Алексеев А.Е. Диагностика надежности автоматизированных систем
Подождите немного. Документ загружается.
Средний ресурс до списания — средний ресурс объекта от начала эксплуатации до его
списания.
Средний ресурс до капитального ремонта — средний ресурс от начала эксплуатации
объекта до его первого капитального ремонта.
Гамма-процентный срок службы — срок службы, в течение которого объект не
достигает предельного состояния с вероятностью
1
- у.
Средний срок службы — математическое ожидание срока службы.
Средний межремонтный срок службы — средний срок службы между смежными
капитальными ремонтами объекта.
Средний срок службы до капитального ремонта — средний срок службы от начала
эксплуатации объекта до его первого капитального ремонта.
Средний срок службы до списания — средний срок службы от начала эксплуатации
объекта до его списания.
Гамма-процентный срок сохраняемости — продолжительность хранения, в течение
которой у объекта сохраняются установленные показатели с заданной вероятностью
1
- у.
Средний срок сохраняемости — математическое ожидание срока сохраняемости.
1.6. Показатели надежности
Существуют
две формы представления показателей надежности: ве-роятностная и статистическая.
Вероятностная
форма обычно бывает удобнее при априорных аналитических расчетах надежности,
статистическая
- при экспериментальном исследовании надежности технических
объектов.
Процесс эксплуатации объекта с восстановлением можно представить как по-
следовательность интервалов работоспособности ^, чередующихся с интервалами
простоя Лд, т.е. ^
ь
т]
ь
\ъ
•••
• Математической моделью процесса эксплуатации объекта
может стать соответствующий случайный процесс.
1.6.1.
Невосстаиавливаемые объекты
Предварительно введем следующие обозначения:
fi (t) — плотность распределения Fi (t);
Fj(t) = P{£j<t\ — распределение времени до первого отказа;
п (t) — число отказавших объектов к моменту t;
N
(t) — число работоспособных объектов к моменту t;
An
(t,t')
—число объектов, отказавших в интервале времени [t, t'];
E,i
— случайная наработка объекта до первого отказа;
—
реализация случайной величины ^ для i-ro объекта.
1. Вероятность безотказной работы объекта в интервале времени от 0 до t
0
:
а).
Вероятностное определение
P(t
a
) = Р(0;?
0
) = Р{£ > t
a
} =
1
- «(?„)/ЩО),
т.
е. P(t
0
) —
вероятность того,
что
объект проработает безотказно
в
течение заданного
времени работы
t
0
,
начав работать
в
момент времени
t = 0, или
вероятность того,
что
наработка
до
отказа окажется больше заданного времени работы;
б).
Статистическое определение
P(r
0
)
= N(t
Q
) IЩО)
=
1
-
и(г
0
)
/ N(0),
т.
е.
P(t
Q
)—
отношение числа объектов, безотказно проработавших
до
момента времени
t
0
, к
числу объектов, исправных
в
начальный момент времени
t = 0,
или частость события,
состоящего
в том, что
реализация времени работы объекта
до
отказа окажется больше
заданного времени работы
t
0
.
Иногда сама выполняемая объектом задача имеет случайную длительность
^,
характеризующуюся своей функцией распределения
W (t) = Р {t, Л t}. В
этом случае
полная вероятность безотказной работы объекта
за
время выполнения задачи
Р
0
= ]p(t)dW(t).
о
2. Вероятность отказа объекта
в
интервале времени
от 0 до t
0
определяется
как
дополнительная
к
вероятности безотказной работы,
т. е.
<2(?
0
) =
1-Р(?
0
);
<2(О
=
1-Р(?
0
).
3. Вероятность безотказной работы объекта
в
интервале времени
от t до t + t
0
:
а)
.
Вероятностное определение
P(tj
+
t
Q
)
=
P{^>t
+
tJ^>t}
=
P(Oj
+
t
Q
)/P(Oj)
=
P(t
+
t
Q
)/P(t),
т.
