Акимов В.А., Лапин В.Л., Попов В.М. и др. Надежность технических систем и техногенный риск. Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
qt
qt t
qt t t
1
2
2
3
2
1
2
() ,
() ,
() ),
=
=
=−
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
ïðè
01<<t
.
Îòñþäà íàäåæíîñòè ýëåìåíòîâ:
pt t
pt t
pt t t
1
2
2
3
2
1
1
12
() ,
() ,
() ),
=−
=−
=− +
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
ïðè
01<<t
.
Èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ ýëåìåíòîâ (óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îò
-
êàçîâ) — îòíîøåíèå
ft()
ê
pt()
:
λ
λ
λ
1
2
2
3
2
11
21
21 1 2
() /( ),
() /( ),
() ( )/
tt
tt t
tttt
=−
=−
=− −+),
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
ïðè
01<<t
.
Ñêëàäûâàÿ, èìååì:
λλ λ λ
c
ttt=++
123
() () ()
.
Ï
ÐÈÌÅÐ 4.5.4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ðàáîòû ñèñòåìû ñ ïîñëåäîâàòåëü-
íûì ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ ïðè ïîëíîé íàãðóçêå íåîáõîäèìû äâà ðàçíî-
òèïíûõ íàñîñà, ïðè÷åì íàñîñû èìåþò ïîñòîÿííûå èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ,
ðàâíûå ñîîòâåòñòâåííî
λ
1
0 0001= ,
÷
–1
è
λ
2
00002= ,
÷
–1
. Òðåáóåòñÿ âû÷èñ-
ëèòü ñðåäíåå âðåìÿ áåçîòêàçíîé ðàáîòû äàííîé ñèñòåìû è âåðîÿòíîñòü åå
áåçîòêàçíîé ðàáîòû â òå÷åíèå 100 ÷. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îáà íàñîñà íà÷è-
íàþò ðàáîòàòü â ìîìåíò âðåìåíè
t = 0
.
Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (4.5.6) íàõîäèì âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû P
s
çàäàííîé ñèñòåìû â òå÷åíèå 100 ÷:
Pt e
s
t
()
()
=
−+λλ
12
,
Pe
s
() ,
(, , )
100 0 97045
0 0001 0 0002 100
==
−+⋅
.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4.5.7), ïîëó÷àåì:
T
0
12
11
0 0001 0 0002
3333 3=
+
=
+
=
λλ ,,
,
÷.
4.5.3.2. Ñèñòåìà ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ
Íà ðèñ. 4.5.6 ïðåäñòàâëåíî ïà
-
ðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå ýëåìåíòîâ 1,
2, 3. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óñòðîéñòâî,
ñîñòîÿùåå èç ýòèõ ýëåìåíòîâ, ïåðå
-
õîäèò â ñîñòîÿíèå îòêàçà ïîñëå îò
-
êàçà âñåõ ýëåìåíòîâ ïðè óñëîâèè,
÷òî âñå ýëåìåíòû ñèñòåìû íàõîäÿòñÿ
ïîä íàãðóçêîé, à îòêàçû ýëåìåíòîâ
ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìû.
161
à ËÀÂÀ 4
Ðèñ. 4.5.6. Áëîê-ñõåìà ñèñòåìû
ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì
ýëåìåíòîâ
Óñëîâèå ðàáîòîñïîñîáíîñòè óñòðîéñòâà ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþ
-
ùèì îáðàçîì: óñòðîéñòâî ðàáîòîñïîñîáíî, åñëè ðàáîòîñïîñîáåí ýëåìåíò 1,
èëè ýëåìåíò 2, èëè ýëåìåíò 3, èëè ýëåìåíòû1è2,1è3,2è3,1è2è3.
Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîãî ñîñòîÿíèÿ óñòðîéñòâà, ñîñòîÿùåãî èç n ïàðàë
-
ëåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ îïðåäåëÿåòñÿ ïî òåîðåìå ñëîæåíèÿ âåðîÿò
-
íîñòåé ñîâìåñòíûõ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé êàê
P p p p pp pp
ppp pp p
n
n
=++ − + +−
−++
( ... ) ( ...)
(..
1 2 12 13
123 12
.) ... ( ... ).−±pp p p
n123
(4.5.8)
Äëÿ ïðèâåäåííîé áëîê-ñõåìû (ðèñ. 4.5.6), ñîñòîÿùåé èç òðåõ ýëåìåíòîâ,
âûðàæåíèå (4.5.8) ìîæíî çàïèñàòü:
P p p p pp pp p p ppp=++− + + +
123 121323 123
()
.
Ïðèìåíèòåëüíî ê ïðîáëåìàì íàäåæíîñòè, ïî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ âåðî
-
ÿòíîñòåé íåçàâèñèìûõ (â ñîâîêóïíîñòè) ñîáûòèé, íàäåæíîñòü óñòðîéñòâà
èç n ýëåìåíòîâ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
Pp
i
i
n
=− −
=
∏
11
1
()
,
(4.5.9)
ò. å. ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè íåçàâèñèìûõ (â ñìûñëå íàäåæíîñòè)
ýëåìåíòîâ èõ íåíàäåæíîñòè
()1 −=pq
ii
ïåðåìíîæàþòñÿ.
