Акрамова Н.П. Инженерная графика конспект лекций
Подождите немного. Документ загружается.
31
. Очерк поверхности является границей видимости частей поверхности на данной
плоскости проекций: точки, расположенные на сфере выше линии l, будут видимы при
взгляде сверху, а точки ниже линии l – не видны.
6.3.ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Поверхностью вращения называется поверхность, образованная при вращении
линии (образующей) вокруг неподвижной оси. В инженерной практике поверхности
вращения задаются, как правило, своими очерками (рис.51).
6.3.1.Основные линии поверхности вращения.
Рис.51
Параллель - сечение поверхности
вращения плоскостью,
перпендикулярной оси вращения.
Представляет собой окружность,
которая на плоскость проекций,
перпендикулярную оси, проецируется в
натуральную величину, а в плоскость,
параллельную оси, - в виде отрезка,
перпендикулярного проекции оси и
равного диаметру параллели.
Наибольшая из близлежащих
параллелей называется экватором,
наименьшая - горлом.
Меридиан - сечение поверхности
вращения плоскостью, проходящей
через ось вращения.
Меридиан, расположенный в плоскости,
параллельной плоскости проекций,
называется главным меридианом и
определяет очерк поверхности в этой
плоскости.
С помощью этих линий
«берутся» (строятся) точки,
принадлежащие поверхности. При этом
используется признак
принадлежности точки поверхности:
точка принадлежит поверхности,
если она лежит на линии, этой
поверхности.
Например, с помощью параллели радиуса R на поверхности построены проекции точки А:
через заданную фронтальную проекцию А
2
проведена проекция параллели, определен её
радиус и построена её горизонтальная проекция, по принадлежности которой найдена
горизонтальная проекция А
1
. При этом заданному положению А
2
соответствуют два
положения горизонтальной проекции точки : А
1
, если точка А видима на П
2
, и А
1
*
, если
она на П
2
невидима.
Из всего многообразия поверхностей вращения наибольшее распространение получили –
цилиндр, конус и сфера.
Параллель
Экватор n
Горло
Главный
меридиан
m
R
R
A
2
A
A
1
1
*
m
2
2
n
n
m
1
1
32
Лекция 7 (продолжение)
7.1. Очерковые образующие и точка на поверхности цилиндра.
)
(
)
(
3
c
3
2
3
b
=
3
a
3
n
2
n
2
d=
2
2
2
3
2
A
3B
d
B
2
3
m
m
1
1
1
n
m
1
d
1
c
1
a
1
A
1
=
b
=
3
2
1
c
b
a
B
A
L
L
L
Рис.52
Цилиндр вращения – образуется
вращением кривой второго порядка,
распадающейся на две параллельные прямые
вокруг ее оси.
На рисунке 52 обозначены очерковые
образующие цилиндра.
Если точка принадлежит очерковой
образующей (А
2
b
2
), то ее проекции находят
по принадлежности к очерку.
Т.к боковая поверхность цилиндра
проецирующая (на рис.52– горизонтально
проецирующая), то точки принадлежащие
боковой поверхности находят по
принадлежности вырожденной проекции
цилиндра с учетом видимости. Например: т.В на
П
2
– видима, поэтому В
1
находится перед
фронтальными очерковыми a
1
u b
1;
т. L
на П
2
– невидима, следовательно L
1
расположена
за очерковыми а
1
и b
1
.
10.3. Очерковые образующие и точка на поверхности конуса.
K
1
S
3
S
K
2
2
S
K
R
1
n
2
n
=
2
1
2
1
1
)(
)
(
3
c
3
2
3
b
=
3
a
2
d=
2
2
3
2
A
3B
d
B
2
3
m
m
1
1
m
1
d
1
c
1
a
1
A
1
b
3
2
1
c
b a
B
A
Рис.53
Конус вращения - образуется вращением
кривой второго порядка, распадающейся на две
пересекающиеся прямые вокруг ее оси.
На рисунке 53 обозначены очерковые
образующие конуса.
Если точка принадлежит очерковой
образующей (А
2
b
2
), то ее проекции находят
по принадлежности к очерку.
Проекции т. В находят с помощью
вспомогательной секущей плоскостью ∆
которую проводят через известную проекцию
точки (В
2
) перпендикулярно оси вращения
конуса. Сечением является окружность радиуса
R. В
1
находим по принадлежности это
окружности с учетом видимости.
Для построения проекций точки можно использовать и образующую конуса (например т.K). Через
известную проекцию точки (K
1
) проводим образующую конуса. Затем строим фронтальную
проекцию образующей, используя точку пересечения образующей с основанием (1
1
- 1
2
). K
2
находим по принадлежности к образующей 1S
33
10.4. Очерковые образующие и точка на поверхности сферы.
