Алексеев А.Е. Диагностика надежности автоматизированных систем
Подождите немного. Документ загружается.
а).
Вероятностное определение
B(b,t)
=
P{3l>b\le[0,t]},
где
£ —
интервал безотказной работы (включая часть незавершенного последнего
интервала
f'), т. е. В (b, t) —
вероятность того,
что за
наработку
t
появится хотя
бы
один
интервал безотказной работы
£
(включая часть незавершенного последнего интервала
f'), больший заданной величины
Ь;
б).
Статистическое определение
I
Л/(0)
где
{£,г}\
—
реализация последовательности интервалов безотказной работы
и
простоя
для
i-ro
объекта
за
время
t.
Таким образом,
B(bj) —
доля общего числа объектов,
у
которых
в
реализации
процесса функционирования
за
время
t
окажется хотя
бы
один интервал безотказной
ра-
боты
0j
(включая возможную часть незавершенного последнего интервала
0 ),
больший
заданной величины.
3. Вероятность наличия интервала безотказной работы, большего заданной величины
Ь,
за фиксированную суммарную наработку
t:
а) . Вероятностное определение
B\bj)
=
P{(3l>b\s(t))
=
t^e[0j]},
где
£—
любой интервал безотказной работы, включая
в
данном случае
и
часть
незавершенного последнего интервала
т. е. B\bj)—
вероятность того,
что за
суммарную наработку
t
появится хотя
бы
один интервал безотказной работы
£
(включая
и часть незавершенного последнего момента^'), больший заданной величины
b (3—
квантор «существует»);
б) . Статистическое определение
—
1 ЩО)
где
{%}
L
—
реализация последовательности интервалов безотказной работы
для i-ro
объекта
за
время
t* при
условии,
что
восстановление отказов мгновенно.
Таким образом,
B\bj) —
доля общего числа объектов,
у
которых
в
реализации
процесса функционирования
за
суммарную наработку
t
окажется хотя
бы
один интервал
безотказной работы ^ (включая часть незавершенного последнего интервала
больший заданной величины Ь.
4. Вероятность отсутствия интервала простоя, большего допустимой величины с, за
фиксированное суммарное время простоя t:
а)
.
Вероятностное определение
C\c,t)
=
P{Vr?
l
<c\s
B
(t)
=
t
9
r?
l
e[0,f]},
где Лд — интервал простоя (включая часть незавершенного последнего интервала т]*); s
B
(t) — суммарное время простоя, т. е. С* (с, t) — вероятность того, что за суммарное
время простоя не появится ни одного интервала простоя Лд (включая часть
незавершенного последнего интервала л,*), большего заданной величины с (V—квантор
«для всех»);
б)
.
Статистическое определение
I
Л/(0)
C\cj) = У\{г}\ ] ,
где {r]\
L
— реализация последовательности интервалов простоя для i-ro объекта за
суммарное время простоя t,
1, если за время t в {rj}
t
не существует ни одного
интервала £ (включая часть незавершенного последнего
интервала /;*), большего с,
О
в противном случае.
Ш1=<
Таким образом, С*(с, t) — доля общего числа объектов, у которых в реализации
времени простоя за суммарное время простоя t не окажется ни одного интервала простоя
£ (включая часть незавершенного последнего интервала л,*), большего заданной
величины с.
5. Вероятность отсутствия интервала простоя, большего допустимой величины с, за
фиксированное календарное время t:
а)
.
Вероятностное определение
C(c,t)
=
P{Vr?
l
<c\r?
l
e[0,t]},
где Лд интервал простоя (включая часть незавершенного последнего интервала л,*), т.
е.
C(c,t)
—вероятность того, что за время t не появится ни одного интервала простоя Лд
(включая возможную часть незавершенного последнего интервала л,*), большего с;
б)
.
Статистическое определение
_ 1 N(Q)
C(cj)
=
Y[{£,??} ]
где
{%,r]\
L
—
реализация последовательности интервалов безотказной работы и простоя
для
1
-го объекта за время t,
1, если за время t в {в, г]\ не существует ни одного
интервала
г],
(включая возможную часть незавершенного
последнего интервала rf\ большего с,
О
в противном случае.
Таким образом,
C(cj)—
доля общего числа объектов, у которых в реализации
процесса функционирования за время t не окажется ни одного интервала простоя t]j
(включая возможную часть незавершенного последнего интервала т]*), большего с.
1.
7.
Выбор показателей надежности системы
Выбор показателей надежности является конкретной задачей, решение которой
существенным образом зависит от характера технического объекта, его назначения и
общих требований к процессу и результатам его функционирования. Показатели
надежности в зависимости от уровня рассматриваемого объекта принято подразделять на
оперативные и технические. Оперативные показатели надежности - это показатели,
характеризующие качество функционирования системы с точки зрения потребителя.