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà íàäåæíîñòè âñåõ ýëåìåíòîâ îäèíàêîâû, ôîðìó-
ëà (4.5.9) ïðèíèìàåò âèä:
Pp
n
=− −11()
. (4.5.10)
Ï
ÐÈÌÅÐ 4.5.5. Ïðåäîõðàíèòåëüíîå óñòðîéñòâî, îáåñïå÷èâàþùåå áåçî-
ïàñíîñòü ðàáîòû ñèñòåìû ïîä äàâëåíèåì, ñîñòîèò èç òðåõ äóáëèðóþùèõ äðóã
äðóãà êëàïàíîâ. Íàäåæíîñòü êàæäîãî èç íèõ ð = 0,9. Êëàïàíû íåçàâèñèìû
â ñìûñëå íàäåæíîñòè. Íàéòè íàäåæíîñòü óñòðîéñòâà.
Ðåøåíèå. Ïî ôîðìóëå (4.5.10)
P =− − =1 1 09 0999
3
(,) ,
.
Èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ óñòðîéñòâà ñîñòîÿùåãî èç n ïàðàëëåëüíî ñîåäè
-
íåííûõ ýëåìåíòîâ, îáëàäàþùèõ ïîñòîÿííîé èíòåíñèâíîñòüþ îòêàçîâ
λ
0
,
îïðåäåëÿåòñÿ êàê:
λ
λ
λ
==
−−
−− −
=
dQ t dt
Pt
dtdt
t
n
n
n
()
()
(exp( ))/
(exp( ))
1
11
0
0
λλ
λ
00
1
0
1
11
(exp())
(exp( ))
−
−− −
−
t
t
n
n
.
(4.5.11)
Èç (4.5.11) âèäíî, ÷òî èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ óñòðîéñòâà ïðè
n > 1
çàâè
-
ñèò îò t: ïðè
t = 0
îíà ðàâíà íóëþ, ïðè óâåëè÷åíèè t, ìîíîòîííî âîçðàñòàåò
äî
λ
0
.
Åñëè èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ ýëåìåíòîâ ïîñòîÿííû è ïîä÷èíåíû ïîêàçà
-
òåëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ, òî âûðàæåíèå (4.5.9) ìîæíî çàïèñàòü:
Pt t
i
i
n
() ( exp( ))=− − −
=
∏
11
1
λ
.
(4.5.12)
162
à ËÀÂÀ 4
Ñðåäíåå âðåìÿ áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû Ò
0
íàõîäèì, èíòåãðèðóÿ
óðàâíåíèå (4.5.12) â èíòåðâàëå [0,
∞
]:
TPtdt tdt
i
i
n
0
0
1
0
1
11
1
==−−−
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
=
∞
=
∞
∫
∏
∫
() ( exp( )
(/
λ
λ+ + + − + + + + +
++
111 1
1
21213
1
/ ... / ) ( / ( ) / ( ) ...)
(/(
λλλλλλ
λ
n
λλ λλλ λ
23 124
1
1
111++ ++++− ×
+
=
∑
) / ( ) ...) ( ) / .
n
i
i
n
(4.5.13)
 ñëó÷àå, êîãäà èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ âñåõ ýëåìåíòîâ îäèíàêîâû, âû
-
ðàæåíèå (4.5.13) ïðèíèìàåò âèä:
Ti
i
n
0
1
11=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=
∑
//λ
.
(4.5.14)
Ñðåäíåå âðåìÿ ðàáîòû äî îòêàçà òàêæå ìîæíî ïîëó÷èòü, èíòåãðèðóÿ
óðàâíåíèå (4.5.8) â èíòåðâàëå [0,
∞
].
Ï
ÐÈÌÅÐ 4.5.6. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äâà îäèíàêîâûõ âåíòèëÿòîðà â ñèñòåìå
î÷èñòêè îòõîäÿùèõ ãàçîâ ðàáîòàþò ïàðàëëåëüíî, ïðè÷åì åñëè îäèí èç íèõ
âûõîäèò èç ñòðîÿ, òî äðóãîé ñïîñîáåí ðàáîòàòü ïðè ïîëíîé ñèñòåìíîé íà-
ãðóçêå áåç èçìåíåíèÿ ñâîèõ íàäåæíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê.
Òðåáóåòñÿ íàéòè áåçîòêàçíîñòü ñèñòåìû â òå÷åíèå 400 ÷ (ïðîäîëæèòåëü-
íîñòü âûïîëíåíèÿ çàäàíèÿ) ïðè óñëîâèè, ÷òî èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ äâèãà-
òåëåé âåíòèëÿòîðîâ ïîñòîÿííû è ðàâíû
λ=0 0005,
÷
–1
,
îòêàçû äâèãàòåëåé
ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìû è îáà âåíòèëÿòîðà íà÷èíàþò ðàáîòàòü â ìîìåíò
âðåìåíè
t = 0
.
Ðåøåíèå.  ñëó÷àå èäåíòè÷íûõ ýëåìåíòîâ ôîðìóëà (4.5.12) ïðèíèìàåò
âèä:
Pt t t() exp( ) exp( )=−−−22λλ
.
