Алексеев А.Е. Диагностика надежности автоматизированных систем
Подождите немного. Документ загружается.
2.1.2.4.
Частично контролируемый восстанавливаемый элемент. Рассмотрим
функционирование восстанавливаемого элемента; часть которого контролируется лишь
периодически.
Это
означает,
что
возникший
в
этой час-ти элемента отказ остается
некоторое время необнаруженным. Отказ
в
конт-ролируемой части элемента
обнаруживается мгновенно после возникновения. Восстановление работоспособности
элемента продолжается
в
среднем
в
течение времени
т.
Средняя наработка элемента
до
отказа
Т,
среднее время простоя элемента
с
учетом пребывания
в
состоянии
необнаруженного отказа
т
с
. В
табл.
2.5
приведены формулы
для
расчета основных
показателей надежности.
В
таблице введены следующие обозначения:
А[ —
произвольное распределение наработки
до
отказа
и
периодических проверок
неконтролируемой части через неслучайное время
t
v
; А
2
—
произвольное распределение
наработки
до
отказа
и
проверок неконтролируемой части через случайные
экспоненциально-распределенные интервалы времени;
А
3
и А
4
—
случаи, аналогичные
соответственно
А[ и А
2
, но для
экспоненциального распределения наработки
до
отказа;
у
0
=
t
0
/T, у
z
т / Т и y
v
z
t
v
/ Т где t
v
-
постоянный период между проверками
неконтролируемой части (если
эти
проверки осуществляются через случайное время,
то
предполагается,
что оно
имеет экспоненциальное распределение
с
параметром
v).
Также
предполагается,
что
если отказ возникает,
то в
неконтролируемой части элемента
он
возникает
с
вероятностью
а., а в
контролируемой
- с
вероятностью
\-а. Для
отдельных
показателей надежности приведены верхняя
и
нижняя оценки,
так как
произвольное
распределение
P(t)
предполагается «стареющим»,
т.е.
предельными случаями
для
него
являются экспоненциальное
и
вырожденное распределения.
Таблица
2.5.
Частично контролируемый восстанавливаемый элемент
Показатель
Ai
A,
A
3
A
4
нижняя
оценка
(),5t
v
a
+ г
a
—
+ T
V
(),5t
v
a
+ г
a
—
+ T
V
верхняя
оценка
at + г
a
—
+ T
V
at +т
V
a
—
+ T
V
Pc(to)
P(to) P(to)
К
нижняя
оценка
l-(ay
v
+y)
l-(ay
v
+y)
l-(ay
v
+y)
l-(ay
v
+y)
К
верхняя
оценка
l-(0,5ay
v
+y)
l-(ay
v
+y)
l-(0,5ay
v
+y)
l-(ay
v
+y)
R(to)
нижняя
оценка
(l-Yo)x
x[l-(ay
v
+y)]
(l-Yo)x
x[l-(ay
v
+y)]
(l-Yo)x
x[l-(ay
v
+y)]
[l-(0,5ay
v
+
+Y)]e"
y
o
R(to)
верхняя
оценка
[l-(0,5ay
v
+
+Y)]e"
y
o
[l-(0,5ay
v
+
+Y)]e"
y
o
[l-(0,5ay
v
+
+Y)]e"
y
o
[l-(0,5ay
v
+
+Y)]e"
y
o
2.1.2.5.
Восстанавливаемый элемент с регламентными работами. По режиму
работы элемента во время проведения регламентных работ:
Ai
— режим, при котором в течение регламентных работ элемент находится в
рабочем состоянии, хотя и не выполняет своих оперативных функций;
А
2
— режим, при котором в течение регламентных работ отказ элемента воз-
никнуть не может.
По глубине проведения регламентных работ:
В[ — во время регламентной работы длительностью А
х
производится только
контроль работоспособности элемента;
8
2
— во время регламентной работы длительностью А
2
производится преду-
предительная замена элемента;
8
3
— во время каждой регламентной работы производится контроль рабо-
тоспособности элемента, а предупредительная замена осуществляется только ровно на ш-
й регламентной работе.
По разновидности режима В
3
:
С[
— отсчет номера регламентной работы, во время которой должна осущест-
вляться предупредительная замена, ведется от предыдущей предупредительной замены
либо от ближайшей аварийной замены;
С
2
— аварийные замены не изменяют заранее предопределенного порядка
предупредительных замен.
По выявлению отказов:
D[
— отказ может быть обнаружен только при проведении регламентной работы;
D
2
— отказ может быть выявлен не только в процессе регламентной работы, но и
непосредственно по наблюдаемым характеристикам функционирования через некоторое
время после возникновения.
По моменту выявления отказа во время регламентной работы:
Е[ — отказ выявляется в самом начале регламентной работы и устраняется
одновременно с проведением регламента;
Е
2
— отказ выявляется на некоторой фазе регламентной работы и сразу же
начинает устраняться;
Е
3
— отказ выявляется в процессе регламентной работы, но начинает устраняться
лишь по завершении ее.