е. Р (t, t + t
0
) —
вероятность того,
что
объект проработает безотказно
в
течение
заданного времени работы
t
0
,
начинающегося
с
момента времени
t, или
условная
вероятность того,
что
случайная наработка объекта
до
отказа окажется больше величины
t + to
при условии,
что
объект уже проработал безотказно
до
момента времени
t;
б)
.
Статистическое определение
P(t,t + t
B
) = W +
t
B
)/N(t),
т.
е. P(t,t
+
t
Q
)—
отношение числа объектов, проработавших
до
момента времени
t+t
0
к
числу объектов, исправных
к
моменту времени
t, или
частость события, состоящего
в
том,
что
реализация наработки объекта
до
отказа окажется больше
t + t
0
при
условии,
что
эта реализация больше величины
t.
4. Вероятность отказа объекта
в
интервале времени
от t до t + t
0
определяется
как
дополнительная
к
соответствующей вероятности,
т. е.
Q
(t,t
+
t
o)
=
l-P(t,t
+
t
0
)
=
P(t) P(t + to)
;
1 {I)
Q{tj
+
t
Q
)
=
\-P{tj
+
t
Q
).
5. Плотность распределения отказов:
а) . Вероятностное определение
at at at
т.
e. f(t)—
плотность вероятности того,
что
время работы объекта
до
отказа окажется
меньше
t, или
плотность вероятности отказа
к
моменту времени
t.
б) . Статистическое определение
-
. _n(t
+
At) - n(t) _ N(t
+
At) - N(t) _ An(t, t
+
At)
N(0)-At ~ N(0)-At ~ N(0)-At '
т.
e. f(t) —
отношение числа отказов
в
интервале времени
[tj
+
At] к
произведению
числа исправных объектов
в
начальный момент времени
t = 0 на
длительность интервала
времени At.
6. Интенсивность отказов объекта
в
момент времени
t:
а).
Вероятностное определение
\-F{t)dt P{t)
т.
е. X{t) —
условная плотность вероятности отказа объекта
к
моменту времени
t при
условии,
что до
этого момента отказ изделия
не
произошел,
б. Статистическое определение
- w(7 +
At)-n(t) _ N(t
+
At)-N(t) _ An(t,t
+
At)
N(t)-At N(t)
•
At N(t)-At '
т.
e. A(t) —
отношение числа отказов
в
интервале времени
t
+
At] к
произведению числа
исправных объектов
в
момент времени
t на
длительность интервала времени At.
7. Средняя наработка объекта
до
отказа:
а).
Вероятностное определение
Т
х
=
М {£}
=
]
xf{x)dx
=
J
xdQ{x)
=
j
P(x) dx,
т.
е. Ti —
математическое ожидание (среднее значение) наработки
до
отказа,
б).
Статистическое определение
или
_
1 1 W)
7\
= — +... + ^
[
-
Л/(0,]
) = — Yg>
N(Q)
1 1 1
ЛГ(0)
1
7
1
1 = + ^
(0) 1
[£
(2J
-
]
+
...
+ — - &
т
™
]
N(0)
1 1
N(0)
1
7.6.2.
Восстанавливаемые объекты
Для восстанавливаемых объектов приводятся только дополнительные показатели
надежности.
Все
показатели
для
невосстанавливаемых объектов также могут быть
применимы
для
характеристики восстанавливаемых объектов, повторно
они не
приводятся.
Введем дополнительные обозначения:
g (t) —
плотность распределения
G (t); G (f) =
Р
{ц<Ц —
распределение времени восстановления;
n (t, t') —
число объектов,
неработоспособных
в
момент
t или
отказавших хотя
бы
один
раз в
интервале
[t, t']; n
B
(t)
— число объектов, восстановление которых длилось меньше;
N (t, t") —
число объектов,
работоспособных
в
момент
t и не
проработавших безотказно
до t'; N
B
(t) —
число
объектов, восстановление которых длилось больше
t; Ь
л
—
произвольный "достаточно
удаленный" момент времени, соответствующий стационарному режиму случайного
процесса;
An
B
(t, f) —
число объектов, восстановление которых длилось больше
t, но
меньше
f; ^
k
—
случайное время работы (случайная наработка) объекта перед
к-м
отказом (после
(к - 1)-го
восстановления);
—
реализация
^
к
для i-ro
объекта;
r\
k
—
случайное время восстановления (простоя) объекта после
k-то
отказа;
r\
(l)
— i-я
реализация времени восстановления.