Ïîñêîëüêó
λ=0 0005,
÷
-1
è t = 400 ÷, òî:
P
()
exp( , ) exp( , ) ,
400
2 0 0005 400 2 0 0005 400 0 9671=−×−−× ×=
.
Ñðåäíþþ íàðàáîòêó íà îòêàç íàõîäèì, èñïîëüçóÿ (4.5.13):
T
0
111121=+=×/(/ /) /λ λ 3 / 2 = 1,5 / 0,0005 = 3000
÷.
4.5.3.3. Ñïîñîáû ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëîæíûõ ñòðóêòóð
Îòíîñèòåëüíàÿ ïðîñòîòà ðàñ÷åòîâ íàäåæíîñòè, îñíîâàííûõ íà èñïîëüçîâà
-
íèè ïàðàëëåëüíî-ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñòðóêòóð, äåëàþò èõ ñàìûìè ðàñïðîñòðà
-
íåííûìè â èíæåíåðíîé ïðàêòèêå. Îäíàêî íå âñåãäà óñëîâèå ðàáîòîñïîñîáíî
-
ñòè ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî ïðåäñòàâèòü ïàðàëëåëüíî-ïîñëåäîâàòåëüíîé
ñòðóêòóðîé.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ñëîæíóþ ñòðóêòóðó çàìåíèòü åå ýêâèâàëåíò
-
íîé ïàðàëëåëüíî-ïîñëåäîâàòåëüíîé ñòðóêòóðîé. Ê òàêèì ïðåîáðàçîâàíèÿì îò
-
íîñÿòñÿ:
163
à ËÀÂÀ 4
—
ïðåîáðàçîâàíèå ñ ýêâèâàëåíòíîé çàìåíîé òðåóãîëüíèêà íà çâåçäó è îá
-
ðàòíî;
—
ðàçëîæåíèå ñëîæíîé ñòðóêòóðû ïî áàçîâîìó ýëåìåíòó.
Ñóùåñòâî ñïîñîáà ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ýêâèâàëåíòíîé çàìåíû
òðåóãîëüíèêà íà çâåçäó è îáðàòíî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî óçåë ñëîæíîé êîí
-
ôèãóðàöèè çàìåíÿåòñÿ íà óçåë äðóãîé, áîëåå ïðîñòîé êîíôèãóðàöèè, íî ïðè
ýòîì ïîäáèðàþòñÿ òàêèå õàðàêòåðèñòèêè íîâîãî óçëà, ÷òî íàäåæíîñòè ïðå
-
îáðàçóåìîé öåïè ñîõðàíÿëèñü ïðåæíèìè.
Ïóñòü, íàïðèìåð, òðåáóåòñÿ çà
-
ìåíèòü òðåóãîëüíèê (ðèñ. 4.5.7, à)
çâåçäîé (ðèñ. 4.5.7, á) ïðè óñëîâèè,
÷òî âåðîÿòíîñòü îòêàçà ýëåìåíòà a
ðàâíà q
13
, ýëåìåíòà b ðàâíà q
12
, ýëå
-
ìåíòà c—q
23
. Ïåðåõîä ê ñîåäèíå
-
íèþ çâåçäîé íå äîëæåí èçìåíèòü
íàäåæíîñòü öåïåé 1—2, 1—3, 2—3.
Ïîýòîìó çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòåé îò
-
êàçîâ ýëåìåíòîâ çâåçäû q
1
, q
2
, q
3
äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì
ðàâåíñòâàì:
qqqq qq q qq
qqqqqq
1 2 1 2 12 23 31 23 31
2 3 2 3 23 31
+− = + −
+− = +
();
( qqq
qqqqqq q qq
12 31 12
3 1 3 1 31 12 23 12 23
−
+− = + −
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
);
().
(4.5.15)
Åñëè ïðåíåáðå÷ü ïðîèçâåäåíèÿìè âèäà
qq
ij
;
qq q
ijk
, òî â ðåçóëüòàòå ðå-
øåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèÿ (4.5.15) ìîæíî çàïèñàòü:
qqqq qqqqq
112312 231233123
===;;
. (4.5.16)
Äëÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ çâåçäû â òðåóãîëüíèê:
qqqqqqqqqqqq
12 12 3 23 23 1 31 13 2
===/; /; /
.
(4.5.17)
Ï
ÐÈÌÅÐ 4.5.7. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû óñòðîéñòâà,
ñòðóêòóðíàÿ ñõåìà êîòîðîãî èçîáðàæåíà íà ðèñ. 4.5.3, á, åñëè èçâåñòíî, ÷òî
âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû êàæäîãî èç ýëåìåíòîâ ñõåìû ðàâíû 0,9,
à âåðîÿòíîñòè îòêàçîâ ðàâíû 0,1.
Ðåøåíèå.
1. Ïðåîáðàçóåì ñîåäèíåíèå ýëå
-
ìåíòîâ 1, 2, 5 â òðåóãîëüíèê
(ðèñ. 4.5.8, à), â çâåçäó (ðèñ. 4.5.8, á).