Технические показатели имеют своеобразный «технологический» характер. Они нужны
для использования в дальнейших расчетах или статистических оценках. Эти показатели
назначаются для подсистем (элементов). Например, если дублированную систему удобно
характеризовать коэффициентом готовности (оперативный показатель), то каждый из
резервных элементов удобнее характеризовать техническими показателями
распределениями наработки и времени восстановления (или их основными параметрами,
например математическими ожиданиями), поскольку именно они позволяют рассчитать
показатель надежности системы в целом с учетом особенностей эксплуатации и
технического обслуживания.
Выбор вида показателен зависит в основном от общего назначения системы, но на него может влиять также п степень важности плп ответственности
функции, выполняемых системой. Выбирая показатели надежности для технического объекта, следует иметь в виду следующие рекомендации:
- общее число показателей надежности должно быть по возможности минимальным;
- следует избегать сложных комплексных показателей, получаемых в виде каких-либо
сверток критериев (например, взвешиванием с различными «весами»);
- выбранные показатели надежности должны иметь простой физический смысл;
- выбранные показатели надежности должны допускать возможность проведения
подтверждающих (поверочных) оценок на этапе проектирования (аналитических
расчетов или имитационного моделирования);
- выбранные показатели надежности должны допускать возможность статистической
(опытной) оценки
при
проведении специальных испытаний
или по
результатам
эксплуатации;
- выбранные показатели должны допускать задание норм надежности
в
количественной
форме.
1.8.
Задание требований
по
надежности
1.8.1.
Предварительные замечания
При задании требований
по
надежности следует различать технические объекты
трех уровней:
системы
—
технические объекты, выполняющие определенные самостоятельные
функции
и
характеризуемые оперативно-техническими показателями надежности
и
эффективности функционирования;
подсистемы
—
технические объекты, входящие
в
состав системы, выполняющие
частные функциональные задачи
и
характеризуемые
в
основном техническими
показателями надежности;
элементы
—
технические объекты, представляющие собой элементную базу подсистем.
1.8.2.
Задание требований
на
систему
1.
Экспертное (директивное) задание требований основывается только
на
общей
инженерной интуиции
и
практическом опыте,
а
поэтому
не
требует каких-либо особых
комментариев.
2. Задание требований
по
прототипу основывается
на
анализе имеющейся
статистической информации
по
надежности
уже
существующих технических объектов,
близких
к
рассматриваемому
по
назначению, структуре
или
элементной базе. Требования
по надежности
в
этом случае задаются
с
учетом возможного роста надежности
элементной базы, масштаба рассматриваемой системы
по
сравнению
с
прототипом,
условий функционирования
и т. п.
Такой прогноз
в
значительной степени также
опирается
на
экспертные оценки, однако подтверждается конкретными фактическими
данными.
3.
Задание оптимального уровня надежности возникает только
в том
случае, когда:
- выходной эффект
от
функционирования системы измерим
в тех же
(обычно-
стоимостных) единицах,
что и
затраты
на ее
создание;
- достоверно известны исходные данные
о
надежности элементной базы;
- полностью определены принципы построения структуры,
так и
процессов
функционирования (возможность резервирования, использование различной элементной
базы, режим использования, регламент технического обслуживания
и т. п.).
Задание требований сводится
к
максимизации целевой функции вида
F
t
(R)
=
E
t
(R)-C
t
(R)
где
R —
показатель надежности системы, зависящий
от
выбранного
k-го
варианта
структуры системы
S
k
и от
надежности элементов
i-ro
типа
r
t
, т. е.
R
=
R(S
k
,r
t
,),
к
=
1,m,
i =
1,и ,
где
m —
число рассматриваемых вариантов структуры,
п —
число различных
комплектующих элементов;
E
k
(R)
—выходной эффект
от
функционирования
к-го
варианта системы
в
стоимостном выражении
при
уровне надежности
R;
С
к
(R)
—
затраты
на обеспечение уровня надежности, равного
R, для к-го
варианта системы.
Для всякого фиксированного
к
решение находится обычным способом
из
условия
после чего выбирается вариант,
для
которого достигается наибольшее абсолютное
значение
из
оптимальных решений
E
k
(R).
Если выходной эффект системы несоизмерим
с
затратами (объекты обороны,
системы безопасности различных транспортных средств
и
т.п.),
то
задание требований
по
надежности
на
систему возможно только двумя первыми способами.
1.8.3.
Задание требований
на
подсистему
Предполагается,
что
требования
на
подсистему задаются
при
наличии
уже
каким-
то образом заданных требований
на
систему
в
целом.
1.8.3.1.
