Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Диференціальне числення функцій кількох змінних. Визначені інтеграли. Диференціальні рівняння. Практикум

Подождите немного. Документ загружается.

Розділ 3. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

18. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінним

Навчальні задачі

18.1. Зінтегрувати диференціальне рівняння

xy y y



 

Розв’язання.

[3.2.2.]

Це диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними.

[Підставляємо в диференціальне рівняння





]

x y y

 

[Відокремлюємо змінні, множачи обидві частини рівняння на

і ділячи на

( ).

x y y



]

( ) ; , 0.

dy dx

xdy y y dx y

y y

   



[Інтегруючи, дістаємо загальний інтеграл ДР.]

2 2

; .

( 1) 1

ln ln( 1) ln ln ( 0);

( 0).

dy dx dy ydy dx

x y x

y y y

y y x C C

Cx C

  

 

    

 



    

Для



одержимо функцію



яка є розв’язком рівняння (його можна

було б втратити під час відокремлення змінних).

Загальний інтеграл рівняння

, .

C C

x y

 





18.2. Розв’язати задачу Коші:

2 2

1 1 0, (0) 1.

y dx x dy y

    

Розв’язання.

[3.1.2, 3.2.2.]

Це задача Коші для диференціального рівняння з відокремлюваними змінними

2 2

1 1 0

y dx x dy

   

і початковою умовою

(0) 1.



152 Розділ 3. Диференціальні рівняння

2 2

, 1, 1.

1 1

;

1 1

dy dx

x y

y x

dy dx

y x

     

 

 

 

 

arcsin arcsin ; arcsin arcsin .

y C x x y C

   

Функції

1, 1

x y

   

є розв’язками ДР, але ці розв’язки не можна отримати

за жодного значення сталої

— це особливі розв’язки.

Частинний інтеграл знайдемо з початкової умови

(0) 1



arcsin 0 arcsin1 .

C C



   

Розв’язок задачі Коші задає співвідношення

arcsin arcsin ; arcsin arcsin 1 .

2 2

x y y x y x

 

      



Коментар.



arcsin arccos ; sin(arccos ) 1 .

y x y x x

   

18.3. Матеріальна точка маси

рухається прямолінійно під дією сили

прямо пропорційної часу від початку руху і обернено пропорційної

швидкості руху

Встановити залежність між швидкістю і часом, якщо

| 0.



Розв’язання.

[3.1.2, 3.2.2.]

[Скористаємось фізичним змістом задачі.]

Згідно із другим законом Ньютона

F ma m

 

Для знаходження

( )

v t

маємо задачу Коші:

; (0) 0.

dv kt

m v

dt v

 

[Розв’яжімо її.]

2 2

; ;

;

2 2

(0) 0 0.

k k

vdv tdt vdv tdt

m m

v k t

v C

 

  

  

 

Розв’язком задачі Коші є функція

( ) .

v t t



18. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінним 153

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

18.4. Зінтегрувати ДР:

2 2

( ) ( ) 0;

xy x dx y x y dy

   

2 2

tg sin cos ctg 0;

x ydx x ydy

 

tg ;

y x y a



 

10 ;

x y







2 2

2 1 (1 );

x y y x



  

(1 ) 1;

e y





 

sin( );

y x y



 

(8 2 1) .

y x y



  

18.5. Розв’язати задачу Коші:

2 2

1 1 0, (0) 0;

x y dx y x dy y

    

sin cos 0, 1.

y x y x y

 









  









 

18.6. 1) Знайдіть лінію, що проходить через точку

(2;3),

кожен відрізок доти-

чної якої, що міститься між координатними осями, поділяється навпіл

точкою дотику.

2) Знайдіть усі лінії, у яких відрізок дотичної між точкою дотику і віссю

абсцис поділяється навпіл точкою перетину його з віссю ординат.

3) Знайдіть лінію, у якої довжина нормалі (відрізок її від точки лінії до

осі абсцис) дорівнює

const.



