Алексеев А.Е. Диагностика надежности автоматизированных систем
Подождите немного. Документ загружается.
Габлица
3.1.
Нагруженное дублирование
при
идентичных элементах
и
неограниченном восстановлении
Показатель Точное значение
Приближенное
значение
j(Q)
11
+ 3/
X
2y
1 1
I
2y
11
+ 2/
X
2y
1 1
I
2y
I
1
У*
-
P
f0j
(t
0
)
1
(x
{
e -x,e )
x
l
- x
2
e
1+37
K(t)
i
2^
Г
1 / ,
t
„
л
~
1- 1- [s^
1
-
s^e
1
J
e&
I
e
l
-e
2
i-r
/
Л \ Л
1- 2-е"
7
e~
y
V
/
К
1
1
+ у
l-/
2
R(to)
x
2
(X
- x
2
)e~
Xlta
-x^X- x
l
)e~
x
'
A
R(to)
V(x
t
+xj(l
+ r)
1
+ /
Примечание. Обозначения:
x\p_
= —
(l
+
3/±^jl
+
6y
+
y
2
);
^
2
= —
(1
+
y)(3±
1);
2/
'" 2y
2
1
+
2/'
Таблица
3.2.
Нагруженное дублирование
при
идентичных элементах
и
ограниченном восстановлении
Показатель
Точное значение Приближенное значение
j(Q)
11
+ 3/
X
2у
1 1
I
2/
11
+ 2/
X
2у
1 1
I
2/
Т
1
М
-
P
f0j
(t
0
)
1
(х
{
е ' -х,е )
6
1+37
K(t)
1 Г 1 / „
г
„
л
~
1- 1- l^e
1
-
s^e
1
J
^
L
s
l
- s
2
Г
f ^ ^
*
1
\-2y
2
1- l + -r e"
7
L
v / J J
К
1
1
+
у"
1-2/
2
R(to)
x
2
(X
- x
2
)e~
Xlta
-x^X- x
l
)e~
x
'
A
R(to)
M(x
l
+x
2
)(\
+
2y
+
2y
2
)
1
+ /
Примечание. Обозначения:
х
12
[(l
+ Ъу)±^\ +
6у + у'
X
Ту
(2
+ 3y)±J4y
+ y
;
у =
2у
2у
2
1 + 2/
Таблица
3.3.
Ненагруженное дублирование
при
идентичных элементах
и
неограниченном восстановлении
Показатель
Точное значение Приближенное значение
j(Q)
1
X
l
У J
1
Ту
1
I
К У
J
1
Ту
I
1
-
P
f0j
(t
0
)
1
(x
x
e -x,e )
x
l
- x
2
K(t)
1 -
1
-
—-—(s^e'**
-
s.e'^)
e^e
2
I
e
l
-e
2
-
Г (
л
-\
11
"1
\-
Г
—
1- 2-е
7
е~
у
ч
I J J
К
1
1 + у
1
2
R(to)
2[х
2
(Л-x
2
)e~
Xlta
-х^Л-xje'^]
R(to)
//(x
1
+xj(2 + 2/ + r)
1 + /
Примечание. Обозначения:
х\р_
= —Н +
Ъу
±-л]1 + 6у + у
2
Таблица
3.4.
Ненагруженное дублирование
при
идентичных элементах
и
ограниченном восстановлении
Показатель
Точное значение Приближенное значение
j(Q)
1
I
1 У)
1
Ту
1
I
м
л
1 У)
1
Ту
Т
1
-
P
f0j
(t
0
)
1
(x
{
e ' -x,e )
x
l
- x
2
-
1
x
0
K(t)
1
-
1
- —-—(^e"^' -
s^e~
£lt
)
£,£
2
I
e
l
-e
2
Г
( 2 Л
ж
~\
1-у
2
1-
1
+ -Г е"
7
_
1 г) _
К
1
1
+ f
1-Х
2
R(to)
x
2
(X
-
x
2
)e~
xh
\X
T
"
h
R(to)
ц{х
1
+х
2
у\
+ у + у
2
)
1
+ /
Примечание. Обозначения:
х
п
= —
((1
+ 2/) +
д/l
+ 4^); ^
2
=
—
[(1
+ /) + д//
2/
' /
1
3.3.