2. Îïðåäåëèì ýêâèâàëåíòíûå
çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè îòêàçîâ äëÿ
íîâûõ ýëåìåíòîâ a, b, c:
164
à ËÀÂÀ 4
Ðèñ. 4.5.7. Ïðåîáðàçîâàíèå
«òðåóãîëüíèê—çâåçäà»
Ðèñ. 4.5.8. Ê ïðèìåðó
ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòðóêòóðû
qqq
qqq
qqq
a
b
c
==×=
==×=
==
12
15
25
01 01 001
01 01 001
,, ,;
,, ,;
01 01 001,, ,.×=
3. Îïðåäåëèì çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåìåíòîâ
ýêâèâàëåíòíîé ñõåìû (ðèñ. 4.5.8, á):
ppp
abc
===099,
.
4. Îïðåäåëèì âåðîÿòíîñòü áåçîò
-
êàçíîé ðàáîòû ýêâèâàëåíòíîãî
óñòðîéñòâà (ðèñ. 4.5.9):
P p pp pp pppp
ab c b c
=+− =
=×+×−
()
,(, , , ,
3434
099 099 09 099 09 0, , , , ) , .99 09 099 09 0978×× × =
Ñïîñîá ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ ñëîæíîé ñòðóêòóðû
ïî íåêîòîðîìó áàçîâîìó ýëåìåíòó îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè òåîðåìû
î ñóììå âåðîÿòíîñòåé íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé. Â ñëîæíîé ñòðóêòóðå âûáèðà-
þò áàçîâûé ýëåìåíò (èëè ãðóïïó áàçîâûõ ýëåìåíòîâ) è äåëàþòñÿ ñëåäóþùèå
äîïóùåíèÿ:
— áàçîâûé ýëåìåíò íàõîäèòñÿ â ðàáîòîñïîñîáíîì ñîñòîÿíèè;
— áàçîâûé ýëåìåíò íàõîäèòñÿ â îòêàçàâøåì ñîñòîÿíèè.
Äëÿ ýòèõ ñëó÷àåâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé äâà íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèÿ,
èñõîäíàÿ ñòðóêòóðà ïðåîáðàçîâûâàåòñÿ â äâå íîâûå ñõåìû. Â ïåðâîé èç íèõ
âìåñòî áàçîâîãî ýëåìåíòà ñòàâèòñÿ «êîðîòêîå çàìûêàíèå» öåïè, à âî âòî-
ðîé — ðàçðûâ. Âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû êàæäîé èç ïîëó÷åííûõ ïðî-
ñòûõ ñòðóêòóð âû÷èñëÿþòñÿ è óìíîæàþòñÿ: ïåðâàÿ — íà âåðîÿòíîñòü áåçîò-
êàçíîãî ñîñòîÿíèÿ áàçîâîãî ýëåìåíòà, âòîðàÿ — íà âåðîÿòíîñòü îòêàçà
áàçîâîãî ýëåìåíòà. Ïîëó÷åííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñêëàäûâàþòñÿ. Ñóììà ðàâíà
èñêîìîé âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñëîæíîé ñòðóêòóðû.
Ï
ÐÈÌÅÐ 4.5.8. Ðåøèòü ïðåäûäóùèé ïðèìåð ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ ñëîæ
-
íîé ñòðóêòóðû.
Ðåøåíèå.
1.  êà÷åñòâå áàçîâîãî ýëåìåíòà ïðèìåì ýëåìåíò 5 (ðèñ. 4.5.3, á).
2. Çàêîðîòèì áàçîâûé ýëåìåíò, ò. å. ñäåëàåì äîïóùåíèå îá àáñîëþòíîé
åãî ïðîâîäèìîñòè. Ïðèñîåäèíèì ê ïîëó÷åííîé ñòðóêòóðå ïîñëåäîâàòåëüíî
áàçîâûé ýëåìåíò ñ õàðàêòåðèñòèêîé åãî íàäåæíîñòè ð
5
. Â ðåçóëüòàòå âìåñòî
èñõîäíîé ñòðóêòóðû ïîëó÷èì íîâóþ ñòðóêòóðó (ðèñ. 4.5.10, à).
3. Ïðîèçâåäåì îáðûâ áàçîâîãî ýëåìåíòà, ò. å. ñäåëàåì ïðåäïîëîæåíèå
îá åãî àáñîëþòíîé íåíàäåæíîñòè (íåïðîâîäèìîñòè). Ê ïîëó÷åííîé ñòðóêòó
-
ðå ïðèñîåäèíèì ïîñëåäîâàòåëüíî áàçîâûé ýëåìåíò ñ õàðàêòåðèñòèêîé åãî
íåíàäåæíîñòè
()1
5
− p
.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñòðóêòóðó (ðèñ. 4.5.10, á).