4) Матеріальна точка масою

г рухається прямолінійно під дією сили,

що прямо пропорційна часу від моменту



й обернено пропорційна

швидкості руху точки. В момент



с швидкість дорівнювала

0,5

м/с, а сила —

4 10





Н. Якою буде швидкість через хвилину після по-

чатку руху?

5) Моторний човен рухається у спокійній воді зі швидкістю



км/год. На повному ходу його двигун вимкнули, і через



с швид-

кість човна зменшилась до



км/год. Враховуючи, що сила опору

води рухові човна пропорційна його швидкості, знайдіть швидкість чов-

на через 2 хв після вимкнення двигуна; знайдіть також віддаль, яку

пройшов човен протягом 1 хв після зупинки двигуна.

6) Згідно з Ньютоновим законом швидкість охолодження будь-якого тіла

у повітрі пропорційна різниці між температурою

тіла і температурою

повітря

Якщо температура повітря дорівнює

20 C



і тіло протягом

хв охолоджується із

100

до

60 ,



то через скільки часу його темпера-

тура знизиться до

30 ?



154 Розділ 3. Диференціальні рівняння

Відповіді

18.4. 1)

;







2 2

ctg tg ;

y x C

 

sin ;

y C x a

 

10 10 ;

x y



 

arcsin ln(1 ) , 1;

y x C y

    

(1 );

x y

e C e



 

ctg ;

2 4

y x

x C

 

 





  









 

8 2 1 2 tg(4 ).

x y x C

   

18.5. 1)

2 2

1 1 2;

x y

   

sin .

y x



18.6. 1) гіпербола,



2) параболи

;

y Cx



2 2 2

( ) ;

x C y a

  

2, 7



м/с; 5)

0, 467



км/ч;

85, 2

м; 6)

( ), 20 80 ,

k T T T

 





   









 



хв.

19. Однорідні диференціальні рівняння

Навчальні задачі

19.1. Розв’язати задачу Коші:

, (1) .

x y

y y





  

Розв’язання.

[3.1.2, 3.2.4.]

Це задача Коші для однорідного рівняння

1 ,



  

з початковою умовою

(1) .

y 

[Шукаємо розв’язок рівняння як

( ) .

y u x x



]

( ) , .

dy du

y u x x y x u

dx dx



   

Дістаємо ДР з відокремлюваними змінними.

1 ;

(2 1 0); .

1 2 1 2

x u u

du dx du dx

u x u x

   

     

 

 

2 2

ln 1 2 ln 2 ln ( 0);

1 2 ( ) .

u C x C

C C

u u x

x x

   

     

[Знаходимо загальний розв’язок рівняння.]

( ) ( 2 ).

y x C C

   

19. Однорідні диференціальні рівняння 155

Функція

2 2

y u



 





  









 

є розв’язком ДР, коли



Урахуємо початкову

умову:

1 1

( ) 1.

2 2

y x C C

     

Розв’язок задачі Коші

  

19.2. Зінтегрувати ДР

1 3 3

x y

 





 

Розв’язання.

[3.2.5.]

Це рівняння, що зводиться до однорідного.

Оскільки

3 3

1 1

 

  

то до ДР з відокремлюваними змінними задане рівняння зводить підстановка:

1, 1;

dy dz

z x y

dx dx

    

4 3 4 2

1 ; ;

2 ( 1 2);

2 ln 2 2 ;

3 2ln 1

dz z dz z

dx z dx z

dz dz dx z x y

z z C x

x y x y C

 

  

      



    

    

( 1

x y

 

теж є інтегралом рівняння, який одержимо із загального, коли

 

Загальний інтеграл ДР

3 2ln 1 .

x y x y C

    

19.3. Знайти криву, яка проходить через точку

(1;1),

якщо довжина відрізка

осі

відтятого довільною дотичною, дорівнює довжині цієї дотичної.

Розв’язання.