Метод равномерного распределения. Если система состоит
из N
примерно
близких
по
сложности
(т. е. по
структуре
и
числу входящих элементов) подсистем,
то
можно заданный показатель надежности
(R)
типа вероятности безотказной работы,
коэффициента оперативной готовности
или
коэффициента готовности распределять
по
правилу
Задаваемая средняя наработка
для i-й
подсистемы
в
этом случае приближенно
равна
Tj
=
NT,
i= 1,
А7
T—
заданная средняя наработка системы.
1.8.3.2.
Метод пропорционального распределения. Если
n
t
—
число эле-ментов
в
i-й подсистеме,
то
Под
/7, в
данном случае следует понимать число «приведенных» элементов. Если
известны интенсивности отказов элементов
(или
прототипов элементов)
j-ro
типа
Х
р
то
метод пропорционального распределения можно модифицировать, положив
3E
k
(R)/dR
=
dC
k
(R)/dR,
-1
(3
=
1.8.3.3.
Метод оптимального распределенпя. Если
при
задании требований
по
надежности на систему
в
целом (R) известны структура системы (S)
и
методы повышения
надежности подсистем,
т. е.
функции
RjfCJ,
где С, —
ресурс, затрачиваемый
на
обеспечение надежности подсистемы,
то
можно найти оптимальное распределение
требований по надежности для двух случаев:
а) максимум показателя надежности системы
при
ограничениях
на
суммарный
ресурс
С
б) минимум затрат
на
систему при достижении заданного показателя надежности
Обе задачи решаются обычными способами дискретного програм-мирования,
как
задачи на условную оптимизацию.
1.8.4.
Задание требований на элемент
Если
в
пределах данного исследования элементом является относительно сложная
подсистема, то подход
к
заданию требований совпадает
с
тем, который был описан выше.
Если
же
элементом является технологическая единица типа микроэлемента
и
радиоэлектронной детали,
то в
настоящее время существуют лишь экспертные способы
задания требований, включая способы задания по прототипу.
R
,о
mm
tf(S,R(C))\R°}
2.
Методы расчета
2.1.
Надежность элемента
2.1.1.
Невосстанавлнваемын элемент
2.1.1.1.
Предварительные замечания.
При
анализе надежности радиоэлектронных
комплексов элементом могут считаться целая
РЛС,
система передачи данных,
ЭВМ,
энергосистема
и т. д. В
теории надежности
под
элементом системы обычно понимают
достаточно самостоятельную
и
четко выделенную (конструктивно, схемно
или
функционально)
ее
часть, дальнейшая детализация которой нецелесообразна
в
пределах
проводимого анализа.
При
анализе надежности
РЛС
элементом можно считать
отдельный
ее
канал, блок
или
стойку аппаратуры,
при
анализе надежности какого-либо
блока
—
отдельный модуль, ячейку, радиодеталь
и
т.
д.
2.1.1.2.
Произвольное распределение. Предполагается,
что
известно распределение
наработки элемента
до
отказа
F(t).
Показатели надежности элемента выражаются через
известный закон распределения
или его
основные параметры.
В
табл.
2.1
приведены
основные показатели надежности
для
произвольного закона распределения наработки
до
отказа.
Таблица
2.1.
Произвольное распределение наработки
до
отказа
невосстанавливаемого элемента
F(t)
Показатель Непрерывная функция Дискретная функция
P(to)
l-F(to)
Ma)
i-2>,
Q(to)
F(t
0
)
Ma)
1=1
P(t,t+to)
\-F(t
+
t
0
)
\-F(t)
/
k{M
a
)
i-
IK
\
If Ht) \
/
I-IK
Q(t,t+to)
F(t
+
t
0
)-F(t)
\-F(t)
IK
V
'=i Ji
If
\
/
]
-£к
T
)[\-F(t)]dt
0
N
IK',
i=l
2.1.1.3.
Экспоненциальное распределение.
В
табл.
2.2
приведены основные
по-
казатели надежности элемента
для
экспоненциального распределения наработки
до
отказа. Приближенные значения приводятся
для
условия
Ул
0
«\.
Погрешность равна
0,5(>.t
0
)
2
.
Практически приближенные значения показателей можно использовать, если
>,t
0
<0,l.
Таблица
2.2.
Экспоненциальный закон распределения наработки
до
отказа
невосстанавливаемого элемента
F(t)= 1-е
Показатель Точное значение
Приближенное
значение
P(t
0
)=P(tt+t
0
)
e
xt
l-),t
Q(t
0
)=Q(t,t+t
0
)
1-е""
->,t
т
1/>,
-
>,(t)
>,
-
2.1.1.4.
«Стареющие» распределения.
Для
вероятности безотказной работы
элемента, который имеет возрастающую
или
возрастающую
в
среднем функцию
интенсивности,
т. е.