165
à ËÀÂÀ 4
Ðèñ. 4.5.9. Ïðåîáðàçîâàííàÿ
ñòðóêòóðà
4. Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà
ñóììå âåðîÿòíîñòåé ñòðóêòóð
(ðèñ. 4.5.10, à, á), êàæäàÿ èç êîòîðûõ
ïàðàëëåëüíî-ïîñëåäîâàòåëüíàÿ. Ïî
-
ýòîìó:
[]
Pppppppppp
ppppppp
=+− +−+
+− + −
512123 434
513 24 13
1
()()
()
[]
[]
pp
24
09 09 09 09 09 09 09 09 09
10
=
= +−× × +−× +
+−
,(,,,,)(,,,,)
(
[]
,),, ,,,,,, ,.9 0909 090909090909 0978× ×+×−××× ≈
Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ìîñòèêîâîé ñõåìû, ñîñòîÿùåé èç ïÿòè
íåîäèíàêîâûõ è íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòîâ, ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå:
P ppppp pppp pppp pppp
pppp
=−−−−
−
2
12345 2345 1345 1245
1235
pppp ppp p pp pp p p
1234 135 234 14 25
++ ++.
(4.5.18)
 ñëó÷àå èäåíòè÷íûõ ýëåìåíòîâ ýòà ôîðìóëà ïðèíèìàåò âèä:
Pp p p p=−++25 22
5432
. (4.5.19)
Ïîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèå (4.5.19) â ôîðìóëó (4.5.6), ïîëó÷àåì, ÷òî â ñëó-
÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ýëåìåíòîâ ñ ïîñòîÿííîé èíòåíñèâíîñòüþ îòêàçîâ (ýêñ-
ïîíåíöèàëüíîì çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ îòêàçîâ):
Pt t t t t( ) exp( ) exp( ) exp( ) exp( )=−−−+−+−25542322λλλλ
. (4.5.20)
Ñðåäíåå âðåìÿ áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû Ò
0
íàõîäèì ïóòåì èíòåãðè
-
ðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (4.5.20) â èíòåðâàëå [0,
∞
]:
Ttttt
0
0
25542322=−−−+−+−=
∞
∫
exp( ) exp( ) exp( ) exp( )λλλλ
=×(/)(/).49 60 1 λ
(4.5.21)
Ï
ÐÈÌÅÐ 4.5.9. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû óñòðîéñòâà,
ñòðóêòóðíàÿ ñõåìà êîòîðîãî èçîáðàæåíà íà ðèñ. 4.5.3, á, åñëè èçâåñòíî, ÷òî
âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû êàæäîãî èç ýëåìåíòîâ ñõåìû ðàâíû 0,9.
Ðåøåíèå.
Òàê êàê âñå ýëåìåíòû èäåíòè÷íû, âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (4.5.18), ñ åå
ïîìîùüþ ïîëó÷àåì:
P =× −× +× +× ≈2 09 5 09 2 09 2 09 0978
5432
,, ,,,
.
166
à ËÀÂÀ 4
Ðèñ. 4.5.10. Ïðèìåð ðàçëîæåíèÿ
ìîñòèêîâîé ñòðóêòóðû ïî áàçîâîìó
ýëåìåíòó
ÏÐÈÌÅÐ 4.5.10. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû
è ñðåäíþþ íàðàáîòêó íà îòêàç ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç ïÿòè íåçàâèñèìûõ
è îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ, ñîåäèíåííûõ ïî ìîñòèêîâîé ñõåìå (ðèñ. 4.5.3, á);
ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî
λ=
0,0005 ÷
–1
,
t =
100 ÷ è âñå ýëåìåíòû íà÷èíàþò ðàáîòàòü
â ìîìåíò âðåìåíè
t = 0
.
Ðåøåíèå.
1. Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (4.5.20) ïîëó÷àåì:
Peee e
()
,,,,
,
100
025 02 015 01
252209999=−++=
−−−−
.
2. Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû
â ôîðìóëó (4.5.21), íàõîäèì ñðåäíþþ íàðàáîòêó íà îòêàç:
T
0
49 60 0 0005 1633 4=×=/( , ) ,
÷.
4.5.4. Íàäåæíîñòü ðåçåðâèðîâàííîé ñèñòåìû
Îäíèì èç ïóòåé ïîâûøåíèÿ íàäåæíîñòè ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ââåäåíèå
â íåå ðåçåðâíûõ (äóáëèðóþùèõ) ýëåìåíòîâ. Ðåçåðâíûå ýëåìåíòû âêëþ÷àþò-
ñÿ â ñèñòåìó êàê áû «ïàðàëëåëüíî» òåì, íàäåæíîñòü êîòîðûõ íåäîñòàòî÷íà.
4.5.4.1. Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå ðåçåðâíîãî îáîðóäîâàíèÿ ñèñòåìû
Ðàññìîòðèì ñàìûé ïðîñòîé ïðèìåð ðåçåðâèðîâàííîé ñèñòåìû — ïàðàë-
ëåëüíîå ñîåäèíåíèå ðåçåðâíîãî îáîðóäîâàíèÿ ñèñòåìû. Â ýòîé ñõåìå âñå n
îäèíàêîâûõ îáðàçöîâ îáîðóäîâàíèÿ ðàáîòàþò îäíîâðåìåííî, è êàæäûé îá-
ðàçåö îáîðóäîâàíèÿ èìååò îäèíàêîâóþ èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ. Òàêàÿ êàð-
òèíà íàáëþäàåòñÿ, íàïðèìåð, åñëè âñå îáðàçöû îáîðóäîâàíèÿ äåðæàòñÿ ïîä
ðàáî÷èì íàïðÿæåíèåì (òàê íàçûâàåìûé «ãîðÿ÷èé ðåçåðâ»), à äëÿ èñïðàâíîé
ðàáîòû ñèñòåìû äîëæåí áûòü èñïðàâåí õîòÿ áû îäèí èç n îáðàçöîâ îáîðóäî-
âàíèÿ.