Зависимые элементы
Для повышения надежности наиболее сложных
или
особо
ответственных устройств нередко приходится применять
функциональное резервирование, заключающееся
в том, что
основное
(рабочее) устройство резервируется устройством,
не
аналогичным
ему
по своей структуре
и
принципам работы. Например, электронное
устройство может резервироваться механической
или
оптической
системой
и
т.
п.
Такое устройство, резервирующее рабочее устройство
только по функциональному назначению, может
характеризоваться сильно отличающейся интенсивностью
отказов
и
восстановления,
и
часто оба устройства зависят
друг от друга по нагрузке (входным параметрам), которая
в случае отказа одного из них перераспределяется
на
устройства, оставшиеся исправными.
Для дублированной системы (рис.
3.1)
обозначим:
1[
2)
(1
(
^)
—интенсивность отказов
первого (второго) элемента
при
условии,
что
второй (первый)
уже
отказал;
//^'(//^О —
интенсивность восстановления первого (второго) элемента
при
условии,
что
второй
(первый) элемент также
уже
восстанавливается;
\{Х
Г
)—
интенсивность отказов первого
(второго) элемента при условии, что второй (первый) работоспособен; /^(/О —
интенсивность восстановления первого (второго) элемента при условии, что второй
(первый) работоспособен.
Рис.
3.1. Структурная схема
дублированной системы из
зависимых элементов с
разными показателями
надежности
Рис.
3.2. Граф переходов из
одного состояния в другое
дублированной системы из за-
висимых элементов с разными
показателями надежности
Граф переходов дублированной системы из одного состояния в другое представлен
на рис. 3.2, где обозначено: Н
0
— состояние системы, в котором отказавших элементов
нет; Н[ (Н
2
) — состояние системы, в котором отказавшим является первый (второй)
элемент; Н
12
— состояние отказа системы, в котором отказавшими являются оба
элемента.
В табл. 3.5 приведены точные и приближенные формулы для основных пока-
зателей надежности дублированной системы. Приближенные формулы справедливы при
выполнении условия
у = 2///_«1/2,
где X =шах(/1
1
Д
2
Д
(
1
2,
Д
(
2
1,
);//_ = тах(//
1
,//
2
,//
1
(2,
,/^
1)
)-
Таблица 3.5. Дублированная система при зависимых элементах с разными
показателями надежности и неограниченном восстановлении
Показат
ель
Точное значение
Приближенное значение
Т
(0)
1
+
+a
2
fi
2
а
х
Х
х
+ а
1
Х
1
т
P(to)
Не приводится
1+з 7'
K(t)
а.
Л.
л-а. А.
1+
11
R(t
0
)
Не приводится
а. Л + OL.A.
1+
11
/'Г>1
V
^ =
(1-а
1
)(1+а
2
Д_)
+ а
1
Д 1 +а
л!
4J
2
л,
4" + А,
3.4. Учет контроля и переключения
3.4.1.
Учет конечного времени переключения
Рассмотрим дублированную систему с абсолютно надежным
переключателем, осуществляющим переключение при отказе основного
элемента за конечное время t
n
. Для всех показателей надежности системы при
различных режимах работы и восстановления приведенные приближенные
формулы справедливы для условий: средняя наработка до отказа элементов
много больше среднего времени простоя и времени переключения; Т»т и Т» t
n
;
ограничений для соотношений Т и t
n
не делается (табл.
3.6-3.9).
Произвольное распределение P(t) предполагается «стареющим». Приведенные в
таблицах верхние и нижние оценки справедливы для распре-делений с возрастающей
функцией интенсивности. В таблицах введены
Таблица
3.6.
Нагруженное дублирование
с
конечным временем
переключения
при
неограниченном восстановлении
Показат
ель
Экспоненциальное
распределение
Произвольное распределение
Показат
ель
Экспоненциальное
распределение
Нижняя оценка Верхняя оценка
Т
1
с
1
I
Т
2
Т
2
Т
с
К
+
У
Т
t
n
+0.5/Т
К
+
У
Т
Pc(to)
е~
п
е
г
К
1-(/„+/
2
)
1
-
2(х
+ 0.5/
2
)
1-(/„+/
2
)
R(to)
[1-2(
Г
+
0.5г)](1-ГоУ"
li-(r„+r
2
)>"
7
"
*
D = 2y
+
ay
v
,
L*
= 2у
+
Q.5ay
v
\
N = а
+
у(2 -а)(\ -а)\ М = а + (2/
(
, + - а) и
М*
=
Таблица
3.7.