)
(
R
1
n
2
n
=
2
3
c
3
b
3
a
2
2
2
3
2
A
3B
B
1
1
c
1
a
1
A
1
b
2
c
b
a
B
A
Рис.54
Сфера – образуется вращением
окружности вокруг своей оси.
На рисунке 54 обозначены очерковые
образующие сферы.
Если точка принадлежит очерковой
образующей (А
2
а
2
), то ее проекции находят
по принадлежности к очерку.
Проекции т. В находят с помощью
вспомогательной секущей плоскостью ∆
которую проводят через известную проекцию
точки (В
2
) перпендикулярно оси вращения
сферы. Сечением является окружность
радиуса R. В
1
находим по принадлежности это
окружности с учетом видимости.
10.5.Пересечение криволинейной поверхности плоскостью.
Поверхности вращения второго порядка пересекаются плоскостью по кривым второго
порядка.
10.5.1.Цилиндрические сечения.
Вид цилиндрического сечения (рис.55) зависит от положения секущей плоскости относительно
оси цилиндра:
Рис.55
1. плоскость перпендикулярна оси цилиндра –
в сечении – окружность с центром О на оси i
и радиусом, равным радиусу цилиндра
Гi , Г Ф
цил
= окружность n(О, R);
2. плоскость параллельна оси цилиндра – в
сечении две прямых – образующих
цилиндра
i ,
Ф
цил
= a и b;
3. плоскость наклонена к оси цилиндра – в
сечении – эллипс с центром О
*
на оси i с
большой осью АВ, величина которой
зависит от угла наклона плоскости к оси, и
малой осью CD, равной диаметру цилиндра
i ,
Ф
цил
= эллипс (О
*
, AB, CD =R).
Цилиндрическая поверхность является
проецирующей к плоскости проекций,
перпендикулярной к оси цилиндра, поэтому в
эту плоскость (на рис.55 в П
1
) сечения цилиндра
проецируются на окружность - вырожденную
проекцию (очерк) поверхности
C
A
B
D
2
a
b
1
1
=
a
b
2
=
2
R
O
2
Г
2
n=Г
2 2
n
m
2
2
=
m
1 1
=
O
2
*
a
=
2
=
2
2
2
A
aaa
1
B
1
C
1
D
1
O
=
1
1
O
=
*
34
10.5.2.Конические сечения.
Вид конического сечения зависит от следующих факторов (рис.56):
1.Положение секущей плоскости относительно вершины конуса:
- если плоскость проходит через вершину конуса (
S) – в сечении две пересекающиеся прямые
(образующие конуса);
- если плоскость не проходит через вершину – в сечении кривые второго порядка.
2.Угол
между секущей плоскостью и осью конуса:
-если угол – 90°( Г i), то в сечении окружность (О, r) (параллель конуса);
-если угол не равен 90° - в сечении эллипс, парабола или гипербола.
3. Соотношение между углом
наклона секущей плоскости к оси конуса и углом
между
осью конуса и его образующей:
а)
,
Ф
кон
= эллипс;
большая ось эллипса – АВ, малая
– CD, центр эллипса О
*
не лежит
на оси конуса и находится
делением АВ пополам (А
2
О
2
=
В
2
О
2
).
б)
=
,
Ф
кон
= парабола с
вершиной F;
в)
,
Ф
кон
= гипербола
с вершинами в точках Р.
Рис.56
10.5.3.Cферические сечения.
При пресечении сферы плоскостью всегда получается окружность. Если секущая плоскость
расположена под углом к плоскости проекций, то проекцией окружности является эллипс.
35
A
B
a
b
2
b
1
A
1
a
1
1
B
2
2
2
2
=
n
2
n
1
R
C
D
O
2
2
=
2
d
1
2
3
4
2
=
2
2
=
2
Г
2
C
D
O
1
2
3
4
1
1
1
1
1
1
1
d
R
Рис.57
При пересечении сферы плоскостью
в сечении
получается окружность центр которой расположен
на прямой n, проходящей через центр сферы и
перпендикулярной к плоскости окружности
(сечения) – О =
n(О
2
= n
) ; О
1
n
1
(рис.57).
Окружность сечения на П
2
проецируется в
отрезок. На П
1
– в эллипс.
Диаметр, лежащий на прямой параллельной
плоскости проекций проецируется в большую ось
эллипса. Следовательно, [СD] П
2
[СD] П
1
[С
1
D
1
] = d сферы. [С
1
D
1
] – большая ось эллипса.
Малая ось перпендикулярна к большой и является
проекцией диаметра, расположенного параллельно
П
1
.
[АВ] П
2
/А
1
В
1
/ = /АВ/
.
Cos
Горизонтальные проекции С
1
и D
1
точек С
и D
можно также построить по принадлежности их
сфере (с помощью введения вспомогательной
секущей плоскости Г ).
При пересечении сферы плоскостью Г в
сечении получается окружность радиусом R . Т. к.
Г П
1
, то окружность в горизонтальную плоскость
проекций проецируется в натуральную величину и
С
1
, D
1
находим по принадлежности этой
окружности.
Аналогичным способом находятся горизонтальные проекции точек 1 и 2, а горизонтальные
проекции точек 3 и 4 находим по принадлежности очерковой образующей b.
10.6.Построение сечения поверхности вращения плоскостью
Чтобы построить сечение, необходимо найти достаточное количество точек, ему
принадлежащих, и прежде всего должны быть найдены особые точки сечения, к которым
относятся:
геометрически особые точки сечения (вершины, центры, точки на концах осей и т.п.)
граничные точки видимости (опорные точки) – точки пересечения очерковых линий
поверхности с секущей плоскостью.
Задача. Построить проекции и натуральную величину сечения конуса плоскостью
(рис.58).
1. Определяем вид сечения и его проекций. Т.к.
не проходит через вершину конуса
S и угол
наклона её к оси конуса больше угла
между осью и образующей, то в сечении –
эллипс + отрезок, результат пересечения секущей плоскости с плоскостью основания. Т.к.
секущая плоскость - фронтально проецирующая, то на П
2
сечение спроецируется в виде
отрезка, лежащего на вырожденной проекции
2
секущей плоскости внутри очерка конуса.
2. Находим особые точки сечения: центр эллипса, точки на концах его осей, граничные
точки видимости. Чтобы построить эти точки необходимо обозначить очерковые образующие
конуса: A
2
S
2
, B
2
S
2
на П
2
, C
3
S
3
, D
3
S
3
на П
3
и найти их проекции на остальных плоскостях. Сначала
находим проекции особых точек сечения на его известной фронтальной проекции.
36
Продлив вырожденную проекцию
2
секущей плоскости до пересечения с продолжением
очерковой A
2
S
2
, находим точку 2
2
– фронтальную проекцию точки, лежащей на конце большой
оси (12) эллипса. Разделив пополам проекцию оси (1
2
2
2
), находим проекцию О
2
центра эллипса.
Малая ось (34) эллипса является фронтально проецирующей и на П
2
спроецируется в точку – О
2
=3
2
=4
2
.
Рис.58
Граничные точки видимости 5,6,7,8 находим на П
2
как результат пересечения вырожденной
проекции плоскости с проекциями очерковых линий:
5
2
= С
2
S
2
2
, 6
2
=D
2
S
2
2
, 7
2
и 8
2
= m
2
2
.
Найденные на П
2
точки строим на остальных плоскостях проекций. Точки на очерковых
линиях находим по принадлежности этим линиям, проводя соответствующие линии связи, при
этом для достижения требуемой точности построений не рекомендуется пользоваться постоянной
чертежа к
0
и ломаными линиями связи между П
1
и П
3
. Проведя горизонтальную линию связи через
5
2
= 6
2
и построив
5
3
C
3
S
3
и 6
3
D
3
S
3
, замеряем расстояние между 5
3
, 6
3
и фронтальной
плоскостью симметрии Ф(Ф
3
). Отложив это расстояние по соответствующей вертикальной линии
связи по обе стороны от Ф
1
, находим горизонтальные проекции точек 5 и 6. По аналогичному
алгоритму находим недостающие проекции точек 7 и 8: сначала на П
1
, а затем и на П
3
.
Недостающие проекции точек 3 и 4 находим по принадлежности конусу: через 3
2
= 4
2
проводим
фронтальную проекцию параллели радиуса r , строим эту параллель на остальных проекциях и по
принадлежности ей находим горизонтальные, а затем и профильные проекции точек 3 и 4. По
аналогичному алгоритму можно построить случайные точки сечения.
3. Соединяем одноименные проекции построенных точек с учетом видимости. Видимость
определяем по представлению. На П
1
невидимым является отрезок (78), лежащий в основании
37
конуса, невидимом при взгляде сверху, а на П
3
- участок эллипса (516), лежащий на правой
половине боковой поверхности конуса, невидимой при взгляде слева.
4. НВ сечения находим заменой плоскостей проекций: П
1
П
4
, П
1
/ П
2
(x
12
) П
2
/ П
4
(
s
24
2
). Для удобства построений ось x
12
совмещаем проекцией плоскости симметрии Ф
1
. Точки
НВ находим по алгоритму построения проекций точек в дополнительную плоскость (см. рис.35).