Нехай рівняння шуканої кривої

( ),

y y x



0 0 0

( ; )

M x y

—

точка дотику. Тоді рівняння дотичної до кривої має ви-

гляд

0 0 0 0 0

( ), ( ( )).

y y y x x y y x

  

   

Рис. 1 до зад. 19.3

Знайдемо точку перетину дотичної з віссю

( )

y f x



156 Розділ 3. Диференціальні рівняння

0 0 0

0 ( ),

y y x x

x x



  

 



Оскільки

— довжина відрізка, відтятого дотичною від осі

M B

—

довжина відрізка дотичної, то за умовою задачі

Звідки

0 0

0 0 0

0 0

y y

OB M B x y

y y

 





    









 

 

Але ця умова виконується для довільної точки

( , )

M x y

кривої, а отже:

2 2

2 2 2

2 2

; .

y y xy y y

x y x y

y y y

y y

 





      









  

 

 

[Розв’яжемо ДР, яке задає криву.]

2 2

, ;

y y

x y

 

 



2 2

2 2 2

( ) , .

2 (1 )

; ;

1 ( 1)

(1 )

( 1)

; ; ( ).

y u x x y x u

du u u du dx

x u

dx x

u u u

u du dx

u u

u yx

Cx Cx y C x y

u x y



  



  

 







   

 



Оскільки, крива проходить через точку

(1;1),

то

1 (1 1) ,

C C   

Шукана крива є колом:

2 2 2 2

2 ( 1) 1.

y x y x y

     

Рис. 2 до зад. 19.3

19.4. Зінтегрувати диференціальне рівняння

( ) ( 2 ) 0.

x y dx x y dy

   

Розв’язання.

[3.2.9.]

Маємо диференціальне рівняння в повних диференціалах:

( , ) ( , ) 0, .

P Q

P x y dx Q x y dy

y x

 

  

 

19. Однорідні диференціальні рівняння 157

Справді:

( , ) , ( , ) 2 ;

1 .

P x y x y Q x y x y

P Q

y x

   

 

 

 

[Знаходимо загальний інтеграл диференціального рівняння за формулою

[3.2.9].]

0 0

( , ) ( , ) .

( 2 ) ;

x y

P t y dt Q x t dt C

tdt x t dt C

xy y C

 

  

 

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

19.5. Зінтегруйте рівняння:

;

y x

y e



 

2 2

, 0;

xy y y x x



   

(ln ln );

xy y y x



 

2 2 2

(3 2 ) ( 2 ) ;

y xy x dx x xy dy

   

2 5

;

2 4

y x

x y

 





 

(3 7 7) (3 7 3) 0;

y x dx x y dy

     

( 1) (2 2 1) ;

x y dx x y dy

    

( 2 1) (3 6 2) 0.

x y dx x y dy

     

19.6. Розв’яжіть задачу Коші:

( )arctg , (1) 0;

xy y x y



  

2 2

( 3 ) 2 0, (0) 1.

y x dy xydx y

   

19.7. 1) Знайдіть лінію, у якої квадрат довжини відрізка, який відтинає будь-яка

дотична від осі ординат, дорівнює добуткові координат точок дотику.

2) Знайдіть лінію, у якої початкова ордината будь-якої дотичної дорів-

нює відповідній піднормалі.

158 Розділ 3. Диференціальні рівняння

19.8. Зінтегруйте рівняння в повних диференціалах:

3 2 3 2

(2 ) (2 ) 0;

x xy dx y x y dy

   

2 2 2 2

1 0.

y xdy

x y x y

 







  









 

 

Відповіді

19.5. 1)

ln ;

y x

Cx e



 

2 2 2

, ;

y y x Cx y x

   

;

y xe





2 3

( ) ;

x y

x y Cx e





 

( 1) ( 3);

x y C x y

    

5 2

( 1) ( 1) ;

x y x y C

    

2 ln ;

x y x y C

   

3 ln 2 .

x y x y C

   

19.6. 1)

arctg

2 2

;

y y

x x

x y e

 

3 2 2

y y x

 

19.7. 1)

;

y x

x Ce





ln .

x y Cy



19.8. 1)

4 2 2 4

;

x x y y C

  

arctg .

x C

 

20. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку. Рівняння

Бернуллі

Навчальні задачі

20.1.1. Розв’язати задачу Коші

, (1) 0.

y x y



  

Розв’язання.

