Акрамова Н.П. Инженерная графика конспект лекций

Подождите немного. Документ загружается.

новой оси проекций.

2.На новой линии связи от точки пересечения ее с новой осью откладывают отрезок,

равный расстоянию между замененной проекцией точки и замененной осью.

Задача. Прямую общего положения сделать а) прямой уровня, б) проецирующей

прямой (рис.38)

Чтобы прямую общего положения сделать прямой уровня, достаточно заменить

одну из основных плоскостей проекций, проведя новую плоскость параллельно заданной

прямой и перпендикулярно другой плоскости проекций. Прямую общего положения

сделать проецирующей заменой только одной из основных плоскостей проекций нельзя,

т.к. плоскость, перпендикулярная прямой общего положения, в системе основных

плоскостей проекций займет также общее положение и ни с одной из плоскостей не

образует новую ортогональную систему плоскостей проекций. Поэтому, чтобы прямую

общего положения сделать проецирующей, нужны две последовательные замены обеих

основных плоскостей проекций. Сначала заменой одной из плоскостей прямую общего

положения делают прямой уровня, а затем заменяют вторую основную плоскость на

новую, выставляя её перпендикулярно прямой.

Рис.38

Алгоритм решения

1 замена: П

l :

/ П

(х

) П

/ П

)

Взяв на прямой l две

произвольные точки 1 и 2,

строим их проекции на П

по

алгоритму построения точек в

дополнительную плоскость

проекций и соединяем их

прямой. Поскольку l П

отрезок (12) проецируется в П

натуральную величину, как и

угол



наклона прямой l к П

2 замена: П

 l:

/ П

) П

/ П

 l

Строим проекции точек 1 и 2 на

по алгоритму построения

точек в дополнительную

плоскость. Поскольку П

 l

прямая проецируется в точку.

Задача. Плоскость проецирующую преобразовать в плоскость уровня (рис.39).

Чтобы проецирующую плоскость сделать плоскостью уровня, достаточно замены

одной из основных плоскостей проекций. Незаменяемой оставляют ту основную

плоскость проекций, перпендикулярно которой расположена заданная плоскость, а новую

плоскость располагают параллельно заданной плоскости.

Рис.39

Алгоритм решения

ABC:

/ П

(х

)

/ П

( s

Строим по алгоритму

построения точек в

дополнительную

плоскость проекции

вершин ABC в П

Поскольку

плоскостьABC

параллельна П

, то

треугольник

спроецируется в П

натуральную величину.

Лекция 5

5. Многогранники

Многогранником называется фигура, ограниченная со всех сторон плоскостями.

Элементами многогранника являются вершины, ребра, грани. На комплексном чертеже

многогранники изображаются проекциями своих вершин и ребер с учетом видимости.

Из множества видов многогранника наибольшее распространение получили призма и

пирамида.

Призма – многогранник, две грани которого n – угольники, лежащие в параллельных

плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы.

Различают прямые призмы и наклонные. Призма, боковые ребра которой перпендикулярны

плоскости оснований называется прямой.

Прямая призма, основание которой является правильный многоугольник, называется

правильной.

Пирамида – многогранник, у которого одна грань произвольный n - угольник, принимаемый

за основание, а остальные грани (боковые) – треугольники с общей вершиной, называемой

вершиной пирамиды.

Если основание пирамиды – правильный многоугольник и вершина пирамиды ортогонально

проецируется в центр этого многоугольника, то пирамида называется – правильной.

5.1. Изображения многогранников на комплексном чертеже.

Задача. Построить проекции многогранника по заданным вершинам. Найти недостающие

проекции точки М, принадлежащей поверхности многогранника (рис.40).

Рис40

Алгоритм решения

1.Построив

профильные проекции

вершин пирамиды,

соединяем одноименные

проекции вершин

отрезками и получаем

проекции пирамиды.

Видимость ребер и

граней определяем по

представлению. На П

видны боковые ребра и

грани пирамиды, т.к.

вершина S располагается

над основанием АВС.

Рассматривая

горизонтальную

проекцию совместно с

направлением на П

определяем, что

видимыми на П

являются грани ASB и

BSС , а грань АSC и её

ребро АС – невидимы.

Аналогичным образом определяем, что на П

невидимыми являются ребра прилегающие к

вершине С.