1.
Средняя наработка между отказами:
а).
Вероятностное определение
Т=Т„=ШМ{Т>}
=
\\т]-£т
]9
т.
е. Т —
математическое ожидание предельного значения наработки между отказами
для
стационарного процесса.
Здесь
Т
к
—
средняя наработка объекта
от
момента окончания
(к - 1)-го
восстановления
до к-го
отказа, определяемая
как
T
k
=M{$
k
)
=
)tf
k
(t)dt
=
) tdQ
t
(t)
=
)p
t
(t)dt,
ООО
т. е. Т
к
— математическое ожидание (среднее значение) наработки объекта от момента
окончания (к -
1
)-го отказа;
б. Статистическое определение
_ 1 N(Q)
N(Q)
т. е. Тк.— среднее арифметическое реализаций времени работы до k-го отказа при
«достаточно большом» к.
Для Т при произвольном фиксированном к справедливо следующее стати-
стическое определение:
N(0)
jV(0)tr
или
[_л/(0)]
e[w(oj-i]i
_
JV(0) JV(0)
_^(0)-/
+ 1
где принято, что
<^
2)
<...
<%l
N(0)
\
причем 't^
}
= 0. Здесь N (0) — общее число
объектов, начавших работать после (к - 1)-го восстановления; — реализация времени
работы после (к - 1)-го восстановления до к-го отказа для i-ro изделия (в порядке
поступления отказов); Т
к
— среднее арифметическое реализаций наработки объектов от
момента окончания (к -
1
)-го восстановления до к-го отказа.
2. Параметр потока отказов:
а) . Вероятностное определение (для стационарного ординарного потока отказов)
Л = \/Т,
т. е. >., — математическое ожидание числа отказов объекта с восстановлением в единицу
времени для установившегося процесса эксплуатации.
б) . Статистическое определение
Л = 1/Т,
т. е. Л — среднее число отказов объекта с восстановлением в единицу времени.
В теории надежности в отличие от теории массового обслуживания, как правило,
не приходится различать интенсивность и параметр потока отказов, так как поток отказов
физически является всегда ординарным.
3. Средняя наработка на отказ:
а).
Вероятностное определение
т.
е. T(t
0
) —
отношение суммарной наработки
t
0
за
заданный период времени
к
математическому ожиданию числа отказов
за это же
время,
б).
Статистическое определение
T(t
0
)= '° -
1
'n(t
Q
)_
n{t
Q
)
«ft)L*=i
т.
е. Т (t
0
) —
отношение суммарной наработки
t
0
за
время наблюдения
за
объектом
к
наблюдаемому числу отказов
за это же
время,
где ^ —
наработка объекта
от
момента
устранения последнего отказа
до
окончания наблюдения
за
объектом.
4. Среднее время восстановления объекта:
а) . Вероятностное определение
<Jj
Cfj Cfj
z
=
M{r}\
=
\t-
g{t)dt
=
j tdG(t)
=
j
[1
- G{t)]dt,
0
0 0
т.
e. i -
математическое ожидание (среднее значение) времени восстановления объекта;
б) . Статистическое определение
т
= io/
1
' + +...+Г
т
)
=
-J- zV°
N(0) N(0)
или
JV(0)
JV(0)
=
^(0)-у
+
1
м
tT
N(Q)
где
л/
1
-
1
< л/
2
-
1
<...<
т]
[Ш)]
,
причем
г\
(0)
= 0;
г—среднее арифметическое реализаций
времени восстановления.
5. Интенсивность восстановления объекта
в
момент времени
t,
отсчитываемый
от
момента начала восстановления:
а).
Вероятностное определение
l-G(f)
т.
е.
|i(t)—
условная плотность вероятности восстановления объекта
в
момент времени
t,
отсчитываемого
от
момента начала восстановления, при условии,
что до
момента
времени
t
восстановления объекта
не
произошло;
б).