По достоверности контроля:
Fi
— абсолютно достоверный контроль работоспособности, выявляющий отказ
элемента во время текущей регламентной работы с достоверностью единицы;
F
2
— недостоверный контроль, выявляющий отказ элемента во время каждой
текущей регламентной работы с вероятностью
1
-р
По степени жесткости проведения регламентных работ:
G[ — регламентные работы являются обязательными и проводятся, невзирая на то,
в какой фазе находится выполнение основных функций;
G
2
— регламентные работы допускают отсрочку, если в момент необходимого
начала регламентной работы выполняется основная задача.
По возможности выхода из регламентной работы:
Н[ — невозможен выход из регламентной работы в нормальный режим;
Н
2
— возможен выход из регламентной работы.
В дальнейшем после завершения предупредительной замены элемент полностью
обновляется, а в случае прерывания регламентной работы при экстренном выходе в
режим рабочего функционирования
его
характеристики остаются теми
же, что и до
начала
ее
проведения.
Стационарный коэффициент оперативной готовности
R
(t
0
) =
К*Р*
(t
0
),
где
К* —
стационарная вероятность того,
что
элемент может
в
произвольный момент
времени успешно начать выполнение задачи;
Р
(t
0
) —
вероятность того,
что
элемент проработает
в
течение требуемого
интервала времени
t
0
,
начиная
с
некоторого случайного момента
в
стационарном режиме функционирования,
до
отказа
или до
наступления
регламентной работы, которую
по
условиям эксплуатации нельзя отсрочить.
Вероятность
К*
можно приближенно записать
в
виде
К"
ъХ'К,
где
N —
величина, близкая
по
смыслу коэффициенту использования
(табл.
2.6);
К
—
стационарный коэффициент готовности,
к
=
т/(т+с+
Х
),
где
Т —
средняя наработка
на
отказ;
^
—
среднее время собственно восстановления;
X
—
среднее время пребывания
в
состоянии необнаруженного отказа.
Таблица
2.6.
Выражения
для N*
Режимы
Hi
н
2
Ai
Т-тг-C-Z
1- 1
V
Т-тг-С-Х
Л
(1
-г)
Ai
т-C-z
1- 1
V
т-C-z
j
(1
-г)
А
2
т-C-z
1-
/
1
V
т-С-х
л
(1
-г)
А
2
Т-тг-C-Z
1-
/
1
V
(1
-г)
Выражения
для
входящих
в
табл.
2.6
величин
при
различных режимах приведены
в
табл.
2.7-2.9.
Таблица
2.7.
Выражения
для К
Режимы
Di
D
2
Режимы
Di
Точное
выражение
Приближенное
выражение
Fi
0,5 в
Mmin(8,
v)
[s
+
в)
F
2
в(0,5+Р)
Mmin(8,
v)
(\
|
2 Г
v —случайная величина
с
распределением
Р {v = 0(0,5 + к)} = (1 - р)р .
В выражениях, приведенных
в
табл.
2.8,
А!<А
2
,
так как
регламентная работа, включающая
в
свой состав только
контроль работоспособности, всегда занимает меньше
времени, чем регламентная работа, включающая
предупредительную замену элемента,
в
которую входит
и
контроль работоспособности
по
полной программе. Ана-
логично аварийная замена
не
может быть короче
предупредительной.
Таблица
2.8.
Выражения
для ^
Режимы
Ei
Е
2
Ез
Bi
I
0,5А!+т
в
2
т
0,5Д
2
+
т
Д
2
+т
В
3
т
0,5Д*+
т
Л
+ т
Д*=
Д^т -1) / т + Д
2
/ т.
Таблица 2.9. Выражения
для
тг
Режи
мы
Ci
с
2
Bi
в
1
—
А
в
1
В
2
-А,
в
-
-А,
0
-
В
3
А,
+
- -А
1
тв
' тв
Г
т 1
л
/ТтЛ г г Т\
А
—
А,
+ А
1
Для практических расчетов различие
в
режимах
Ci и С
2
несущественно.
Выражения
для
вычисления вероятности
P*(t
0
)
приведены
в
табл.
2.10, где
нижняя
и
верхняя оценки записаны
для
ВФИ-распределения наработки
до
отказа.
Таблица
2.10.
Выражения
для P*(t
0
)
г-
1
1 к
СП
[
zn—
• • •
—era—
Верхняя оценка
'о/
Тв Т
2.2.
Системы
без
восстановления
2.2.1.
Последовательное соединение элементов
2.2.1.1.
Предварительные замечания.
При
расчетах надежности последова-
тельным называется такое соединение элементов,
при
котором отказ хотя
бы
одного
из
них приводит
к
отказу всего соединения
в
целом (рис.