ВФИ-
или
ВСФИ-распределения, относящиеся
к
«стареющим»,
можно дать хорошие оценки
на
основании информации
о
средней наработке
до
отказа
и
дисперсии. Рассматриваются следующие случаи:
ВФИ-распределение
при
известном значении средней наработки
до
отказа
Г;
ВФИ-распределение
при
известных значениях средней наработки
до
отказа
и
дисперсии распределения;
ВСФИ-распределение
при
известном значении средней наработки
до
отказа.
2.1.1.5
Вероятность безотказной работы
при
случайной длительности выпол-
нения задачи. Если время выполнения элементом задачи
t
0
является случайной
величиной
с
распределением
W(t),
то
вероятность безотказной работы элемента можно
записать
в
виде
и,
а,
Р =
\P{t)dW{t)
=
\P(t)w(t)dt,
о
о
где
w
(t) —
плотность распределения
W (t).
Выражения
для
Р
представлены
в
табл.
2.3.
Погрешность
fkt
0
f.
Таблица
2.3.
Вероятность безотказной работы невосстанавливаемого
элемента случайной длительности выполнения задачи
Распределение Точное выражение Приближенное
выражение
Экспоненциальное
u)(t)
=
—e
ta
1
\-Xt,+{Xt,f
Нормальное
a{t)=
"
2
л1
(7
А
е
1
2
Произвольное
W(t)
2
Через
m
k
обозначен
к-й
начальный момент распределения
W (t).
2.1.2.
Восстанавливаемый элемент
2.1.2.1.
Предварительные замечания. Процесс функционирования восстанав-
ливаемого элемента можно описать
как
последовательность чередующихся интервалов
работоспособности
и
простоя:
5i,Tii,
^,
В данном пункте будет рассмотрен случай, когда
все ^
имеют одно
и то же
распределение
F(t),
а
все
Лд
—
одно
и
то же
распределение
G(t),
причем
все
величины
^и
взаимонезависимы. Такой случайный процесс называется альтернирующим процессом
восстановления. Этот
же
процесс функционирования восстанавливаемого элемента
удобно описать графом перехода
из
состояния работоспособности
Н
0
в
состояние отказа
Hi.
2.1.2.2.
Произвольные распределения наработки
до
отказа
н
времени восста-
новления. Значения средней наработки
до
отказа
Т и
среднего времени восстановления
т
находятся
на
основании известных законов распределения
F(t) и G(t)
соответственно.
Стационарный коэффициент готовности определяется
как
К
= Т /
(Т
+
т)
.
Стационарным коэффициент оперативной готовности
R(tj
=
-
]
—]p(x)dx.
Если известно,
что
распределение наработки между отказами является
«стареющим»,
то
коэффициент оперативной готовности
R(t
0
)
имеет следующие верхнюю
и нижнюю границы:
K(\-t
0
/T)<R(t
0
)<Ke-'
2.1.2.3.
Экспоненциальные
распределения наработки
до
отказа
F (t) и
времени восстановления
G(t). В
табл.
2.4
приведены основные показатели надежности
элемента
для
экспоненциальных законов
распреде-ления наработки
до
отказа
F(t) = l-e
-A,t
и времени восстановления
G(t) = 1-е~
ц
*.
Приближенные значения показателей
приведены
для
условий >.t
0
«l
и у =
>./|i«l.
Коэффициенты
K(t) и k(t)
соответствуют
случаю, когда
в
момент времени
t = 0
элемент
находится
в
состоянии работоспособности,
случаю, когда
в
Рис.
2.1.
Зависимость коэффициен-
та готовности
от
времени
момент времени
t = 0
элемент находится
в
состоянии отказа. График зависимости
коэффициента готовности представлен
на
рис.
2.1.
коэффициенты
K°(t) и k°(t)
Таблица
2.4.
Экспоненциальные законы распределения наработки
между отказами
F(t)=l
-е~
л1
и
времени восстановления
G(t)=l-e
4Lt
восстанавливаемого элемента
Показатель Точное значение Приближенное значение
P(to)
l->-t
0
Q(t
0
)
1-е-*'
>-t
0
т
1
I
-
т
1
-
К
f
_
Т
_
1
1 + ц Т +
т
1
+ у
1-у
к
1 т у
Л
+
/.1
Т +
т
1
+ у
Y
над
К+ке
а+
^
K°(t) К(1-ке
а+
^)
(1-Т)(1-еЛ
k(t)
к(1-ке
а+
^)
Yd-еЛ
k°(t) к+Ке
а+
^
е^+у(1-е^)
R(t
0
)
1-Y-X.to
R(t,t
0
)
(К+ке
(М
^)
е
ш
[1-(1-т)е"
ц1
](1->.1
0
)