Нагруженное дублирование
с
конечным временем
переключения
при
ограниченном восстановлении
Показат
ель
Экспоненциальное
распределение
Произвольное распределение
Показат
ель
Экспоненциальное
распределение
Нижняя оценка Верхняя оценка
Т
1
с
1
I
Т
2
Т
Т
с
г
д
+
2ут
t
n
+0.5/Г
Pc(to)
е
-г
а
К
l-(/„+2
X
2
)
1-2(/ + 0.5/
2
)
l-(/„+2
X
2
)
R(to)
[1-(
Гп+
2у
2
)у-
\t-2(y
+ ().5f)X\-yJ
[1-(
/и+
2х
2
)>-
Таблица
3.8.
Ненагруженное дублирование
с
конечным временем
переключения
при
неограниченном восстановлении
Показат
ель
Экспоненциальное
распределение
Произвольное распределение
P(t)
Показат
ель
Экспоненциальное
распределение
Нижняя оценка Верхняя оценка
Т
1
с
1
I
Т Т
Т
с
t
n
+0.5/Г
t
n
+0.5/Г
t
n
+0.5/Г
Pc(to)
е
-г
а
P(to) P(to)
К
\-(
Гп+
0.5у
г
)
1-(/
и
+0.5х
2
) 1-(/
и
+0.5х
2
)
R(to)
[l-(
/ra+
0.5x
2
)>-» [l-(
/ra+
0.5x
2
)>-»
[1-^+0.5^)^
Таблица
3.9.
Нагруженное дублирование
с
конечным временем
переключения
при
ограниченном восстановлении
Показа-
тель
Экспоненциальное
распределение
Произвольное распределение
P(t)
Показа-
тель
Экспоненциальное
распределение
Нижняя оценка Верхняя оценка
Т
1
с
1
I
Т
Т
Тс
t
n
+0.5/Т
Pc(to)
е~
п
P(to) P(to)
К
1-(/„+/
2
)
\-(
Гп+
0.5у
г
)
1-(/„+/
2
)
R(to)
[1-(^+/
2
)>"
7
°
обозначения:
у=т1Т\
y
Q
=t
u
IT;
y
n
=t
n
/T.
Нижний индекс
«с»
означает
соответствующий показатель системы.
3.4.2.
Учет надежности переключателя
Рассматривается дублированная система, состоящая
из
двух идентичных элементов.
При отказе основного элемента переключение
на
резерв происходит
с
помощью
переключателя, который,
в
свою очередь, может отказать либо
с
течением времени
(вероятность безотказной работы переключателя
Р
п
(t)),
либо только
в
процессе
переключения
с
вероятностью
q.
Когда переключатель отказывает
с
течением времени, можно рассмот-реть
две
существенно различные схемы: отказ обнаруживается либо немед-ленно после
его
возникновения, либо только непосредственно
в
момент переключения,
т. е. при
отказе
основного элемента.
В
последнем случае отказ переключателя неизбежно приводит
к
отказу системы
в
целом,
т.к.
даже
при
наличии исправного резервного элемента
его
нельзя подключить
для
выполнения основных функций.
3.4.3.
Учет полноты контроля
Во многих практических случаях
при
нагруженном дублировании
не
удается
осуществлять одинаковый контроль основного
и
резервного элементов. Например,
иногда возможен контроль только основного элемента
за
счет использования
функциональных тестов
в
процессе выполнения рабочих операций,
а
иногда возможен
аппаратный контроль лишь элемента, находящегося
в
резерве
и не
выполняющего
рабочих функций.
Оказывается,
что
весьма существенно, какой элемент контролируется полностью,
а
какой частично (очень важно осуществлять
как
можно более полный непрерывный
контроль основного элемента),
а
также режимы резерва
и
восстановления. Средние
значения времени простоя дублированной системы
т* для
разных случаев приведены
(табл.
3.10)
в
предположении,
что у«1.