 ýòîì âàðèàíòå ðåçåðâèðîâàíèÿ ïðèìåíèìî ïðàâèëî îïðåäåëåíèÿ íà-
äåæíîñòè ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòîâ. Â íàøåì ñëó
-
÷àå, êîãäà íàäåæíîñòè âñåõ ýëåìåíòîâ îäèíàêîâû, íàäåæíîñòü áëîêà îïðå
-
äåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (4.5.10)
Pp
n
=− −11()
.
Åñëè ñèñòåìà ñîñòîèò èç n îáðàçöîâ ðåçåðâíîãî îáîðóäîâàíèÿ ñ ðàçëè÷
-
íûìè èíòåíñèâíîñòÿìè îòêàçîâ, òî:
Pt p p p
n
( ) ( )( )...( )=− − − −11 1 1
12
. (4.5.22)
Âûðàæåíèå (4.5.22) ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê áèíîìèíàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
Ïîýòîìó ÿñíî, ÷òî êîãäà äëÿ ðàáîòû ñèñòåìû òðåáóåòñÿ ïî ìåíüøåé ìåðå k
èñïðàâíûõ èç n îáðàçöîâ îáîðóäîâàíèÿ, òî:
Pt i p p
n
i
ik
n
ni
() ( )=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−
=
−
∑
1
, ãäå
i
n
nii
n
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=
−
!
()!!
.
(4.5.23)
Ïðè ïîñòîÿííîé èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ l ýëåìåíòîâ ýòî âûðàæåíèå
ïðèíèìàåò âèä:
167
à ËÀÂÀ 4
Pt i p
p
p
n
i
n
i
ik
n
()
()
()
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−
−
=
∑
1
1
,
(4.5.24)
ãäå:
pt=−exp( )λ
.
4.5.4.2. Âêëþ÷åíèå ðåçåðâíîãî îáîðóäîâàíèÿ ñèñòåìû çàìåùåíèåì
 äàííîé ñõåìå âêëþ÷åíèÿ n
îäèíàêîâûõ îáðàçöîâ îáîðóäîâàíèÿ
òîëüêî îäèí íàõîäèòñÿ âñå âðåìÿ
â ðàáîòå (ðèñ. 4.5.11). Êîãäà ðàáîòà
-
þùèé îáðàçåö âûõîäèò èç ñòðîÿ, åãî
íåïðåìåííî îòêëþ÷àþò, è â ðàáîòó
âñòóïàåò îäèí èç (n – 1) ðåçåðâíûõ
(çàïàñíûõ) ýëåìåíòîâ. Ýòîò ïðîöåññ
ïðîäîëæàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà âñå
(n – 1) ðåçåðâíûõ îáðàçöîâ íå áóäóò
èñ÷åðïàíû.
Ïðèìåì äëÿ ýòîé ñèñòåìû ñëåäó-
þùèå äîïóùåíèÿ:
1. Îòêàç ñèñòåìû ïðîèñõîäèò, åñëè îòêàæóò âñå n ýëåìåíòîâ.
2. Âåðîÿòíîñòü îòêàçà êàæäîãî îáðàçöà îáîðóäîâàíèÿ íå çàâèñèò îò ñî-
ñòîÿíèÿ îñòàëüíûõ (n – 1) îáðàçöîâ (îòêàçû ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìû).
3. Îòêàçûâàòü ìîæåò òîëüêî îáîðóäîâàíèå, íàõîäÿùååñÿ â ðàáîòå,
è óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü îòêàçà â èíòåðâàëå (t , t + dt) ðàâíà ldt; çàïàñíîå îáî-
ðóäîâàíèå íå ìîæåò âûõîäèòü èç ñòðîÿ äî òîãî, êàê îíî áóäåò âêëþ÷åíî â ðà-
áîòó.
4. Ïåðåêëþ÷àþùèå óñòðîéñòâà ñ÷èòàþòñÿ àáñîëþòíî íàäåæíûìè.
5. Âñå ýëåìåíòû èäåíòè÷íû. Ðåçåðâíûå ýëåìåíòû èìåþò õàðàêòåðèñòèêè
êàê íîâûå.
Ñèñòåìà ñïîñîáíà âûïîëíÿòü òðåáóåìûå îò íåå ôóíêöèè, åñëè èñïðàâåí
ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èç n îáðàçöîâ îáîðóäîâàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì
ñëó÷àå íàäåæíîñòü ðàâíà ïðîñòî ñóììå âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé ñèñòåìû,
èñêëþ÷àÿ ñîñòîÿíèå îòêàçà, ò. å.:
Pt t t i
i
i
n
() exp( ) ( ) / !=−
=
−
∑
λλ
0
1
.
(4.5.25)
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ ðåçåðâíûõ
îáðàçöîâ îáîðóäîâàíèÿ, âêëþ÷àåìûõ çàìåùåíèåì. Äëÿ òîãî ÷òîáû ýòà ñèñ
-
òåìà ðàáîòàëà, â ìîìåíò âðåìåíè t , íóæíî, ÷òîáû ê ìîìåíòó t áûëè èñïðàâ
-
íû ëèáî îáà îáðàçöà, ëèáî îäèí èç äâóõ. Ïîýòîìó:
Pt t t i t t
i
i
n
( ) exp( ) ( ) / ! (exp( ))( )=− = − +
=
−
∑
λλ λ λ1
0
1
.
(4.5.26)
168
à ËÀÂÀ 4
Ðèñ. 4.5.11. Áëîê-ñõåìà ñèñòåìû
âêëþ÷åíèÿ ðåçåðâíîãî
îáîðóäîâàíèÿ ñèñòåìû çàìåùåíèåì
Íà ðèñ. 4.5.12 ïîêàçàí ãðàôèê
ôóíêöèè Ð( t) è äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðè
-
âåäåí àíàëîãè÷íûé ãðàôèê äëÿ íå
-
ðåçåðâèðîâàííîé ñèñòåìû.
Ï
ÐÈÌÅÐ 4.5.11. Ñèñòåìà ñîñòîèò
èç äâóõ èäåíòè÷íûõ óñòðîéñòâ, îäíî
èç êîòîðûõ ôóíêöèîíèðóåò, à äðóãîå
íàõîäèòñÿ â ðåæèìå íåíàãðóæåííîãî
ðåçåðâà. Èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ
îáîèõ óñòðîéñòâ ïîñòîÿííû. Êðîìå
òîãî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â íà÷àëå
ðàáîòû ðåçåðâíîå óñòðîéñòâî èìååò
òàêèå æå õàðàêòåðèñòèêè, êàê è íî
-
âîå. Òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû â òå÷å
-
íèå 100 ÷ ïðè óñëîâèè, ÷òî èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ óñòðîéñòâ l = 0,001 ÷
–1
.
Ðåøåíèå. Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (4.5.25) ïîëó÷àåì:
Pt t t() exp( ) ( )=−⋅+λλ1
.
Ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ t è l âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû
ñîñòàâëÿåò:
Pt e() ( ,) ,
,
=+=
−01
1 0 1 0 9953
.
Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ íåëüçÿ ïðåäïîëàãàòü, ÷òî çàïàñíîå îáîðóäîâàíèå íå
âûõîäèò èç ñòðîÿ, ïîêà åãî íå âêëþ÷àò â ðàáîòó. Ïóñòü l
1
— èíòåíñèâíîñòü
îòêàçîâ ðàáîòàþùèõ îáðàçöîâ, à l
2
— ðåçåðâíûõ èëè çàïàñíûõ (
λ
2
0>
).
 ñëó÷àå äóáëèðîâàííîé ñèñòåìû ôóíêöèÿ íàäåæíîñòè èìååò âèä:
Pt t t( ) exp( ( ) ) exp( ) exp( (=−+ +
+
−−
+
−λλ
λλ
λ
λ
λλ
λ
12
12
2
1
12
2
λλ
12
+ ))t
.
Äàííûé ðåçóëüòàò äëÿ k = 2 ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà ñëó÷àé k = n.
Äåéñòâèòåëüíî:
Pt n t
t
k
k
k
k
n
() exp( ( ( )))
(exp( ) )
!
=−+− +
−
×
=
−
λα
αλ
α
1
1
1
111
1
1
∑
⎧
⎨
⎩
[]
×+−−
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
=
−
∏
11
0
1
α(),nj
j
k
ãäå
αλ λ=>
21
0/
.
(4.5.27)
4.5.4.3. Íàäåæíîñòü ðåçåðâèðîâàííîé ñèñòåìû â ñëó÷àå êîìáèíàöèé
îòêàçîâ è âíåøíèõ âîçäåéñòâèé
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ îòêàç ñèñòåìû âîçíèêàåò âñëåäñòâèå îïðåäåëåííûõ
êîìáèíàöèé îòêàçîâ îáðàçöîâ âõîäÿùèõ â ñèñòåìó îáîðóäîâàíèÿ è (èëè)
èç-çà âíåøíèõ âîçäåéñòâèé íà ýòó ñèñòåìó. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ìåòåî
-
ñïóòíèê ñ äâóìÿ ïåðåäàò÷èêàìè èíôîðìàöèè, îäèí èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ðå
-
çåðâíûì èëè çàïàñíûì. Îòêàç ñèñòåìû (ïîòåðÿ ñâÿçè ñî ñïóòíèêîì) âîçíè
-
169
à ËÀÂÀ 4
Ðèñ. 4.5.12. Ôóíêöèè íàäåæíîñòè
äëÿ äóáëèðîâàííîé ñèñòåìû
1 — ñ âêëþ÷åíèåì ðåçåðâà çàìåùåíèåì;
2 — íåðåçåðâèðîâàííîé ñèñòåìû
êàåò ïðè âûõîäå èç ñòðîÿ äâóõ ïåðåäàò÷èêîâ èëè â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà
ñîëíå÷íàÿ àêòèâíîñòü ñîçäàåò íåïðåðûâíûå ïîìåõè ðàäèîñâÿçè. Åñëè èí
-
òåíñèâíîñòü îòêàçîâ ðàáîòàþùåãî ïåðåäàò÷èêà ðàâíà l,àj — îæèäàåìàÿ
èíòåíñèâíîñòü ïîÿâëåíèÿ ðàäèîïîìåõ, òî ôóíêöèÿ íàäåæíîñòè ñèñòåìû:
Pt t t t() exp( ( )) exp( ( ))=−++ −+λϕ λ λϕ
. (4.5.28)
Äàííûé òèï ìîäåëè òàêæå ïðèìåíèì â ñëó÷àÿõ, êîãäà ðåçåðâ ïî ñõåìå
çàìåùåíèÿ îòñóòñòâóåò. Íàïðèìåð, ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåôòåïðîâîä ïîäâåð
-
ãàåòñÿ ãèäðàâëè÷åñêèì óäàðàì, ïðè÷åì âîçäåéñòâèå íåçíà÷èòåëüíûìè
ãèäðîóäàðàìè ïðîèñõîäèò ñ èíòåíñèâíîñòüþ l, à çíà÷èòåëüíûìè—ñèí
-
òåíñèâííîñòüþ j. Äëÿ ðàçðûâà ñâàðíûõ øâîâ (èç-çà íàêîïëåíèÿ ïîâðåæäå
-
íèé) òðóáîïðîâîäó ñëåäóåò ïîëó÷èòü n ìàëûõ ãèäðîóäàðîâ èëè îäèí çíà÷è
-
òåëüíûé.