Статистическое определение
-
=
n
a
(t
+
to)-n
a
(t)
=
N
a
(t
+
At)-N
a
(t)
=
An
a
(t,t
+
At)
N
a
(t)-At
N
a
(t)-At N
a
(t)-At '
т.
e.
//(?)—
отношение числа восстановлений
в
интервале времени [г,г
+
Дг]
к
произведению числа объектов,
еще не
восстановленных
к
моменту
t, на
длительность
интервала времени At.
6. Нестационарный коэффициент оперативной готовности:
а).
Вероятностное определение
«.
[ к
k=l li=0
О
i=0 J
=
±Pit,t +
t
0
]ee
k
}
k=l
т.
е. R (t, t + At) -
вероятность того,
что
объект окажется работоспособным
в
момент
t и
проработает безотказно
в
течение заданного времени
t
0
,
начиная
с
этого момента,
или
вероятность того,
что
интервал времени
[t, t + +t
0
]
целиком попадает внутрь одного
из
интервалов
0
k
, k = 1, 2, ... ;
б).
Статистическое определение
-
t + t
N(0)-n(t
9
t
+
t
Q
)
=
N(t,t
+
t
Q
)
'
N(0) N(0) '
т.
e. R(tj
+
t
0
) —
отношение числа объектов, работоспособных
в
момент времени
t и
проработавших безотказно
до
момента времени
t + t
0
, к
общему числу объектов
в
момент
времени
t.
Этот показатель
для
восстанавливаемых объектов определяется иначе,
чем для
невосстанавливаемых.
7. Стационарный коэффициент оперативной готовности,
или
стационарная вероятность
безотказной работы объекта
в
течение заданного времени работы
t
0
(обычно называется
коэффициентом оперативной готовности):
а).
Вероятностное определение
R(t
0
)
=
\imR(tj
+
t
0
),
L—>1l
т.
е. R(to) —
вероятность того,
что
объект проработает безотказно
в
течение заданного
времени
t
0
,
начиная
с
произвольного «достаточно удаленного» момента времени.
Для любых распределений наработки между отказами
и
времени восстановления,
имеющих конечные средние значения
Тит
соответственно, всегда можно записать
где
Р.(0
=
1
-
э
(^1(0 —
функция распределения наработки между отказами);
б).
Статистическое определение
-
. N(t л +L)
N(0)
т.
е. R(t
0
) —
отношение числа объектов, исправных
в
произвольный «достаточно
удаленный» момент времени
и
проработавших затем безотказно
в
течение заданного
времени
t
0
, к
общему числу объектов.
8.
Нестационарный коэффициент готовности объекта:
а).
Вероятностное определение
K(t) =
±p\±(^+rj
t
)<t<Y,
(£
+
%)
+
£
tl
;=1 1>=0 к=й
ИЛИ
K(t)
=
R(tX=0),
т.
е.
K(t)
—
вероятность того,
что
в
момент времени
t
объект находится
в
состоянии
работоспособности
(при
известных начальных условиях
в
момент
t = 0);
б).
Статистическое определение
K(t) =
N(t)
1
N(Q)
=
1
- n(t)
1
N(Q),
т.
e. K(t) —
отношение числа объектов, находящихся
в
момент времени
t в
состоянии
работоспособности,
к
общему числу объектов.
9.
Нестационарный средний коэффициент готовности объекта:
а).
Вероятностное определение
K\t)
=
-\K(x)ctx,
*1
т.
е. К (t) —
математическое ожидание отношения времени,
в
течение которого объект
находится
в
соответствии работоспособности
в
интервале
[0, t], ко
всей длительности
этого интервала;
б).
Статистическое определение
1 N(Q) 1 N(Q)
По
= —— £
I
£° е [oj])
=
——
х^(0
э
t-N(0) Т\к t-N(0) Tt
где
Si(t)—
суммарная наработка
i-ro
объекта
за
время
t, т. е. K\t) —
среднее
арифметическое суммарных наработок объектов
за
время
t.
