Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Диференціальне числення функцій кількох змінних. Визначені інтеграли. Диференціальні рівняння. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
Додаток 181
Д3. Деякі визначні криві
1
a
0 1
a
Спіраль Архімеда
a
Логарифмічна спіраль
a
Гіперболічна спіраль
a
Кардіоїда
2 (cos 1)
a
Коло
2 2
2 ,
x y ay
2 sin , 0
a a
Коло
2 2
2 ,
x y ax
2 cos , 0
a a
Трипелюсткова роза
sin 3
a
Трипелюсткова роза
cos 3
a
Лемніската Бернуллі
2 2 2 2 2 2
( ) ( ),
cos2
x y a x y
a
Кучер Аньєзі
3
2 2
8
4
a
y
x a
Астроїда
2 3 2 3 2 3
3
3
,
cos ,
[0;2 ]
sin ,
x y a
x a t
t
y a t
Циклоїд
а
( sin ),
(1 cos )
x a t t
y a t
x
y
O
2
a
2
a
a
x
y
O
a
x
y
O
2
a
x
y
a
O
P
a
P
O
O
P
x
y
a
O
P
a
y
x
2
b a
P
O
a
P
P
P
P
O
182 Додаток
Д4. Визначні поверхні і просторові криві
Еліпсоїд
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
Еліптичний параболоїд
2 2
2 2
2
x y
z
a b
Гіперболічний
параболоїд
2 2
2 2
2
x y
z
a b
Еліптичний
циліндр
2 2
2 2
1
x y
a b
Параболічний циліндр
2
2
y px
Гіперболічний циліндр
2 2
2 2
1
x y
a b
Конус
2 2
2
2 2
x y
z
a b
Однопорожнинний
гіперболоїд
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
Двопорожнинний
гіперболоїд
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
Сфера
2 2 2 2
x y z a
Циліндрична гвинтова
лінія
cos , sin ,
2
ht
x a t y a t z
Конічна гвинтова лінія
cos , sin ,
x at t y at t
z bt
O
x
y
z
a
y
x
z
y
x
z
x
z
O
y
x
z
y
O
x
z
O
y
x
z
O
y
y
x
z
y
x
z
x
y
z
a
b
c
Додаток 183
Відповіді до 4-го заняття
4.7. 1)
min
(1, 0) 1;
z
2)
max
(0, 0) 10;
z
3)
min
1
1, 0;
2
z
4)
max
(3, 2) 108;
z
5)
min
(5;2) 30;
z
6)
min
(1, 3) 10 18 ln 3;
z
7)
min
2
( 2, 0) ;
z
e
8) максимум у точках
(1; 0)
та
( 1; 0),
якщо
,
a b
максимум у точках
(0;1)
та
(0; 1),
якщо
,
a b
при
a b
—
максимум у точках кола
2 2
1.
x y
4.8. 1)
( ; ) ( ; )
1 1 1 1 1 1
max ( , ) , , min ( , ) , ;
2 2
2 2 2 2
x y D x y D
z x y z z x y z
2)
( ; ) ( ; )
max ( , ) (2, 0) ( 2, 0) 4, min ( , ) (0, 2) (0, 2) 4;
x y D x y D
z x y z z z x y z z
3)
( ; ) ( ; )
max ( , ) ( 3, 0) (0, 3) 6, min ( , ) ( 1, 1) 1;
x y D x y D
z x y z z z x y z
4)
( ; ) ( ; )
max ( , ) (0, 5) 41, min ( , ) ( 2, 1) 3;
x y D x y D
z x y z z x y z
5)
( ; ) ( ; )
max ( , ) (2, 1) 13, min ( , ) ( 1, 1) (0, 1) 1.
x y D x y D
z x y z z x y z z
6)
( ; ) ( ; )
max ( , ) (1, 2) 17, min ( , ) (1, 0) 3.
x y D x y D
z x y z z x y z
4.9. 1)
min
1 1
, 1 2 2,
2 2
z
max
1 1
, 1 2 2;
2 2
z
2)
min
2 1
, 5,
5 5
z
max
2 1
, 5;
5 5
z
3)
min
3 3 19
, ;
2 2 4
z
4)
min max
1 1 1
(1, 0) 0, , .
3 3 27
z z
4.10. 1) куб з ребром
3
;
V
2)
3 3 3
1
2 2 2 .
2
V V V
Список літератури
1.
Диференціальне та інтегральне числення функцій багатьох змінних. Теорія поля. Ди-
ференціальні рівняння: Зб. завдань до типової розрахункової роботи для студ. І курсу
техн. ф-тів / Уклад.: С. В. Горленко, Л. Б. Федорова, В. О. Гайдей. — К.: ІВЦ «Полі-
техніка», 2002. — 65 с.
2.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы.
Ряды. Функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.
3.
Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. — М.: Наука, 1967. — 608 с.
4. Дубовик В. П., Юрик І. І. Вища математика: Навч. посіб. — К.: А.С.К., 2001. — 648 с.
5.
Краснов М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Высш. шк.,
1983. — 128 с.
6.
Овчинников П. П., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Вища математика: У 2 ч. — К.:
Техніка, 2000. — Ч. 1. — 591 с.; Ч. 2. — 791 с.
7.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов: В 3 т. —
М.: Наука, 1985.
8.
Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: В 2 ч. — М.: Рольф, 2000.
— Ч. 2. — 256 с.
9.
Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1980. —
350 с.
10.
Шипачев В. С. Высшая математика. — М.: Высш. шк., 2001. — 479 с.
11.
Бутузов В. Ф., Крутицкая И. И. Математический анализ в вопросах и задачах. Фун-
кции многих переменных. — М.: Высш. шк., 1988. — 288 с.
12.
Гусак А. А. Ряды и кратные интегралы. — Минск: БГУ, 1970. — 384 с.
13.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: В 2 ч. — М.: Высш. шк., 2001. — Ч. 2. — 410 с.
14.
Жевняк Р. М., Карпук А. А. Выcшая математика: В 5 ч. — Минск.: Вышэйш. шк.,
1984—1988. — Ч. 3. — 1985. — 208 с.; Ч. 4. — 1987. — 240 с.
15.
Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике: В 5 ч. — Харьков: ХГУ,
1973. — Ч. 2. — 367 с.; Ч. 3 — 374 с.; Ч. 4. — 436 с.
16.
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1985.
— 446 с.
17.
Вища математика: Зб. задач / В. П. Дубовик, І. І. Юрик, І. П. Вовкодав та ін. — К.:
Вища шк., 1999. — 480 с.
18.
Сборник задач по курсу высшей математики / Г. И. Кручкович, Н. И. Гутарина,
П. Е. Дюбюк и др. — М.: Высш. шк., 1973. — 576 с.
19.
Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математиче-
ского анализа: В 3 ч. / В. А. Болгов, А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин и др. — М.: Нау-
ка, 1986. — Ч. 2. — 368 с.
20. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных /
Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов, В. И. Чехлов, М. И. Шабунин. — СПб.: Наука, 1994.
— 496 с.
21.
Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям / М. Л. Краснов,
А. И. Киселев, Г. И. Макаренко. — М.: Высш. шк., 1978. — 288 с.