2. Строим недостающие проекции точки М, принадлежащей пирамиде, используя признак

принадлежности точки гранной поверхности: точка принадлежит поверхности

многогранника, если лежит на прямой, принадлежащей какой-либо грани этой

поверхности. Точка М видима на П

(её проекция не заключена в скобки), следовательно, она

лежит в грани ASB. Проводим в этой грани через М

произвольную прямую, например, S

,строим остальные проекции прямой и по принадлежности им находим недостающие проекции

точки. Т.к. грань ASB видима на всех проекциях, то и точка М

везде является видимой.

5.2.Пересечение многогранника плоскостью

При пересечении многогранника плоскостью получают

плоскую фигуру называемую сечением.

Сечением многогранника будет многоугольник, вершины

которого - точки пересечения ребер многогранника с секущей

плоскостью, а стороны - линии пересечения его граней с той же

плоскостью (рис.41).

Рис.41

Задача. Построить проекции и натуральную величину сечения пирамиды SАВС плоскостью



(



) (рис.42).

Рис.42

Алгоритм решения

1.Так как



– горизонтально проецирующая

плоскость, то отрезок ее вырожденной

проекции



, лежащий внутри очерка

пирамиды – горизонтальная проекция сечения.

Вершины сечения сначала находим на П

, как

результат пересечения



с проекциями ребер,

а затем на остальных плоскостях проекций – по

принадлежности ребрам.

2. Найденные вершины сечения соединяем

отрезками, руководствуясь правилом:

отрезками прямых можно соединять только

точки, лежащие в одной грани многогранника.

3. НВ сечения определяем способом замены

плоскостей проекций:



, П

/ П

) П

/ П

( s



)

4.Видимость на чертеже определяем по

представлению. Из двух скрещивающихся

ребер SB и АС при взгляде сверху ближе к

наблюдателю SB, поэтому АС на П

невидимо.

На П

невидимой является грань ASC и

лежащая в ней сторона сечения (12).

5.3.Пересечение многогранника прямой

Алгоритм решения (рис.43)

1. Через прямую проводим вспомогательную секущую

плоскость: l





2. Строим сечение многогранника плоскостью:

DEF = Ф

мн



3. Определяем точки пересечения прямой с

построенным сечением: M,N = l  DEF.

Задача. Найти точки пересечения прямой l с

пирамидой SАВС (Рис.41).

Алгоритм решения приведен выше:

1. l





. L



2. DEF = Ф

мн



 D



, D



, E



, F

3. M,N = l  DEF M

= l

, M

= l

, N

Рис.43

Видимость определяем по представлению. Грани АSB и BSC видимы на обеих проекциях,

значит, видимы и точки M и N в них лежащие и прилегающие к точкам участки прямой l .

Невидимым является только участок прямой, лежащий внутри пирамиды. На П

невидимым

будет ребро АС пирамиды: скрещивающееся и конкурирующее с ним в видимости ребро SB

расположено ближе к наблюдателю.

5.4.Взаимное пересечение многогранников

Линией пересечения двух многогранников является пространственная замкнутая ломаная,

вершины которой - точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго и ребер

второго с гранями первого, а сторонами - линии взаимного пересечения граней многогранников.

При взаимном пересечении двух многогранников могут встретиться два случая: врезка и

проницание.

Рис.44а Рис.44б

Врезкой называется случай, когда ни одна из поверхностей не пересекает другую

полностью (рис.44а). Проницанием называется случай, когда одна из поверхностей полностью

пересекается другой поверхностью (рис.44б).В случае врезки линия пересечения состоит из

одной ломаной, а в случае проницания - из двух.

Задача. Построить проекции пирамиды с призматическим отверстием (рис.45).

Алгоритм решения

1. Т.к. призматическое отверстие не пересекает пирамиду полностью (врезка), то линия

пересечения (ЛП) - одна замкнутая ломаная. Боковые грани призматического отверстия -

фронтально проецирующие, поэтому фронтальная проекция ЛП совпадает с фронтальной

проекцией отверстия.

2. Находим вершины ломаной - точки пересечения ребер призматического отверстия с

поверхностью пирамиды и ребер пирамиды с гранями призматического отверстия. Т.к. ребра

призматического отверстия фронтально проецирующие, точки пересечения их с поверхностью

пирамиды на П

совпадают с проекциями самих ребер: 1

= 2

, 3

= 4

. и т. д.