10. Стационарный коэффициент готовности объекта
(для
краткости обычно называется
коэффициентом готовности):
а) . Вероятностное определение
К
= limK(t) =
limК'
(t), или К
=
R(t
Q
=
0),
т.
е. К —
вероятность нахождения объекта
в
состоянии работоспособности
для
стационарного случайного процесса
(т.е. в
произвольный
и
достаточно удаленный
момент времени)
или
математическое ожидание отношения времени
(для
стационарного
случайного процесса),
в
течение которого объект находится
в
состоянии
работоспособности
в
некотором интервале,
ко
всей длительности этого интервала.
Для любых распределений наработки между отказами
и
времени восстановления,
имеющих конечные средние значения
Т
ГЛ
и т
соответственно, всегда можно записать
K
=
TJ(T.+t);
б) . Статистическое определение
K
=
N(tj/N(0)
=
\-
n
(tj/N(0)
т.
е. К —
отношение числа объектов, находящихся
в
состоянии работоспособности
в
произвольный достаточно удаленный момент времени,
к
общему числу объектов.
1.6.3.
Специальные показатели
В последнее время
с
появлением современных сложных систем, применяющих
вычислительные средства,
для
многих практических расчетов надежности стали
использоваться специальные показатели, основными
из
которых являются:
1)
вероятность заданной суммарной наработки
за
фиксированное календарное время
t;
2)
вероятность наличия
не
менее
чем
заданного интервала безотказной работы
за
фиксированное суммарное время
t;
3)
вероятность наличия
не
менее
чем
заданного интервала безотказной работы
за
фиксированное календарное время
t;
4)
вероятность отсутствия интервала простоя, большего допустимой величины,
за
фиксированное суммарное время простоя
t;
5)
вероятность отсутствия интервала простоя, большего допустимой величины,
за
фиксированное календарное время
t.
Первый показатель оказывается важным
для тех
систем, которые допускают
перерывы
в
работе
и
могут продолжать выполнение своих функций начиная
с
любого
момента.
Эти
системы имеют своеобразный временной резерв:
для них
важно, чтобы
за
требуемое время суммарная наработка системы составила
бы не
менее заданной
величины (или, иными словами, чтобы суммарное время простоя не превышало
определенной величины). К подобного рода системам можно отнести системы,
выпускающие какую-либо массовую однородную продукцию, когда объем выпуска
зависит только лишь от длительности суммарной наработки.
Второй показатель используется для оценки надежности систем, которые имеют
возможность повторных попыток выполнения задачи. Эти системы также
характеризуются определенной временной избыточностью; необходимо, чтобы система
за требуемое время t проработала непрерывно хотя бы один раз в течение интервала
времени, достаточного для выполнения задачи.
Третий показатель является частным случаем второго. Он получается в
предположении малости суммарного времени простоя по сравнению с периодом t. Для
математических моделей в этом случае делается предположение о мгновенном
восстановлении объекта после отказа.
Первые два показателя можно использовать для оценки ЭВМ, в которых после сбоя
или отказа возможно повторное выполнение прежней программы. Третий показатель
полезен для описания систем, которым свойственна своеобразная "инерционность" в
процессе функционирования: эти системы не чувствительны к достаточно
кратковременным перерывам. Примерами могут служить средства обработки траекторий
управляемых объектов, у которых допускается экстраполяция координат при пропадании
ограниченного количества данных.
1 . Вероятность заданной суммарной наработки а за фиксированное время t:
а).
Вероятностное определение
A(aJ) =
P{s(t)>a},
где а — заданный уровень суммарной наработки; s(t) — суммарная наработка за время t.
Таким образом, А(а, t) — вероятность того, что суммарная наработка объекта за
время t превысит заданную величину t
0
.
б).
Статистическое определение
A(aj) = У (Г)1 ,
где Si(t) — суммарная наработка i-ro объекта за время t,
[0,ecTHS
i
(?)
<<3
Таким образом, A(aj) — отношение числа объектов, суммарная наработка которых за
время t превысила величину а, к общему числу объектов.
2. Вероятность наличия интервала безотказной работы, большего заданной величины Ь,
за фиксированное календарное время t: