Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Диференціальне числення функцій кількох змінних. Визначені інтеграли. Диференціальні рівняння. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
4. Екстремуми функції кількох змінних 71
1 2
1 2
5
( ) 2 sin 2 cos 0; tg 1; , .
4 4
( 2; 2), ( 2; 2).
z t t t t t t
M M
1
2
( 2; 2) 2 2;
( ) ( 2; 2) 2 2.
z M z
z M z
max ( ) ( 2, 2) 2 2;
min ( ) ( 2, 2) 2 2.
M D
M D
z M z
z M z
4.4.1. Дослідити на екстремум функцію
2 2
1 2
(3 4 )
3 3
z x y x y
за умови
зв’язку
2
3 1
0
4 6
x y
методом виключення змінних.
Розв’язання
.
[1.9.2.]
[Виражаємо одну із змінних з рівняння зв’язку.]
2
3 1
( ) .
4 6
y x x
[Підставляємо вираз у функцію
( , ).
z x y
]
2
1 1 5
( , ( )) ( )
2 3 9
z x y x x x x
.
[Досліджуємо на локальний екстремум одержану функцію.]
0
1 1
( ) 0 .
3 3
x x x
[Перевіряємо виконання достатніх умов існування локального екстремуму.]
1
1 0
3
.
У точці
0
1
3
x
функція
( )
x
має локальний мінімум.
З умови зв’язку знаходимо відповідне значення
0
3 1 1 1
.
4 9 6 4
y
Точка
0
1 1
;
3 4
M
є точкою локального умовного мінімуму функції
( , )
z x y
.
[Обчислюємо значення функції
( , )
z x y
в цій точці.]
min
1 1 1
,
3 4 2
z z
.
72 Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних
4.4.2. Дослідити на екстремум функцію
2 2
1 2
(3 4 )
3 3
z x y x y
за умови
зв’язку
2
3 1
0
4 6
x y
методом множників Лаґранжа.
Розв’язання
.
[1.9.2, 1.9.7.]
[Крок 1. Записуємо функцію Лаґранжа для задачі.]
2 2 2
1 2 3 1
( , ; ) (3 4 ) ,
3 3 4 6
L x y x y x y x y
де
— невизначений Лаґранжів множник.
[Крок 2. Знаходимо стаціонарні точки Лаґранжової функції.]
2
2
2
0
1 3
12 (3 4 ) 0;
3 2
2
8(3 4 ) 0;
3
3 1
( , ) 0.
4 6
1 1 1 1
, , 6 ; ; 6 .
3 4 3 4
x
y
L x x y x
L x y
x y x y
x y M
[Крок 3. Перевіряємо виконання достатніх умов екстремуму для функції Лаґ-
ранжа в точці
0
.
M
]
[Знаходимо похідні 2-го порядку Лаґранжової функції.]
2
0 0 0
3
12(9 4 ) , 48 , 32;
2
( ) 9, ( ) 16, ( ) 32.
xx xy yy
xx xy yy
L x y L x L
L M L M L M
[Записуємо другий диференціал функції
( , ; )
L x y
в точці
0
1 1
; ;6 .
3 4
M
]
2 2 2
0
( ) 9 32 32
d L M dx dxdy dy
.
[Щоб визначити знак 2-го диференціала при наявності зв’язку, встановлюємо
зв’язок між
dx
та
dy
з умови зв’язку.]
2
3 1 3
( ( , )) 0 0.
4 6 2
d x y d x y xdx dy
У точці
0
M
:
1 1
0,
2 2
dx dy dy dx
.
[Підставляємо
dy
у вираз для
2
0
( ).
d L M
]
4. Екстремуми функції кількох змінних 73
2
2 2 2
0
1 1
( ) 9 32 32 0
2 2
d L M dx dx dx dx dx
.
У точці
0
M
функція
( , ; )
L x y
має локальний мінімум
min 0
1
( ) ,
2
L L M
а функція
2 2
1 2
(3 4 )
3 3
z x y x y
при наявності зв’язку
2
3 1
0
4 6
x y
має у точці
0
1 1
;
3 4
M
локальний умовний мінімум
min
1 1 1
, .
3 4 2
z z
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
4.5. Розвиньте функцію
2 2
( , ) 3
f x y x xy y
за степенями
( 1)
x
та
( 1),
y
знайшовши члени 2-го порядку включно.
4.6. Розвиньте функцію
( , ) arctg
y
f x y
x
за степенями
( 1)
x
та
,
y
знайшо-
вши члени 2-го порядку включно.