На П

эти вершины находим методом вспомогательных секущих плоскостей:

а) проводим плоскость Г(Г

) параллельно основанию пирамиды,

б) строим сечение d пирамиды этой плоскостью: на П

– d

= Г

, на П

проекция сечения d

будет представлять собой квадрат, стороны которого параллельны сторонам основания, т. к.

боковые грани пирамиды пересекаются параллельными плоскостями по параллельным прямым,

в) находим 3

, 4

, 6

, 7

, и 8

по принадлежности d

Профильные проекции найденных вершин находим по двум известным.

Рис.45

3. Находим вершины ломаной 1, 2, 9 и 10 – по принадлежности основанию пирамиды.

4. Соединяем найденные вершины отрезками, руководствуясь правилом: соединять отрезками

прямых можно только вершины, лежащие в одной грани призматического отверстия и одной

грани пирамиды. Во избежание ошибок составляем последовательность соединения вершин:

1-3-5-7-9-10-8-6-4-2-1

5. Определяем видимость ЛП по представлению. На П

боковые грани пирамиды при взгляде

сверху является видимой, а грани призматического отверстия не закрывают линию пересечения,

поэтому все звенья линии пересечения являются видимыми Невидимыми на П

являются ребра

призматического отверстия 3-4 и 7-8, а так же та часть ребер 1-2 и 9-10 которые закрывает часть

пирамиды расположенная выше плоскости Г.

На фронтальной плоскости проекций видимый и невидимый контуры линии пересечения

совпадают с проекцией отверстия.

На П

невидимая часть линии пересечения совпадает с видимой, а невидимыми будут ребра

призматического отверстия 3-4 и 7-8.

6. Определяем видимость очерков пирамиды. На всех проекциях очерк основания пирамиды

между ребрами призматического отверстия 1-2 и 9-10 отсутствует, а так же часть ребер

пирамиды ниже вершин ломанной 5 и 6.

Лекция 6

6.1. КРИВЫЕ ЛИНИИ

В начертательной геометрии кривую линию рассматривают как траекторию

непрерывно движущейся точки. Кривые могут быть: плоскими и пространственными.

Кривые могут быть заданы либо алгебраической или трансцендентной функцией,

либо графически.

Порядок кривых может быть определен степенью алгебраического уравнения; по

числу точек пересечения кривой с прямой линией (для плоских кривых); по числу точек

пересечения кривой с плоскостью (для пространственных кривых). В начертательной

геометрии кривые линии задаются на чертеже их проекциями.

6.1.1.Основные свойства проекций плоских кривых линий

- Порядок плоской алгебраической кривой при параллельном проецировании не

изменяется.

- Бесконечно удаленные точки кривой проецируются в бесконечно удаленные точки ее

проекции.

- Касательная к кривой проецируется в касательную к ее проекции.

- Точки пересечения плоских кривых проецируются в точки пересечения их проекций.

6.1.2.Проецирование окружности

Окружность проецируется в натуральную величину в какую-либо плоскость

проекций, если она расположена в плоскости уровня, этой плоскости проекций

параллельной. В прочих случаях окружность проецируется с искажением.

Если окружность лежит в проецирующей плоскости



(рис.46), то в плоскость

проекций, перпендикулярную плоскости



, окружность проецируется в виде отрезка,

равного диаметру окружности (А

= АВ), на вырожденной проекции



В плоскости проекций, к которым плоскость



наклонена, окружность проецируется в

виде эллипса.

Рис.46

При этом:

 центром эллипса О

является

проекция центра О

окружности,

 большой осью эллипса будет

проекция того диаметра

окружности, который

параллелен плоскости

проекций и проецируется в

неё в натуральную величину

(С

= CD),

 малой осью эллипса будет

проекция того диаметра

окружности, который

проецируется с наибольшим

искажением в

рассматриваемую плоскость

проекций. На рис.46 это

диаметр АВ.

1 1

Задача. Построить проекции окружности радиуса R , расположенной в

горизонтально проецирующей плоскости



(рис.47).

