області

означено

функцію двох змінних

( , ), ( ; ) .

z f x y x y D

  



Графіком функції

( , )

z f x y



називають

{ ( ; ; ) | ( , )}

G M x y z z f x y

  

— область означення;

— множина значень

6 Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних



Функція

змінних

1 2

( , ,..., )

u f x x x





Лінія рівня функції

( , )

z f x y



{ ( ; ) | ( , ) },

const

L M x y f x y C

 





Поверхня рівня функції

( , , )

u f x y z



{ ( ; ; ) | ( , , ) },

const

M x y z f x y z C

  



1.2. Границя функції. Неперервність



Границя функції.

lim ( )

M M

f M A





0 0

0 ( ) 0

( ) \ { }

( ) ( )

M U M M

f M U A





    

  

 

Границя функції не залежить від

напряму руху точки

до точки



Неперервність функції.

Функцію

( )

u f M



називають

неперервною в точці

якщо

вона визначена в околі точки

lim ( ) ( )

M M

f M f M



 

Функцію, неперервну в кожній точці множини

називають неперервною на

множині



Частинні прирости функції

( , )

z f x y



у точці

0 0 0

( ; )

M x y

0 0 0 0 0

( ) ( , ) ( , ),

z M f x x y f x y

z M f x y y f x y

    

де

0 0

x x x y y y

     

1 2

( , ,..., )

u f x x x



у точці

( ;...; ;...; )

k n

M x x x

( ) ( ,..., , ..., )

( , ..., ,..., )

x k k n

k n

u M f x x x x

f x x x

    





Повний

приріст функції

( , )

z f x y



у точці

0 0 0

( ; )

M x y

0 0 0 0

( )

( , ) ( , )

z M

f x x y y f x y

 

     

1 2

( , ,..., )

u f x x x



у точці

1 2

( ; ;...; )

M x x x

1 1

( ) ( , ..., )

( ,..., )

n n

u M f x x x x

f x x

     



Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних 7



Умова неперервності функції

( )

u f M



у точці

lim ( ) 0

M M

u M



 



Теорема Веєрштраса. Якщо

функція

( )

u f M



неперервна в

обмеженій замкненій області

то:

( )

u f M



обмежена в області

;

( )

u f M



набуває в області

своїх найбільшого та найменшого

значень.

1.3. Похідні функцій кількох змінних



Частинна похідна функції

( , )

z f x y



за змінною

у точці

( )

( ) lim

z M

x x

 







 

 

( , )

z f x y



за змінною

у точці

( )

( ) lim

z M

y y

 







 

 

( , ..., )

u f x x



за змінною

1, ,

k n



у точці

( )

lim , 1,

u M

k n

 





 





 





Похідна складеної функції

( , ),

z f x y



( ), ( )

x x t y y t

 

dz z dx z dy

dt x dt y dt

 

 

 

( ,..., ),

u f x x



1 1

( ),..., ( )

n n

x x t x x t

 

du u

dt x dt











( , ),

z f x y



( , ), ( , )

x x u v y y u v

 

z z x z y

u x u y u

z z x z y

v x v y v

    

 

    

 

    

1 2

( , ,..., ),

u f x x x



( ,..., ), 1,

i i m

x t t i n

  

, 1,

j i j

u u

j m

t x t





 

 

  





Повна похідна функції

( , ), ( )

z f x y y y x

 

dz z z dy

dx x y dx

 

 

 

8 Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних



Похідна неявної функції

( , ) 0, ( )

F x y y y x

 

( , )

F x y

dx F x y



 



( , , ) 0, ( , )

F x y z z z x y

 

( , , )

( , , ) ( , , )

z z

F x y z

z z

x F x y z y F x y z



 

   

 

 



Похідні 2-го порядку функції

( , )

z f x y



;

z z

x x

z z

y y

 

  







 









 

 



 

  







 









 

 



;

z z

x y y x

z z

y x x y

 

  







 









   

 

 

  







 









   

 

мішані похідні



Теорема Шварца. Нехай функція

( , )

z f x y



та її похідні

, ,

x y

z z

 

xy yx

z z

 

означені в області

Якщо



та



неперервні в точці

M D



то

0 0

( ) ( ).

xy yx

z M z M

 



1.4. Диференціали функцій кількох змінних



Диференційовність функції

в точці. Функцію

( , )

z f x y



називають диференційовною в точці

0 0 0

( ; ),

M x y

якщо в деякому околі цієї

точки повний приріст функції має

вигляд

( ) ( ),

z M A x B y o

      

 

де

, const;

A B



2 2

( )

, lim 0

x y





     



Функція

( )

u f M



диференційовна у

точці





якщо

( ) ( )

i i

u M A x o



    





Необхідна умова

диференційовності. Якщо функція

( , )

z f x y



диференційовна в точці

то

0 0

( ), ( ).

x y

A z M B z M

 

 



Достатня умова

диференційовності. Якщо функція

( , )

z f x y



має в околі точки

неперервні похідні

( ), ( ),

x y

z M z M

 

то

вона диференційовна в точці

Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних 9



Повний диференціал функції

в точці. Головну лінійну частину

приросту диференційовної в точці

функції

( )

u f M



називають

повним диференціалом функції в точці

і позначають

( )

du M

0 0

( ) ( ) ( ), 0

u M du M o

     



Повний диференціал функції

( , )

z f x y



z z

dz dx dy

x y

 

 

 

( , , )

u f x y z



u u u

du dx dy dz

x y z

  

  

  

1 2

( , , ..., )

u f x x x



du dx













Частинні диференціали функції

( , )

z f x y



x y

z z

d z dx d z dy

x y

 

 

 

1 2

( , ,..., )

u f x x x



, 1,

x k

d u dx k n



 





Диференціал 2-го порядку функції

( , )

z f x y



незалежних змінних

x y

2 2 2

xx xy yy

d z z dx z dxdy z dy

  

  



Диференціал

-го порядку функції

( , )

z f x y



незалежних змінних

x y

d z dx dy z

x y

 

 





 









 

 

10 Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

1.5. Похідна за напрямом. Градієнт



Похідна за напрямом.

Похідною

функції

( )

u f M



за напрямом

у точці

називають

0 0 0

( ) ( ) ( )

lim ,

u M f r tl f r

l t



  





де

— орт вектора

0 0

, .

l r OM





Властивості похідної за

напрямом.

Величина

( )

u M



визначає швидкість зміни функції в

точці

за напрямом

а знак

( )



— характер її зміни

(зростання або спадання).



Похідна функції за напрямом

cos

( , ),

sin

u u x y l

 











 













 

0 0

( )

( ) ( )

cos sin

u M

u M u M

x y







 

   

 

cos

( , , ), cos

cos

u u x y z l

 



















  





















 

0 0

( ) ( )

cos

( ) ( )

cos cos

u M u M

l x

u M u M

y z

 

  

 

   

 



Градієнт. Градієнтом

диференційовної функції

( )

u f M



точці

називають вектор

0 0 0

grad ( )

( ) ( ) ( )

u M

u M u M u M

i j k

x y z



  

  

  



Зв’язок між похідною за напрямом

і градієнтом функції

(grad , ) pr grad

u l u



 





Властивості градієнта.

У напрямі

grad ( ) 0

u M



функція

зростає з найбільшою швидкістю

grad ( ) .

u M

( )

max grad ( )

u M







Градієнт функції

у точці

напрямлений уздовж нормалі до

поверхні рівня

( , , ) ,

u x y z C



що

проходить через точку



grad ( )

u M

u C