Çäåñü ñîñòîÿíèå ïðîöåññà ðàçðóøåíèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ÷èñëîì óäàðîâ
(èëè ïîâðåæäåíèé), ïðè÷åì îäèí ìîùíûé ãèäðîóäàð ðàâíîñèëåí n ìàëûõ.
Íàäåæíîñòü èëè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òðóáîïðîâîä íå áóäåò ðàçðóøåí äåé
-
ñòâèåì ìèêðîóäàðîâ ê ìîìåíòó âðåìåíè t ðàâíà:
Pt t t i
i
i
n
() exp( ( )) ) / !=−+
=
−
∑
λϕ (λ
0
1
.
(4.5.29)
4.5.4.4. Àíàëèç íàäåæíîñòè ñèñòåì ïðè ìíîæåñòâåííûõ îòêàçàõ
Ðàññìîòðèì ìåòîä àíàëèçà íàäåæíîñòè íàãðóæåííûõ ýëåìåíòîâ â ñëó÷àå
ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûõ è çàâèñèìûõ (ìíîæåñòâåííûõ) îòêàçîâ. Ñëåäó-
åò çàìåòèòü, ÷òî ýòîò ìåòîä ìîæåò áûòü ïðèìåíåí è â ñëó÷àå äðóãèõ ìîäåëåé
è ðàñïðåäåëåíèé âåðîÿòíîñòåé. Ïðè ðàçðàáîòêå ýòîãî ìåòîäà ïðåäïîëàãàåò-
ñÿ, ÷òî äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà ñèñòåìû ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ âåðîÿòíîñòü
ïîÿâëåíèÿ ìíîæåñòâåííûõ îòêàçîâ.
Êàê èçâåñòíî, ìíîæåñòâåííûå îòêàçû äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóþò, è äëÿ
èõ ó÷åòà â ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû ââîäèòñÿ ïàðàìåòð a. Ýòîò ïàðàìåòð
ìîæåò áûòü îïðåäåëåí íà îñíîâå îïûòà ýêñïëóàòàöèè ðåçåðâèðîâàííûõ ñèñ
-
òåì èëè îáîðóäîâàíèÿ è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äîëþ îòêàçîâ, âûçûâàåìûõ îá
-
ùåé ïðè÷èíîé. Äðóãèìè ñëîâàìè, ïàðàìåòð a ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òî
-
÷å÷íóþ îöåíêó âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî îòêàç íåêîòîðîãî ýëåìåíòà îòíîñèòñÿ
ê ÷èñëó ìíîæåñòâåííûõ îòêàçîâ. Ïðè ýòîì ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî èíòåí
-
ñèâíîñòü îòêàçîâ ýëåìåíòà èìååò äâå âçàèìîèñêëþ÷àþùèå ñîñòàâëÿþùèå,
ò. å.
λλ λ=+
12
, ãäå
λ
1
— ïîñòîÿííàÿ èíòåíñèâíîñòü ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâè
-
ñèìûõ îòêàçîâ ýëåìåíòà;
λ
2
— èíòåíñèâíîñòü ìíîæåñòâåííûõ îòêàçîâ ðå
-
çåðâèðîâàííîé ñèñòåìû èëè ýëåìåíòà. Ïîñêîëüêó
αλ λ=
2
/
,òî
λαλ
2
= /
,
è ñëåäîâàòåëüíî,
λαλ
1
1=−()
.
Ïðèâåäåì ôîðìóëû è çàâèñèìîñòè äëÿ âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû,
èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ è ñðåäíåé íàðàáîòêè íà îòêàç â ñëó÷àå ñèñòåì ñ ïà
-
ðàëëåëüíûì è ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ, à òàêæå ñèñòåì
170
à ËÀÂÀ 4