Таблица 3.10. Приближенные значения т
Резерв Распределение Восстановление
времени
ограниченное неограниченное
восстановления
Нагру- Произвольное
т 0,5т (нижняя оценка)
женный
т (верхняя оценка)
Экспоненциальное
т
0,5t
Нена- Произвольное
0,5т 0,5т (нижняя оценка)
гру-
т (верхняя оценка)
женный
Экспоненциальное
т 0,5т
Предполагается, что переход с отказавшего основного элемента на резервный
происходит только с помощью переключателя, т. е. Осущест-вляется резервирование
замещением, а не постоянное резервирование, причем переключатель предполагается
абсолютно надёжным. Отказ в неконтролируемой части основного элемента всегда
приводит к отказу системы, так как она остается в состоянии необнаруженного отказа до
момента очередной периодической проверки. Все формулы являются приближенными и
справедливы лишь в предположении, что у«1, уо«1, у «1,
y
v
<<:
l
•
Средняя наработка
до отказа Т
0
и вероятность безотказной работы P
0
(t) приведены для стационарного
режима, нижние и верхние оценки - для случаев, когда соответствующие распределения
предполагаются «стареющими».
4. Системы с монотонной структурой
4.1. Предварительные замечания
Многие реальные системы имеют сложную структуру, которая может и не сводиться к
обычным параллельно-последовательным или последовательно-параллельным
соединениям (рис. 4.1). Наиболее простой пример подобных структур (мостиковая
схема) показан на рис. 4.2. В общем случае такие системы могут представлять собой
сети сложной конфигурации. На практике к подобным системам можно отнести
различные территориально распределенные системы, системы связи, информационные
системы, системы управления объектами системы электро-энергетики и т.п.
Такие системы называются системами с монотонной
структурой (после-довательно-параллельные и
параллельно-последовательные структуры явля-ются ча-
стными случаями таких систем). Для них характерно одно
свойство: отказ люоого из элементов может привести к
ухудшению надежности или к отказу системы.
Рис.
4.1. Система со сложной структурой
Рис.
4.2. Мостиковая
схема
4.2. Определение монопюнной структуры
Большинство практических систем характеризуется рядом свойств, заключающихся в том, что их
характеристики надежности монотонно ухуд-шаются (не улучшаются) при ухудшении характеристик
надежности состав-ляющих их элементов.
4.3. Метод прямого перебора
Произвольная система, состоящая из п элементов, каждый из которых может
находиться в состоянии работоспособности и в состоянии отказа, может находиться в 2
П
различных состояниях:
Н
0
— все п элементов работоспособны;
Н[ — отказал i-й элемент, остальные работоспособны;
H
ti
— отказали i-й и j-й элементы, остальные работоспособны;
?,п — отказали все элементы.
Если каким-либо образом определен критерий отказа системы, то все множество ее
состояний можно разделить на два подмножества: подмножество состояний
работоспособности F и подмножество состояний отказа G. Тогда, если для каждого
состояния a - Н
а
вычислить вероятность его появления Р
а
, то вероятность состояния
работоспособности системы в целом можно записать как
P{H
a
eF}=
£P
4.4. Метод разложения относительно особого элемента
В редких случаях удается воспользоваться известной из математи-ческой логики
теоремой о разложении функции логики по любому аргументу. Применительно к задачам
надежности эта теорема может быть сформу-лирована следующим образом:
Кр) = р
1
МФ(Х
1
,х
1
=\) + дМФ(Х
!
,х
!
= 0),
где МФ(Х
[
,х
[
= 1)— вероятность состояния работоспособности системы при условии, что
i-й элемент абсолютно надежен; МФ(Х
[
,х
[
- 0) —та же вероятность при условии, что i-й
элемент заведомо отказал.
5. Характер и основные требования подготовки
5.1. Общие положения
Цель изучения дисциплины заключается в формировании у студентов знаний и
умений анализа и обеспечения надежности программно-техничес-ких средств и систем
автоматизации.
Основные задачи изучения дисциплины заключаются в овладении мето-дами расчета
показателей надежности технических систем, эффективного структуирования систем
автоматизации и управления, их диагностирования и определения показателей
функционирования.
В результате изучения дисциплины студенты должны знать:
- основные составляющие надежности и соответствующие функциональ-ные и
числовые показатели;
- методы расчета надежности технических и программных систем;
- способы оценивания эффективности сложных программно-техничес-ких систем
автоматизации;
- способы обеспечения заданного уровня надежности программно-тех-нических
систем автоматизации;
- способы планирования и проведения испытаний и наблюдений для определения
показателей надежности.