[3.2.7.]

Маємо задачу Коші для лінійного ДР щодо

( ).

y x

[1-й метод. Метод Бернуллі.]

[Шукаємо розв’язок ДР

( )

y x

як добуток двох функцій

( ) ( ),

u x v x

одну з яких

можна вибрати довільно.]

( )

( ) ( ), ;

; ;

v x

y u x v x y u v uv

uv v

u v uv x u v vu x

x x

vu x

  

  

 





   

     









 







 







 







вибираємо функцію

групуємо

так, щоб в дужках

був нульовий вираз







20. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку. Рівняння Бернуллі 159

За

( )

v x

беремо частинний розв’язок рівняння

0 :

dv v

dx x

 

1 ( ) .

dv dx

v x

du du

x x u x x C

dx dx

  

     

[Записуємо загальний розв’язок ДР.]

( ) .

y x x C x Cx

   

[Визначаємо сталу з початкової умови.]

(1) 1 0 1.

y C C

     

Розв’язок задачі Коші

y x x

 

[2-й метод. Метод Лаґранжа (варіації довільної сталої).]

[Записуємо однорідне рівняння і розв’язуємо його як ДР з відокремлюваними

змінними.]

0; ; ; ;

ln ln ln ;

y dy y dy dx dy dx

x dx x y x y x

y x C

y Cx



    

 



 

Розв’язок задачі Коші

y x x

 

[Варіюємо сталу — шукаємо розв’язок неоднорідного ДР у вигляді]

( ) , ( ) ( ).

y C x x y C x x C x

 

  

( )

( ) ( ) ;

( ) ; ( ) 1; ( ) .

C x x

C x x C x x

C x x x C x C x dx x A



  

 

    



[Підставляємо знайдену функцію

( )

C x

у шаблон.]

( ) ( ) .

y x x A x x Ax

   

[Визначаємо сталу з початкової умови.]

(1) 1 0 1.

y A A

     

Розв’язок задачі Коші

y x x

 

Коментар.



Функцію

( )

v x

вибираємо з метою найбільшого спрощення дифе-

ренціального рівняння. Для знаходження

( )

v x

маємо ДР з відокремлюваними

змінними. Причому досить знайти частинний розв’язок ДР.



Функцію

( )

u x

знаходимо з умови, щоб функція

( ) ( )

u x v x

була розв’язком ви-

хідного ДР. Для функції

( )

u x

теж маємо ДР з відокремлюваними змінними. Тут

вже шукаємо загальний розв’язок ДР.

160 Розділ 3. Диференціальні рівняння

20.1.2. Розв’язати задачу Коші

, (2) 1.

2 ln

y y

y y y x



 

 

Розв’язання.

[2.20.4.]

Це задача Коші для лінійного ДР щодо

( ):

x y

2 ln 1, (1) 2.

x y x



   

[Розв’язуємо ДР методом Лаґранжа, користуючись готовою формулою для

розв’язку однорідного ДР.]

2 2

1 1

( ) ; ( ) .

( )

( ) , ( ) .

2 ln 1;

(2 ln 1) ; ln ,

( ) ln .

p y u y e e

y y

v y v v

x y x y

y y

v v v

y y

dv y ydy v y y C

x y y y





   



  



   

   

 

[Справджуємо початкову умову.]

2 (1) 2 .

x C C

   

Розв’язок задачі Коші

ln .

x y y

 

20.2. Знайти силу струму в електричному колі з опором

const,



самоін-

дукцію

const



і ЕРС

const,

E E

 

якщо

(0) .

i I



Сила струму

( )

i t

справджує рівняння

( ) ( )

( ) .

di t R E t

i t

dt L L

 

Розв’язання.

Загальний розв’язок заданого рівняння



( ) .

Rt L

i t Ce



 

Використовуючи початкову умову, маємо:

C I

 

Шуканий розв’язок задачі Коші

0 0

( ) .

Rt L

E E

i t I e

R R



 







  









 