Рис.47

Алгоритм решения

1. Так как плоскость



окружности

горизонтально проецирующая, то в П

окружность спроецируется в виде отрезка

на вырожденной проекции



плоскости,

длина которого равна 2R, а на П

– в

эллипс (см. выше рис.46), оси которого –

проекции диаметров окружности: большая

ось – проекция диаметра CD, который

проецируется на П

в натуральную

величину 2R (лежит на горизонтально

проецирующей прямой); малая ось –

проекция диаметра АВ, который

проецируется с наибольшим искажением

(расположен на линии наибольшего

наклона к П

, в данном случае это

горизонталь, фронтальная проекция

которой параллельна оси x

2. Для построения случайных точек эллипса П

заменяем на П

, располагая

последнюю параллельно плоскости



окружности: П



, П

/ П

) П

/ П

(



)

В системе П

/ П

нам известны обе проекции окружности и можно взять любую точку на

окружности, например 1

, а затем построить ее проекции в П

и П

по алгоритму

построения проекции точек при замене плоскостей проекций (см. рис.37б). Построив 1

можно воспользоваться свойством симметрии эллипса и построить ещё три точки,

симметричные 1

относительно осей А

и C

. Соединив лекалом построенные на П

точки, получим эллипс – фронтальную проекцию окружности.

6.1.3.Цилиндрическая винтовая линия

Цилиндрическая винтовая линия или гелиса

образуется перемещением точки, совершающей

равномерное поступательное движение по образующей

цилиндра вращения, которая в свою очередь

равномерно вращается вокруг оси цилиндра. Винтовая

линия задается радиусом основания R цилиндра и

шагом h – величиной перемещения точки по

образующей при повороте её вокруг оси на 360

(рис.48).

Чтобы построить проекции винтовой линии,

окружность и шаг разбиваются на n равных частей

(например, на 8, как на рис.46). Поворот точки на 1/n

части окружности соответствует ее перемещению вдоль

оси цилиндра на 1/n части шага: если формирующая

кривую точка А из исходного положения (0)

переместится в положение 1, то проекция А

окажется в

точке 1 окружности, а её фронтальная проекция А

– на

горизонтали под тем же номером. Последовательно

перемещая горизонтальную проекцию точки А

следующие положения, строим соответствующие

фронтальные её проекции, соединив которые плавной

Рис.48

кривой получаем фронтальную проекцию винтовой

линии – синусоиду.

6.2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Для задания и образования поверхностей используются следующие способы:

- аналитический; каркасный; кинематический.

Рис.49

В начертательной геометрии пользуются

кинематическим способом задания

поверхностей и рассматривают поверхность

как образованную непрерывным

перемещением некоей линии в пространстве

по определенному закону. Линия, которая

формирует поверхность при перемещении в

пространстве, называется образующей. Закон

движения образующей определяется

направляющими элементами и положением

образующей относительно этих элементов в

любой момент движения.

. Образующая может сохранять свою форму при изменении положения, или

непрерывно изменять и форму и положение в пространстве.

Определитель поверхности – совокупность всех условий, определяющих

поверхность. Определитель поверхности состоит из двух частей – геометрической и

алгоритмической (или кинематического закона):

 геометрическая часть определителя – совокупность геометрических элементов

(образующая, направляющие элементы), которые определяют поверхность;

алгоритмическая часть – закон, который позволяет в любой момент движения

образующей задавать ее положение и форму. Например, геометрической частью

определителя конической поверхности, изображенной на рис.49, является совокупность

образующей l, направляющей m и вершины S. Алгоритмическая часть определителя

устанавливает взаимное положение этих геометрических элементов в процессе

формирования поверхности: l m, S l.

6.2.1.Очерк поверхности

Рис.50

Графическое задание поверхности

проекциями элементов ее определителя

обеспечивает обратимость чертежа, но не

обеспечивает его наглядности. Для

придания наглядности изображению

поверхности строят очертания (очерки)

поверхности на плоскостях проекций.

Для этого проводят проецирующие лучи,

касающиеся поверхности, например,

сферы (рис.50). Проецирующие лучи

образуют некоторую проецирующую

поверхность Ф, касающуюся заданной

поверхности по линии l, называемой

контурной. Очерком поверхности

является линия пересечения

проецирующей поверхности Ф с

плоскостью проекций, т.е. очерк

поверхности есть проекция l

контурной

линии l на данную плоскость проекций.