4.7. Знайдіть точки екстремуму функції:
1)
2 2
2 ;
z x y xy x y
2)
2 2
2 3 2 10;
z xy x y
3)
3 3
8 6 1;
z x y xy
4)
3 2
(6 ), 0, 0;
z x y x y x y
5)
50 20
, 0, 0;
z xy x y
x y
6)
2 2
2 ln 18 ln ,
z x y x y
0, 0;
x y
7)
2
2
( );
x
z e x y
8)
2 2
2 2
( ), 0, 0.
x y
z e ax by a b
74 Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних
4.8. Знайдіть найбільше та найменше значення функції
1)
z xy
у крузі
2 2
1;
x y
2)
2 2
z x y
у крузі
2 2
4;
x y
3)
2 2
z x y xy x y
у трикутнику, обмеженому лініями
0,
x
0
y
та
3 0;
x y
4)
2 2
2 3 2 1
z x xy y x y
у трикутнику, обмеженому осями ко-
ординат і прямою
5 0;
x y
5)
3 3
3
z x y xy
у прямокутнику, обмеженому прямими
0,
x
2, 1, 2;
x y y
6)
2
2 4 8
z x xy x y
у прямокутнику, обмеженому прямими
0,
x
0, 1, 2.
y x y
4.9. Знайдіть умовні екстремуми функції:
1)
4
2
x y
z
при
2 2
1;
x y
2)
2
z x y
при
2 2
1;
x y
3)
2 2
4
z x y xy x y
при
3 0;
x y
4)
2
z xy
при
2 1.
x y
4.10. 1. З усіх прямокутних паралелепіпедів, які мають заданий об’єм
,
V
знайдіть той, який має найменшу поверхню.
2. Для яких розмірів відкрита прямокутна ванна місткістю
V
має най-
меншу площу поверхні.
Відповіді
4.5.
2 2
1
( , ) 5 5( 1) 5( 1) [2( 1) 6( 1)( 1) 2( 1) ] ....
2!
f x y x y x x y y
4.6.
( , ) ( 1) ...
f x y y x y
Решту відповідей див. на С. 183.
Розділ 2. ВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ
5. Обчислення визначеного інтеграла
Навчальні задачі
5.1.1. Обчислити
2
.
ln
e
e
dx
x x
Розв’язання. [2.3.2.]
2 2
2
[2.3.2]
2
ln
ln ln ln
ln ln
ln ln ln ln ln 2.
e e
e
e
e e
dx dx d x
d x x
x x x x
e e
Коментар.
Знаходимо первісну для підінтегральної функції методом вне-
сення функції під знак диференціала.
За формулою Ньютона — Лейбніца від значення первісної у верхній межі
віднімаємо значення первісної у нижній.
5.1.2. Обчислити
5
2
2
.
2 10
dx
x x
Розв’язання. [2.3.2.]
5 5
5
[2.3.2]
2 2
2
2 2
1 1
arctg
3 3
2 10 ( 1) 9
1 1 1
arctg 2 arctg 1 arctg 2 .
3 3 3 12
dx dx x
x x x
Коментар.
Вилучаємо повний квадрат у знаменнику дробу.
5.1.3. Обчислити
0
sin .
2
x
x dx
Розв’язання. [2.3.3.]
[2.3.3]
0
0 0
0
sin
sin 2 cos
2
2 2
2 cos 2 cos 2 cos 0 4 sin
2 2 2 2
4 sin 4 sin 0 4.
2
u x du dx
x
x dx
x x
dv dx v
x x x
x dx
76 Розділ 2. Визначені інтеграли
5.1.4. Обчислити
3
2 2
0
9 .
x x dx
Розв’язання. [2.3.4, 2.3.8, 2.3.9.]
3
[2.3.9] [2.3.4]
2 2
2 2
0
2 2
2 2 2 2
0 0
2 2
[2.3.8]
2 4
0 0
3 sin , ; ,
2 2
0 3
3 cos ;
9
0
9 9 9 sin
2
3 cos 3 cos .
81 sin cos 81 sin (1 sin )
1 1 3
81 sin 81 sin 81
2 2 2 4
x t t
x
dx tdt
x x dx
t
x t
t t
t tdt t t dt
tdt tdt
81
.
16
Коментар.
Обчислюючи визначений інтеграл заміною змінних, на відміну
від невизначеного інтегрування, не потрібно вертатись до старої змінної.
Використовуємо тригонометричну підстанову і не забуваємо змінити межі ви-
значеного інтеграла:
0 3 sin 0; 0.
3 3sin 3, .
2
x t t
x t t
5.1.5. Обчислити
3
2 5
3 3
.
(1 )
dx
x
Розв’язання. [2.3.4, 2.3.9.]
3
3
[2.3.9] [2.3.4]
3
2
2 5
3 3
6 3
2
2
3 3 3
5
3 2
2
6 6 6
3
3
3
6
6
tg , ; ,
2 2
3
;
cos
(1 )
1
1 tg .
cos
cos
cos (1 sin ) sin
cos
sin 3 3 11
sin .
3 8 24
x t t
x
dx dt
dx
t
t
x
t
t
tdt
tdt t d t
t
t
t
5. Обчислення визначеного інтеграла 77
5.1.6. Обчислити
4 3
2
2
4
.
x
dx
x
Розв’язання. [2.3.4, 2.3.9.]
4 3
[2.3.9] [2.3.4]
4
2
3
2 6
2
6 6
2
2 2
0 0
6
6 6
0 0
2
0
2
, [0; )
2
4
cos 2
2 sin
0
.
cos
4 sin
cos 4 2 tg
cos cos
1 2
2 1 2 tg 2 .