Если секущая плоскость – общего положения, то для упрощения решения заменой
плоскостей проекций секущая плоскость преобразуется в проецирующую.
10.7.Пересечение поверхности прямой линией
Рис.59
В общем случае для построения
точек пересечения прямой с поверхностью
применяется метод вспомогательных секущих
плоскостей по следующему алгоритму (рис.59):
1. Прямая l заключается в плоскость
,
пересекающую поверхность Ф по геометрически
простой линии: l
Ф.
2. Строится линия m пересечения поверхности Ф
вспомогательной плоскостью
:. M =
Ф.
3. Искомые точки 1 и 2 находим как результат
пересечения заданной прямой l с построенной
линией пересечения m: 1,2 = l m.
Задача. Построить точки пересечения прямой l с поверхностью сферы Ф (О
*
,R) (рис.60).
1
1
B
A
2
1
=
R
2
2
B
2
A
r
r
l
l
O
O
2
1
П
1
2
П
Алгоритм решения
1. Заключаем прямую l во фронтально
проецирующую плоскость
: l
2
=
2.
2. Строим линию пересечения плоскости
со
сферой Линией пересечения сферы с плоскость
является окружность радиусом r. На П
1
окружность проецируется в натуральную
величину.
3. Находим точки пересечения прямой l с
линией пересечения сферы и пл.
т.е. с
окружностью радиуса r. Находим
горизонтальные проекции точек А и В (А
1
, В
1
) т.
к. окружностью радиуса r на горизонтальную
плоскость проекций проецируется в
натуральную величину. Фронтальные проекции
точек А и В (А
2
, В
2
) находим по
принадлежности фронтальной проекции прямой
l (l
2
).
4. Видимость точек А и В
и прямой l определяем
по представлению, рассматривая проекции
совместно с направлением взгляда на
соответствующую плоскость.
Рис.60
Лекция 8
38
11.ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
11.1.Пересечение криволинейной и гранной поверхностей
Рис.61
Линией пересечения (ЛП)
криволинейной и гранной
поверхностей является
пространственная замкнутая
ломаная, вершинами которой
являются точки пересечения ребер
многогранника с криволинейной
поверхностью, а звенья – линии
пересечения криволинейной
поверхности с гранями
многогранника. В случае врезки ЛП
состоит из одной ломаной, в случае
проницания – из двух (рис.61).
Особые точки ЛП:
вершины ломаной – точки пересечения ребер многогранника с поверхностью
вращения;
опорные точки (граничные точки видимости) – точки пересечения очерковых
образующих криволинейной поверхности с гранной поверхностью;
особые точки кривых – звеньев ЛП: центры, вершины, точки на концах осей и т.д.
Построение ЛП сводится к двум выше уже рассмотренным выше задачам: а) построить
построить точки пересечения прямой с поверхностью и б) построить сечение
поверхности плоскостью.
Задача. Построить проекции конуса с призматическим вырезом (рис.62).
Алгоритм решения
1.Определяем тип линии пересечения (ЛП). Т.к. ни одна из поверхностей не
пересекает другую полностью, то данный случай – врезка и ЛП состоит из одной ломаной.
Звенья ЛП – конические сечения: грань призмы Г(Г
2
), перпендикулярная оси конуса,
пересекает конус по дуге окружности; грань призмы
(
2
)
, плоскость которой проходит
через вершину конуса, - по образующим конуса; грань призмы
(
2
)
, наклоненная к оси
конуса (
),- по дуге эллипса.
Т.к. грани призмы фронтально проецирующие, то на П
2
проекция ЛП совпадает с
проекцией призматического выреза.
2. Находим особые точки ЛП сначала на известной фронтальной проекции:
-вершины ломаной – точки пересечения ребер n и m c поверхностью конуса - совпадают с
проекциями самих ребер, т.к. ребра – фронтально проецирующие: n
2
= 1
2
=2
2
, m
2
= 3
2
=4
2
.
-центр О(О
2
)
и точки на концах осей эллипса. Продлив грань
(
2
) до пересечения с
очерковой образующей S
2
B
2
находим фронтальную проекцию большой оси эллипса 5
2
6
2
,
разделив которую пополам находим центр О(О
2
) и точки 7
2
= 8
2
на концах малой оси.