2.2).
Последовательное соединение
в указанном выше смысле
не
всегда совпадает
с
физическим последовательным
соединением элементов. Например, расчет надежности электрической схемы группы
параллельно включенных конденсаторов
по
отношению
к
отказу типа «короткое замыка-
ние» следует производить,
как для
последовательного соединения элементов,
так как
отказ каждого конденсатора приводит
к
отказу всей группы.
Рис.
2.2.
Структурная схема
последовательного соединения
элементов
В дальнейшем, если особо
не
оговаривается, отказы элементов предполагаются
независимыми,
т.е.
отказ любой группы элементов никак
не
влияет
на
вероятностные
характеристики остальных элементов.
2.2.1.2.
Система
из
независимых элементов. Случайная наработка
до
отказа
системы
из m
последовательно соединенных ^восстанавливаемых элементов
определяется минимальным значением случайных наработок
в[
1)
ее
элементов,
т. е.
в
(1)
=111111
б*
1
\CiCm
Если известны распределения наработок
до
отказа отдельных элементов
Pi (t), то
тогда
для независимых элементов
т
P(t
0
)
=
U
p
M-
1=1
В общем случае точное значение средней наработки
до
отказа можно вычислить
лишь
в
виде интеграла
и,
T =
\P{t)dt
о
численными методами.
2.2.1.3
Экспоненциальное расиределеиие.
В
табл.
2.11
приведены основные
по-
казатели надежности
для
системы
из
последовательно соеди-ненных невосстанав-
ливаемых взаимно независимых элементов,
у
каждого
из
которых распределение
наработки
до
отказа является экспоненциальным:
Р(0 =
е-*°.
Таблица
2.11.
Показатели надежности
последовательной системы
Показатель
Точное
выражение
Приближенное
выражение
P(to)
1-4
Q(to)
\-е
Ма
ч
P(t+t
0
)
е"*
1-4
Q(t,t+t
0
)
\-е~
Мо
т
1/
/К
-
Приближенные
выражения для показателей надежности
даны
при условии, что
in
Л1
0
«1,гдеЛ
= ХЛ-
i=i
2.2.1.4.
Последовательное соединение зависимых элементов. Предпо-ложение
о
независимости элементов систем
на
практике часто оказывается неверным. Например,
зависимость элементов может проявляться даже следующим образом:
на все
элементы
одновременно оказывает влияние один
и тот же
внешний воздействующий фактор
(температура, вибрация, радиация
и т. п.),
поэтому
все
элементы одновременно
становятся менее надежными.
Чаще всего элементы являются зависимыми, причем корреляция положительна.
Для последовательного соединения зависимых элементов:
in
а
' т
P(t
0
)>n^(O;T,
>jn
p
,(t)dt.
i=l
0 '=0
2.2.1.5.
ВФИ-распределенпе.
В
табл.
2.12
приведены нижняя
и
верхняя оценки
для
некоторых показателей надежности системы, представляющей собой последовательное
соединение элементов, имеющих ВФИ-распределение наработки
до
отказа, причем
предполагается,
что
известны значения средней наработки
до
отказа каждого элемента
T
t
.
В табл.
2.12
через
Т(
к
)
обозначена
k-я
из
величин
T
t
,
упорядоченных
по
возрастанию,
т.е.
Т
а>=™Р
Т
»
Т
<г>
=n™(
T
i
l
T
i
>Т
а/Ь-
Таблица
2.12.
Показатели надежности системы
из
последовательно соединенных «стареющих» элементов
Показа
тель
Нижняя
граница
Верхняя
граница
Интервал,
для
которого
справедлива гранца
P(t)
m 1
1
t<T
a)
P(t)
0
e
'•'
Т
/
Л
Y
1
m 1
rp
v
=11
J
min
Ti
для любых
Ti
Если дополнительно известны дисперсии
ст
?
для
каждого элемента,
то
верхняя
и
нижняя
границы вероятности безотказной работы последовательной системы
P(t)
могут быть
найдены
как
произведения соответствующих числен-ных верхних
и
нижних границ
вероятностей безотказной работы элементов.
Численные значения границ
для
наработки
до
отказа
Т в
последнем случае могут
быть получены численным интегрированием соответствующих границ вероятности
безотказной работы.
2.2.2.
Нагруженный резерв
2.2.2.1.
Предварительные замечания. Предполагается,
что
отказы элементов
обнаруживаются мгновенно после
их
возникновения
и
переключение
на
резерв
осуществляется без прерывания работы системы. При этом считается, что переключатель
абсолютно надежен,
а
индикация отказа достоверна. Кроме того,
при
переходе
на
резервный элемент
не
возникают какие-либо переходные режимы, нарушающие
нормальное функционирование.
2.2.2.2.
Резервирование одного основного элемента. Структурная схема резерв-
ной группы, состоящей
из
одного основного
и ш
нагруженных резервных элементов,
представлена на рис.
2.3.
—ЕЕТЗЯ—
—шш
1
—иш
1
Рис.
2.3. Структурная схема
системы из одного основного
и
т резервных элементов
1. Вероятность безотказной работы определяется по формуле
где
q
t
(t
0
) —
вероятность отказа i-ro элемента за время
t
0
.
Для экспоненциального распределения наработки элементов
до
отказа,
т. е. для
qj(t
0
)=\-
Q
A[t
°,
при малых
t
0
справедлива следующая нижняя оценка:
P(t
Q
)*l-tr
l
П К,
где
Х[
—
интенсивность отказов i-ro элемента.
При идентичных элементах, что чаще всего бывает на практике,
P(t
0
)~l-(Xt
0
)
m+1
.
2. Средняя наработка
до
отказа
в
общем случае может быть найдена только численным
интегрированием по формуле
rfl
T =
\P{t)dt^
о
где
Р
(t)
-
вероятность безотказной работы.
Для идентичных элементов можно привести компактные
формулы:
- экспоненциальное распределение наработки
до
отказа каждого элемента
p(t) = exp(-).t)
т+1
-IV 7-1
k=l
-
при
больших значениях
ш
можно пользоваться приближенным выражением
Т
« V
[С
+ ]n(m +1) + (2т +
2)"
1
],
где
С -
константа Эйлера,
С = 0,577;
- распределение Гнеденко-Вейбулла
для
наработки
до
отказа
p(t = exp(-).t
a
j
т+1
л\к-\г^к
ia-l
т
=
х-° ra+a-'^c-i/x,^ ,
*=1
-
при
больших значениях
ш
Т
*[A-
l
\n(m
+
\)\x-
1
,
- ВФИ-распределения основного
и
резервных элементов
при
известных значениях
квантили г (Г)
0.56/
<г(Т)<
V
/{m
+
\)~
у }
~/(т
+
\).
2.2.2.3.
Скользящее резервирование. Резервная группа состоит
из п
основных
и ш
резервных элементов, находящихся
в
нагруженном режиме (рис.
2.4).
—ШУХ—
1
—гшя—I
Рис.
2.4.
Структурная схема системы
из п
основных
и ш
резервных элементов
Выражения
для P(t
0
) и Г
приведены
в
табл.
2.13, в
которой приняты следующие
до-
полнительные обозначения:
р
1
—
сокращенная запись
- pi(to); р
;
—
вероятность
безотказной работы
i-ro
элемента
для
экспоненциального распределения,
т.е.
p
l
=exp(-yl^
0
); q
l
= l-p
l
; (или q
(
. ) —
значения
q
t
(или q
{
),
упорядоченные
в
порядке
невозрастания,
т.е. q(
V)
>q(r
}
>...\ (или q
(1)
> q
>...);
общая вероятность равна
произведению вероятностей составляющих систему элементов
Р= ПРЛ),
Г=[1~РЮУРЮ-
Значение
y
i
получается
из
у, заменой
pi(t
0
)
на
p
L
(t
Q
)),
>.(t) —
величины
>.
ь
упорядоченные
в
порядке
невозрастания,
т. е. >.
а)
>
%
(
т
}
>....
т
(1)
=ц
1)
)-
,
;л= ЕЛ
-
*
l^i^u+in
Поясним вывод формулы
для P(t
0
) для
разных элементов. Резервная группа
работоспособна, если
в ней
имеется
не
менее
m
любых работоспособных элементов.
Вероятность этого события
m+n m+n n+m m+n n+m
i=l i=l _/=l ICi^jCn к=1
g
m
eG
m
k^Zm
где
g
m
-
множество ровно
m
различных индексов ke(l,
n);
g
in
-
дополнительное множество,
т. е. g
in
ng
in
= 0, g,
n
Ug,
n
=(1,n);
G
m
-
множество всех
g
m
, т. е.
всех различных наборов
по m
индексов
из п
(число
их
равно С"
+т
.
Используя введенные выражения
для Р и у
получаем выражения, приведенные
в
табл.
2.13.
Приближенное выражение получается
из
эквивалент-ного представления
^
0
)*1-
n+m
S _П <7, П
Р
к
+-+
U4;
*/w+l
m+l °'"^
L
*/w+l
если
в
нем учесть только первый член
в
скобках.
Таблица 2.13. Показатели надежности для систем
с
нагруженным
скользящим резервом
Распределе
ние
Элемент
ы
Показате
ль
Точное выражение
Произвольное
Разные
P(to)
Р(\+
Zr,+
+ Е yjj+-+ Е Yin)
1-i-j-n+m
g
m
eG
m
k&g
m
Произвольное
Разные
Т He приводится