3
cos
3
x t
x
x
t
dx
tdt
x
t
dx
t
tdt
t tdt
t t
dt t t
t
5.2.1. Обчислити
4
3
4
sin .
xdx
Розв’язання. [2.3.6.]
Оскільки
3
sin
x
— непарна функція, то
4
[2.3.6]
3
4
sin 0.
xdx
5.2.2. Обчислити
4
4
tg .
x dx
Розв’язання. [2.3.5.]
Оскільки
tg
x
— парна функція, то
4 4 4
[2.3.5]
4
0
4 0 0
tg 2 tg 2 tg 2 ln cos
2 ln cos 2 ln cos 0 ln 2.
4
x dx x dx xdx x
5.2.3. Обчислити
6
5
0
sin .
xdx
Розв’язання. [2.2.6, 2.3.6, 2.3.7.]
Функція
5
sin
x
має період
2 .
78 Розділ 2. Визначені інтеграли
6 2 4 6
[2.2.6] [2.3.7]
5 5 5 5
0 0 2 4
[2.3.6]
5
sin sin sin sin
3 sin 3 0 0.
xdx xdx xdx xdx
xdx
Коментар.
Використовуючи властивість адитивності, розбиваємо проміжок
інтегрування на відрізки завдовжки
2 .
5.2.4. Обчислити
2
4
0
sin .
xdx
Розв’язання. [2.2.6, 2.3.5, 2.3.6, 2.3.8.]
Функція
4
sin
x
має період
.
T
2 2
[2.2.6] [2.3.6]
4 4 4 4
0 0 0
sin sin sin 2 sin
xdx xdx xdx xdx
2 2
[2.3.5] [2.3.8]
4 4
2 0
3 !! 1 3 3
2 sin 4 sin 4 4 .
2 4 !! 2 2 4 4
xdx xdx
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
5.3. Обчисліть:
1)
1
3
2
;
(11 5 )
dx
x
2)
13
4
5
2
;
(3 )
dx
x
3)
1
4
0
( 1) ;
x x
e e dx
4)
2
1
;
1 ln
e
dx
x x
5)
2
1
2
1
;
x
e dx
x
6)
1
2
6
0
;
4
y dy
y
7)
3
2
2
;
2 3 2
dx
x x
8)
1
2
0,5
;
8 2
dx
x x
9)
4
2
0
sin ;
d
10)
3
4
6
tg .
xdx
5. Обчислення визначеного інтеграла 79
5.4. Обчисліть:
1)
2
3
2
cos cos ;
x xdx
2)
2
0
1 ;
x dx
3)
2
sin ;
x
e xdx
4)
2
2 2
2
(cos sin ) ;
x x x dx
5)
2
5 4 3
2
( 5 3 ) ;
x x x x dx
6)
4
7 5 3
2
4
3 2 4
;
cos
x x x x
dx
x
7)
2
0
( ) ,
f x dx
якщо
2
, 0 1,
( )
2 , 1 2;
x x
f x
x x
8)
1
0
( ) ,
f x dx
якщо
0 ,
( )
1
, 1.
1
x x t
f x
x
t t x
t
5.5. Знайдіть похідну функції:
1)
1
( ) ln , 0;
x
F x tdt x
2)
0
4
( ) 1 ;
x
F x t dt
3)
1
0
sin
( ) ;
t
F x dt
t
4)
2
1
( ) sin .
x
x
F x t dt
5.6. За допомогою інтегруванням частинами, обчисліть:
1)
1
0
;
x
xe dx
2)
3
2
4
;
sin
xdx
x
3)
3
1
ln ;
e
xdx
4)
1
1
arccos .
xdx
80 Розділ 2. Визначені інтеграли
5.7. Застосовуючи Валісову формулу, обчисліть:
1)
2
5
0
sin ;
xdx
2)
2
8
0
cos ;
xdx
3)
6
0
sin ;
2
x
dx
4)
4
7
0
cos 2 ;
xdx
5)
9
sin ;
xdx
6)
8
sin .
xdx
5.8. Заміняючи змінну, обчисліть:
1)
8
3
;
1
xdx
x
2)
29
2
3
2
3
3
( 2)
;
3 ( 2)
x dx
x
3)
3
2
2
1
1
;
x
dx
x
4)
1
2
6
1 2
1
;
x
dx
x
5)
2
5 2
2
;
1
dx
x x
6)
ln 2
2
0
1 ;
x
e dx
7)
2
2
2 3
;
1
dx
x x
8)
2
2 2
2
;
(4 )
dx
x
9)
2
0
;
2 cos 3
dx
x
10)
4
2
0
.
1 2 sin
dx
x
5.9. Оцініть:
1)
1
2
0
4 ;
x dx
2)
1
3
1
.
8
dx
x
Відповіді
5.3. 1)
7
;
72
2)
5
5(1 16);
3)
5
( 1)
;
5
e
4)
;
2
5)
;
e e
6)
1 1 5
ln ;
3 2
7)
1 4
ln ;
5 3
8)
;
6
9)
1
;
8 4
10)
8 3
.
6 27