- граничные точки видимости находим как результат пересечения вырожденных про-
екций граней призматического отверстия с очерковыми образующими конуса: граничные
точки видимости на П
2
– 5
2
= S
2
А
2
2
, 13
2
= S
2
А
2
Г
2
, граничные точки видимости на
39
П
3
– 9
2
= S
2
C
2
2
, 10
2
= S
2
D
2
2
, 11
2
= S
2
C
2
Г
2
, 12
2
= S
2
D
2
Г
2
.
На остальных проекциях найденные на П
2
точки находим либо по их принадлеж-
ности образующим, на которых они расположены, либо по их принадлежности конусу.
Например, точки 7 и 8 находим, проведя параллель радиуса r.
Рис.62
При этом для достижения требуемой точности построений не рекомендуется
пользоваться постоянной чертежа к
0
и ломаными линиями связи между П
1
и П
3
(см.
задачу на рис.62).
3. Случайные точки (на дуге эллипса) выбираем произвольно на П
2
, а другие их
проекции находим по принадлежности поверхности конуса, как точки 7,8.
4. Построенные точки соединяем с учетом их видимости на проекциях, определяя ви-
димость по представлению. При взгляде сверху ЛП видима полностью, не видны только
ребра m и n отверстия. На П
2
видимые и невидимые части ЛП совпадают. При взгляде
слева (на П
3
) видимы части ЛП, лежащие на левой половине конуса, а также участки пря-
мых (13) и (24) из-за отсутствия материала, их закрывающего.
=O
S
A
A
B
B
B
=
A
2
m
4
2
=
3
=
2 2
3
1
4
1
1
1
1
C D
2 2
=
C
1
D
1
1 1
5
2
6
2
2
= 7
=
8
22
O
=
2
1
0
9
2
r
2
2
=n
2
1
2
=
R
r
R
6
2
5
3
5
1
5
9
3
7
1
9
1
8
1
1
7
3
1
0
3
8
3
*
2
11
2
=12
2
F
2
=G
2
2
3 3
F
1
G
1
2
1
1
0
F G
3 3
C
3
D
1 2
3 3
1
3
1
11
1
1
2
113
3
3
1
1
2
4
3
S
3
1
3
3
S
2
2
2
1
3
2
Г
2
40
11.2.Пересечение поверхностей вращения второго порядка.
Линия пересечения поверхностей вращения 2-го порядка в общем случае
– пространственная замкнутая кривая 4-го порядка, состоящая из двух линий в
случае проницания или из одной – в случае врезки.
Рис.63
Основные точки ЛП – точки
пересечения очерковых образующих одной
поверхности с другой поверхностью и точки
пересечения очерковых линий второй
поверхности с первой поверхностью.
Точки ЛП в общем случае находятся
способом вспомогательных секущих
поверхностей-посредников, в роли которых
могут выступать плоскости и сферы.
11.2.1.Способ секущих плоскостей (рис.63)
1.Проводится вспомогательная плоскость
, пересекающая обе поверхности по
геометрически простым линиям, которые проецируются также в виде геометрически
простых линий (прямых или окружностей).
2. Строятся линии m и n пересечения поверхностей
и Ф плоскостью
: m = Ф
,
n =
.
3. Находятся точки 1 и 2 пересечения построенных линий пересечения m и n :
1,2 = m n.
Это и есть искомые точки ЛП заданных поверхностей
и Ф. Проведя достаточное число
секущих плоскостей, находим достаточное количество точек ЛП.
Задача. Построить линию пересечения сферы и конуса (рис.64).
1. Определяем тип линии пересечения . Пересекаются поверхности вращения 2-го
порядка, случай врезки: ЛП – одна замкнутая пространственная кривая 4-го порядка.
Обе поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии.
Следовательно, фронтальные проекции видимой и невидимой на П
2
ветвей ЛП –
совпадают и замкнутая кривая на П
2
проецируется в виде разомкнутой.
2. Построение особых точек ЛП.
Главные меридианы сферы m и ASB конуса лежат в одной плоскости (фронтальной
плоскости симметрии) и, следовательно, пересекаются. Поэтому граничные точки
видимости на П
2
находятся как результат пересечения проекций главных меридианов
сферы и конуса:
1
2
, 2
2
= m
2
A
2
S
2
.. На П
1
эти точки находятся по принадлежности меридианам.
Точки пересечения горизонтального очерка сферы (экватора n) с конусом находим
методом вспомогательных секущих плоскостей:
проводим плоскость Г(Г
2
) через экватор сферы,
строим линии пересечения сферы и конуса: cфера пересекается по экватору n, который
уже построен на обеих проекциях, а конус – по окружности радиуса R
Г
,
находим проекции точек 3
1
и 4
1
пересечения этих окружностей на П
1
, а затем
фронтальные проекции этих точек по принадлежности Г
2
m
n
1
2