Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Диференціальне числення функцій кількох змінних. Визначені інтеграли. Диференціальні рівняння. Практикум

Подождите немного. Документ загружается.

Розділ 2. Визначені інтеграли 31



1 2

( ),

x x t

L t t t

y y t







 











[ ( ) ( ) ( ) ( )] ,

( ) ( ( ), ( )),

Pdx Qdy

P t x t Q t y t dt

P t P x t y t

Q t Q x t y t

 

 

 





 





: ( ), [ ; ]

L y y x x a b

 

( , ) ( , )

[ ( , ( )) ( , ( )) ( )]

P x y dx Q x y dy

P x y x Q x y x y x dx

 



 





Теорема Остроградського — Ґріна.

Якщо

— кусково-гладкий контур,

що обмежує на площині

Oxy

область

( , ),

P x y

( , ) ( )

Q x y C D



і частинні

похідні цих функцій неперервні, то

правдива

формула Остроградського — Ґріна

L D

Q P

Pdx Qdy dxdy

x y

 

 





  









 

 

 



2.14. Застосування криволінійного інтеграла 2-го роду



Робота змінної сили

( ; ; )

F P Q R



під час переміщення

вздовж дуги

A ( )

F Pdx Qdy Rdz

  





Циркуляція векторного поля

( ; ; )

a P Q R



вздовж контуру



C ( )

F Pdx Qdy Rdz



  







Площа плоскої області,

обмеженої замкненою кривою



S xdy ydx



 





32 Розділ 2. Визначені інтеграли

2.15. Криволінійний інтеграл 2-го роду від повного диференціала

Умови незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування



; ;

Q P R Q P R

x y y z z x

     

  

     

Pdx Qdy Rdz

 



не залежить від шляху інтегрування

Pdx Qdy Rdz dU

  

є повним диференціалом

Pdx Qdy Rdz L

   







Q P

x y

 



 

Pdx Qdy





не залежить від шляху інтегрування

Pdx Qdy dU

 

є повним диференціалом

Pdx Qdy L

  







Інтеграл від повного диференціала

( ) ( )

dU U B U A

 





Відновлення функції за її

диференціалом

dU Pdx Qdy Rdz

  

0 0

( , , ) ( , , )

y z

U x y z P t y z dt

Q x t z dt R x y t dt C

 

  



 



Відновлення функції за її

диференціалом

dU Pdx Qdy

 

0 0

( , )

( , ) ( , )

x y

U x y

P t y dt Q x t dt C



  

 

Розділ 2. Визначені інтеграли 33

2.16. Поверхневі інтеграли 1-го роду (за площею поверхні)



Поверхневий інтеграл 1-го роду

від

функції

( , , )

f x y z

за поверхнею



max 0

( , , )

lim ( , , ) ,

i i i i

f x y z d









 

    





де



— площа ділянки;

— її діаметр.



Геометричний зміст поверхневого

інтеграла 1-го роду.

Маса,

розподілена на поверхні



з густиною

( , , ) 0

f x y z

  

( , , ) ( )

f x y z d m



  





Основні властивості поверхневого інтеграла 1-го роду

1 ( )

d S



   



(площа

);



2) лінійність; 3) адитивність.

Обчислення поверхневого інтеграла 1

го роду



Поверхня

: ( , )

z z x y

 

однозначно проектується в область

Oxy

2 2

( , , )

( , , ( , )) 1

Oxy

x y

f x y z d

f x y z x y z z dxdy



 

 

  



2 2

x y

d z z dxdy

 

   

2.17. Застосування поверхневого інтеграла 1-го роду



Площа поверхні

( )

S d



  





Маса розподілена на поверхні

з густиною

( , , )

x y z

  

( ) ( , , )

m x y z d



   







( ; ; )

i i i i

  

34 Розділ 2. Визначені інтеграли



Статичні моменти поверхні

щодо координатних площин

( , , )

M y x y z d

 

 

 



 

 

 

 

  

 

 

 





Координати центра мас

поверхні

; ;

yz xy

c c c

M M

x y z

m m m

  



Моменти інерції поверхні

щодо координатних площин

( , , )

I y x y z d

 

 

 



 

 

 

 

  

 

 

 





Моменти інерції поверхні

щодо осей координат

2 2

( , , )

y z

I x z x y z d

x y

 

 

 



 

 

 

 



 

   

 

 



 

 





Момент інерції поверхні

щодо початку координат

2 2 2

( ) ( , , )

I x y z x y z d



    



2.18. Поверхневі інтеграли 2-го роду



Орієнтовані поверхні. Поверхню



у кожній точці якої вказано

нормальний вектор

й напрям обходу

контуру



називають орієнтованою.



Поверхневий інтеграл 2-го роду

від вектор-функції

( , , ) ( , , ) ( , , )

a P x y z i Q x y z j R x y z k

  

за вибраним боком поверхні



max 0

( , )

lim ( ( ), ( ))

i i i

Pdydz Qdxdz Rdxdy

a n d

a M n M









  

  

 





де



— площа ділянки;

— її діаметр





( )

a M





Розділ 2. Визначені інтеграли 35



Фізичний зміст поверхневого

інтеграла 2-го роду. Потік векторного

поля через вибраний бік поверхні



( , ) ( )

a n d a



  





Основні властивості поверхневого інтеграла 2-го роду

0 0

( , ) ( , )

a n d a n d

 

 

   

 

(орієнтованість);

2) лінійність; 3) адитивність.

Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду



Проектування поверхні

: ( , , ) 0

F x y z

 

на всі координатні площини

(знаки перед подвійними інтегралами

відповідають знакам напрямних

косинусів вибраної нормалі

grad

n F

 

)

( ( , ), , )

( , ( , ), )

( , , ( , ))

Oyz

Oxz

Oxy

Pdydz Qdxdz Rdxdy

P x y z y z dydz

Q x y x z z dxdz

R x y z x y dxdy



  

  

 







Проектування поверхні

: ( , )

z z x y

 

на площину

Oxy

( , )

cos

Oxy

z z x yD

a n

a n d dxdy



 



 

[ ( , )( ) ( , )( )

( , )]

( , ) ( , , ( , )),

( , ) ( , , ( , ))

Oxy

x y

Pdydz Qdxdz Rdxdy

P x y z Q x y z

R x y dxdy

P x y P x y z x y

Q x y Q x y z x y

R x y Q x y z x y



  

 

     







 



Знак перед інтегралом відповідає

знаку

cos



вибраної нормалі

до поверхні.



Теорема Остроградського — Ґауса.

Якщо векторне поле

a Pi Qj Rk

  

неперервно

диференційовне у просторовій області

обмеженій замкненою поверхнею



орієнтованою зовнішньою

нормаллю, то правдива

формула Остроградського — Ґауса

Pdydz Qdxdz Rdxdy

P Q R

dxdydz

x y z



  

 

  





  









  

 







36 Розділ 2. Визначені інтеграли

2.19. Скалярні поля



Скалярне поле

( ) ( , , ),

u M u x y z M G

  





Поверхня рівня

( , , ) const

u x y z C

 



Градієнт

grad

u u u

u i j k

x y z

  

  

  



Правила обчислення градієнта

grad 0, const;

C C

 

grad( ) grad , const;

Cu C u C

 

grad( ) grad grad ;

u v u v

  

grad( ) grad grad ;

uv v u u v

 

grad grad

grad ;

u v u u v





grad ( ) ( ) grad

f u f u u







Похідна за напрямом

(grad , )

u l







2.20. Векторні поля



Векторне поле

( ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ,

a M P x y z i

Q x y z j R x y z k

M G

 

 

 





Векторна (силова) лінія.

Векторною лінією поля

називають

криву, в кожній точці

якої дотична

збігається з напрямом поля

dx dy dz

P Q R

 



Дивергенція

векторного поля

div

P Q R

x y z

  

  

  



Правила обчислення дивергенції

div 0, const;

C C

 

div( ) div , const;

Ca C a C

 

1 2 1 2

div( ) div div ;

a a a a

  

div( ) div ( , grad )

ua u a a u

 



Фізичний зміст дивергенції

1) якщо

div 0



— то

div

—

потужність джерела;

2) якщо

div 0



— то

div

—

потужність стоку

Розділ 2. Визначені інтеграли 37



Ротор векторного поля

rot

i j k

x y z

P Q R

  



  



Правила обчислення ротора

rot 0, const;

C C

 

1 2 1 2

rot( ) rot rot ;

a a a a

  

rot( ) rot [grad , ]

ua u a u a

 



Потік

векторного поля

( ) ( , )

a a n d



  





Циркуляція векторного поля

C ( ) ( , )

a a dl

 







Формула Остроградського —

Ґауса. Потік векторного поля

через

замкнену поверхню



в напрямі її

зовнішньої нормалі, дорівнює

потрійному інтегралу від дивергенції

векторного поля за областю

обмеженої цією поверхнею.

(

— неперервно диференційовне

поле всередині області

)

( , ) div

a n d adxdydz



 

 



⓫

Формула Стокса.

Циркуляція

векторного поля

уздовж довільного

замкненого контуру

дорівнює

потоку вектора

rot

через поверхню



напнуту на контур

(

— неперервно диференційовне

поле на поверхні

;



орієнтація кривої



узгоджена з орієнтації поверхні

)



0 0

( , ) (rot , )

a dl a n d

 

  

 







38 Розділ 2. Визначені інтеграли

2.21. Спеціальні векторні поля



Потенціальне поле

rot 0





Потенціал

потенціального

поля

: ( ) grad ( )

a Pi Qj Rk

U a M U M

  

 

0 0

( , , ) ( , , )

y z

U x y z P t y z dt

Q x t z dt R x y t dt C

 

  



 



Соленоїдальне поле

div 0





Гармонічне поле

rot 0, div 0

a a

 

2.22. Символічний запис дій над полями



Оператор Гамілтона (набла)

i j k

x y z

  

   

  



Оператор Лапласа

2 2 2

x y z

  

     

  

Диференціальні операції 1-го порядку



Градієнт

grad

u u

 



Дивергенція

div ( , )

a a

 



Ротор

rot [ , ]

a a

 

Диференціальні операції 2-го порядку



rot grad , 0

u u

 

   

 



div rot ( ,[ , ]) 0

a a

   



div grad ( , )

u u u

    



grad div ( , )

a a

  



rot rot [ ,[ , ]]

a a

  

Розділ 2. Визначені інтеграли 39

2.23. Застосування інтегралів за геометричними об’єктами

Об’єкт Тип інтеграла

Геометричне

застосування

Фізичне

застосування

Область

на площині

Подвійний інтеграл

Площа області

Маса пластинки

Просторова

область

Потрійний інтеграл

Об’єм тіла

Маса тіла

Крива

Криволінійний інтеграл

І роду

Довжина кривої

Маса кривої

Крива

Криволінійний інтеграл

ІІ роду

Робота змінної сили

Поверхня

Поверхневий інтеграл

І роду

Площа поверхні

Маса поверхні

Поверхня

Поверхневий інтеграл

ІІ роду

Потік поля через поверхню

( , )

f x y dxdy



( )

S D dxdy





( ) ( , )

m D x y dxdy

 



( , , )

f x y z dxdydz



( )

V G dxdydz





( ) ( , , )

m G x y z dxdydz

 



( , , )

f x y z dl



( )

l L dl





( ) ( , , )

m L x y z dl

 



Pdx Qdy Rdz

 



( ; ; )

F P Q R



A Pdx Qdy Rdz

  



( , , )

f x y z dS







( )

S dS



 





( ) ( , , )

m x y z dS



  



Pdydz Qdxdz Rdxdy



 



( ; ; )

a P Q R





( )

a Pdydz Qdxdz Rdxdy



   



Розділ 3. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

3.1. Диференціальні рівняння 1-го порядку



Диференціальне рівняння (ДР) 1-го

порядку.

( , ),

y f x y y

 

 

( , ) ( , ) 0

P x y dx Q x y dy

 



Задача Коші для ДР 1-го порядку.

Задачу знаходження розв’язку

рівняння

( , )

y f x y





який справджує початкову умову

0 0

( ) | ,

x x

y x y y



 

називають задачею Коші.



Загальний, частинний і особливий

розв’язки ДР. Сукупність функцій

( , ),

y y x C



де

— довільна стала,

називають загальним розв’язком ДР

( , ),

y f x y





якщо:

1) функція

( , )

y y x C



є розв’язком

цього ДР для будь-якого значення

;

2) для будь-якої початкової умови

0 0

( )

y x y



існує єдине значення

C C



таке, що функція

( , )

y y x C



справджує цю умову.

Загальний розв’язок у неявному

вигляді

( , , ) 0

x y C

 

називають

загальним інтегралом ДР.

Частинним розв’язком ДР

( , )

y f x y





називають розв’язок, який дістають із

загального розв’язку за певного

значення довільної сталої

Розв’язок ДР, який не можна одержати

із загального розв’язку, за жодного

значення довільної сталої, включаючи



називають особливим.



Теорема про існування та

єдиність розв’язку задачі Коші. Якщо

у ДР

( , )

y f x y





функція

( , )

f x y

та її

похідна

( , )

f x y



неперервні в деякій

області

яка містить точку

0 0 0

( ; ),

M x y

то існує єдиний розв’язок

( )

y x

 

цього рівняння, який справджує

початкову умову

0 0

( ) .

y x y

